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2020年高考文科数学二轮专题复习三：导数(附解析)
2020年高考文科数学二轮专题复习三：导数（附解析）1．根据导数的几何意义求解函数切线问题； 2．利用导数求函数的单调区间、极值点、最值； 3．利用导数讨论函数零点；4．通过导数讨论最值分析求解恒成立问题； 5．利用导数解决生活中的优化问题．一、求函数的单调区间（1）在利用函数导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．（2）涉及含参函数的单调性问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．讨论时要注意不重不漏，最后还要总结． （3）求可导函数()y f x =的单调区间，实际上就是解不等式()0f x '>或()0f x '<； 若函数()y f x =含有参数，则就是解含参数的不等式()0f x '>或()0f x '<， 答题模板二、由函数的单调性求参数的值或取值范围：已知含参数函数()y f x =在给定区间I 上递增(减)，求参数范围． 求解方法一：不等式()0f x '≥(()0f x '≤)在区间I 上恒成立． 求解方法二：求得递增(减)区间A ，利用I 与A 的关系求解．三、利用导数讨论函数零点或函数值域（1）依函数的单调性求函数的零点或求零点存在的区间由根的存在性定理知，若函数()f x 在区间[,]a b 上为单调函数，且()()0f a f b <，则必定存在一点[,]c a b ∈，使得()0f c =，即点c 为()f x 的一个零点． （2）依函数的单调性求函数的值域若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递增，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ； 若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递减，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ．四、构造函数证明不等式若证明不等式()()f x g x >，(,)x a b ∈，可以转化为证明()()0f x g x ->， 如果[()()]0f x g x '->，那么说明函数()()()F x f x g x =-在(,)a b 上是增函数． 如果()()()F x f x g x =-是增函数，且()0F a ≥，那么当(,)x a b ∈时，()()()()0F x f x g x F a =->≥，即()()f x g x >．注意：根据题目自身的特点，恰当地构造函数，利用函数的单调性可以解答一些证明唯一性及不等式的问题．在构造函数关系式时，应尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数．五、函数极值的概念六、函数的最大值与最小值1．若函数()ln f x x a x =-在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1(0,)2B ．1(,)2eC ．(0,)+∞D ．1(,)2+∞2．若曲线2()(1)x f x x ax e =++，在点(0,(0))f 处的切线过点(2,2)，则实数a 的值为 ．3．已知函数()ln x f x xe a x ax a e =--+-． （1）若()f x 为单调递增函数，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 仅一个零点，求a 的取值范围．经典常规题（45分钟）1．已知函数()(ln )()xe f x k x x k x=-+∈R ，如果函数()f x 在(0,)+∞只有一个极值点，则实数k 的取值 范围是（ ） A ．(0,1]B ．(,1]-∞C ．(,]e -∞D ．[,)e +∞2．曲线sin y x x =在点(,0)π处的切线方程为 ．3．已知函数21()cos 2f x x m x =+，()f x '是()f x 的导函数，()()1g x f x '=+． （1）当2m =时，判断函数()g x 在(0,)π上是否存在零点，并说明理由； （2）若()f x 在(0,)π上存在最小值，求m 的取值范围．高频易错题1．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，则满足不等式212(log )(log )2(1)f m f m f +<的实数m 的取值范围为（ ）A ．1(,2)2B ．(0,2)C ．1(0,)(1,2)2UD ．(2,)+∞2．曲线ln 2()x xf x x-=在点(1,2)-处的切线方程为 ． 3．已知函数2()()ln f x a b x x x x =---．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，且(1)f a =，求a ，b 的值； （2）若1a =，()0f x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，求b 的取值范围．精准预测题4．已知函数3211()(1)()323a f x x x x x a =-++-∈R ． （1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）若01a <<时，判断函数()f x 在区间[0,2]上零点的个数．2020年高考文科数学二轮专题复习三：导数（解析）1．根据导数的几何意义求解函数切线问题； 2．利用导数求函数的单调区间、极值点、最值； 3．利用导数讨论函数零点；4．通过导数讨论最值分析求解恒成立问题； 5．利用导数解决生活中的优化问题．一、求函数的单调区间（1）在利用函数导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．（2）涉及含参函数的单调性问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．讨论时要注意不重不漏，最后还要总结． （3）求可导函数()y f x =的单调区间，实际上就是解不等式()0f x '>或()0f x '<； 若函数()y f x =含有参数，则就是解含参数的不等式()0f x '>或()0f x '<， 答题模板二、由函数的单调性求参数的值或取值范围：已知含参数函数()y f x =在给定区间I 上递增(减)，求参数范围． 求解方法一：不等式()0f x '≥(()0f x '≤)在区间I 上恒成立． 求解方法二：求得递增(减)区间A ，利用I 与A 的关系求解．三、利用导数讨论函数零点或函数值域（1）依函数的单调性求函数的零点或求零点存在的区间由根的存在性定理知，若函数()f x 在区间[,]a b 上为单调函数，且()()0f a f b <，则必定存在一点[,]c a b ∈，使得()0f c =，即点c 为()f x 的一个零点． （2）依函数的单调性求函数的值域若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递增，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ； 若函数()f x 在区间[,]a b 上单调递减，则函数()f x 的值域为[(),()]f a f b ．四、构造函数证明不等式若证明不等式()()f x g x >，(,)x a b ∈，可以转化为证明()()0f x g x ->， 如果[()()]0f x g x '->，那么说明函数()()()F x f x g x =-在(,)a b 上是增函数． 如果()()()F x f x g x =-是增函数，且()0F a ≥，那么当(,)x a b ∈时，()()()()0F x f x g x F a =->≥，即()()f x g x >．注意：根据题目自身的特点，恰当地构造函数，利用函数的单调性可以解答一些证明唯一性及不等式的问题．在构造函数关系式时，应尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数．五、函数极值的概念六、函数的最大值与最小值1．若函数()ln f x x a x =-在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ． 1(0,)2B ．1(,)2eC ．(0,)+∞D ．1(,)2+∞【答案】D【解析】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '=-=．令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞时，10>，0>，所以()0g x '>，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点；当120a -<时，即12a >， 因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一零点的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >， 所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；经典常规题当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点．