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专题08 动态几何类压轴题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法

专题08 动态几何类压轴题一、单选题1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．线段PE 的两个端点都在AB 上，且1PE =，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积DPEC S 四边形的大小变化的情况是（）A ．一直减小B ．一直增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大【答案】C【分析】设PD=x ，AB 边上的高为h ，求出h ，并运用相似三角形的性质求出AD ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，5AB ∴===，设PD x =，则1205x ≤≤，AB 边上的高为h ，125AC BC h AB ==， //PD BC ， ADP ACB ∆∆∽∴， ∴PD AD BC AC=， 43AD x ∴=，53PA x = 221415122242333(4)2()23235353210△△APD CBE S S x x x x x x ∴+=+-=-+=-+， ()22233323()()32103210276△△△四边形ABC APD CBE DPEC S x S x S S ∴+-----+=-==， ∵203-<，∴32x≤<时，DPECS四边形随x的增大而增大，31225x<≤时，DPECS四边形随x的增大而减小，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题．2．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（）A．5.5B．6C．7.5D．8【答案】C【分析】以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解．【详解】如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴∠ABC=60°，BC=3，∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∵△BCF是等边三角形，∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°，∴∠BCE=∠DCF，且BC=CF，DC=CE，∴△BCE≌△FCD(SAS)，∴ BE= DF，∴DF ⊥AB 时，DF 的长最小，即BE 的长最小，如图，此时作FD AB '⊥，∵FBD '∠=180°-60°-60°=60°，D F AB '⊥，∴ 1 1.52BD BF '==， ∴7.5AD AB BD '=+='，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．二、解答题3．如图，在等腰直角三角形△ABC ，∠ABC=90°，AB=6，P 是射线AB 上一个动点，连接CP ，以CP 为斜边构造等腰直角△CDP （C 、D 、P 按逆时针方向），M 为CP 的中点，连接AD ，MB ．（1）当点P 在线段AB 上运动时，求证：△CDA ∽CMB ；（2）设AP x =，△ADP 的面积为y ．①当012x <<时，求y 关于x 的函数表达式；②记D 关于直线AC 的对称点为D ，若D 在△APC 的内部，求y 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①2134y x x =-+；②189y << 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得BCM ACD ∠=∠，CB CM CA CD =，即可证明结论；（2）①分类讨论，当06x <≤时，或当612x <<时，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据（1）的相似三角形，得到AD=AP ，并且用x 表示出长度，即可求出函数表达式；②当点D 在APC △内部时，06x <<，过点P 作PN AC ⊥于点N ，利用面积法表示出PN 的长，得到x 的范围，即可求出y 的范围．【详解】解：（1）∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，∴45ACB DCP ∠=∠=︒，∴ACB ACP DCP ACP ∠-∠=∠-∠，即BCM ACD ∠=∠，∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，∴CB CA ==，CP CD = ∵M 是CP 的中点， ∴12CM CP =，∴21CM CD ==， ∴CB CM CA CD =， ∴CDA CMB ；（2）①∵M 是CP 中点， ∴12BM MC PC ==，若06x <≤，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，∵AP x =，∴6PB x =-，∴PC = ∵DC DA MC MB=，∴2DC DA DP PC ==== ∵DE AB ⊥，∴12AE EP x ==，∴162DE x ===-， ∴21111632224ADP S AP DE x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=-+ ⎪⎝⎭；若612x <<，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，6BP x =-，PC =DC DA DP ====12AE EP x ==，162DE x ===-， ∴21111632224ADP S AP DE x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=-+ ⎪⎝⎭，综上：2134y x x =-+； ②当点D 在APC △内部时，06x <<，点P 越往右，点D 离AC 越近，当点D 在PC 上时，过点P 作PN AC ⊥于点N ，∴DCA ACP PCB ∠=∠=∠，∴CP 为ACB ∠的角平分线，∴PN PB =，∵1131822ABC APC BPC S S S AC PN BC PB PN =+=⋅+⋅=+=，∴6PN PB ==，∴12AP AB PB =-=-，当126x -<<时，点D 在APC △内部，则根据2134y x x =-+，求出189y <<．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定，二次函数的几何运用，利用分类讨论的思想进行求解．4．如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+与抛物线2y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴，交直线AB 于点Q ，连接BP ，设点P 的横坐标为m ，△PQB 的边PQ 与PQ 边上的高之差为d ．（1）求此抛物线解析式.（2）求点Q 的横坐标（用含m 的代数式表示）；（3）∠BQP 为锐角.①求d 关于m 的函数关系式；②当△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时，直接写出m 的值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）22m m -；（3）①d m =-；②m =【分析】（1）由直线解析式求解出A 、B 的坐标，再代入抛物线解析式求解即可；（2）由于PQ 垂直于y 轴，则P 、Q 的纵坐标相等，因此求出P 的纵坐标，再代入直线解析式求解Q 的横坐标即可；（3）①根据题中对d 的定义，分别求出PQ ，以及PQ 边上的高，再作差即可；②根据△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时建立关于m 的一元二次方程求解，并注意运用条件判断合适的值即可．【详解】（1）由直线3y x =-+可知，A(3，0)，B(0，3)，将A(3，0)，B(0，3)代入2y x bx c =-++得： 9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）由题可知，P 、Q 的纵坐标相等，∵P 的横坐标为m ，且P 是抛物线上任意一点，∴P 的纵坐标为223y m m =-++，∴Q 的纵坐标为223y m m =-++，又∵Q 在直线上，∴将223y m m =-++代入3y x =-+得： 2233m m x -++=-+，解得：22x m m =-，∴Q 的横坐标为22m m -；（3）①由题意，()B P d PQ y y =--，由（2）可知： 2232Q P m P m m m m Q x x =-==---，()222332B P y m m m y m -+=+--=- ∴()B P d PQ y y m =--=-，∴d m =-；②由题可知：△AOB 为等腰直角三角形，其顶点为O ，则O 到PQ 的距离为223m m -++，当△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时， 223m m m -++=-，解得：32m =， ∵∠BQP 为锐角，∴32m -=．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合运用，理解二次函数的性质，仔细分析题中表达的数量关系是解题关键．5．已知一次函数4y x =+的图象与二次函数()2y ax x =-的图象相交于()1,A b -和B ，点P 是线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过点P 作PC x ⊥轴，与二次函数()2y ax x =-的图象交于点C ．（1）求a 、b 的值；（2）如图1，M 为APC ∠内一点，且1PM =，E ，F 分别为边PA 和PC 上两个动点，求MEF 周长的最小值；（3）若PAC △是直角三角形，求点C 的坐标．【答案】（1）3b =，1a =；（2（3）()2,0C 或()3,3．【分析】∠1∠∠A∠∠∠∠∠∠b∠∠∠∠∠A∠∠∠∠∠∠∠a∠∠∠(2)∠∠∠M∠∠∠∠AB∠PC ∠∠∠∠,M M '''∠∠∠∠ ,,M M PM PM ''''''∠∠∠MEF∠∠∠∠∠∠∠∠ M M '''∠∠∠∠∠∠∠290M PM APC ∠=∠'=''︒∠∠∠ M M ==''='∠3∠∠∠PAC=90°∠∠ACP=90°∠∠∠∠∠∠∠【详解】解：∠1∠∠A 在直线y=x+4∠∠∠b=-1+4=3∠∠A∠∠∠∠∠-1∠3∠∠∠A∠∠∠∠∠y=ax(x -2)∠∠∠3=-a(-1-2)∠∠3=3a∠∠a=1∠∠3b =∠ 1a =∠∠2∠∠∠∠∠∠∠M ∠∠∠∠AB ∠PC ∠∠∠∠'M ∠''M ∠∠∠∠'''M M ∠'PM ∠''PM ∠∠MEF ∠∠∠∠∠∠∠'''M M ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PM PM PM M PA APM MPC CPM ==∠=∠∠=∠''''''，，∠∠290M PM APC ∠=∠'=''︒,∠'''M M ===∠∠3∠∠(),4P m m +∠∠()2,2C m m m -∠ ∠∠∠PAC=90°∠∠222AP AC PC +=∠()()()()2222222112334m m m m m m ++++--=--∠ ∠∠1m =-∠∠∠∠∠2m =∠∠()2,0C ∠∠∠ACP=90°∠∠222AC PC AP +=∠()()()()2222221233421m m m m m m ++--+--=+∠ ∠∠1m =-∠∠∠∠∠3m =∠4m =∠∠∠∠∠∠()3,3C ∠∠∠()2,0C ∠()3,3∠【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理的应用是解题关键．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点(),0A a ，交y 轴于点()0,B b ，且a 、b ()240a -=．（1）如图1，若C 的坐标为()1,0-，且AH BC ⊥于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点Р的坐标；（2）如图2，连接OH ，求证45OHP ∠=︒；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN DM ⊥交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子BDM ADN S S -△△的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．【答案】（1）P 的坐标为()0,1-；（2）见解析；（3）S △BDM -S △ADN 的值不发生改变，等于4【分析】（1）先依据非负数的性质求得a 、b 的值，从而可得到OA=OB ，然后再∠COB=∠POA=90°，∠OAP=∠OBC ，最后，依据ASA 可证明∠OAP ≌△OBC ，得出OP=OC ，从而得出点P 的坐标；（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，利用AAS 证明∠COM ≌△PON ，得出OM=ON ，再根据角平分线得到判定即可得出HO 平分∠CHA ，从而求出∠OHP ；（3）连接OD ，易证∠ODM ≌△ADN ，从而有S △ODM =S △ADN ，由此可得S △BDM -S △ADN =S △BDM -S △ODM =S △BOD =12S △AOB ．【详解】解：（1()240a -=∴a+b=0，a -4=0，∴a=4，b=-4，则OA=OB=4．∵AH ⊥BC ，则∠AHC=90°，∠COB=90°，∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，∴∠HAC=∠OBC ．在∠OAP 和∠OBC 中， 90COB POA OA OB OAP OBC ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OAP ≌△OBC （AAS ）；∴OP=OC∵C 的坐标为()1,0-，∴OC=1∴OP=1∴P 的坐标为()0,1-（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点．在四边形OMHN 中，∠MON=360°-3×90°=90°，∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP ．在∠COM 和∠PON 中，90COM PON OMC ONP OC OP ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△COM ≌△PON （AAS ），∴OM=ON ．∵OM ⊥CB ，ON ⊥HA ，∴HO 平分∠CHA ，1452︒∴∠=∠=OHP CHA （2）S △BDM -S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图：连接OD ．∵∠AOB=90°，OA=OB ，D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，∴∠DAN=135°=∠MOD ．∵MD ⊥ND 即∠MDN=90°，∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA ．在∠ODM 和∠ADN 中，,MDO NDA DOM DAN OD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODM ≌△ADN （ASA ），∴S △ODM =S △ADN ， ∴12S ∆∆∆∆∆∆-=-==BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S ∴111144422S 22∆∆-=⨯⋅=⨯⨯⨯=BDM ADN S AO BO 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．7．如图，已知等边ABC 的边长为16，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B '．（1）如图1，当8PB =时，若点B '恰好在AC 边上，则AB '的长度为_________；（2）如图2，当10PB =时，若直线//l AC ，则BB '的长度为_______；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，ACB '△的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当12PB =时，在直线l 变化过程中，求ACB '△面积的最大值．