定积分练习题
一、选择题
1. 设连续函数f (x )>0,则当a
f (x )d x 的符号( )
A .一定是正的
B .一定是负的
C .当0 D .以上结论都不对 解析: 由??a b f (x )d x 的几何意义及f (x )>0,可知??a b f (x )d x 表示x =a ,x =b ,y =0与y =f (x )围成的曲边梯形的面积.∴??a b f (x )d x >0. 答案:A 2. 若2 22 23000,,sin a x dx b x dx c xdx ===???,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a 解析:a =13x 3 |20=83,b =14 x 4 |20=4,c =-cos x |20=1-cos2,∴c 3. 求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x 2-x )d x B .S =??0 1(x -x 2)d x C .S =??01(y 2-y )d y D .S =??0 1(y -y )d y [答案] B [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x 2)d x . 4. 1 1(sin 1)x dx -+?的值为( ) A. 2 B.0 C.22cos1+ D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1 111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=? 5. 由曲线22y x x =+与直线 y x =所围成的封闭图形的面积为 ( ) A .16 B .13 C .56 D .23 【答案】 A 由2 2,x x x +=解得两个交点坐标为(-1,0)和(0,0), 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为: 二、填空题 6. 已知f (x )=??0x (2t -4)d t ,则当x ∈[-1,3]时,f (x )的最小值为________. 解析: f (x )=??0x (2t -4)d t =(t 2-4t )| x 0=x 2-4x =(x -2)2-4(-1≤x ≤3), ∴当x =2时,f (x )min =-4. 答案: -4 7. 一物体以v (t )=t 2-3t +8(m/s)的速度运动,在前30 s 内的平均速度为________. 解析:由定积分的物理意义有:s =30 20(38)t t dt -+?=(13t 3-32t 2+8t )|300 =7890(m).∴v =s t =789030 =263(m/s). 答案:263 m/s 三、解答题 8.求下列定积分: (1)??12????x -x 2+1x d x ;(2) 0(cos e )d x x x π-?+; (3)??49x (1+x )d x ;(4)??0 πcos 2x 2d x . 解析: (1)??12????x -x 2+1x d x =??12x d x -??12x 2d x +??121x d x =x 22| 21-x 33| 21+ln x |21=32-73+ln 2=ln 2-56 . (2)0(cos e )d x x x π- ?+=00cosxd e d x x x ππ--+??=sin x ||0-π+e x 0-π=1-1e π. (3)??49x (1+x )d x =??49(x 12+x )d x = ??????23x 32+12x 249=23×932-23×432+12×92-12×42=4516 . (4)??0πcos 2x 2d x =??0π1+cos x 2d x =12x |0π+12sin x |0π=π2 . 9. 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的图象如图: 直线y =0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为 274,求f (x ). 解:由f (0)=0得c =0, f ′(x )=3x 2+2ax +b . 由f ′(0)=0得b =0, ∴f (x )=x 3+ax 2=x 2(x +a ), 由∫-a 0[-f (x )]d x =274 得a =-3. ∴f (x )=x 3-3x 2. 10.已知f (x )为二次函数,且f (-1)=2,f ′(0)=0,??01 f (x )d x =-2. (1)求f (x )的解析式; (2)求f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值. 解析: (1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b . 由f (-1)=2,f ′(0)=0,得??? a -b +c =2b =0,即? ?? c =2-a b =0. ∴f (x )=ax 2+(2-a ). 又??01f (x )d x =??01[ax 2+(2-a )]d x =????13ax 3+?2-a ?x | 10=2-23 a =-2, ∴a =6,∴c =-4. 从而f (x )=6x 2-4. (2)∵f (x )=6x 2-4,x ∈[-1,1], 所以当x =0时,f (x )min =-4; 当x =±1时,f (x )max =2. B 卷:5+2+2 一、选择题 1. 已知f (x )为偶函数且 601(),2f x dx =?则66()f x dx -?等于( ) A .2 B .4 C .1 D .-1 解析:∵f (x )为偶函数,∴ 60061()(),2 f x dx f x dx -==??∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==?? 答案:C 2. (改编题)已知()2f x x =-,则2 1()f x dx -=?( ) A . 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C 【解析】 2 2 20202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥?=-=∴=++-=++-?+ =+=???3. 已知函数y =x 2与y =kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92 ,则k 等于( ) A .2 B .1 C .3 D .4 答案:C 解析:由??? y =x 2 y =kx 消去y 得x 2-kx =0, 所以x =0或x =k ,则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx -x 2)d x =(12kx 2-13x 3) |k 0=92. 即12k 3-13k 3=92 ,解得k =3. 