所以1(,)2a ∈+∞．2．若曲线2()(1)x f x x ax e =++，在点(0,(0))f 处的切线过点(2,2)，则实数a 的值为 ． 【答案】12-【解析】2()(12)x f x x ax x a e '=++++，(0)1f =，(0)1f a '=+，切线方程为1(1)y a x -=+，切线过点(2,2)，∴212(1)a -=+，∴12a =-． 3．已知函数()ln x f x xe a x ax a e =--+-． （1）若()f x 为单调递增函数，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 仅一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,0]-∞；（2）0a ≤或a e =．【解析】（1）由()ln (0)x f x xe a x ax a e x =--+->，得(1)()()(1)(1)x xa x xe a f x e x x x x+-'=+-=+， 因为()f x 为单调递增函数，所以当0x >时，()0f x '≥， 由于11x +>，于是只需x a xe ≤对于0x >恒成立， 令()x u x xe =，则()(1)x u x x e '=+，当0x >时，()0u x '>，所以()x u x xe =为增函数，所以()(0)0u x u >=．当(0)a u ≤，即0a ≤时，x a xe ≤恒成立，所以()f x 为单调递增函数时，a 的取值范围是(,0]-∞．（2）因为(1)0f =，所以1x =是()f x 的一个零点．由（1）知，当0a ≤时，()f x 为(0,)+∞的增函数，此时关于x 的方程()0f x =仅一解1x =，即函数()f x 仅一个零点，满足条件； 当0a >时，由(1)0f '=，得a e =，①当a e =时，()ln xf x xe e x ex =--，则()()(1)x xe e f x x x-'=+，令()x v x xe e =-，易知()v x 在(0,)+∞的增函数，且(1)0v =， 所以当01x <<时，()0v x <，则()0f x '<，()f x 为减函数； 当1x >时，()0v x >，则()0f x '>，()f x 为增函数，所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，且仅当(1)0f =，于是函数()f x 仅一个零点，所以a e =满足条件；②当a e >时，由于()x v x xe a =-在(1,)+∞为增函数，则(1)0v e a =-<， 又当x →+∞时，()v x →+∞，则存在01x >，使得0()0v x =，即使得0()0f x '=， 当0(1,)x x ∈时，0()()0v x v x <=，则()0f x '<， 当0(,)x x ∈+∞时，0()()0v x v x >=，则()0f x '>， 所以()f x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增， 所以0()(1)0f x f <=，且当x →+∞时，()f x →+∞．于是当0(,)x x ∈+∞时，存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去；③当0a e <<时，则()x v x xe a =-在(1,)+∞为增函数， 又(0)0v a =-<，(1)0v e a =->，所以存在001x <<，使得0()0v x =，也就使得0()0f x '=， 当0(0,)x x ∈时，()0v x <，()0f x '<； 当0(,1)x x ∈时，()0v x >，()0f x '>， 所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,1)x 上递增， 所以0()(1)0f x f <=，且当0x →时，()f x →+∞． 于是在0(0,)x 时存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去， 综上，a 的取值范围为0a ≤或a e =．1．已知函数()(ln )()xe f x k x x k x=-+∈R ，如果函数()f x 在(0,)+∞只有一个极值点，则实数k 的取值 范围是（ ） A ．(0,1] B ．(,1]-∞C ．(,]e -∞D ．[,)e +∞【答案】C【解析】2()(1)()x e kx x f x x--'=函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ①当0k ≤时，0x e kx ->恒成立，令()0f x '>，则1x >， 即()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减， 则()f x 在1x =处取得极小值，符合题意；高频易错题（45分钟）②当0k >时，∵1x =时，()0f x '=，又函数()f x 在定义域为(0,)+∞只有一个极值点，∴()f x 在1x =处取得极值． 从而0x e kx ->或0x e kx -<恒成立， 构造函数()x h x e =，()g x kx =，()x h x e '=，设()g x kx =与()x h x e =相切的切点为00(,)xx e ，则切线方程为000()x xy e e x x -=-， 因为切线过原点，则0000(0)xxe e x -=-，解得01x =， 则切点为(1,)e ，此时k e =． 由图可知：要使0x e kx ->恒成立，则k e ≤． 综上所述：(,]k e ∈-∞．2．曲线sin y x x =在点(,0)π处的切线方程为 ． 【答案】2y x ππ=-+【解析】曲线sin y x x =，则()sin (sin )sin cos y x x x x x x x '''=+=+， 所以在点(,0)π处的切线的斜率为sin cos k ππππ=+=-， 由点斜式可得2()y x x ππππ=--=-+，故答案为2y x ππ=-+．3．已知函数21()cos 2f x x m x =+，()f x '是()f x 的导函数，()()1g x f x '=+． （1）当2m =时，判断函数()g x 在(0,)π上是否存在零点，并说明理由； （2）若()f x 在(0,)π上存在最小值，求m 的取值范围． 【答案】（1）不存在零点，详见解析；（2）(1,)+∞． 【解析】（1）2m =时，()2sin 1g x x x =-+，令()0g x '=，即1cos 2x =，(0,)x π∈，得3x π=， 当x 变化时，()g x '，()g x 变化如下：∴函数()g x 的单调递减区间为(0,)3π，单调递增区间为(,)3ππ．∴()g x 的极小值为()1033g ππ=+>，∴函数()g x 在(0,)π上不存在零点．（2）因为21()cos 2f x x m x =+，所以()sin f x x m x '=-， 令()()sin h x f x x m x '==-，则()1cos h x m x '=-． ①当1m <时，1cos 0m x ->，即()0h x '>， ∴()()sin h x f x x m x '==-在(0,)π单调递增，∴(0,)x π∈时，()(0)0h x h >=，∴()f x 在(0,)π单调递增， ∴()f x 在(0,)π不存在最小值；②当1m >时，1(0,1)m ∈，则()1cos 0h x m x '=-=，即1cos x m=在(0,)π内有唯一解0x ，当0(0,)x x ∈时，()0h x '<；当0(,)x x π∈时，()0h x '>， 所以()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x π上单调递增， 所以0()(0)0h x h <=，又因为()0h ππ=>，所以()sin h x x m x =-在0(,)(0,)x ππ⊆内有唯一零点1x ， 当1(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0f x '<；当1(,)x x π∈时，()0h x >，即()0f x '>， 所以()f x 在1(0,)x 上单调递减，在1(,)x π上单调递增，所以函数()f x 在1x x =处取得最小值，即1m >时，函数()f x 在(0,)π上存在最小值． 综上所述，()f x 在(0,)π上存在最小值时，m 的取值范围为(1,)+∞．1．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，则满足不等式212(log )(log )2(1)f m f m f +<的实数m 的取值范围为（ ）A ．1(,2)2B ．(0,2)C ．1(0,)(1,2)2UD ．(2,)+∞【答案】A【解析】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，精准预测题则不等式212(log )(log )2(1)f m f m f +<可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x '=--+=-，令()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，()0f x '≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数．