【答案】（1）8或0；（2）（3）面积不变，（4）最大为96+【分析】（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题．（2）如图2中，设直线l 交BC 于点E ．连接BB′交PE 于O ．证明△PEB 是等边三角形，求出OB 即可解决问题．（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC 即可．（4）如图4中，当B′P ⊥AC 时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC 于E ，求出B′E 即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵ABC 是等边三角形，∴60A ∠=︒，16AB BC CA ===，∵8PB =，∵8PB PB PA ==='，∵60A ∠=︒，∴APB '是等边三角形，∴8AB AP '==．当直线l 经过C 时，点B '与A 重合，此时0AB '=，故答案为8或0．（2）如图2中，设直线l 交BC 于点E ．连接BB '交PE 于O ．∵//PE AC ，∴60BPE A ∠=∠=︒，60BEP C ∠=∠=︒，∴PEB △是等边三角形，∵10PB =，且由于折叠，∴B ，B '关于PE 对称，∴BB PE '⊥，2BB OB '=，∴OP=12PB=5，∴OB =，∴BB '=故答案为（3）如图3中，结论：面积不变．连接BB ′，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，∵B ，B '关于直线l 对称，∴BB '⊥直线l ，∵直线l AC ⊥，∴//AC BB '，∴ACB ACB S S '=△△，∵BC=AB=AC=16，∴BF=8，∴=，∴1162ACB ACB S S '==⨯⨯= （4）如图4中，∵点B 和B′关于经过点P 的直线对称，∴B′到点P 的距离与点B 到点P 的距离相等，当B P AC '⊥时，ACB '△的面积最大，设直线PB '交AC 于E ，在Rt APE 中，∵4PA =，60PAE ∠=︒，∴AE=2，∴PE ==∵BP=B′P=12，∴12EB EP B P '=++'=∴(11612962ACB S '=⨯⨯+=+△ 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2122y x x =-与x 轴交于点O 、A 两点，顶点为B ．（1）直接写出：A 点坐标________ ，B 点坐标_______ ，△ABO 的形状是_______；（2）如图，直线y x m =+(m<0)交抛物线于E 、F(E 在F 右边)，交对称轴于M ，交y 轴于N ．若EM -FN=MN ，求m 的值；（3）在(2)的条件下，y 轴上有一动点P ，当∠EPF 最大时，请直接写出此时P 点坐标___________【答案】（1）（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；（2）52m =-；（3）（052-）【分析】（1）令2122y x x =-中y=0，求出A 的坐标，由22112(2)242y x x x =--+=，求出顶点B 坐标，利用勾股定理的逆定理判定△ABO 是等腰直角三角形；（2）过点E 作EG ⊥y 轴于G ，过点F 作FH ⊥y 轴于H ，过点M 作MC ⊥y 轴于C ，设y x m =+（m ＜0）交x 轴于D ，先求出∠OND=45°，利用锐角三角函数可得FN=sin 45HF ︒，MN=sin 45CM ︒，EN=sin 45EG ︒，联立解析式求出点E 、F 的横坐标，最后根据已知等式即可列出方程，求出m ；（3）作以EF 为弦且与y 轴相切的圆D ，切点为P ，连接EP 、FP ，利用圆周角定理和三角形外角的性质先证此时∠EPF 最大，然后确定点P 的坐标，设点P 的坐标为（0，p ），用含p 的式子表示出DP 和DF ，列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）令2122y x x =-中y=0，得21202x x -=，解得x=0或x=4，∴A （4，0）； ∵22112(2)222y x x x =-=--， ∴顶点B 坐标为（2，-2）；连接AB 、OB ，∴22416OA ==，()()22224820AB =-+-=-，()()22220820OB =-+-=-，∴222OA AB OB =+，AB=OB ，∴△ABO 是等腰直角三角形，故答案为：（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；（2）过点E 作EG ⊥y 轴于G ，过点F 作FH ⊥y 轴于H ，过点M 作MC ⊥y 轴于C ，设y x m =+（m ＜0）交x 轴于D将x=0代入y x m =+中，解得y=m ；将y=0代入y x m =+中，解得x=-m∴点N 的坐标为（0，m ），点D 的坐标为（-m ，0）∴ON=OD∴△OND 为等腰直角三角形∴∠OND=45°∴FN=sin 45HF ︒，MN=sin 45CM ︒，EN=sin 45EG ︒， ∴EM=EN －)EG CM - ∵抛物线2122y x x =-的对称轴为直线x=2 ∴CM=2 联立2122y x x y x m⎧=-⎪⎨⎪=+⎩消去y ，解得：x 1=3x 2=3+∴点F的横坐标为3-E的横坐标为3+∴HF=3-EG=3+∴3，MN=)321+=∵EM -FN=MN ，1+3-=解得：52m =-，经检验，52m =-是原方程的解；（3）如下图所示，作以EF 为弦且与y 轴相切的圆D ，切点为P ，连接EP 、FP ，先证此时∠EPF 最大，在y 轴上任取一点P '，连接EP FP ''、，FP '与圆D 交于点C∴∠EPF=∠ECF∵∠ECF是△EP C'的外角∠∴∠ECF＞EP C'∴∠EPF＞EP F'∠即此时∠EPF最大，然后确定点P的坐标，设点P的坐标为（0，p），如下图所示，连接DP、DF，作EF的中垂线ST，交EF于S，交y轴于T，过点S作SK⊥y轴于K由（2）知52m =- ∴点E 的坐标为（5，52），点F 的坐标为（1，32-） ∴点S 的坐标为（3，12）， ∴OK=12，SK=3 由（2）知：∠SNO=45°，∵∠TSN=90°∴∠STK=45°∴△TSK 、△TDP 为等腰直角三角形∴TK=SK=3，TP=DP∴TP=TK ＋OK －OP=72p - ∴DP=72p -， ∴点D 的坐标为（72p -，p ）∴∵DP=DF∴72p -解得：52-或p=52∵∴ES=12EF=SK ∴以EF 为直径的圆与y 轴相离∴点P 必在以EF 为直径的圆的外边∴△EPF 为锐角三角形∴点D 在△EPF 内部，也必在S 的左上方∴点D 的纵坐标大于0，即p ＞0∴52∴点P 的坐标为（052）．【点睛】此题考查的是二次函数、一次函数和圆的综合大题，掌握二次函数图象及性质、求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、圆周角定理、锐角三角函数是解题关键．9．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-．【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+，再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系；（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ∴==142ADB SDB AC ∴=⋅= 12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH ==1tan 3DH DAB AH ∴∠==；（2）过E 作EH ⊥CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∴ACD EHD ． ∴AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--． ∴()444x EH x -=+ ．∵EH ⊥CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∴)44x EB x -==+，AB =∴)44x AE x -=+ ∵EF AD ⊥，90C ∠=︒∴AFG ADC ∠=∠ ．∵EDB ADC ∠=∠∴AFG EDB ∠=∠．∵45FAE B ∠=∠=︒∴AFE BDE ． ∴AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+．整理得，()2402y x x =-+<≤；（3）在Rt △MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt △ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan ∠DAB=44DM x AM x-=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论△CDF 与△AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan ∠FDC=tan ∠DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得-4 或--4 （舍去）, 如果∠CFD=∠DAB ，由tan ∠CFD=tan ∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x-=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去）如果∠CFD=∠DAB,44x x y x -=+与y=2x -4 整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8-．【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．10．如图，直线443y x =-+和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是()2,0-．（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，MON △的面积为S ． ①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在4S =的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当MON △为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①22455S t t =-+（02t <<），22455S t t =-（25t <≤）；②存在，(t s =；③5s 或25.8s 【分析】（1）先求解,B C 的坐标，再求解,BC AB 的长度，从而可证明结论；（2）①过点N 作⊥ND x 轴于D ，则4sin 5ND BN OBC t =⋅∠=，分两种情况讨论，当02t <<时，当25t <≤时，分别画出符合题意的图形，再利用三角形的面积公式得到函数解析式即可；②分两种情况讨论，把4S =分别代入②中的两个函数解析式，再解方程即可得到答案；③分三种情况讨论；90∠=︒NMO 或90NOM ∠=︒或90MNO ∠=︒，再利用图形的性质与锐角三角函数可得答案．【详解】解：（1）将0y =代入443y x =-+，得3x =，∴点B 的坐标为3,0；将0x =代入443y x =-+，得4y =， ∴点C 的坐标为()0,4．在Rt OBC 中，∵4OC =，3OB =，∴5BC ==．又()2,0A -，∴5AB =，∴AB BC =，∴ABC 是等腰三角形．（2）∵5AB BC ==，故点M 、N 同时开始运动，同时停止运动．过点N 作⊥ND x 轴于D ，则4sin 5ND BN OBC t =⋅∠=， ①当02t <<时（如图），2OM t =-，∴12S OM ND =⋅ ()14225t t =-⋅ 22455t t =-+．当25t <≤时（如图），2OM t =-，∴12S OM ND =⋅ ()14225t t =-⋅ 22455t t =-． ②存在4S =的情形．当02t <<时∴ 224455t t -+=， 22100,t t ∴-+=()22411044036∴=--⨯⨯=-=-＜0，所以方程无解；当25t <≤时， ∴ 224455t t -=．解得11t =21t =（不合题意，舍去）．15t =+<，故当4S =时，(t =秒．③当MN x ⊥轴时，MON △为直角三角形．3cos 5MB BN MBN t =⋅∠=，又5MB t =-． ∴355t t =-， ∴258t =．当点M 、N 分别运动到点B 、C 时，MON △为直角三角形，5t =．当90MNO ∠=︒时，不合题意，舍去，故MON △为直角三角形时，258t =秒或5t =秒．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，分类讨论的思想，掌握分类讨论思想解决问题是解题的关键．11．如图，点O 在线段AB 上，OA =1，OB =3，以点O 为圆心、OA 为半径作∠O ，点M 在上运动．连接MB ，以MB 为腰作等腰Rt∠MBC ，使∠MBC =90°，M ，B ，C 三点按逆时针顺序排列．（1）当点M 在AB 上时，sin∠ACB =________________；（2）当BM 与∠O 相切时，求AM 的长；（3）连接AC ，求AC 长的取值范围．【答案】（1或2；（2）3；（3）46AC ≤≤．【分析】（1）分当M 在AB 上和点M 和A 重合两种情况解答即可；（2）先证明△BMD ∽△BAM,然后根据相似三角形的性质列式解答即可；（3）如图：以B 为顶点、OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ，连接CP ，OM ，有△BOM ≌△BPC （SAS ），PC=OM=1，则点C 在以点P 为圆心、1为半径的圆上，转化为“圆外一点到圆上的最值问题”，作射线AP ，交OP 于C 1、C 2两点，然后求得AC 1和AC 2的长即可解答．【详解】（1）①如图：当M 在AB 上时∵OA=OM=1∴AB=AO+OB=4,BM=OB -OM=2∵MB 为腰作等腰Rt∠MBC∴BC=BM=2=∠sin∠ACB =AB AC ==; ②如图：当M 和点A 重合时，AB=BC=4∴==∠sin∠ACB =AB AC ==综上，sin∠ACB 或2；（2）如图：∵BM 与∠O 相切∴∠BMO=90°==∠AB 是直径∠∠AMD=90°∠∠BMD+∠DMO=90°，∠AMO+∠DMO=90°，∴∠BMD=∠AMO∠OA=OM∠∠OAM=∠AMO∠∠OAM=∠BMD∠∠MBA=∠MBD∠△BMD ∽△BAM∴DM MB AM AB ===设AM=x ，则DM=2x2= ，解得x=3或x=-3（舍）；（3）以B 为顶点、OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ，连接CP ，OM ，∴△BOM ≌△BPC （SAS ）∴PC=OM=1则点C 在以P 为圆心的M 上、1为半径的圆上，即求转化为“圆外一点到圆上的最值问题”，∴5=作射线AP ，交OP 于C 1、C 2两点，则A C 1=AP -P C 1=4, A C 2=AP+P C 2=6,∴46AC ≤≤．【点睛】本题属于几何综合题，考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及锐角的三角函数，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．12．如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与点C 和点A 重合），连接PB ，过点P作PF ⊥PB 交射线DA 于点F ，连接BF ．已知AD =CD=3，设CP 的长为x ．（1）线段BP 的最小值为________，当1x =时，AF =____________．（2）当动点P 运动到AC 的中点时，AP 与BF 的交点为G ，FP 的中点为H ，求线段GH 的长度．（3）若点P 在射线CA 上运动，点P 在运动的过程中，①试探究∠FBP 是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP 的大小；若改变，请说明理由．②若△AFP 是等腰三角形，直接写出x 的值．【答案】（1）2；（2；（3）①不发生变化，30； ②3或【分析】（1）当BP 最小时，即BP AC ⊥，根据相似三角形的性质，可求得BP 的值，当x=1时，可得到BPN PMF ，由此可得出tan FBP ∠的值，继而得到AF 的值；（2）先证明BP 垂直平分AP ，得到PF =GH 是Rt FGP △的中线，即可得到GH 的长；（3）①过点P 作PN BC ⊥交AD 于点M ，可证明FMP PNB ，设,2x PC x PN ==，可求得NC 、MP 、BN 的长，tan =3FP MP FBP BP BN ∠==，即可求得∠FBP 的大小； ②分三种情况讨论即:当FA=FP ，AP=AF ，PA=PB 时，分别根据等腰三角形的性质解题．