热点专题8 动态几何问题(解析版)
热点专题8动点几何问题
考向1图形的运动与最值
1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．
【解析】如图，
过点P作PE⊙BD交AB的延长线于E，
⊙⊙AEP＝⊙ABD，⊙APE⊙⊙ATB，
⊙，
⊙AB＝4，
⊙AE＝AB+BE＝4+BE，
⊙，
⊙BE最大时，最大，
⊙四边形ABCD是矩形，
⊙BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
过点C作CH⊙BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，⊙BD是⊙C的切线，
⊙⊙GME＝90°，
在Rt⊙BCD中，BD＝＝5，
⊙⊙BHC＝⊙BCD＝90°，⊙CBH＝⊙DBC，
⊙⊙BHC⊙⊙BCD，
⊙，
⊙，
⊙BH＝，CH＝，
⊙⊙BHG＝⊙BAD＝90°，⊙GBH＝⊙DBA，
⊙⊙BHG⊙⊙BAD，
⊙＝，
⊙，
⊙HG＝，BG＝，
在Rt⊙GME中，GM＝EG?sin⊙AEP＝EG×＝EG，
而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，
⊙GE最大时，BE最大，
⊙GM最大时，BE最大，
⊙GM＝HG+HM＝+HM，
即：HM最大时，BE最大，
延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，⊙GP'＝HP'+HG＝，
过点P'作P'F⊙BD交AB的延长线于F，
⊙BE最大时，点E落在点F处，
即：BE 最大＝BF ，
在Rt⊙GP 'F 中，FG ＝＝＝＝，
⊙BF ＝FG ﹣BG ＝8， ⊙
最大值为1+＝3，
故答案为：3．
2. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC ?中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ?面积的最大值为 ．
【解析】过D 作DG ⊙BC 于G ，过A 作AN ⊙BC 于N ，过E 作EH ⊙HG 于H ，延长ED 交BC 于M ．
易证⊙EHD ⊙⊙DGC ，可设DG ＝HE ＝x ，
⊙AB ＝AC ＝5，BC ＝AN ⊙BC ，
⊙BN ＝
1
2
BC ＝AN = ⊙G ⊙BC ，AN ⊙BC ， ⊙DG ⊙AN ， ⊙
2BG BN
DG AN
==，
⊙BG ＝2x ，CG ＝HD ＝- 2x ；
易证⊙HED ⊙⊙GMD ，于是HE HD
GM GD =
，x GM ，即MG 2= ，
所以S ⊙BDE
＝ 1
2BM ×HD ＝1
2×(2x 2)×(4
- 2x )＝25
2
x -+＝
2
582x ?-+ ??
，
当x 时，S ⊙BDE 的最大值为8． 因此本题答案为8． 3. (2019 江苏省宿迁市)如图，⊙MAN ＝60°，若⊙ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当⊙ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 ．
【解析】如图，过点B作BC1⊙AN，垂足为C1，BC2⊙AM，交AN于点C2
在Rt⊙ABC1中，AB＝2，⊙A＝60°
⊙⊙ABC1＝30°
⊙AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，
在Rt⊙ABC2中，AB＝2，⊙A＝60°
⊙⊙AC2B＝30°
⊙AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，
当⊙ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．
故答案为：＜BC＜2．
4. (2019 江苏省宿迁市)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边⊙EFG，连接CG，则CG的最小值为．
【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动
将⊙EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到⊙EFB⊙⊙EHG
从而可知⊙EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊙HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊙CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝
故答案为．
5．(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边⊙ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把⊙ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；
（2）如图2，当PB＝5时，若直线1⊙AC，则BB′的长度为；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，⊙ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求⊙ACB′面积的最大值．
【解析】（1）如图1中，
⊙⊙ABC是等边三角形，
⊙⊙A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
⊙PB＝4，
⊙PB′＝PB＝P A＝4，
⊙⊙A＝60°，
⊙⊙APB′是等边三角形，
⊙AB′＝AP＝4．
故答案为4．
（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．
⊙PE⊙AC，
⊙⊙BPE＝⊙A＝60°，⊙BEP＝⊙C＝60°，
⊙⊙PEB是等边三角形，
⊙PB＝5，
⊙⊙B，B′关于PE对称，
⊙BB′⊙PE，BB′＝2OB
⊙OB＝PB?sin60°＝，
⊙BB′＝5．
故答案为5．
（3）如图3中，结论：面积不变．
⊙B，B′关于直线l对称，
⊙BB′⊙直线l，
⊙直线l ⊙AC ， ⊙AC ⊙BB ′， ⊙S ⊙ACB ′＝S ⊙ACB ＝
?82＝16
．
（4）如图4中，当B ′P ⊙AC 时，⊙ACB ′的面积最大，
设直线PB ′交AC 于E ，
在Rt⊙APE 中，⊙P A ＝2，⊙P AE ＝60°， ⊙PE ＝P A ?sin60°＝，
⊙B ′E ＝6+
，
⊙S ⊙ACB ′的最大值＝×8×（6+
）＝4
+24．
6. (2019 江苏省苏州市) 已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP
＝.如图⊙，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ?的面积为S （cm2），S 与t 的函数关系如图⊙所示：
（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;
（2）如图⊙，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、
N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ??与的面积为()()
2212,S cm S cm . ⊙求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;
⊙试探究12S S ?是否存在最大值.若存在，求出12S S ?的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）2/cm s ；10cm
（2）⊙解：⊙在边BC 上相遇，且不包含C 点 ⊙5