∴由2(log )(1)f m f <，得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 2．曲线ln 2()x xf x x-=在点(1,2)-处的切线方程为 ． 【答案】30x y --=【解析】因为ln 2()x x f x x -=，∴21(2)(ln 2)1ln ()x x x x x f x x x 2----'==， 因此21ln1(1)11f -'==，即曲线ln 2()x x f x x -=在点(1,2)-处切线斜率为(1)1k f '==， 因此，曲线ln 2()x xf x x-=在点(1,2)-处的切线方程为21y x +=-， 所以，30x y --=即为所求切线方程． 3．已知函数2()()ln f x a b x x x x =---．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，且(1)f a =，求a ，b 的值； （2）若1a =，()0f x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，求b 的取值范围． 【答案】（1）0a =，1b =-；（2）(,0]b ∈-∞．【解析】（1）2()()ln f x a b x x x x =---，()2()ln 2f x a b x x '=---，由(1)1(1)2()20f a b a f a b =--=⎧⎨'=--=⎩，得01a b =⎧⎨=-⎩．（2）因为1a =，2()(1)ln f x b x x x x =---，()0f x ≥等价于1ln 1xb x x≤--， 令1ln ()1xg x x x=--，2ln ()x g x x '=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)0g x g ==，所以(,0]b ∈-∞．4．已知函数3211()(1)()323a f x x x x x a =-++-∈R ． （1）若1a >，求函数()f x 的极值；（2）若01a <<时，判断函数()f x 在区间[0,2]上零点的个数．【答案】（1）极大值为222316a a a -+-，极小值为1(1)6a --；（2）见解析． 【解析】（1）∵3211()(1)323a f x x a x x =-++-， ∴21()(1)1(1)()f x ax a x a x x a'=-++=--，因为1a >，所以101a<<，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由表可得当1x a=时，()f x 有极大值，且极大值为221231()6a a f a a -+-=； 当1x =时，()f x 有极小值，且极小值为1(1)(1)6f a =--．（2）由（1）得1()(1)()f x a x x a'=--．∵01a <<，∴11a>． ①当12a ≥，即102a <≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上递减， 又因为1(0)03f =-<，1(1)(1)06f a =-->，1(2)(21)03f a =-≤， 所以()f x 在(0,1)和(1,2)上各有一个零点，所以()f x 在[0,2]上有两个零点．②当112a <<，即112a <<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在1(1,)a上递减，在1(,2)a 上递增，又因为1(0)03f =-<，1(1)(1)06f a =-->，21(21)(1)()06a a f a a---=>， 所以()f x 在[0,1]上有且只有一个零点，在[1,2]上没有零点， 所以在[0,2]上有且只有一个零点．综上：当102a <≤时，()f x 在[0,2]上有两个零点； 当112a <<时，()f x 在[0,2]上有且只有一个零点．。
高考文科数学专题复习导数训练题文
欢迎下载学习好资料高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。
考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。
导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。
选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。
3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。
二、经典例题剖析考点一：求导公式。
13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。
例1. 是????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以答案：3点评：本题考查多项式的求导法则。
考点二：导数的几何意义。
1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是??(1)(f1?)f。
115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3答案：学习好资料欢迎下载32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。
在点曲线处的切线方程是2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1，?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。
2020年高考数学 函数导数复习题材 精品
2020年高考复习题材 函数、导数1.【2020·上海文数】若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） A.（0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2） 【答案】D【解析】04147lg)47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数，02lg )2(>=f ，知0x 属于区间（1.75，2）.2.【2020·湖南文数】函数y=ax 2+ bx 与y= ||log b ax (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）【答案】D3.【2020·浙江理数】设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩⎭，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B【解析】本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题.当a=0,b=0;a=0,b=1;a=21,b=0; a=21,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B. 4.【2020·全国卷2理数】若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （ ）A.64B.32C.16D.8【答案】A【解析】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.5.【2020·全国卷2理数】函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（ ）A.211(0)x y e x +=-> B.211(0)x y e x +=+> C.211(R)x y ex +=-∈ D.211(R)x y e x +=+∈【答案】D【解析】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化.由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.6.【2020·陕西文数】某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ） A.y ＝[10x] B.y ＝[310x +] C.y ＝[410x +] D.y ＝[510x +] 【答案】B【解析】法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ，所以选B. 法二：设)90(10≤≤+=ααm x ，，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当，所以选B.7.【2020·陕西文数】下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足 f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是（ ）A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数 【答案】C【解析】本题考查幂的运算性质.)()()(y x f a a a y f x f yx yx+===+8.