【详解】（1）当BP 最小时，A 与F 重合，即BP AC ⊥， 33AD CD ==6,30AC DAC ACB ∴=∠=∠=︒,在Rt ABC 与Rt APB △中，BAC PAB ∠=∠ABCAPB ∴ AB BP AC BC∴=36∴=2BP ∴= 作PM BC ⊥于N ，交AD 于M ，当x=1时，1522PN MP CN BN ====，， 90BNP PMF BPF ∠=∠=∠=︒,90,90FPM PFM FPM BPN ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，PFM BPN ∴∠=∠，BPNPFM ∴，3MP FM BP BN NP FP ∴===，MF ∴=2663AF AM MF BN MF ∴=-=-=-==，故答案为：2，3；（2）P 为AC 的中点，3AP PC AB ∴===60ABP APB BAP ∴∠=∠=∠=︒在t R ABF 和t R PBF 中，AB=BP ，BF=BFt R ABF ∴≅t R PBF90AG PG AGB PGB ∴=∠=∠=︒，BF ∴垂直平分AP ，在t R BFP 中，303PBF BP ∠=︒=，PF ∴=取PF 的中点H ，连接GH ， H 为PF 中点，GH ∴为Rt PGF △的中线，12GH PF ∴==；（3）①不发生变化，30FBP ∠=︒，理由如下，作PM BC ⊥于点N ，交AD 于M ，,PBN FPM BPN PFM ∠=∠∠=∠，FMP PNB ∴，设,,,3,22x x CP x PN NC x MP BN x =∴===-=，3FP MP BP BN ∴== 30FBP ∴∠=︒；②当FA FP =时，BA BP =，ABP ∴为等边三角形,3AP AB ∴==，3x CP ∴==；当PA PF =时，12090APF ∠=︒>︒不符合题意；当AP=AD 时，75AFP APF ∠=∠=︒，75CBP CPB ∴∠=∠=︒，CP CB ∴==，即x =；综上所述，当3x =或AFP 是等腰三角形．【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识，是重要考点，灵活运用分类讨论思想是解题关键．13．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，求当PD OD的值最大时点P 的坐标；（3）点F 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P 的纵坐标为2时，过点P 作直线//PQ x 轴，点M 为直线PQ 上的一个动点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，在线段ON 上任取一点K ，当有且只有一个点K 满足135FKM ∠=︒时，请直接写出此时线段ON 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）315,24⎛⎫⎪⎝⎭；（3）7+3+【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）过P 作PG ∥y 轴，交BC 于点G ，则可构造出相似三角形，将PD OD 转换为PG OC求解即可；（3）分两种情况讨论，连接FM ，以FM 为斜边，作等腰直角△FHM ，当以H 为圆心FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K ，此时有且只有一个点K 满足∠FKM=135°，设点H （x ，y ），由“AAS”可证△FHE ≌△HMQ ，可得HE=QM=y -3，HQ=EF=x -2，由勾股定理可求y 的值，可求点M 坐标，即可求解．【详解】（1）将()1,0A -、()3,0B 代入抛物线解析式得：030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）如图所示，作PG ∥y 轴，交BC 于点G ，则△DPG ∽△DOC ， ∴PD PG OD OC=，由题可知：()0,3C ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，将()3,0B ，()0,3C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为：3BC y x =-+，3OC =，设P 的坐标为()223m,m m -++，则G 的坐标为()3m,m -+， ∴23PG m m =-+， ∴223932433m PD PG m m OD OC ⎛⎫--+ ⎪-+⎝⎭===， ∴当32m =时，PD OD 有最大值，将32m =代入抛物线解析式得：154y =， ∴点P 的坐标为31524⎛⎫⎪⎝⎭，；（3）①当M 在F 右侧时，如图所示，连接FM ，以FM 为斜边构造等腰直角△FHM ，当以H 为圆心，FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K 时，此时有且只有一个K 点满足∠FKM=135°，此时，连接HK ，交PM 于点Q ，延长CF 交于HK 于E ，则HK ⊥x 轴，设H （x ，y ），由题可知，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点F 与点C 关于抛物线的对称轴对称，∴点F 的坐标为（2，3），CF ∥x 轴，∴CF ∥PM ，∴HK ⊥CF ，HK ⊥PM ，∴∠FEH=∠HQM=90°，∵∠FHE+∠MHE=90°，∠FHE+∠HFE=90°，∴∠HFE=∠MHQ ，又∵HF=HM ，∴△HFE ≌△MHQ （AAS ），∴HE=QM=y -3，HQ=FE=x -2，而HQ=HK -QK=y -2，∴y -2=x -2，即：x=y ，∴FE=y -2，∵222FH FE HE =+，FH=HK=y ，∴()()22223y y y =-+-，解得：5y =，5y =-（舍去）∴532QM =-=，523FE =-=，∴点M 的坐标为()72,，∴7ON =+；②当M 在F 左侧时，如图所示，同①的过程，可证得△HFE ≌△MHQ ，此时设H 的坐标为（x ，y ），显然有，HE=QM=y -3，HQ=FE=2-x ，而HQ=HK -QK=y -2，∴y -2=2-x ，即：4-y=x ，∴FE=y -2，∵222FH FE HE =+，FH=HK=y ，∴()()22223y y y =-+-，同理解得：5y =，∴532QM =-=，523FE =-=，∴点M 的坐标为()32,-，∴3ON =+综上，线段ON 的长为7+3+【点睛】本题考查二次函数综合问题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，圆的相关性质，以及相似三角形的判定与性质等，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键． 14．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点O 为对角线AC 的中点，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，点P 运动速度为每秒2个单位长度，点Q 运动速度为每秒1个单位长度，当点P 到达点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动，连结PQ ，设点P 运动时间为t （t ＞0）秒．（1）cos∠BAC= ．（2）当PQ⊥AC时，求t的值．（3）求△QOP的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，请直接写出t的值．【答案】（1）35；（2）1813t=秒；（3）22434512(0)552434512(5)552S t t tS t t t⎧=-+<<⎪⎪⎨⎪=-+-<≤⎪⎩；（4）当2t=或t=秒时，线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点．【分析】（1）利用勾股定理先求得AC的长，即可求解；（2）在Rt△ABC中，利用余弦函数构建方程即可求解；（3）过P作PE⊥AQ于点E，过O作OF⊥AQ于点F，分52t<<，52t=和552t<≤三种情况讨论，利用三角形面积公式即可求解；（4）分线段PQ的垂直平分线经过点C时，经过点A时，经过点B时，三种情况讨论，求得结论即可．【详解】（1）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，10=，∴63 cos105ABBACAC∠===；故答案为：35；（2）当PQ⊥AC时，∵AP=2t，AQ=6t-，∴在Rt△ABC中，∴23cos 65AP t PAQ AQ t ∠===-，解得：1813t =秒，经检验，1813t =是方程的解， ∴1813t =(秒)；（3）过P 作PE ⊥AQ 于点E ，过O 作OF ⊥AQ 于点F ，在Rt △ABC 中，AB =6，BC =8，AC 10=， ∴4sin 5BC BAC AC ∠==，4sin 25PE PE PAE AP t ∠===，4sin 55OF OF OAF AO ∠===， ∴PE=85t ，OF=4， ①当502t <<时， ()()2POQ AOQ APQ 1184346461222555t S S S t t t t =-=-⨯--⨯=-+，即24341255S t t =-+(502t <<)； ②当52t =时，POQ 不存在； ③当552t <≤时，()()2POQ APQ AOQ 1814346641225255t S S S t t t t =-=-⨯--⨯=-+-，即24341255S t t =-+-(552t <≤)；综上，△QOP 的面积S 关于t 的函数表达式是22434512(0)552434512(5)552S t t t S t t t ⎧=-+<<⎪⎪⎨⎪=-+-<≤⎪⎩；（4）①当线段PQ 的垂直平分线经过点C 时，PC=QC=102t -，在Rt △QBC 中，222QB BC QC +=，∴()2228102t t +=-，解得：203t -=(负值已舍)； ②当线段PQ 的垂直平分线经过点A 时，AQ=AP ，即62t t -=，解得：2t =；③当线段PQ 的垂直平分线经过点B 时，过P 作PG ⊥BC 于点G ，3sin 5AB PG ACB AC PC ∠===，4cos 5BC PG ACB AC GC ∠===， ∴PG=()36102655t t -=-，CG=()48102855t t -=-， BG= BC -CG=888855t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，在Rt △BPG 中，222BG PG BP +=，即22286655t t t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：215721800t t -+=， ()2247241518056160b ac =-=--⨯⨯=-<，方程无解，∴线段PQ 的垂直平分线不会经过点B ，综上，当2t =或203t -=秒时，线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 的某个顶点．【点睛】本题考查了矩形性质，解直角三角形，线段垂直平分线性质等知识，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．15．问题探究：如图，在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接BE ．（1）求证：△ADC ∽△BEC ．（2）求证：∠DBE =90°．拓展延伸：把问题探究中的“点D 为线段AB 上一动点”改为“点D 为直线AB 上一动点”，其他条件不变，若点M 为DE 的中点，连接BM ，且有AD =1，AB =4，请直接写出BM 的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：BM ．【分析】（1）先证得∠ACD =∠BCE ，再利用tan 60BC CE AC CD ︒===AC BC CD CE=，即可证明结论；（2）由（1）的结论得∠CAD =∠CBE ，即可证明；拓展延伸：分D 在线段AB 上和D 在BA 延长线上两种情况讨论，利用△ADC ∽△BEC 的性质求得BE 的长，再利用直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD+∠BCD =∠BCE+∠BCD =90°，∴∠ACD =∠BCE ，∵∠CAB =∠CDE =60°，∴tan 60BC CE AC CD ︒===AC BC CD CE=， ∴△ADC ∽△BEC ；（2）由（1）得：∠CAD =∠CBE ，∴∠CBE +∠CBA =∠CAD +∠CBA =90°，∴∠DBE =90°；拓展延伸：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =60°，AB =4，∴AC=2，BC =由（1）得：△ADC ∽△BEC ， ∴AC AD BC BE=， ∵AD =1，∴由（2）得：∠DBE =90°，∵点M 为DE 的中点，∴BM=12DE ； ①当D 在线段AB 上时，如图：在Rt △BDE 中，BD=AB -AD=4-1=3，，∴DE ==∴BM=12 ②当D 在BA 延长线上时，如图：在Rt △BDE 中，BD=AB+AD=4+1=5，，∴DE ==∴BM=12综上，BM【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明△ADC ∽△BEC 是本题的关键．16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12cm ，点D 为AB 上的点，且BD ＝34AB ，如果点P 在线段BC 上以3cm /s 的速度由B 点向终点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向终点A 运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如（图一）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由．（2）如（图二）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等（点P 不与点B 和点C 重合），连接点A 与点P ，连接点B 与点Q ，并且线段AP ，BQ 相交于点F ，求∠AFQ 的度数．（3）若点Q 的运动速度为6cm /s ，当点Q 运动几秒后，可得到等边△CQP ？【答案】（1）BPD CQP ≌，证明见解析；（2）60︒（3）43【分析】（1）根据时间和速度求得BP 、CQ 的长，根据SAS 判定两个三角形全等．（2）利用第（1）小题的方法可证得ABP BCQ ≌，BAP CBQ ∠=∠，根据三角形外角性质可得APB PAC C ∠=∠+∠，根据等边三角形性质和三角形内角和定理可得18060BFP CBQ APB ∠=︒-∠-∠=︒，根据对顶角性质可得AFQ ∠的度数．（3）设点Q 运动时间是x 秒，根据CP CQ =列一元一次方程，根据任意一角为60︒的等腰三角形是等边三角形，即可求出答案．【详解】（1）BPD CQP ≌．证明：点P 在线段BC 上以3cm /s 的速度由B 点向终点C 运动，经过1s 后，∠133BP =⨯=，∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，∠3CQ BP ==，∠AB ＝BC ＝AC ＝12cm ，BD ＝34AB ， ∠ABC 是等边三角形，60B C ∠=∠=︒，31294BD =⨯=， ∠1239PC BC BP =-=-=，在BDP △和CPQ 中，BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BPD CQP ≌（SAS ）．（2）解：∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，∠BP CQ =，∠AB ＝BC ＝AC ，∠ABC 是等边三角形，60BAC ABC C ∠=∠=∠=︒，∠在ABP △和BCQ △中，AB BC ABC C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABP BCQ ≌，∠BAP CBQ ∠=∠；在BPF △中，180()BFP CBQ APB ∠=︒-∠+∠，∵=CBQ APB CBQ CAP C ∠+∠∠+∠+∠，∵=60CBQ CAP BAP CAP ∠+∠∠+∠=︒，60C ∠=°，∴=6060=120CBQ APB ∠+∠︒+︒︒，∴180()=180120=60BFP CBQ APB ∠=︒-∠+∠︒-︒︒，∴=60AFQ BFP ∠∠=︒（对顶角相等）．（3）解：设点Q 运动时间是x 秒，若CP CQ =，可列方程：1236x x -=，解得：43x =． ∵在CQP 中，CP CQ =，=60C ∠︒， ∴当43x =秒时，CQP 是等边三角形（任意角是60︒的等腰三角形是等边三角形）． ∴当点Q 运动43秒后，可得到等边CQP ．【点睛】。