7.515 2.5C v
B v
?????≥??＜在点在点
⊙2
/6/3
cm s v cm s ≤＜
⊙如右图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ???+=---（N ）矩形
()
()
515252575102
2
x x ?-?-=---
=15
过M 点做MH ⊙AC
，则12MH CM ==
①（图）
P
B
C
D
A
S （cm2）
t （s ）
②
图O
2.5
7.515-2x
2x-5
(N )
⊙ ⊙22S x =
()122152S S x x ?=-+?
=2430x x -+ =2
15225444x ?
?--+ ??
?
因为152.57.54＜＜，所以当15
4
x =时，12S S ?取最大值2254.
7. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角⊙GDC ，⊙G ＝90°．点M 在线段AB 上，且AM ＝a ，点P 沿折线AD ﹣DG 运动，点Q 沿折线BC ﹣CG 运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ⊙A B ．设PQ 与AB 之间的距离为x ． （1）若a ＝12．
⊙如图1，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x 的值为 ； ⊙在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积；
（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．
【解析】 ⊙P 在线段AD 上，PQ ＝AB ＝20，AP ＝x ，AM ＝12，
11
2152
S MH AP x =
?=-
+
四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，
解得：x＝3；
故答案为：3；
⊙当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，⊙0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，
作PH⊙AB于M，交CD于N，作GE⊙CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，
⊙⊙GDC是等腰直角三角形，
⊙DE＝CE，GE＝CD＝10，
⊙GF＝GE+EF＝20，
⊙GH＝20﹣x，
由题意得：PQ⊙CD，
⊙⊙GPQ⊙⊙GDC，
⊙＝，
即＝，
解得：PQ＝40﹣2x，
⊙梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，⊙当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；
（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，
梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，
⊙0≤x≤20，
⊙10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，
⊙10≤x≤20，二次函数图象开口向下，
⊙当x＝20时，S最小，
⊙﹣202+×20≥50，
⊙a≥5；
综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．
考向2动点与函数的结合问题
1．(2019 江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2＋bx＋c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x＋2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分⊙PCR．若OQ⊙PR，求出点Q的坐标．
【解析】（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得
，解得，
⊙抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），
第一种情况：AC为平行四边形的一条边，
⊙当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），
将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得
﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，
解得，x＝0或x＝﹣1，
因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为（﹣1，0）；
⊙当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），
将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得
y＝﹣x2﹣x+2，得
x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，
解得，x＝3，或x＝﹣，
此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；
第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，
由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），
故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），
将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得
﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，
解得，x＝0或x＝﹣3，
因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为（﹣3，12），
综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分⊙PCR，
当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，
过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，
过点P作PH⊙TR于点H，则有⊙PSC＝⊙RTC＝90°，
由CA平分⊙PCR，得⊙PCA＝⊙RCA，则⊙PCS＝⊙RCT，
⊙⊙PSC⊙⊙RTC，
⊙，
设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），
所以有，
整理得，x1+x2＝4，
在Rt⊙PRH中，tan⊙PRH＝＝
过点Q作QK⊙x轴于点K，设点Q坐标为（m，），
若OQ⊙PR，则需⊙QOK＝⊙PRH，
所以tan⊙QOK＝tan⊙PRH＝2，
所以2m＝，
解得，m＝，
所以点Q坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．
2．(2019 江苏省常州市)已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：
⊙半径为1的圆：；
⊙如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
⊙若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
⊙若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．