【2020·辽宁文数】已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A.[0,4π) B.[,)42ππ C. 3(,]24ππ D. 3[,)4ππ【答案】D【解析】2441212x x x x x e y e e e e'=-=-++++，12,10xxe y e '+≥∴-≤<Q ，即1tan 0α-≤<，3[,)4παπ∴∈9.【2020·辽宁文数】设25abm ==，且112a b+=，则m =（ ）【答案】A 【解析】211log 2log 5log 102,10,m m m m a b+=+==∴=又0,m m >∴Q 10.【2020·辽宁文数】已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）A.0,()()x R f x f x ∃∈≤B.0,()()x R f x f x ∃∈≥C.0,()()x R f x f x ∀∈≤D.0,()()x R f x f x ∀∈≥ 【答案】C【解析】函数()f x 的最小值是0()()2bf f x a-=，等价于0,()()x R f x f x ∀∈≥，所以命题C 错误.11.【2020·辽宁理数】已知点P 在曲线y=41xe +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是（ ） A.[0,4π) B.[,)42ππ C.3(,]24ππ D.3[,)4ππ 【答案】D【解析】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识.因为'2441(1)2x x x xe y e e e --==≥-+++，即tan a ≥-1,所以34παπ≤≤. 12.【2020·全国卷2文数】若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ）A.1,1a b ==B.1,1a b =-=C.1,1a b ==-D.1,1a b =-=- 【答案】A【解析】本题考查了导数的几何意思，即求曲线上一点处的切线方程. ∵2x y x aa='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =.13.【2020·全国卷2文数】函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 A.y=1x e +-1(x>0) B.y=1x e -+1(x>0) C.y=1x e+-1(x ∈R) D.y=1x e-+1 (x ∈R)【答案】D【解析】本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+. 14.【2020·江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为（ ）【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。
(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习导数与函数的综合问题文课后训练题含解析
课后限时集训(十六)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是( )A．3 B．2C．1 D．0C[设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1.]2．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)D[∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－12x .令f(x)＝x－12x，∴f′(x)＝1＋2－x ln 2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上是增加的，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴实数a的取值范围为(－1，＋∞)．]3．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为 ( )A．3.2% B．2.4%C．4% D．3.6%A[设y表示收益，则存款量是kx2，贷款收益为0.048kx2，存款利息为kx3，则y＝0.048kx2－kx3，x∈(0,0.048)，y′＝0.096kx－3kx2＝3kx(0.032－x)令y′＝0得x＝0.032，且当x∈(0,0.032)时y′＞0，当x∈(0.032,0.048)时y′＜0，因此收益y在x＝0.032时取得最大值，故选A．] 4．已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f(x)＞0，则函数g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为( )A．0 B．1C．0或1 D．无数个A[因为g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)，g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上递增，因为g(0)＝1，y＝f(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，＋∞)上的连续可导函数，g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．]5．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)B [由题意知a ≤2ln x ＋x ＋3x对x ∈(0，＋∞)恒成立，令g (x )＝2ln x ＋x ＋3x ，则g ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x2， 由g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－3(舍)，且x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0.因此g (x )min ＝g (1)＝4.所以a ≤4，故选B.]二、填空题6．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，存在x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1] [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，f ′(x )＝1－4x 2＜0，f (x )min ＝f (1)＝5.当x ∈[2,3]时，g (x )＝2x＋a 是增函数，g (x )min ＝4＋a . 由题意知5≥4＋a ，即a ≤1.]7．若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同的零点，则a ＝________. 4或5 [f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2， 又当x ＜1或x ＞2时，f ′(x )＞0，当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0. 因此x ＝1和x ＝2分别是函数f (x )的极大值点和极小值点． 由题意知f (1)＝0或f (2)＝0，即5－a ＝0或4－a ＝0. 解得a ＝4或a ＝5.]8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．30 23 000 [设该商品的利润为y 元，由题意知，y ＝Q (p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700， 令y ′＝0得p ＝30或p ＝－130(舍)，当p ∈(0,30)时，y ′＞0，当p ∈(30，＋∞)时，y ′＜0， 因此当p ＝30时，y 有最大值，y max ＝23 000.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝e x＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若f (0)＝2，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2,1]上的最小值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)由f (0)＝1－a ＝2，得a ＝－1.易知f (x )在[－2,0)上递减，在(0,1]上递增， 所以当x ＝0时，f (x )在[－2,1]上取得最小值2. (2)f ′(x )＝e x＋a ，由于e x＞0，①当a ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数， 当x ＞1时，f (x )＝e x＋a (x －1)＞0.当x ＜0时，取x ＝－1a，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＜1＋a －1a－1＝－a ＜0.