4. 一物体在力F (x )=????? 10 ?0≤x ≤2?3x +4 ?x >2?(单位:N)的作用下沿与力F 相同的方向,从x =0处运动到x =4(单位:m)处,则力F (x )作的功为( ) A .44 B .46 C .48 D .50 解析: W =??04F (x )d x =??0210d x +??24(3x +4)d x =10x | 20+??? ?32x 2+4x | 42=46. 答案:B 5. 函数()x f 满足()00=f ,其导函数()x f '的图象如下图,则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的 A .31 B .34 C .2 D .3 8 【答案】B 【解析】由导函数()x f '的图像可知,函数()x f 为二次函数,且对称轴为1,x =-开口方向向上,设函数 2()(0), (0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点(-1,0)与(0,2),则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ?-+=?+=∴==2()2f x x x ∴=+, 则 ()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为0232032-22 114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--?+-=?(- 二、填空题 6.(改编题)设20lg ,0(),3,0a x x f x x t dt x >??=?+≤?? ?若((1))1,f f =则a 为 。 【答案】1 【解析】23300(1)lg10,((1))(0)03|1, 1.a a f f f f t dt t a a ==∴==+===∴=? 7. 已知函数f (x )=-x 3+ax 2+bx (a , b ∈R)的图象如图所示,它与x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为 112 ,则a 的值为________. [答案] -1 [解析] f ′(x )=-3x 2+2ax +b ,∵f ′(0)=0,∴b =0,∴f (x )=-x 3+ax 2,令f (x )=0,得x =0或x =a (a <0). S 阴影=-??a 0(-x 3+ax 2)d x =112a 4=112 ,∴a =-1. 三.解答题 8.(改编题)画出曲线2y x =与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形,并且其面积. 解析:如图所示,封闭图形的区域为ABC. 由2y x = 与1y x =-联立可得C(2,1), 由2y x =与=4x 联立可得B(4,12), 由1y x =-与=4x 联立可得A(4,3). 所求封闭图形ABC 的面积: 84222ln 42ln 242ln 2=--+-+=-. 9. 在曲线y =x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为 112. (1)求切点A 的坐标. (2)求过切点A 的切线方程. 解析:设切点A (x 0,y 0),由y ′=2x ,过点A 的切线方程为 y -y 0=2x 0(x -x 0), 即y =2x 0x -x 02. 令y =0,得x =x 02.即C (x 02 ,0). 设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形面积为S , S 曲边△AOB =0 023001|3 x x x dx x ==?13x 03, S △ABC =12|BC |·|AB |=12(x 0-x 02)·x 02=14x 0 3. ∴S =13x 03-14x 03=112 .∴x 0=1, 从而切点A (1,1),切线方程为y =2x -1. C 卷:2+2+1 一、选择题 1.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线2x y =和曲 线x y =围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投 一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是 A .21 B. 61 C. 41 D. 3 1 【答案】D 【解析】312 312002111)()|,=1.3333OBCA OBCA S S x dx x x S P S ==-=∴==?阴阴正方形正方形, 2. 设函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数g (x ) =-x 3,f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ,f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ,则??m n g (x )d x 的值是( ) A .-52 B .-43 C .-54 D .-76 [答案] A [解析] 由题意可得,当0 以m =1,n =4,则??m n g (x )d x =??14????-x 3d x = ??-x 2614=-52. 二.填空题 3.2 0)x dx =?_______________. 【答案】2π- 【解析】 20dx ?等于圆224x y +=在第一象限的面积π ,则2 222200001)22x dx dx xdx x ππ??=-=-=-???????. 4.如图,设点P 从原点沿曲线y =x 2向点A (2,4)移动,记直线OP 、曲线y =x 2及直线x =2所围成的面积分别记为S 1,S 2,若S 1=S 2,则点P 的坐标为________. 解析:设直线OP 的方程为y =kx ,P 点的坐标为(x ,y ), 则??0x (kx -x 2)d x =??x 2(x 2-kx )d x ,即????12kx 2-13x 3| x 0=????13x 3-12kx 2| 2x , 解得12kx 2-13x 3=83 -2k -????13x 3-12kx 2, 解得k =43,即直线OP 的方程为y =43 x , 所以点P 的坐标为????43,169. 答案: ????43,169 三.解答题 5.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线y =x 2,试在此区间内确定t 的值,使图中阴影部分的面积S 1+S 2最小. [解析] 由题意得S 1=t ·t 2-??0t x 2d x =23t 3,S 2=??t 1x 2d x -t 2(1-t )=23t 3-t 2+13, 所以S =S 1+S 2=43t 3-t 2+13 (0≤t ≤1). 