动点问题动态几何问题专题详解

动点问题、动态几何问题专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．【专题一：建立动点问题的函数解析式】函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P ,PH ⊥OA ,垂足为H ,△OPH 的重心为G .(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH =32NH =2132⋅OP =2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP =32MP =233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP =PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP =GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH =GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式例2（2006山东）如图2,在△ABC 中,AB =AC =1,点D ,E 在直线BC 上运动.设BD =,x CE =y . (1)如果∠BAC =30°,∠DAE =105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB =AC ,∠BAC =30°, ∴∠ABC =∠ACB =75°, ∴∠ABD =∠ACE =105°. ∵∠BAC =30°,∠DAE =105°, ∴∠DAB +∠CAE =75°, 又∠DAB +∠ADB =∠ABC =75°, ∴∠CAE =∠ADB ,∴△ADB ∽△EAC , ∴ACBD CE AB =,2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=AEDCB 图2HM NG POAB图1xy∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB +∠CAE =αβ-,又∠DAB +∠ADB =∠ABC =290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D ,交线段OC 于点E .作EP ⊥ED ,交射线AB 于点P ,交射线CB 于点F .(1)求证: △ADE ∽△AEP .(2)设OA =x ,AP =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF =1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD .根据题意,得OD ⊥AB ,∴∠ODA =90°,∠ODA =∠DEP .又由OD =OE ,得∠ODE =∠OED .∴∠ADE =∠AEP , ∴△ADE ∽△AEP .(2)∵∠ABC =90°,AB =4,BC =3, ∴AC =5. ∵∠ABC =∠ADO =90°, ∴OD ∥BC , ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD =x 53,AD =x 54. ∴AE =x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP , ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF =1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F ,如图3(1)，则CF =4.∵∠ADE =∠AEP , ∴∠PDE =∠PEC . ∵∠FBP =∠DEP =90°, ∠FPB =∠DPE , ∴∠F =∠PDE , ∴∠F =∠FEC , ∴CF =CE . ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP =2.A3(2)3(1)②若EP 交线段CB 于点F ,如图3(2), 则CF =2. 类似①,可得CF =CE . ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP =6.综上所述, 当BF =1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004上海）如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO =x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O ,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC ,垂足为H . ∵∠BAC =90°,AB =AC =22, ∴BC =4,AH =21BC =2. ∴OC =4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA =1+x ,OH =x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA =1-x ,OH =2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 【专题二：动态几何型压轴题】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

中考几何-动态试题解法(解析版)

中考几何动态试题解法专题知识点概述一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题有图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题有点动、线动、面动三大类。

3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。

4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，属于初中数学难点，综合性强，只有完全掌握才能拿高分。

二、动点与函数图象问题常见的四种类型1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

四、动点问题常见的四种类型解题思路1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。

中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)

．
点的坐标
为．……
一次函数的解读式
为．
(3) 两点在直线上，的坐标分别是．
，．
过点作，垂足为点．
，
又，点坐标为．
3．(1)解方程，得．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由得故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形中， = ，与相交于点，分别是的中点，联结，分别交、于点，试判断的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形中，若，分别是的中点，联结FE并延长，分别与的延长线交于点，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．

2022年中考数学专题复习：动态几何问题

2022年中考数学专题复习：动态几何问题1．在△ABC中，AB = AC，△ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE△AC.若PC = 4，求PE的长；(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF；(3)如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=14AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．2．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinC＝35．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝94，请直接写出点K被扫描到的总时长．3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB△CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A 点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．(1)求梯形ABCD的高和△A的度数；(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连结AG 、DE ．（1）猜想AG 与DE 的数量关系，请直接写出结论；（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到图2，请判断：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在正方形OEFG 旋转过程中，请直接写出： △当α＝30°时，△OAG 的度数；△当△AEG 的面积最小时，旋转角α的度数．5．如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由．6．如图，在Rt ABCAB=，4∠=︒，5AC=．动点P从点A出发，沿AB △中，90C⊥交AC或BC于点Q，以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQ AB分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设PQM与ABC重叠部分的面积为t t>秒．S，点P运动的时间为()0（1）当点Q在AC上时，CQ的长为______（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC上时，求t的值．（3）当PQM与ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）点N为PM中点，直接写出点N到ABC的两个顶点的距离相等时t的值．7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B匀速运动，过点P作PQ△AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．8．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．设P点的运动时间为t．（1）CP＝cm．（用含t的式子表示）；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？9．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，BC=5 ，△C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF△BC于点F，连接DE、EF．（1）AC的长是________，AB的长是________．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？10．在Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是，FG 与直线BC的位置关系是；【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？△请在图2中补全图形；△若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AB＝AC，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．11．如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=5cm，BC=8cm，动点P从B出发沿BC 向C运动，速度为2cm/s．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为1cm/s，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点P'是点P关于直线AC的对称点，连接PP′和P′Q，P′P和AC相交于点E．设运动时间为t秒．（1）若当t的值是多少时，P'P恰好经过点A？（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（0＜t≤4）；（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分△P′PC？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点Q在PC的垂直平分线上？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．12．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；（1）如图1，若△BAC＝60°，△ACD＝90°，E为CD中点，AB=△BCE的面积；（2）如图2，若△ACD＝90°，点E在线段CD上且△DAE＋△ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：BC=；（3）如图3，AB＝1，△BAC＝90°，△ACD＝105°，若BE恰好平分△AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当'+-''的值最小时，直接写出CQ的值．AE CE13．已知，如图△，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC△AB，△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s：同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图△，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）CQ＝，BQ＝，AP＝，CP＝．（2）当t为何值时，PQ∥MN；（3）设△OMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，等腰ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止．已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使点G、H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；（2）设正方形EFGH面积为S 1，正方形EFGH与ABC重叠面积为S2，当S1：S2＝2时，求t的值；（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒DM ﹣MB﹣BM﹣MD运动，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．15．如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为x s，△AQP的面积为y cm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：（1）a＝．（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2；（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．16．如图1，有一张矩形纸条ABCD ，边AB 、BC 的长分别是方程27100x x -+=的两个根()AB BC >，E 为CD 上一点，1CE =．（1）连接AE ，BE ，试说明90AEB =︒∠．（2）如图2，M 为边AB 上一个动点，将四边形BCEM 沿ME 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C '上，边MB '与边CD 交于点N ． △如图3，当点M 与点A 重合时，求N 到ME 的距离．△在点M 从点A 运动到点B 的过程中，求点N 相应运动的路径长（路程）．17．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ，连接AP ．（1）当3t =秒时，求AP 的长度；（2）当ABP △为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 作DE AP ⊥于点E ，连接PD ，在点P 的运动过程中，当PD 平分APC ∠时，直接写出t 的值．18．如图，已知在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE △CD 交射线CB 于点E ，设AD ＝x ．（1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长；（2）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值；（3）如果DEy DB=，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．19．已知：如图，在长方形ABCD 中，4cm,6cm AB BC ==，点E 为AB 中点．点P 在线段BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）线段,BP PC 的长可用含t 的式子分别表示为 cm ， cm ；（2）若某一时刻BPE 与CQP 全等，求此时t 的值和点Q 的运动速度．20．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），连接AB，点P（0，t）是y 轴上的一动点，以BP为一直角边构造等腰直角△BPC（B，P，C的顺序为顺时针），且△BPC＝90°，过点A作AD△x轴并与直线BC交于点D，连接PD．（1）如图1，当t＝2时，求点C的坐标；（2）如图2，当t＞0时，求证：△ADC＝△PDB；（3）如图3，当t＜0时，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．。

动态几何之“双动点”问题(含解析)