所以函数f (x )存在零点，不满足题意． ②当a ＜0时，f ′(x )＝e x＋a ， 令f ′(x )＝0，得x ＝ln(－a )．在(－∞，ln(－a ))上，f ′(x )＜0，f (x )递减， 在(ln(－a )，＋∞)上，f ′(x )＞0，f (x )递增， 所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值． 函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )＞0，解得－e 2＜a ＜0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2,0)． 10．已知函数f (x )＝2a －x2e x (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )＞－1恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝x 2－2x －2aex，当a ≤－12时，x 2－2x －2a ≥0，故f ′(x )≥0，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上递增，∴当a ≤－12时，函数f (x )的递增区间为(－∞，＋∞)，无递减区间．当a ＞－12时，令x 2－2x －2a ＝0⇒x 1＝1－2a ＋1，x 2＝1＋2a ＋1，列表由表可知，当a ＞－2时，函数f (x )的递增区间为(－∞，1－2a ＋1)和(1＋2a ＋1，＋∞)，递减区间为(1－2a ＋1，1＋2a ＋1)．(2)∵f (x )＞－1⇔2a －x 2e x ＞－1⇔2a ＞x 2－e x，∴由条件2a ＞x 2－e x，对任意x ≥1成立． 令g (x )＝x 2－e x ，h (x )＝g ′(x )＝2x －e x， ∴h ′(x )＝2－e x，当x ∈[1，＋∞)时，h ′(x )＝2－e x≤2－e ＜0， ∴h (x )＝g ′(x )＝2x －e x在[1，＋∞)上递减， ∴h (x )＝2x －e x≤2－e ＜0，即g ′(x )＜0， ∴g (x )＝x 2－e x在[1，＋∞)上递减， ∴g (x )＝x 2－e x≤g (1)＝1－e ，故f (x )＞－1在[1，＋∞)上恒成立，只需2a ＞g (x )max ＝1－e ， ∴a ＞1－e 2，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 2，＋∞. B 组 能力提升1．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A ．3B ．4C ．6D ．5A [设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小．由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R.∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小．故选A ．]2．若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2C [令f (x )＝exx，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x x －1x 2.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0,1)上递减，因为0＜x 1＜x 2＜1， 所以f (x 2)＜f (x 1)，即e x 2x 2＜e x 1x 1，所以x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C ．] 3．若函数f (x )＝ax －aex＋1(a <0)没有零点，则实数a 的取值范围为________．(－e 2,0) [f ′(x )＝a e x －ax －a e x e2x＝－a x －2ex(a ＜0)．当x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0， ∴当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝ae2＋1.若使函数f (x )没有零点，当且仅当f (2)＝ae 2＋1＞0.解之得a >－e 2，因此－e 2<a <0.]4．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a －2.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋12ax ＋1x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上递减．(2)证明：由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a.所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0.设g (x )＝ln x －x ＋1， 则g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减． 故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0. 所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0，即f (x )≤－34a －2.。
高考文科数学专题复习导数训练题文
高考文科数学专题复习导数训练题文Newly compiled on November 23, 2020考点一：求导公式。
例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。
例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
解析：因为21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。
解析：443'2--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
解析： 直线过原点，则()000≠=x x y k 。
由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴2302000+-=x x x y 。
又263'2+-=x x y ，∴ 在()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ，∴26323020020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：230=x 或00=x （舍），此时，830-=y ，41-=k 。
2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论例1已知函数，导函数为，3()12f x ax x=-()f x'（1）求函数的单调区间；()f x（2）若在[—1，3]上的最大值和最小值。
(1)6,()f f x'=-求函数【答案】略【解析】（I），（下面要解不等式，到了分类讨论的时机，22()3123(4)f x ax ax'=-=-23(4)0ax->分类标准是零）当单调递减；0,()0,()(,)a f x f x'≤<-∞+∞时在当的变化如下表：0,,(),()a x f x f x'>时当变化时此时，单调递增，在单调递减；()(,)f x-∞+∞在(（II）由(1)3126, 2.f a a'=-=-=得由（I）知，单调递增。
()(f x-,在(,3)【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。
还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。
题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例1 已知函数， 若函数在上是单调增函数，求的取值范围321()53f x x x ax =++-),1[+∞a 【答案】【解析】,依题意在上恒有成立，2'()2f x x x a =++),1[+∞0y '≥方法1：函数，对称轴为，故在上单调递增，故只需即可，得2'()2f x x x a =++1x =-),1[+∞'()f x 0)1('≥f ，所以的取值范围是；3-≥a a [3,)+∞方法2：由，得，只需，易得，因此022≥++='a x x y x x a 2--2≥2max--2a x x≥（）2max--23x x =-（），，所以的取值范围是；3-≥a a [3,)+∞【易错点】本题容易忽视中的等号0)1('≥f 【思维点拨】已知函数在区间可导：()f x (,)a b 1. 在区间内单调递增的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在()f x (,)a b (,)a b ()0f x '≥()f x '的任何子区间内都不恒等于零；(,)a b 2. 在区间内单调递减的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在()f x (,)a b (,)a b ()0f x '≤()f x '的任何子区间内都不恒等于零；(,)a b 说明：1.