又S ′(t )=4t 2-2t =4t ??? ?t -12, 令S ′(t )=0,得t =12 或t =0. 因为当0 . 定积分的简单应用求体 积 Document number:BGCG-0857-BTDO-0089-2022 定积分的简单应用(二) 复习: (1) 求曲边梯形面积的方法是什么 (2) 定积分的几何意义是什么 (3) 微积分基本定理是什么 引入: 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题:设由连续曲线()y f x =和直线x a =,x b =及x 轴围成的平面图形(如图甲) 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ,如何求V 分析: 在区间[,]a b 内插入1n -个分点,使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=,把曲线()y f x =(a x b ≤≤)分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”,如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-,1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片,如图乙所示。当i x ?很小时,第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此,第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和: 2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题,则有: 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳: 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =,x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成,则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 (1) 找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数 (2) 分清端点 (3) 确定几何体的构造 (4) 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积,则积分变量变为y ,其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一:求简单几何体的体积 例1:给定一个边长为a 的正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体,求它的体积 思路: 由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。 解:以正方形的一个顶点为原点,两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系,如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为: 22300|a a V a dx a x a πππ=?==? 《定积分》教学设计与反思 学习目标 1、通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. 教学重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 教学难点:了解微积分基本定理的含义. 一、自主学习: 1.定积分的定义:, 2.定积分记号: 思想与步骤 几何意义. 3.用微积分基本定理求定积分 二、新知探究 新知1:微积分基本定理: 背景:我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算,其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 探究问题1:变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)(), 则物体在时间间隔内经过的位移记为,则 一方面:用速度函数v(t)在时间间隔求积分,可把位移= 另一方面:通过位移函数S(t)在的图像看这段位移还可以表示为 探究问题2: 位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为 上述两个方面中所得的位移可表达为 上面的过程给了我们启示 上式给我们的启示:我们找到了用的原函数(即满足)的数值差来计算在上的定积分的方法。 定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数,则 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法。 例1.计算下列定积分: 新知2:用定积分几何意义求下列各式定积分: 若求 新知3:用定积分求平面图形的面积 1、计算函数在区间的积分 2、计算函数在区间的积分 3、求与在区间围成的图形的面积 通过此题的计算你发现了什么? 教学反思 本课的教学设计,是在新课程标准理念指导下,根据本班学生实际情况进行设计的。从实施情况来看,整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。在教学中,教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌,而是借用学生已有的知识经验和生活实际,有效地理解了微积分的基本定理,具体反思如下: 1、改变定理的表述形式,丰富信息的呈现方式。 根据高中学生的认知特点,我在教学过程中,出示例题、习题时,呈现形式力求多样、新颖,让学生多种感官一起参与,以吸引学生的注意力,培养对数学的兴趣。本课的教学中,我大胆地改变了教材中实例分析顺序,重组和创设了这样一个情境,从而引入速度关于时间的定积分背景,即切合学生的生活实际,又让学生发现了定理的实际意义,理解了定理的本质,激发了学生学习的兴趣。并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。 2、突出数学应用价值,培养学生的应用意识和创新能力 《数学课程标准》中指出,要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念,例题中涉及路程和速度,让学生感受到数学与生活的密切联系,通过自己的探究,运用数学的思维方式解决问题,又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题,,培养了学生的应用意识。定积分的简单应用求体积
《定积分》教学设计与反思
定积分测试题及答案