动态几何题专题

一. 教学内容：

动态几何题专题

二. 重点难点：

1. 重点：培养学生的分析推理能力、综合解决问题能力等。

2. 难点：在运动变化中寻求规律，解决问题。

三. 具体内容：

包括动点、动线、动形三种类型。

【典型例题】

[例1] 如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒。

（1）求直线AB 的解析式；

（2）当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？

（3）当t 为何值时，△APQ 的面积为524

个平方单位？

x

解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b ，由题意，得⎩⎨

⎧=+=086b k b

解得k ＝－43

，b ＝6

所以，直线AB 的解析式为y ＝－43

x ＋6

x

（2）由 AO ＝6， BO ＝8 得 AB ＝10，所以AP ＝t ，AQ ＝10－2t 1°当∠APQ ＝∠AOB 时，△APQ ∽△AOB

所以 6t ＝10210t - 解得 t ＝1130

（秒）

2°当∠AQP ＝∠AOB 时，△AQP ∽△AOB ．

所以 10t ＝6210t -

解得 t ＝1350（秒）

x

（3）过点Q 作QE 垂直AO 于点E

在Rt △AOB 中，Sin ∠BAO ＝AB BO ＝54

在Rt △AEQ 中，QE ＝AQ·Sin ∠BAO ＝（10－2t ）·54＝8－58

t

所以，S △APQ ＝21AP ·QE ＝21t ·（8－58t ）＝－254t

＋4t ＝524

解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）

x

[例2] 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0

（1）求面积S 与时间t 的关系式；

（2）在P 、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等？若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。

解：（1）过点P 作PE ⊥BC 于E

Rt ABC AC AB BC ∆中，（米）=+=+=22226810 由题意知：，，则AP t CQ t PC t ===-2102

由，得AB BC PE C PE AB ⊥⊥B // ∴ AC PC

AB PE =

即：，PE t PE t t 61021035102656

=-∴=-=-+()

又 S A B C ∆=⨯⨯=1

26824

∴ 24

353

)656(21242+-=+-⋅⋅-=-=∆∆t t t t S S S PCQ ABC

即：S t t =-+3

5324

2

（2）假设四边形ABQP 与△CPQ 的面积相等，则有：12

243532

=+-t t 即：t t 25200-+= b ac 224541200-=--⨯⨯<()

∴ 方程无实根

∴ 的面积不能相等。与边形两点移动的过程中，四、在CPQ ABQP Q P ∆

[例3] 如图1，已知△ABC 的高AE =5，BC =40

3，∠ABC ＝45°，F 是AE 上的点，G 是点E

关于F 的对称点，过点G 作BC 的平行线与AB 交于H 、与AC 交于I ，连接IF 并延长交BC 于J ，连接HF 并延长交BC 于K 。

（1）请你探索并判断四边形HIKJ 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围。（图2供思考用）

G I

E C

B

A

B

H

F

B

A

图2

图1

解：（1）∵点G与点E关于点F对称，∴GF=FE

∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE

同理可得HG=EK ，∴HI=JK，∴四边形HIKJ是平行四边形

（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5

如图1，∵AE过平行四边形HIJK的中心F，

∴HG=EK，GI=JE.∴HG/BE=GI/EC.

∵CE＞BE，∴GI＞HG，∴CK＞BJ.

∴当点F在AE上运动时，点K、J 随之在BC上运动，

图1

如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上

设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，

∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5－2x ，CE＝3

40

－5

∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE

∴（5－2x）∶5＝5∶（3

40

－5）

∴x＝1，∴AF＝5－x＝4 ∴2

5

＜AF≤4.