已知函数在区间可导,则在区间内成立是在内单调递增的必要()f x (,)a b ()0f x '≥(,)a b ()f x (,)a b 不充分条件2.若为增函数，则一定可以推出；更加具体的说，若为增函数，则或者()f x ()0f x '≥()f x，或者除了x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都；()0f x '>()0f x '>3.时，不能简单的认为为增函数，因为的含义是或，()0f x '≥()f x ()0f x '≥()0f x '>()0f x '=当函数在某个区间恒有时，也满足,但在这个区间为常函数.()0f x '=()0f x '≥()f x 题型三 方程与零点1．已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（）()3231f x ax x =-+()f x a A. B. (),2-∞-()2,2-C. D. ()2,+∞()()2,00,2-⋃【答案】D【解析】很明显，由题意可得：，则由 可得0a ≠()()2'3632f x ax x x ax =-=-()'0f x = ，1220,x x a==由题意得不等式： ，即： ，()()122281210f x f x a a =-+<2241,4,22a a a><-<<综上可得的取值范围是 .本题选择D 选项.a ()()2,00,2-⋃【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。
2020年高考数学(文科)二轮复习押题特训专题04 导数及其应用(含答案解析)
2020年高考数学（文科）二轮复习押题特训专题04 导数及其应用1．曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))(e 为自然对数的底数)处的切线方程为( ) A ．y ＝e x －2 B ．y ＝2x ＋e C ．y ＝e x ＋2 D ．y ＝2x －e 【答案】D【解析】本题考查导数的几何意义以及直线的方程．因为f (x )＝x ln x ，故f ′(x )＝ln x ＋1，故切线的斜率k ＝f ′(e)＝2，因为f (e)＝e ，故切线方程为y －e ＝2(x －e)，即y ＝2x －e ，故选D.2．已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2) C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)【答案】C【解析】如图：f ′(3)、f (3)－f (2)⎝⎛⎭⎪⎫f3－f 23－2、f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，故0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.3．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是( ) A ．75B.752C ．27D.272【答案】D4．已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图象是( )【答案】C【解析】对f (x )＝e x －(x ＋1)2求导得f ′(x )＝e x －2x －2，显然x →＋∞时，导函数f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数，排除A ，D ；x ＝－1时，f ′(－1)≠0，所以x ＝－1不是函数的极值点，排除B ，故选C.5．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B ．1C ．0D ．不存在【答案】A【解析】∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在x ＝1处取得最小值，且f (1)＝12－ln1＝12.6．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 【答案】C7．函数f (x )＝e x －3x －1(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )【答案】D【解析】由题意，知f (0)＝0，且f ′(x )＝e x －3，当x ∈(－∞，ln3)时，f ′(x )<0，当x ∈(ln3，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D 符合题意，故选D.8．已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4eC.e 24D.e 4【答案】A9．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1＜a ≤2 B ．a ≥4 C ．a ≤2D ．0＜a ≤3【答案】A【解析】易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x ，由f ′(x )＝x －9x ＜0，解得0＜x ＜3.因为函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎨⎧a －1＞0a ＋1≤3，解得1＜a ≤2，选A.10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′x e x，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1【答案】C11．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x－1x ＞0，h x x ＜0，则函数h (x )的最大值为________．【答案】1－e【解析】先求出x ＞0时，f (x )＝e xx －1的最小值．当x ＞0时，f ′(x )＝e x x －1x 2，∴x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，∴x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，∴由已知条件得h (x )的最大值为1－e.12．对正整数n ，设曲线y ＝(2－x )x n 在x ＝3处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋2在前n 项和等于________．【答案】3n ＋1－32【解析】∵y ＝(2－x )x n ，∴y ′＝－x n ＋n (2－x )x n －1， ∴y ′|x ＝3＝－3n －n ·3n －1＝－3n －1(n ＋3)， ∴切线方程为y ＋3n ＝－3n －1(n ＋3)(x －3)，令x ＝0，得切线与y 轴交点的纵坐标为a n ＝(n ＋2)·3n ，所以a n n ＋2＝3n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋2的前n 项和为31－3n 1－3＝3n ＋1－32.13．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞【解析】由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立．又∵y ＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.14．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)． (1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．调递增．15．已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x >0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)． (1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，依题意， 当x >0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－x －1e xx ＋2恒成立，记g (x )＝－x －1e x x ＋2，则g ′(x )＝－x e xx ＋2－x －1e x x ＋22＝－x 2＋x ＋1e xx ＋22<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝12，所以a ≥12. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(2)因为[f ′(x )]′＝2x e x ＋2a >0，所以y ＝f ′(x )是(0，＋∞)上的增函数，又f ′(0)＝4a －2<0，f ′(1)＝6a >0，所以存在t ∈(0,1)使得f ′(t )＝0，又当x ∈(0，t )时，f ′(x )<0，当x ∈(t ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t＋a (t ＋2)2.且有f ′(t )＝0⇒a ＝－t －1e tt ＋2，则f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t －(t －1)(t ＋2)e t ＝e t (－t 2＋t －2)，t ∈(0,1)．记h (t )＝e t (－t 2＋t －2)，则h ′(t )＝e t (－t 2＋t －2)＋e t (－2t ＋1)＝e t (－t 2－t －1)<0， 所以h (1)<h (t )<h (0)，即f (x )的最小值的取值范围是(－2e ，－2)． 16．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ln x －x ＋1x ，其中a >0.(1)若f (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求a 的取值范围；(2)设a ∈(1，e]，当x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)时，记f (x 2)－f (x 1)的最大值为M (a )．那么M (a )是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．。