【解析】（1）⊙半径为1的圆的宽距离为1，
故答案为1．
⊙如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．
在Rt⊙ODC中，OC＝＝＝
⊙OP+OC≥PC，
⊙PC≤1+，
⊙这个“窗户形“的宽距为1+．
故答案为1+．
（2）⊙如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．
⊙如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊙x轴于T．
⊙AC≤AM+CM，又⊙5≤d≤8，
⊙当d＝5时．AM＝4，
⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），
当d＝8时．AM＝7，
⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），
⊙满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．
当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．
考向3运动过程中的定值问题
1．(2019 江苏省宿迁市)如图⊙，在钝角⊙ABC中，⊙ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将⊙BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．
（1）如图⊙，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：⊙BDA⊙⊙BEC；
（2）如图⊙，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，⊙AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将⊙BDE从图⊙位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．
【解析】（1）如图⊙中，
由图⊙，⊙点D为边AB中点，点E为边BC中点，
⊙DE⊙AC，
⊙＝，
⊙＝，
⊙⊙DBE＝⊙ABC，
⊙⊙DBA＝⊙EBC，
⊙⊙DBA⊙⊙EBC．
（2）⊙AGC的大小不发生变化，⊙AGC＝30°．
理由：如图⊙中，设AB交CG于点O．
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5）
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解 略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的； （3） 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=； （3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1） 因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线； （2）因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线； （4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线；
第八章平面解析几何质量检测
第八章 平面解析几何 （时间120分钟，满分150分） 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的） 1 .抛物线y 2= ax （a 丰0）的焦点到其准线的距离是 C ? |a| 解析：由已知焦点到准线的距离为 p =鸟 答案：B 2.过点A(4, a)与B(5 , b)的直线与直线 y = x + m 平行，则|AB| = B. .2 b — a 解析：由题知 ----- =1, ?- b — a = 1. 5— 4 ???|AB|= (5-4)2+ (b — a)2= 2. 答案：B 答案: ax + 2by — 2 = 0(a >0, b >0)始终平分圆 x 2 + y 2 — 4x — 2y — 8 = 0 的周长，则* + f 的 最小值为 ( ) A . 1 B . 5 C . 4 2 D . 3+ 22 解析：由(x — 2)2+ (y — 1)2= 13,得圆心(2,1), ???直线平分圆的周长，即直线过圆心. ?? a + b = 1. 12 ,12 b 「2a ?-a + b = (a + b )(a + b )= 3 + a + T 》3 + 22 ， 当且仅当b =弓，即a = 2 — 1, b = 2 — 2时取等号， a b D .不确定 3.已知双曲线 2 2 X —y^= 1的离心率为e , 抛物线x = 2pf 的焦点为（e,0）,则p 的值为（ B . 1 1 Cd 解析: 依题意得e = 2，抛物线方程为 y2= 2p x ，故 8p = 2,得 p = 和 4.若直线
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A ． 13 B ． 5 C ． 23 D ． 59 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2， 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ． 6 3 B ． 33 C ． 23 D ． 13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合， e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
解析几何第四版习题答案第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
第八章 空间解析几何答案
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-， 求点A 的坐标. 解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-. §8.2 数量积 向量积 1.若3 ),(,4||,3||π = ==Λ b a b a ，求b a c 23-=的模. 解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2 ?+?-?-?=-?-=
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A ． 13 B ． 5 C ． 23 D ． 59 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2， 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ． 6 B ． 3 C ． 2 D ． 13 3.【2016高考理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合， e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何