动态几何之“双动点”问题（含解析）1. 已知，如图，在△ABC 中，已知AB =AC =5 cm ，BC =6 cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线QD 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ，且QD ⊥BC ，与AC ，BC 分别交于点D ，Q ；当直线QD 停止运动时，点P 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （0＜t ＜3）s ．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ//AC ？（2）设四边形APQD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形APQD ：S △ABC =23：45？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第1题图解：（1）当t s 时,PQ//AC ，∵点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线QD 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ， ∴BP ＝t ，BQ ＝6−t ． ∵PQ//AC ， ∴△BPQ ∽△BAC ，第1题解图∴C B Q B B A BP =，即665t t -=，解得t ＝1130s ． ∴当t 为1130s 时，PQ//AC ；（2）过点A 、P 作AN ⊥BC ，PM ⊥BC 于点N 、M ， ∵AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ， ∴BN ＝CN ＝3cm ， ∴AN ＝222235-=-BN AB ＝4cm ．∵AN ⊥BC ，PM ⊥BC ， ∴△BPM ∽△BAN ， ∴AN PM AB BP =，即45PM t =，解得PM ＝t 54， ∴S △BPQ ＝21BQ ·PM ＝21（6−t ）·t 54＝t t 512522+-， ∵AB ＝AC ＝5cm ，AN=4cm ,CN=3cm ,DQ//AN , ∴△CDQ ∽△CAN ， ∴CN CQ AN DQ =，即34tDQ =，∴DQ=34t , ∴S △CDQ ＝21CQ ·DQ ＝32t 2． ∵S △ABC ＝21BC ·AN =21×6×4＝12， ∴y ＝S 四边形APQD ＝S △ABC −S △CDQ −S △BPQ ＝12−32t 2−（t t 512522+-）＝12−t t 5121542-（0＜t ＜3）；（3）存在．∵由（2）知，S 四边形APQD ＝S △ABC −S △CDQ −S △BPQ ＝12−21t 2−（t t 512522+-）＝12−t t 5121542-，S △ABC ＝12， ∴452312512154122=-t t -，解得t 1＝411412-+，t 2＝411412--（舍去）． ∴当t ＝4114123-+s 时，S 四边形APQD ：S △ABC ＝23：45．2. 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，点P 从点A 出发，沿折线AB −BC 向终点C 运动，在AB 上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC 上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒34个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．设点P 运动的时间为t 秒．（1）求线段AQ 的长；（用含t 的代数式表示）（2）连接PQ ，当PQ 与△ABC 的一边平行时，求t 的值；（3）如图②，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，以PE ，EQ 为邻边作矩形PEQF ，点D 为AC 的中点，连接DF ．设矩形PEQF 与△ABC 重叠部分图形的面积为S ．①当点Q 在线段CD 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式；②直接写出DF 将矩形PEQF 分成两部分的面积比为1：2时t 的值．第2题图解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，由勾股定理得：AC ＝2222610-=-BC AB ＝8，∵点Q 在CA 上，以每秒34个单位移动， ∴CQ ＝34t ， ∴AQ ＝AC -CQ =8−34t ．（2）∵P 点从AB -BC 总时间36510+=4s , ∵点P 在AB 或BC 上运动，点Q 在AC 上， ∴PQ 不可能与AC 平行， ①当点P 在AB 上，则PQ//BC ，此时AC AQ AB AP =，即834810t 5t-=，解得t =s 23; ②当点P 在BC 上,此时PQ//AB ，∴CA CQ BC CP =，即46-3t 2368t-=（），解得t ＝3s ，综上所述，t ＝32s 或3s 时，PQ 与△ABC 的一边平行；（3）①∵点D 是AC 的中点， ∴CD=4，当点Q 运动到点D 时，t 34＝4，解得t ＝3，点Q 与点E 重合时，t 316＝AC ＝8，得t ＝23，分三种情况讨论如下：（i ）点Q 与点E 重合时，316t ＝AC ＝8，得t ＝23，当0≤t ≤23，此时矩形PEQF 在△ABC 内，如解图①所示，∵AP ＝5t ，易得AE ＝4t ，PE ＝3t ，∴EQ ＝AQ －AE ＝8－34t －4t ＝8－316t ， ∴S ＝PE ×EQ ＝3t （8－316t ）＝－16t ２＋24t ；第２题解图（ii ）点P 与点B 重合时，5t ＝10，得t ＝2，当23≤t ≤2时，如解图②所示，设QF 交AB 与T ，则重叠部分是矩形PEQF 的面积减去△PFT 的面积． ∵AQ ＝8－34t ，∴QT ＝43AQ =43（8－34t ）=6-t ， ∴FT =PE -QT =3t -(6-t )=4t -6, EQ =AE -AQ =4t -(8-34t )=316t -8, ∴S =PE ·EQ -21EQ ·Ft =3t ·（316t -8)-21·（316t -8)（4t -6） =316t 2+8t -24； (iii )当2<t ≤3,点P 在BC 上，且点F 在△ABC 外，如解图③所示，此时点E 与点C 重合，PC ＝6－3（t －2）＝12－3t ，QC ＝34t ，QT ＝43(8-34t )＝6－t ，BP ＝3（t －2），PR ＝34·3（t －2）＝4t －8，FR ＝FP －PR ＝34t －（4t －8）＝8－38t ，FT ＝43FR ＝6－2t ． ∴S ＝PT ×QC －21FR ·FT ＝（12－3t ）·34t －21·（8－38t ）·（6－2t ）＝－320t ２+32t －24；第２题解图②53，56. 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4．动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回．点P ，Q 运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达C 时停止运动，点Q 也同时停止．连接PQ ，设运动时间为t （0＜t ≤5）秒．（1）当点Q 从B 点向A 点运动时（未到达点A ）求S △APQ 与t 的函数关系式；写出t 的取值范围；（2）在（1）的条件下，四边形BQPC 的面积能否为△ABC 面积的1513？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由；（3）伴随点P 、Q 的运动，设线段PQ 的垂直平分线为l ，当l 经过点B 时，求t 的值．第3题图解：（1）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝222243+=+BC AB ＝5；如解图①，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，AP ＝t ，AQ ＝3−t ，第3题解图①则∠AHP ＝∠ABC ＝90°，∵∠PAH ＝∠CAB ，∴△AHP ∽△ABC ， ∴BCPHAC AP =， ∵AP ＝t ，AC ＝5，BC ＝4， ∴PH ＝54t ，∴S △APQ ＝21（3−t ）·54t ，即S ＝−2t 52＋t 56，t 的取值范围是：0＜t ＜3．（2）在（1）的条件下，四边形BQPC 的面积能为△ABC 面积的1513．理由如下：依题意得：−2t 52＋t 56=21152 ×3×4，即−2t 52＋t 56=54．整理，得（t −1）（t −2）＝0，解得t 1＝1，t 2＝2，又0＜t ＜3，∴当t ＝1或t ＝2时，四边形BQPC 的面积能为△ABC 面积的1513；（3）①如解图②，当点Q 从B 向A 运动时l 经过点B ，第3题解图②BQ ＝BP ＝AP ＝t ，∠QBP ＝∠QAP ， ∵∠QBP ＋∠PBC ＝90°，∠QAP ＋∠PCB ＝90° ∴∠PBC ＝∠PCB ，∴CP ＝BP ＝AP ＝t ∴CP ＝AP ＝21AC ＝21×5＝2.5， ∴t ＝2.5；②如解图③，当点Q 从A 向B 运动时l 经过点B ，第3题解图③BP ＝BQ ＝3−（t −3）＝6−t ，AP ＝t ，PC ＝5−t ，过点P 作PG ⊥CB 于点G ，则PG//AB ， ∴△PGC ∽△ABC ， ∴BCGCAB PG AC PC ==， ∴PG ＝AC PC ·AB ＝53（5−t ）， CG ＝AC PC ·BC ＝54（5−t ）， ∴BG ＝4−54(5−t ）＝54t ，由勾股定理得BP 2＝BG 2＋PG 2，即（6−t ）2＝（54t ）2＋[53（5−t ）]2，解得t ＝1445．综上所述，伴随点P 、Q 的运动，线段PQ 的垂直平分线为l ，经过点B 时，t 的值是2.5或1445． 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ，点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm /s ，当点P 运动到点E 停止运动，点Q 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？（2）当点Q 在BE 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t ，使PQ 分四边形BCDE 两部分的面积之比为S △PQE ：S 五边形PQBCD ＝1：29？若存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．解：（1）如解图①，在Rt △ABC 中，第4题解图AC ＝6，BC ＝8， ∴AB ＝2286+＝10．∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点．， AD ＝DC ＝3，AE ＝EB ＝5，DE//BC 且DE ＝21BC ＝4， ∵PQ ⊥AB ，∴∠PQB ＝∠C ＝90°，又∵DE//BC ，∴∠AED ＝∠B ， ∴△PQE ∽△ACB ，∴BCQEAB PE =. 由题意得：PE ＝4−t ，QE ＝2t −5，即852104-=-t t ，解得t ＝1441；（2）如解图②，过点P 作PM ⊥AB 于M ，由△PME ∽△ACB ，得ABPEAC PM =， ∴10t -46=PM ，得PM ＝53（4−t ）．S △PQE ＝21EQ ·PM ＝21（5−2t ）·53（4−t ）＝53t 2−1039t ＋6， S 梯形DCBE ＝21×（4＋8）×3＝18， ∴y ＝S 梯形DCBE -S △PQE =18−（53t 2−1039t ＋6）＝−53t 2+1039t ＋12．（3）假设存在时刻t ，使S △PQE ：S 五边形PQBCD ＝1：29，则此时S △PQE ＝301S 梯形DCBE ， ∴53t 2−1039t ＋6＝301×18，即2t 2−13t ＋18＝0，解得t 1＝2，t 2＝29（舍去）．当t ＝2时， PM ＝53×（4−2）=56，ME ＝54×（4−2）＝58， EQ ＝5−2×2＝1，MQ ＝ME ＋EQ ＝58＋1＝513， ∴PQ ＝22MQ PM +＝52055135622=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．∵21PQ ·h ＝S △PQE =53， ∴h ＝56·)2056(20520562055或=. 5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得S△CPQ ：S △ABC =9：100？若存在，求出t 的值；若不存在，则说明理由；（3）是否存在某一时刻t ，使得△CPQ 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t 的值；若不存在，则说明理由．解：（1）如解图①，∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝10．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC ＝21BC •AC ＝21AB •CD ． ∴CD ＝1086⨯=⨯AB AC BC ＝4.8， ∴线段CD 的长为4.8；（2）①过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如解图②所示．由题可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝4.8−t ．∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∴∠HCP ＝90°−∠DCB ＝∠B ．∵PH ⊥AC ，∴∠CHP ＝90°,∴∠CHP ＝∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ， ∴AB PC AC PH =,∴10t 8.48-=PH ， ∴PH ＝t 54-2596，∴S △CPQ ＝21CQ ·PH ＝21t （t 54-2596）＝−52t 2+2548t ； ②存在某一时刻t ，使得S △CPQ ：S △ABC ＝9：100．∵S △ABC ＝21×6×8＝24，且S △CPQ ：S △ABC ＝9：100， ∴（−52t 2+2548t ）：24＝9：100．整理得：5t 2−24t ＋27＝0．即（5t −9）（t −3）＝0．解得：t ＝59或t ＝3． ∵0≤t ≤4.8，∴当t ＝59秒或t ＝3秒时，S △CPQ ：S △ABC ＝9：100；（3）①若CQ ＝CP ，如解图①，则t ＝4.8−t ；解得：t ＝2.4；②若PQ ＝PC ，如解图②所示，∵PQ ＝PC ，PH ⊥QC ，∴QH ＝CH ＝21QC ＝21t ． ∵△CHP ∽△BCA ．∴ABCP BC CH =, ∴108.4621t t -=，解得：t ＝55144； ③若QC ＝QP ，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，如解图③所示．同理可得：t ＝1124．综上所述：当t 为2.4秒或55144秒或1124秒时，△CPQ 为等腰三角形．第5题解图6. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BD ⊥AC 于点D ，且BD =8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2 cm /s ；同时直线PQ 由点B 出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动过程中始终保持PQ//AC ，直线PQ 交AB 于点P 、交BC 于点Q 、交BD 于点F ．连接PM ，设运动时间为t （0＜t ＜5）．（1）当t 为何值时，PM//BC ？（2）设四边形PQCM 的面积为y cm 2，求y 与t 之间的函数关系式；（3）已知某一时刻t ，有S 四边形PQCM =43S △ABC 成立，请你求出此时t 的值.第6题图解：（1）∵当PM//BC 时，△APM ∽△ABC ， ∴AP ＝AM ，∴10−t ＝2t ，∴t ＝310；（2）∵四边形PQCM 为梯形，y ＝21（PQ ＋MC ）DF ， ∵PQ ＝PB ＝t ，MC ＝10−2t ，BF ：BD ＝BP ：AB ,∴BF ＝54108 t t ， ∴DF ＝8−t 54, ∴y ＝21(t ＋10−2t )·(8−t 54）=252t −8t ＋40；（3）由（2）知，252t −8t ＋40=40×43，解得t ＝10±53，又∵0<t<5,∴当t ＝10-53s 时，使S 四边形PQCM ＝43S △ABC 成立.7. 如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，AD ＝6 cm ，CD ＝4 cm ，BC ＝BD ＝10 cm ，点P 由B 出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE//AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ ＝252S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．第7题图解：（1）当PE//AB 时，∴DBDP DA DE =．而DE ＝t ，DP ＝10−t ，∴10106t t -=， ∴t ＝415， ∴当t ＝415s 时，PE//AB ；（2）∵AD//BC ,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，∴EF//CD ，∴四边形CDEF 是平行四边形,∴∠DEQ ＝∠C ，∠DQE ＝∠BDC ．∵BC ＝BD ＝10，∴△DEQ ∽△BCD ,∴CD EQ BC DE =,410EQ t =, ∴EQ ＝52t , 如解图，过B 作BM ⊥CD 交CD 于M ，过P 作PN ⊥EF 交EF 于N ，∵BC ＝BD ，BM ⊥CD ，CD ＝4cm ，∴CM ＝21CD ＝2cm ， ∴BM ＝6496410021022==-=-cm ，∵EF//CD ，∴∠BQF ＝∠BDC ，∠BFG ＝∠BCD ，又∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ，∴∠BQF ＝∠BFG ，∵ED//BC ，∴∠DEQ ＝∠QFB ，又∵∠EQD ＝∠BQF ，∴∠DEQ ＝∠DQE ，∴DE ＝DQ ，∴ED ＝DQ ＝BP ＝t ，∴PQ ＝10−2t ．又∵△PNQ ∽△BMD ， ∴BM PN BD PQ =，∴6410210PN t =-，∴PN ＝)5t -，∴S △PEQ ＝21EQ ·PN ＝⨯⨯t 5221)5t -=2255-+；第7题解图（3）存在.此时t 的值为1s 或4s .S △BCD ＝21CD ·BM ＝21×4×46＝86，若S △PEQ =252S △BCD ，则有2646255-+=252×86, 解得t 1＝1，t 2＝4，∴当t=1或4时，S △PEQ =252S △BCD ；（4）五边形PFCDE 的面积不发生变化.理由如下：在△PDE 和△FBP 中，∵DE ＝BP ＝t ，PD ＝BF ＝10−t ，∠PDE ＝∠FBP ，∴△PDE ≌△FBP （SAS ）．∴S 五边形PFCDE ＝S △PDE ＋S 四边形PFCD ＝S △FBP ＋S 四边形PFCD ＝S △BCD ＝86,∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．8. 如图．在△ABC 中．AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，AD 是BC 边上的高．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动．速度为1 cm /s ．同时，直线EF 由BC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1 cm /s ，EF//BC ，并且EF 分别交AB 、AD 、AC 于点E ，Q ，F ，连接PQ ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形BDFE 是平行四边形？（2）设四边形QDCP 的面积为y （cm 2），求出y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形QDCP ：S △ABC ＝9：20？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使点Q 在线段AP 的垂直平分线上？若存在，求出此时点F 到直线PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．第8题图解：（1）如解图①中，连接DF ，第8题解图①∵AB ＝AC ＝5，BC =6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3，在Rt △ABD 中，AD ＝223-5＝4，∵EF//BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴ADAQ BC EF =， ∴446t EF -=， ∴EF ＝23（4−t ）， ∵EF//BD ，∴EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形， ∴23（4−t ）＝3， ∴t ＝2，∴t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；（2）如解图②中，作PN ⊥AD 于N ，第8题解图②∵PN //DC ， ∴AC AP DC PN =， ∴553t PN -=， ∴PN ＝53（5-t ）， ∴y ＝21DC ·AD −21AQ ·PN ＝6−21（4−t ） ·53（5−t ）＝6−（t t 10271032-＋6）=t t 10271032+-（0＜t ＜4）；（3）存在.理由：由题意（t t 10271032+-）：12＝9：20，解得t ＝3或6（舍去）；∴当t ＝3s 时，S 四边形QDCP ：S △ABC ＝9：20；（4）存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H ．第8题解图③∵QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝21AP ＝21（5−t ），由题意cos ∠CAD ＝AQ AN C A AD =， ∴()544521=--t t ， ∴t ＝37， ∴t ＝37s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上． ∵sin ∠FPH ＝53=PF FH ， ∵PA ＝5−37＝38，AF ＝AQ ÷122554=， ∴PF ＝127， ∴FH ＝207． ∴点F 到直线PQ 的距离h ＝207．9. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC ＝2，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，同时动点Q 从点C 出发，以相同的速度沿射线BC 运动，当点P 出发后，过点Q 作QE ⊥BD ，交直线BD 于点E ，连接AP 、AE 、PE 、QE ，设运动时间为t （秒）．（1）请直接写出动点P 运动过程中，四边形APQD 是什么四边形？（2）请判断AE ，PE 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）设△EPB 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式；（4）直接写出△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍时t 的值．第9题图解：（1）四边形APQD 是平行四边形；【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，P 、Q 速度相同， ∴∠ABE ＝∠EBQ ＝45°，AD ∥BQ ，AD ＝BC ＝2，BP ＝CQ ， ∴BC ＝AD ＝PQ ，∴四边形APQD 是平行四边形.（2）AE ＝PE ，AE ⊥PE ；理由如下：∵EQ ⊥BD ，∴∠PQE ＝90°−45°＝45°，∴∠ABE ＝∠EBQ ＝∠PQE ＝45°，∴BE ＝QE ，在△AEB 和△EPQ 中，AB PQ ABE PQE BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△EPQ （SAS ），∴AE ＝PE ，∠AEB ＝∠PEQ ，∴∠AEP ＝∠BEQ ＝90°，∴AE ⊥PE ；（3）过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如解图①所示：BQ ＝t ＋2，EF ＝22+t ， ∴y ＝21×22+t ×t ，即y ＝t t 41212+；第9题解图①（4）△EPQ 面积是△EDQ 面积的2倍时t 的值为1或3.【解法提示】分两种情况：① 当P 在BC 延长线上时，作PM ⊥QE 于M ，如解图②所示：第10题解图②∵PQ ＝2，∠BQE ＝45°，∴PM ＝22PQ ＝2，BE ＝QE ＝22BQ ＝22（t ＋2）， ∴DE ＝BE −BD ＝22（t ＋2）−22＝22t -2, ∵△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍， ∴21×22（t ＋2）×2＝2×21（22t −2）×22（t ＋2），解得t ＝3或t ＝−2（舍去），∴t ＝3；②当P 在BC 边上时，解法同①，此时DE ＝2-22t ， ∵△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍， ∴21×22（t ＋2）×2＝2×21（2-22t ）×22（t ＋2），解得：t ＝1或t ＝−2（舍去），∴t ＝1；综上所述，△EPQ 的面积是△EDQ 面积的2倍时t 的值为：1或3．。