2020届高考数学(文)一轮复习精品特训专题三：导数及其应用(1)导数、导数的计算A
导数及其应用（1）导数、导数的计算A1、已知点P 在曲线4e 1x y =+上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A. π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭2、设曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线与直线30ax y ++=垂直,则a =( ) A.2 B.2- C.12 D.12- 3、设()00f x '=,则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线( )A.不存在B.与x 轴平行或重合C.与x 轴垂直D.与x 轴斜交4、已知曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程为210x y ++=,则( )A. ()00f x '=B. ()00f x '<C. ()00f x '>D. ()0f x '不确定 5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )A. 430x y --=B. 450x y +-=C. 430x y -+=D. 430x y ++=6、已知曲线3:3S y x x =-及点()2,2,P 则过点P 可向S 引切线,其切线条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.37、设函数()()2f x g x x =+,曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+,则曲线(x)y f =在点()()1,1f 处切线的斜率为( ) A. 4 B. 14-C. 2D. 12- 8、设曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( )A.2B.2-C.12-D.12 9、曲线2x y x =-在点()1,1-处的切线方程为( ) A. 2y x =-B. 32y x =-+C. 23y x =-D. 21y x =-+ 10、函数()ln f x x ax =-在点()1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则2a b +等于( )A ．2B ．0C ． -1D ．-211、在曲线323610y x x x =++-的所有切线中,斜率最小的切线方程是__________.12、若曲线()1y x R αα=+∈在点()1,2处的切线经过坐标原点,则α=__________. 13、已知函数()y f x =的图象在()()1,1M f 处的切线方程是122y x =+,则()()1'1f f +=__________.14、在曲线3()4f x x x =-的所有切线中，斜率最小的切线方程为____________ . 15、函数1()ln 2x f x x x-=+的导函数是'()f x ，则'(1)f =______. 16、已知函数3()3f x x x =-，其图象在点(1,2)处的切线方程是 ，它的单调递增区间为 .17、设曲线ln(1)y x a x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =______.18、正弦函数sin y x =在π6x =处的切线方程为____________.答案以及解析1答案及解析：答案：D 解析：因为24e 44tan '1([0,π))1(e 1)4e 2x x x x y eαα---===≥=-∈+++,所以3ππ4α≤<,选D.2答案及解析：答案：B解析：函数的导函数为()22'1y x -=-,所以函数在()3,2处的切线斜率为12k =-,直线30ax y ++=的斜率为a -,所以112a ⎛⎫-⋅-=- ⎪⎝⎭,解得2a =-,选B.3答案及解析：答案：B解析：4答案及解析：答案：B解析：曲线在某点处的切线的斜率为负,说明函数在该点处的导数也为负.5答案及解析：答案：A解析：∵l 与直线480x y +-=垂直,∴l 的斜率为4.∵3'4y x =,∴由切线l 的斜率是4,得344x =,∴1x =.∴切点坐标为()1,1.∴切线方程为()141y x -=-,即430x y --=.故选A.6答案及解析：答案：D解析：显然P 不在S 上,设切点为()00,x y ,由233y x '=-,得02033|x x y x ='=-.切线方程为()()()320000333.y x x x x x --=-- ∵()2,2P 在切线上,∴()()()3200023332,x x x x --=-- 即3200320x x -+=. ∴()2000(1220)x x x ---=. 由010x -=,得01x =.由200220x x --=,得01x =∵有三个切点,∴由P 向S 作切线可以作3条.7答案及解析：答案：A解析：依题意得()()()()2,1124f x g x x f g '='+'='+=,选A.8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：D解析：10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：3110x y --=解析：()22'366311,y x x x ⎡⎤=++=++⎣⎦当1x =-时, y '取得最小值3,即斜率最小值为3,又当1x =-时, 14,y =-所以斜率最小的切线方程为()1431,y x +=+即3110.x y --=12答案及解析：答案：2解析：1y xαα-'=, ∴1|x y α='=.曲线在点()1,2处的切线方程为()21y x α-=-,将点()0,0代入方程,得2α=.13答案及解析：答案：3解析：点()()1,1M f 既在函数()y f x =的图象上,又在切线122y x =+上, 所以()151222f =+=.又()1'12f =, 所以()()511'1322f f +=+=.14答案及解析：答案：4y x =-（或40x y +=）解析：15答案及解析： 答案：12解析：222(1)'22(1)1222111'()(2)42x x x x x f x x x x x x x -⋅----++=+=-， 111'(1)122f =-=.16答案及解析：答案：2;(1,1)y =-解析：17答案及解析：答案：1-解析：18答案及解析：答案：1260y -+=解析：。
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高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾1.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。
考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。
2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。
选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。
3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。
二、经典例题剖析 考点一：求导公式。
例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3点评：本题考查多项式的求导法则。
考点二：导数的几何意义。
例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
解析：因为21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251=f ，所以()()31'1=+f f答案：3例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。