同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解 析几何 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五篇 向量代数与空间解析几何 第八章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位. 本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容. 第1节 空间直角坐标系 1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现. 1.1.1 空间直角坐标系 过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2 角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点. 图8-1 在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面 y x z O
高考数学解析几何-轨迹方程的求法专题复习(专题训练)
专题八、解析几何（三） 点的轨迹方程 1.求点的轨迹方程的常用方法： （1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可根据已知条件和曲线的固有定义，求出轨迹方程。 （2）直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以用点P 的坐标（x ，y ）表示出那些等量关系，化简即可得到轨迹方程。 （3）参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），再通过消去参数t ，得到关于x ，y 的轨迹方程F （x ，y ）＝0。 （4）代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 （5）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可得到轨迹方程。 （6）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法。 （7）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题先求解两动曲线方程组，得出它们的交点（含参数）坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法、点差法并用。 2.求轨迹方程的注意事项：求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。 （一）用定义法求点的轨迹方程 例1. 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆22 6910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
高考数学小专题8 解析几何
小专题8 解析几何 1、（2012-4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 2、（2014-4）.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离 为 ( ) A B .3 C D .3m 3、（2013-4）、已知双曲线C ：22 221x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为，则C 的渐近线方程为 ( ) A .14y x =± B .13y x =± C .12 y x =± D .y x =± 4、（2016-5）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 ( ) （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) 5、(2015-5)已知),(00y x M 是双曲线C ：12 22 =-y x 上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点.若021>P 32a x =?21F PF 30E ()A 12()B 23()C 34 ()D 45C x C x y 162 =,A B AB = C () A () B () C 4() D 8
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题复习讲练6解析几何的综合问题 (1)
§6解析几何的综合问题 一、复习要点 1本节的主要内容是解析几何与代数、三角等内容的横向综合．重点是解析几何与函数、方程、不等式、数列、三角等知识的综合应用．难点是能灵活运用所学知识将解析几何问题与代数、三角问题相互转化，沟通它们之间的联系． 2在本节的复习中，应特别重视解析几何与函数、不等式、数列、三角知识的综合应用．解答解析几何综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用解析几何的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数等），再结合代数、三角知识解答．要重视函数与方程的思想、等价转化思想的运用．3有关直线与二次曲线的最值问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识与函数等知识为一体，综合性强．解答此类问题一般有两种方法：①代数法．即就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可分别采用配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围．②几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质简捷求解． 4由于解答解析几何综合问题有利于培养和提高同学们的数学综合能力，因而解析几何的综合问题已成为上海及全国近年来高考命题的热点，常作为高考数学的把关题． 二、例题讲解 例1 如图8-18，抛物线方程为ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）（ｐ＞0），直线ｘ＋ｙ＝ｍ与ｘ轴的交点在抛物线的准线的右边． 图8-18 （1）求证：直线与抛物线总有两个交点； （2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥ＯＲ，求p关于ｍ的函数ｆ（ｍ）的表达式； （3）在（2）的条件下，若ｍ变化，使得原点O到直线QR的距离不大于（／2），求ｐ的取值范围． 讲解：（1）欲证直线与抛物线总有两个交点，须证对满足题设条件的ｍ、ｐ的值，直线与抛物线的方程组成的方程组总有两个不同的实数解．由 ｙ２＝ｐ（ｘ＋1）， 消去ｙ，得ｘ２－（2ｍ＋ｐ）ｘ＋（ｍ２－ｐ）＝0，ｘ＋ｙ＝ｍ， Δ＝ｐ（4ｍ＋ｐ＋4）． Δ的表达式中含有两个参数ｐ、ｍ，欲知它大于0是否成立，须寻找它们之间的联系．∵抛物线的准线方程是ｘ＝－1－（ｐ／4），直线与ｘ轴的交点是（ｍ，0），据题意ｍ＞－1－（ｐ／4），即4
高考数学解析几何专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
2021新高考高三优质数学试题分项汇编《专题8 平面解析几何》(解析版)
专题8 平面解析几何 纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备. 一、单选题 1．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物 线C 的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 【解析】 由点()2,4M 在抛物线2 2y px =上，可得164p =，解得4p =， 即抛物线2 :8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ． 2．（2020·山东高三模拟）已知曲线2 4x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切 点分别为,A B ，则直线AB 截圆22 650x y y +-+=所得弦长为（ ） A B ．2 C ．4 D ．