初二动态几何问题

初二动态几何问题一.动态几何问题涉及的几种情形动态几何问题就其活动对象而言,有：1.点动（有单动点型.多动点型）.2.线动（重要有线平移型.扭转型）.线动本质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生形动,因而线动型几何问题可以经由过程转化成点动型问题来求解.3.形动（就其活动情势而言,有平移.扭转.翻折.滚动）二.解决动态几何问题的根本思虑计谋与剖析办法：动态型问题分解了代数.几何中较多的常识点,解答时要特别留意以下七点:1.掌控活动变更的情势及进程;2.思虑活动初始状况时几何元素的关系,以及可求出的几何量;3.动中取静：（最重要的一点）要擅长在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来）,抓住变更中的“不变量”和不变关系为“领导”,求出相干的常量或者以含有变量的代数式暗示相干的几何量;4.找等量关系：应用面积关系.类似三角形的性质.勾股定理.特别图形等的几何性质及互相关系,找出根本的等量关系式;5.列方程：将相干的常量和含有变量的代数式代入等量关系树立方程或函数模子;(某些几何元素的变更会带来其它几何量的变更,所以在求变量之间的关系时,平日树立函数模子或不等式模子求解.在解决有关特别点.特别值.特别地位关系问题时常联合图形树立方程模子求解)6.是否以及怎么分类评论辩论：将变更的几何元素按标题指定的活动路径活动一遍,从动态的角度去剖析不雅察可能消失的情形,看图形的外形是否转变,或图形的有关几何量的盘算办法是否转变,以明白是否须要依据活动进程中的特别地位分类评论辩论解决,7.肯定变更分界点：若需分类评论辩论,要以活动到达的特别点为分界点,画出与之对应情形相吻合的图形,找到情形产生转变的时刻,肯定变更的规模分类求解.例：如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B.C.Q.R在统一条直线ι上,当C.Q两点重应时开端,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为.解答下列问题：（1）当t=3秒时,求S的值;（2）当t=5秒时,求S的值;（3）当5秒≤t≤8秒时,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.【要点导航】经由过程实验操纵——不雅察猜测——科学论证,使我们体验和学到了发明.获得常识的进程和办法. 实验操纵摸索——懂得题意.实验操纵是根本包管,不雅察猜测.摸索结论是症结,论证猜测的结论是落实. 【典例精析】例1取一张矩形纸片进行折叠,具体操纵进程如下：第一步：先把矩形ABCD 半数,折痕为MN ,如图1;第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上,折痕为AE ,点B 在MN 上的对应点为B ',得R t △AB 'E ,如图2;第三步：沿EB '线折叠得折痕EF ,使A 点落在EC 的延伸线上,如图3．应用睁开图4探讨：（1）△AEF 是什么三角形？证实你的结论;（2）对于任一矩形,按照上述办法可否折出这种三角形？请解释你的来由．例2 已知：在△ABC 中,∠BAC =90°,M 为BC 中点．操纵：将三角板的90°角的极点与点M 重合,并绕着点M 扭转,角的双方分离与边AB .AC 订交于点E .F ．（1）探讨1：线段BE .EF .FC 是否能组成三角形？假如可以组成三角形,那么是什么外形的三角形？请证实你的猜测．（2）探讨2：若转变成：“角的双方分离与边AB .直线AC 订图 1 图 2图 3图4CM交于点E .F ．”其它前提都不变的情形下,那么结论是否还消失？请画出对应的图形并请证实你的猜测．【练习】1.★★★如图,在正方形ABCD 中,点E 在边AB 上（点E与点A .B 不重合）,过点E 作FG ⊥DE ,FG 与边BC 订交于点F,与边DA 的延伸线订交于点G ．（1）操纵：由几个不合的地位,分离测量BF .AG .AE 的长,从中你能发明BF .AG .AE 的数目之间具有如何的关系？并证实你所得到的结论;（2）贯穿连接DF ,假如正方形的边长为2,设DFG的面,并写出函数的界说域;（3）假如正方形的边长为2,FG求点C 到直线DE 的距离．2.★★★操纵：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上,并使它的直角极点P 在对角线AC上滑动,直角的一边始终经由点B ,另一边与射线DC 订交于点Q ．探讨：设A .P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时,线段PQ 与线段PB 之间有如何的大小关系？试证实你不雅察得到结论;GFD ACBD ACB供实验操纵用（2）当点Q 在边CD 上时,设四边形PBCQ 的面积为y ,求y 与x 之间的函数解析式,并写出函数的界说域;（3）当点P 在线段AC 上滑动时,△PCQ 是否可能成为等腰三角形？假如可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的地位,并求出响应的x 的值;假如不成能,试解释来由．（图5.图6.图7的外形大小雷同,图5供操纵.实验用,图6和图7备用）3.★★★在△ABC 中,AB =AC ,CG ⊥BA 交BA 的延伸线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的地位摆放,该三角尺的直角极点为F ,一条直角边与AC 边在一条直线上,另一条直角边正好经由点B ．（1）在图1中请你经由过程不雅察.测量BF 与CG 的长度,猜测并写出BF 与CG 知足的数目关系,然后证实你的猜测;（2）当三角尺沿AC 偏向平移到图2所示的地位时,一条直角边仍与AC 边在统一向线上,另一条直角边交BC 边于点D ,过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你经由过程不雅察.测量DE .DF 与CG 的长度,猜测并写出DE ＋DF 与CG 之间知足的数目关系,然后证实你的猜测;（3）当三角尺在（2）的基本上沿AC 偏向持续平移到图3所DC B图5DAC B图6DACB图7图1示的地位（点F在线段AC上,且点F与点C不重合）时,（2）中的猜测是否仍然成立？（不必解释来由）4.★★如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一.三象限的角等分线．实验与探讨：（1）由图不雅察易知A（0,2）关于直线l为（2,0）,请在图平分离标明B(5,3) .C(-2,5) 关于直线l的对,并写出他们的坐标：归纳与发明：（2）联合图形不雅察以上三组点的坐标,你会发明：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一.三象限的角等分线l的对称点;应用与拓广：（3）已知两点D(1,-3).E(-1,-4),试在直线l上肯定一点Q,使点Q到D.E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标．摸索性问题摸索性问题是指命题中缺乏必定的前提或无明白的结论,须要经由揣摸,填补并加以证实的题型．摸索性问题一般有三种类型：（1）前提摸索型问题;（2）结论摸索型问题;（3）摸索消失型问题．前提摸索型问题是指所给问题中结论明白,须要完整前提的标题;结论摸索型问题是指标题中结论不肯定,不独一,或标题结论须要类比,引申推广,或标题给出特例,要经由过程归纳总结出一般结论;摸索消失型问题是指在必定的前提下,需摸索发明某种数学关系是否消失的标题．前提摸索【要点导航】“摸索”是人类熟悉客不雅世界进程中最活泼.最活泼的思维活动,摸索性问题消失于一切学科范畴之中,数学中的“前提摸索”题型,是指命题中缺乏必定的题设,需经由揣摸.填补并加以证实的命题,因而必须应用题设大胆猜测.剖析.比较.归纳.推理,由结论去摸索未赐与的前提.因为题型新鲜.分解性强.构造奇特,此类问题的一般解题思绪并没有固定模式或套路,因而具体操纵时要更重视数学思惟办法的分解应用．【典例精析】例1如图,,垂1．（1）证实△CMG≌△NBP;（2）设BE=x,四边形MGBN的面积为y,求y关于x式,并写出界说域．（3长．（4）联络PG ,,求BE 的长;假如不克不及,请解释来由．（5）联络AC .AF .CF ,求证△ACF 的面积为定值．〖思绪剖析〗1．第（3BE 的长． 2PBG 始终是45°,而∠BPG 和∠PGB 有可能为90°,要分情形评论辩论．3．第（5）小题即可用割补法求也可用应用AC ∥BF 将△ACF 的面积转化为△ABC 的面积．例2在等边△ABC 的双方AB .AC 地点直线上分离有两点M .N ．D 为△ABC 外一点,且∠MDN ＝60°,∠BDC ＝120°,BD ＝DC ．探讨：当M .N 分离在直线AB .AC 上移动时,BM .NC .MNABC 的周长L 的关系．,当点,且DM （2）如图2所示,点M 且当时,猜测（1; （3）如图3所示,当M .N 分离在边AB .CA 的延伸线上时,若AN ＝2,则Q ＝（用含有L 的式子暗示）．C图1 C 图2C图3【练习】1.★★★如图1所示,直线AB 交x 轴于点A （A ,0）,交y 轴于点B （0,B ）,且A .B 知足2b (4)0a a ++-=．（1）如图1,若C 的坐标为（－1,0）,且AH ⊥BC 于点H ,AH 交OB 于点P ,试求点P 的坐标;（2）如图2,衔接OH ,求证：∠OHP ＝45°;（3）如图3,若点D 为AB 的中点,点M 为y 轴正半轴上一动点,衔接MD ,过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点,当M 点在y 轴正半轴上活动的进程中,式子S △BDM －S △ADN 的值是否产生转变,如产生转变,求出该式子的值的变更规模;若不转变,求该式子的值．2. ★★★已知BD .CE 分离是ABC △的AC 边.AB 边上的高,M 是BC 边的中点,分离联络MD .ME .DE ．（1）当︒<∠90BAC 时,垂足D .E 分离落在边AC .AB 上,如图1．求证：EM DM =．(2) 当︒>∠90BAC 时,垂足D .E 分离落在边AC .AB 地点的直线上,如图2,问（1）中的结论是否依旧成立？无需解释来由,直接写出答案即可;若︒=∠135BAC ,试断定DEM △的外形,简写解答进程．（3）设BAC ∠的度数为x ,DME ∠的度数为y ,求y 与x 之间的函数关系式．3.★★★如ABOy xN MD 图3ABCH P Oyx图2x yOP H CBA图1 ABC（备用图）ABCDM E图2ABCDE图1图1,已知∠ABC =90°,△ABE 是等边三角形,点P 为射线BC 上随意率性一点（点P 与点B 不重合）,贯穿连接AP ,将线段AP 绕点A 逆时针扭转60°得到线段AQ ,贯穿连接QE 并延伸交射线BC 于点F .（1）如图2,当BP =BA 时,∠EBF =°,猜测∠QFC =°;（2）如图1,当点P 为射线BC 上随意率性一点时,猜测∠QFC 的度数,并加以证实;（3）已知线段AB设BP 点Q 到射线BC 的距离为y ,求y摸索性问题是指命题中缺乏必定的前提或无明白的结论,须要经由揣摸,填补并加以证实的题型．