解析：443'2--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
解析： 直线过原点，则()000≠=x x y k 。
由点()00,y x 在曲线C 上，则0230023x x x y +-=，∴ 2302000+-=x x x y 。
又263'2+-=x x y ，∴ 在()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ，∴ 26323020020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：230=x 或00=x （舍），此时，830-=y ，41-=k 。
所以，直线l 的方程为xy 41-=，切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-83,23。
答案：直线l 的方程为xy 41-=，切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。
函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例5.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。
解析：函数()x f 的导数为()163'2-+=x ax x f 。
对于R x ∈都有()0'<x f 时，()x f 为减函数。
由()R x x ax ∈<-+01632可得⎩⎨⎧<+=∆<012360a a ，解得3-<a 。
所以，当3-<a 时，函数()x f 对R x ∈为减函数。
2当3-=a 时，()98313133323+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-=x x x x x f 。
由函数3x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 是，函数()x f 对R x ∈为减函数。
7当3->a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。
所以，当3->a 时，函数()x f 在R 上不是单调递减函数。
综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。
答案：3-≤a点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题，要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例6. 设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。
解析：（1）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．，解得3a =-，4b =。
（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。
当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>。
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+。
则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+。
因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，。
答案：（1）3a =-，4b =；（2）(1)(9)-∞-+∞，，。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
考点六：函数的最值。
例7. 已知a 为实数，()()()a x x x f --=42。
求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
解析：（1）()a x ax x x f 4423+--=，∴ ()423'2--=ax x x f 。
（2）()04231'=-+=-a f ，21=∴a 。
()()()14343'2+-=--=∴x x x x x f令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或34=x ， 则()x f 和()x f '在区间[]2,2-上随x 的变化情况如下表：()291=-f ，275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 。
所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，最小值为()291=-f 。
答案：（1）()423'2--=ax x x f ；（2）最大值为275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，最小值为()291=-f 。
点评：本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。
（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
解析： （1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即33ax bx c ax bx c --+=---∴0c =，∵2'()3f x ax b =+的最小值为12-，∴12b =-，又直线670x y --=的斜率为16，因此，'(1)36f a b =+=-，∴2a =，12b =-，0c =．（2）3()212f x x x =-。
2'()6126(f x x x x =-=，列表如下：所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞，∵(1)10f -=，f =-，(3)18f =，∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-答案：（1）2a =，12b =-，0c =；（2）最大值是(3)18f =，最小值是f =- 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。
3方法总结（一）方法总结导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具。
导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象。
要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法。
应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景。
应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述。
（二）高考预测导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义。
也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题。
导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题。
4 强化训练5 选择题1. 已知曲线24xy=的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ）A．1 B．2 C．3 D．42. 曲线1323+-=xxy在点（1，－1）处的切线方程为（ B ）A．43-=xy B．23+-=xy C．34+-=xy D．54-=xy3. 函数)1()1(2-+=xxy在1=x处的导数等于（D ）A．1 B．2 C．3 D．44. 已知函数)(,31)(xfxxf则处的导数为在=的解析式可能为（ A ）A．)1(3)1()(2-+-=xxxf B．)1(2)(-=xxfC．2)1(2)(-=xxf D．1)(-=xxf5. 函数93)(23-++=xaxxxf，已知)(xf在3-=x时取得极值，则a=（D ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）56. 函数32()31f x x x=-+是减函数的区间为( D )（Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)8. 函数231()23f x x x=-在区间[0,6]上的最大值是（A）A．323B．163C．12D．99. 函数xxy33-=的极大值为m，极小值为n，则nm+为（ A ）A．0 B．1 C．2 D．410. 三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ A ） A ． 0>aB ．0<aC ．1=aD ．31=a11. 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ D ）A ．3B ．2C ．1D ．012. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个2填空题13. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。