(新高考专用)专题 解析几何(含详细解析)
初高中数学学习资料的店 初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 11 页 专题11 解析几何 1．已知圆C 的方程为()2241x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线上，过点P 作圆C 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若60APB ∠=?，求点P 的坐标； （2）求证：经过,,A P C （其中点C 为圆C 的圆心）三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标. 【答案】（1）()2,4或612,55?? ??? （2）证明见解析；()0,4和816,55?? ??? 【解析】（1）由条件可得圆C 的圆心坐标为()0,4，2PC =，设(),2P a a ， 2=，解得2a =，或65a =，所以点P 的坐标为()2,4或612,55?? ??? . （2）设(),2P a a ，过点,,A P C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为()()()420x x a y y a -+--=， 整理得224280x y ax y ay a +---+=，即() ()224280x y y a x y +--+-=. 由2240,280, x y y x y ?+-=?+-=?得0,4x y =??=?或8,516,5x y ?=????=??∴该圆必经过定点()0,4和816,55?? ???. 2．已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B . （1 ）若过点12C ? ?? 的直线l 被圆O ，求直线l 的方程； （2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得PA = (O 为坐标原点)，求r 的取值范围； （3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ?是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）直线l 的方程为1 2x = 或10x -+= ；（2）0r <≤3）m n ?为定值1.. 【解析】1? 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：12x =，符合题意.
解析几何第四版吕林根课后习题答案
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
2020高考数学总复习第八章解析几何课时作业55理含解析新人教A版
课时作业55 抛物线 1．(2019·广东珠海模拟)已知抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一 点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( B ) A.7π12 B ．2π3 C.3π4 D ．5π6 解析：由抛物线y 2 ＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝ 23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角等于2π 3 ，故选B. 2．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2 ＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( D ) A ．y 2 ＝4x B ．y 2 ＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2 ＝－8x 解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝ 12 ×2p ×? ?? ??p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2 ＝8x ，所以直线AB 的方程 为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2 ＝－8x ，故选D. 3．已知抛物线C ：x 2 ＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( C ) A ．x 2 ＝8y B ．x 2 ＝4y C ．x 2＝2y D ．x 2 ＝y 解析：由? ?? ?? x 2 ＝2py ， y ＝2x ，得? ?? ?? x ＝0， y ＝0或? ?? ?? x ＝4p ， y ＝8p ， 即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )， 则 4p 2 ＋8p 2＝45，得p ＝1(舍去负值)， 故抛物线C 的方程为x 2 ＝2y . 4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2 ＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝3 2 (O 为坐标原点)，则OM →·MF → ＝( A ) A ．－74 B ．74
专题五解析几何专项训练
专题五 解析几何专项训练 一、选择题 1．设双曲线C: 3 2 x －y 2=1的右焦点为F,直线l 过点F 且斜率为k, 若直线l 与双曲线C 的 左、右两支都相交,则直线的斜率的取值范围是 ( ) A. k ≤－ 21 或k ≥21 B. －21
解析几何第四版吕林根课后习题答案
第三章 平 面 与 空 间 直 线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M CD 的（3）（ⅰ）设平面通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=? 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 0=. 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B -- ， 从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面?
? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： }5,2,3{z AB +-= ⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面. 解:平行于x 轴的平面方程为 00 1 011112 =--+-z y x .即01=-z . 同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z .
⑵设该平面的截距式方程为 132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19 24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x . ⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点, {}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量, ∴ .11 6 cos ,119cos ,112cos -=== ?γβ 则该平面的法式方程为: .01111 6 119112=--+z y x 既 .0121692=--+z y x