摸索性问题一般有三种类型：（1）前提摸索型问题;（2）结论摸索型问题;（3）摸索消失型问题．前提摸索型问题是指所给问题中结论明白,须要完整前提的标题;结论摸索型问题是指标题中结论不肯定,不独一,或标题结论须要类比,引申推广,或标题给出特例,要经由过程归纳总结出一般结论;摸索消失型问题是指在必定的前提下,需摸索发明某种数学关系是否消失的标题．摸索型问题具有较强的分解性,因而解决此类问题用到了所学过的全部初中数学常识．经经常应用到的常识是：一元一次方程.平面直角坐标系.正.反比例和一次函数的求法（图象及其性质）.图图2ABEQPF C直角三角形的性质.四边形（特别）的性质.等．个顶用几何图形的某些特别性质：勾股定理.类似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的重要手腕和门路．是以温习中既要看重基本常识的温习,又要增强变式练习和数学思惟办法的研讨,切实进步剖析问题.解决问题的才能．【典例精析】例 1 如图1,在△ABC 中,∠ACB = 90°,AC =BC ,AB = 8,CD ⊥AB ,垂足为点D ．M 为边AB 上随意率性一点,点N 在射线CB 上（点N 与点C 不重合）,且MC = MN ,NE ⊥AB ,垂足为点E ．当点M 在边AB 上移动时,试摸索线段ME 的长是否会转变？解释你的来由．〖思绪剖析〗射线CB 包含线段CB 和线段CB 的延伸线两部分,点N 在射线CB 上活动时,可证实△CMD 和△MEN 全等,所以线段ME 的长始终和线段CD 相等,所以不会转变长度．例2如图,已知在正方形ABCD 中,AB = 2,P 是边BC 上的随意率性一点,E 是边BC 延伸线上一点,联络AP ．过点P 作PF ⊥AP ,与∠DCE 的等分线CF 订交于点F ．联络AF ,与边CD 订交于点G ,联络PG ．（1）求证：AP = FP ;（2）摸索线段BP .DG .PG 之间的数目关系,并给出证实进程;（3）当BP 取何值时,PG // CF ．〖思绪剖析〗ABC图1D NM EBA CD EPFGC F P M DB ADM AB CP F EA BED MC1．过点F 作FH ⊥BC ,联合所给前提无法证实△ABP 和△PHF 全等．在边AB 上截取线段AH ,使AH = PC ,即可证实△AHP ≌△PCF ．2．由第（1）小题的结论得△APF 是等腰直角三角形,所以∠PAF =45°,将△ADG 绕点A 顺时针扭转90°后,BP 与DG 联络成一条线段,经由过程全等三角形可证BP 与DG 的和等于PG ．3．当PG // CF 时,△PCG 是等腰直角三角形,由第（2）小题结论得PG =DG +BP ,在R t △PCG 中,由勾股定理可求得BP 的长．【练习】第天 ,年月日1.★★已知：在△ABC 中,AB =AC ,点P 在直线BC 上,PD ⊥AB 于点D ,PE ⊥AC 于点E ,BH 是△ABC 的高．（1）当点P 在边BC 上时,求证：PD +PE =BH（2）当点P 在边BC 的延伸线上时,试摸索PD .PE 和BH 之间的数目关系．2.★★★已知等边△ABC 和点P ,设点P 到△ABC 三边AB .AC .BC的距离分离为H 1,H 2,H 3,△ABC 的高为H ．“若点P 在一边BC 上如图（1）,此时H 3＝0可得结论：H 1＋H 2＋H 3＝H ．”请直策应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内如图（2）,以及点P 在△ABC 外如图（3）这两种情形时,上述结论是否成立？若成立,请予以证实;若不成立,H 1,H 2,H 3与H 之间又有如何的关系,请写出你的猜测,图1图2图33.★★★已知在正△ABC 中,AB =4,点M 是射线AB 上的随意率性一点（点M 与点A .B 不重合）,点N 在边BC 的延伸线上,且AM = CN ．联络MN ,交直线AC 于点D ．设AM = x ,CD = y ．（1）如图,当点M 在边AB 上时,求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值规模．（2）当点M 在边AB 上,且四边形BCDM 的面积等于△DCN 面积的4倍时,求x 的值．（3）过点M 作ME ⊥AC ,垂足为点E ．当点M 在射线AB 上移动时,线段DE 的长是否会转变？请证实你的结论．4.★★★在R t △ABC 中,∠C =900,∠A =300,AB =4,将一个300角的极点P 放在AB 边上滑动,保持300角的一边平行于BC ,且交边AC 于点E ,300角的另一边交射线BC 于点D ,联络ED ．（1）如图1,当四边形PBDE 为等腰梯形时,求AP 的长;（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗？若可能,求出PBDE 为平行四边形时AP 的长;若不成能,解释来由;（3）若D 在BC 边上（不与B .C 重合）,试写出线段AP 取值规模.5.★★★在梯形ABCD 中,AD //BC ,AB=CD=AD =5cm ,BC =11cm ,点P从点D 动身沿DA 边以每秒1cm 的速度移动,点Q 从点B 动身,沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时,点P 与点Q 同时停滞移动）,假设点P 移动的时光为x （秒）,四边形ABQP 的面积为y （平方厘米）.ABCMNDABCPED300（图1）（1）求y 关于x 的函数解析式,并写出它的界说域;（2）在移动的进程中,求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值;（3）在移动的进程中,是否消失x 使得PQ =AB ,若消失求出所有的x 的值,若不消失请解释来由6.★★★★如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,（1;（24个单位得到直线BC ,直线BCB .C ,如点D 在直线BC 上,在平面直角坐标系中求一点P ,使以O .B .D .P 为极点的四边形是菱形．7.★★★★如图1,x 轴.y 轴交于点A.B ,点C 是线段AB 的中点,点D 在线段OC 上,点D 的纵坐标为4．（1）求点C 的坐标和直线AD 的解析式;（2）P 是直线AD 上的点,请你找一点Q ,使以O.A.P.Q 这四个点为极点的四边形是菱形,写出所有知足前提的点Q 的坐标．猜测证实Q【要点导航】此类问题平日由一个特别图形到一般情形,引出一系列探讨的问题．阅历对一些命题和结论的猜测.证实.推广的进程,领会常识之间的内涵接洽,感触感染特别到一般.数形联合等数学思惟,对学生的想象.思维.归纳.剖析都有较高的请求．此类标题变式多,证实方法也不尽雷同,可以说是出色纷呈．借题施展,拓宽视野,如许做不但有助于学生分解而灵巧的应用常识,并且能不竭进步学生自力探讨问题解决的才能,更有助于造就学生思维的深入性与批评性.【典例精析】例1如图1,已知点D在AC上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．（2）将△ADE绕点A如图2,（1）中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请解释来由．（3A如图3,（1）中来由）．（4）我们是否可以猜测,A随意率性扭转必定的角度,如图4,（1）中的均成立？ABCDEM图1ABCDEM图2ABCDE M图3ABCDE M图4〖思绪剖析〗1．应用直角三角形斜边中线性质和三角形的表里角和定理不难证实DM 与BM 垂直且相等．2．将△ADE 绕点A,加倍延伸DM ,可构造出全等三角形,等腰直角三角形．3．将△ADE 绕点A 随意率性扭转必定的角度时,可以D .M .B例2点A .B .C 在统一向线上,在直线AC衔接AF ,CE ．取AF .CE的中点M .N ,衔接BM ,BN , MN ．（1,（如图1）,三角形．（2,若BA =BE ,BC =BF ,（如图2）,,（3）若将（2B 扭转必定角度,（如图3）,其他前提不变,那么（2）中的结论是否成立？若成立,给出你的证实;若不成立,写出准确的结论并给出证实．〖思绪剖析〗1．△ABF 和△EBC 可看作绕点B 扭转90°后可重合的两个三角形,BM 和BN 是对应斜边上的中线,夹角为90°,ABCEFM N图1 A B CEFMN图2ABCEFMN3腰直角三角形．2．∠MBN可看作是两个全等三角形△ABF和△EBC对应边上的中线,它们的夹角∠MBN和对应边的夹角∠ABE和∠FBC相等．3．要证实∠MBN和∠FBC相等,只要证实∠FBM和∠CBN相等,所以要证实△MFB和△NCB全等．〔练习】1.★★★如图1,四边形ABCD,将极点为A的角绕着极点A顺时针扭转,若角的一条边与DC的延伸线交于点F,角的另一条边与CB的延伸线交于点E,衔接EF．（1）若四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°时,有EF=DF－BE．请你思虑若何证实这个结论（只思虑,不必写出证实进程）;（2）如图2,假如在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,当∠EAFBAD时,EF与DF.BE之间有如何的数目关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）;（3）如图3,假如四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当∠EAFBAD时,EF与DF.BE之间有如何的数目关系？请写出它们之间的关系式并赐与证实．（4）在（3）中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长（直接写出成果即可）．2.ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BDEABCDEF 图2ABCDEF图3于点F,取FD的中点G,衔接EG.CG,如图1,易证EG=CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针扭转90°,如图2,则线段EG和CG有如何的数目关系和地位关系？请直接写出你的猜测．（2）将△BEF绕点B逆时针扭转180°,如图3,则线段EG和CG实．3.ABCDEF,（1EG（2）将图1中△BEF绕B点逆时针扭转45º,如图2所示,取DF中点G,衔接EG,CG．你在（1）中得到的结论是否产生变更？写出你的猜测并加以证实．（3）将图1中△BEF绕B点扭转随意率性角度,如图3所示,再衔接响应的线段,问（1）中的结论是否仍然成立？（不请求证实）4.,点D.E.F分离为边AB,M DMN为等边三角形（点M的地位转变时,△DMN也随之整体移动）．（1）如图1,当点M在点B左侧时,请你贯穿连接EN,并断定D图1D图2DD图1D图2FBACE图3DEN与MF有如何的数目关系？点F是否在直线NE上？请写出结论,并解释来由;（2）如图2,当点M在BC上时,其它前提不变,（1）的结论中EN与MF的数目关系是否仍然成立? 若成立,请应用图2证实;若不成立,请解释来由;（3）如图3,若点M在点C右侧时,请你断定（1）的结论中EN 与MF的数目关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论;若不成（图2）。

2020年中考数学复习初中数学动态几何问题 (29张PPT)

ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点D运动的时间为 t.
(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．
[解析] (3)根据等腰三角形的腰的情况进行分类讨论，从而求出t的值．
初中数学动态几何问题
动态几何问题是指以几何知识和图形为背景，蕴涵一些运动变化的几何元素，主要研究几何图形在运动中所遵循的规律，如图形的形状、位置、数量关系等．
就运动对象而言，有点动(点在线段或弧线上运动)、线动(直线或线段的平移、旋转)和面动(部分图形的平移、旋转、翻折)等，而且在运动过程中大多是动中有静，动静结合．
(3)根据题意可知，MD＝12AD，DN＝12DC，MN＝12AC＝3.
i)当MD＝MN＝3时，△DMN为等腰三角形，此时AD＝AC＝6，
∴t＝6；
ii)当MD＝DN时，AD＝DC，
1 过D作DH⊥AC交AC于H，则AH＝2AC＝3， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，
∵cosA＝AAHD＝AACB＝35，
例 2 已知：如图①，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴正半轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝x－2 经过 A、C 两点，且 AB＝2.
(2)若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、D，同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运动．当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连结
位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD 的中点，连结MN，设点D运动的时间为t.

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(2019 江苏省宿迁市)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边⊙EFG，连接CG，则CG的最小值为．【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将⊙EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到⊙EFB⊙⊙EHG从而可知⊙EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊙HN，则CM即为CG的最小值作EP⊙CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．5．(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边⊙ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把⊙ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1⊙AC，则BB′的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，⊙ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求⊙ACB′面积的最大值．【解析】（1）如图1中，⊙⊙ABC是等边三角形，⊙⊙A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，⊙PB＝4，⊙PB′＝PB＝P A＝4，⊙⊙A＝60°，⊙⊙APB′是等边三角形，⊙AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．⊙PE⊙AC，⊙⊙BPE＝⊙A＝60°，⊙BEP＝⊙C＝60°，⊙⊙PEB是等边三角形，⊙PB＝5，⊙⊙B，B′关于PE对称，⊙BB′⊙PE，BB′＝2OB⊙OB＝PB•sin60°＝，⊙BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．⊙B，B′关于直线l对称，⊙BB′⊙直线l，⊙直线l ⊙AC ， ⊙AC ⊙BB ′， ⊙S ⊙ACB ′＝S ⊙ACB ＝•82＝16．（4）如图4中，当B ′P ⊙AC 时，⊙ACB ′的面积最大，设直线PB ′交AC 于E ，在Rt⊙APE 中，⊙P A ＝2，⊙P AE ＝60°， ⊙PE ＝P A •sin60°＝，⊙B ′E ＝6+，⊙S ⊙ACB ′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．6. (2019 江苏省苏州市) 已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP＝.如图⊙，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ∆的面积为S （cm²），S 与t 的函数关系如图⊙所示：（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;（2）如图⊙，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ⊙求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;⊙试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）2/cm s ；10cm（2）⊙解：⊙在边BC 上相遇，且不包含C 点 ⊙57.515 2.5C vB v⎧⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩＜在点在点⊙2/6/3cm s v cm s ≤＜⊙如右图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊙AC，则12MH CM ==①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.515-2x2x-5(N )⊙ ⊙22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅=2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值2254.7. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角⊙GDC ，⊙G ＝90°．点M 在线段AB 上，且AM ＝a ，点P 沿折线AD ﹣DG 运动，点Q 沿折线BC ﹣CG 运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ⊙A B ．设PQ 与AB 之间的距离为x ．（1）若a ＝12．⊙如图1，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x 的值为； ⊙在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积；（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．【解析】 ⊙P 在线段AD 上，PQ ＝AB ＝20，AP ＝x ，AM ＝12，112152S MH AP x =⋅=-+四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；⊙当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，⊙0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊙AB于M，交CD于N，作GE⊙CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，⊙⊙GDC是等腰直角三角形，⊙DE＝CE，GE＝CD＝10，⊙GF＝GE+EF＝20，⊙GH＝20﹣x，由题意得：PQ⊙CD，⊙⊙GPQ⊙⊙GDC，⊙＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，⊙梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，⊙当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，⊙0≤x≤20，⊙10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，⊙10≤x≤20，二次函数图象开口向下，⊙当x＝20时，S最小，⊙﹣202+×20≥50，⊙a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．考向2动点与函数的结合问题1．(2019 江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2＋bx＋c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x＋2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分⊙PCR．若OQ⊙PR，求出点Q的坐标．【解析】（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，⊙抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，⊙当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，解得，x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；⊙当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣x2﹣x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x＝﹣，此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分⊙PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊙TR于点H，则有⊙PSC＝⊙RTC＝90°，由CA平分⊙PCR，得⊙PCA＝⊙RCA，则⊙PCS＝⊙RCT，⊙⊙PSC⊙⊙RTC，⊙，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x2＝4，在Rt⊙PRH中，tan⊙PRH＝＝过点Q作QK⊙x轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQ⊙PR，则需⊙QOK＝⊙PRH，所以tan⊙QOK＝tan⊙PRH＝2，所以2m＝，解得，m＝，所以点Q坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．2．(2019 江苏省常州市)已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：⊙半径为1的圆：；⊙如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．⊙若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；⊙若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【解析】（1）⊙半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．⊙如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt⊙ODC中，OC＝＝＝⊙OP+OC≥PC，⊙PC≤1+，⊙这个“窗户形“的宽距为1+．故答案为1+．（2）⊙如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．⊙如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊙x轴于T．⊙AC≤AM+CM，又⊙5≤d≤8，⊙当d＝5时．AM＝4，⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），当d＝8时．AM＝7，⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），⊙满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．考向3运动过程中的定值问题1．(2019 江苏省宿迁市)如图⊙，在钝角⊙ABC中，⊙ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将⊙BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图⊙，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：⊙BDA⊙⊙BEC；（2）如图⊙，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，⊙AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将⊙BDE从图⊙位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【解析】（1）如图⊙中，由图⊙，⊙点D为边AB中点，点E为边BC中点，⊙DE⊙AC，⊙＝，⊙＝，⊙⊙DBE＝⊙ABC，⊙⊙DBA＝⊙EBC，⊙⊙DBA⊙⊙EBC．（2）⊙AGC的大小不发生变化，⊙AGC＝30°．理由：如图⊙中，设AB交CG于点O．⊙⊙DBA⊙⊙EBC，⊙⊙DAB＝⊙ECB，⊙⊙DAB+⊙AOG+⊙G＝180°，⊙ECB+⊙COB+⊙ABC＝180°，⊙AOG＝⊙COB，⊙⊙G＝⊙ABC＝30°．（3）如图⊙﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边⊙ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙⊙AGC＝30°，⊙AOC＝60°，⊙⊙AGC＝⊙AOC，⊙点G在⊙O上运动，以B 为圆心，BD 为半径作⊙B ，当直线与⊙B 相切时，BD ⊙AD ， ⊙⊙ADB ＝90°， ⊙BK ＝AK ， ⊙DK ＝BK ＝AK ， ⊙BD ＝BK ， ⊙BD ＝DK ＝BK ， ⊙⊙BDK 是等边三角形， ⊙⊙DBK ＝60°， ⊙⊙DAB ＝30°，⊙⊙DOG ＝2⊙DAB ＝60°， ⊙的长＝＝，观察图象可知，点G 的运动路程是的长的两倍＝．2．(2019 江苏省无锡市)如图1，在矩形ABCD 中，3BC =，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称PAB ∆'，设点P 的运动时间为()t s ．（1）若AB =⊙如图2，当点B '落在AC 上时，显然PAB ∆'是直角三角形，求此时t 的值；⊙是否存在异于图2的时刻，使得PCB ∆'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由．（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB '与直线CD 相交于点M ，且当3t <时存在某一时刻有结论45PAM ∠=︒成立，试探究：对于3t >的任意时刻，结论“45PAM ∠=︒”是否总是成立？请说明理由．【解析】（1）⊙勾股求的易证CB P CBA',故''43B P=解得⊙1°如图，当⊙PCB’=90 °时，在⊙PCB’中采用勾股得：222(3)t t+-=，解得t=22°如图，当⊙PCB’=90 °时，在⊙PCB’中采用勾股得：222(3)t t+-=，解得t=6B'CB'CBA A BDPD33°当⊙CPB’=90 °时，易证四边形ABP’为正方形，解得（2）如图，⊙⊙PAM=45°⊙⊙2+⊙3=45°，⊙1+⊙4=45°又⊙翻折⊙⊙1=⊙2，⊙3=⊙4又⊙⊙ADM=⊙AB’M（AAS）⊙AD=AB’=AB即四边形ABCD是正方形如图，设⊙APB=xB'CA BDA⊙⊙PAB=90°-x ⊙⊙DAP=x易证⊙MDA⊙⊙B’AM （HL ） ⊙⊙BAM=⊙DAM ⊙翻折⊙⊙PAB=⊙PAB’=90°-x⊙⊙DAB’=⊙PAB’-⊙DAP=90°-2x ⊙⊙DAM=21⊙DAB’=45°-x ⊙⊙MAP=⊙DAM+⊙PAD=45°4321MB'BCB'A D PP。