2021新高考高三优质数学试题分项汇编《专题8 平面解析几何》(解析版)
专题08 平面解析几何-浙江省高三数学优质金卷考卷分项
高考资源网（ ），您身边的高考专家第八章 平面解析几何一．基础题组1.【浙江省杭州市 2018 届高三上学期期末】双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为（ ） 4A. y 1 x 2【答案】BB. y 2xC. y 3 x 2D. y 5 x 2【解析】由双曲线 x2 y2 1得 a 1，b 2 ，所以渐近线方程为 y 2x ， 4故选 B .2.【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】设点P是双曲线x a2 2y2 b2 1(a 0,b 0) 与圆x2 y2 a2 b2 在第一象限的交点， F1, F2 是双曲线的两个焦点，且 2 PF1 3 PF2 ，则双曲线的离心率为A. 13B. 13 2【答案】AC. 13D. 13 2点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等式，再根 据 a,b, c 的关系消掉 b 得到 a, c 的关系式，而建立关于 a,b, c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3. 【浙江省嘉兴市 2018 届高三上学期期末】点 1,0 到直线 x y 1 0 的距离是A. 2B. 2 2【答案】AC. 1 D. 1 2欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
高考资源网（ ），您身边的高考专家【解析】点 1,0 到直线 x y 1 0 的距离是 1 0 1 2 ,选 A.24. 【浙江省宁波市 2018 届高三上学期期末】已知焦点在 y 轴上的椭圆 x2 y2 1 的离心率为 1 ，则实数4m2m 等于（ ） A. 3 B. 165【答案】DC. 5 D. 16 3【解析】 x2 y2 1是焦点在 y 轴上的椭圆， a m, b 2, c m 4 ，离心率 4me c m 4 1 ，得 m 16 ，故选 D.a m235.【浙江省宁波市 2018 届高三上学期期末】已知双曲线 C 的渐近线方程是 y 2 2x ，右焦点 F 3,0 ，则双曲线 C 的方程为_________，又若点 N 0,6 ， M 是双曲线 C 的左支上一点，则 FMN 周长的最小值为__________．【答案】 x2 y2 1 6 5 2 8【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问 题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙； 二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角 函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用双曲线的定义结合三角形的 性质求三角形周长最小值的.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
高考数学试题分项解析专题08 立体几何学生 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高考试题分项解析数学〔理科〕专题08立体几何〔学生〕一、选择题:1.(2021年高考卷理科6)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为〔〕A ．12ππππ2.(2021年高考卷理科7)某三棱锥的三视图如下列图，该三梭锥的外表积是〔〕3.(2021年高考卷理科4)一个几何体的三视图形状都一样，大小均相等，那么这个几何体不可以是〔〕A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱4．(2021年高考卷理科10)矩形ABCD ，AB ＝1，BC ∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进展翻着，在翻着过程中，〔〕A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD 〞，“AB 与CD 〞，“AD 与BC 〞均不垂直7.(2021年高考卷理科3)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，那么该几何体的俯视图不可能是〔〕8.(2021年高考全国卷理科7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为〔〕9.(2021年高考全国卷理科11)三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；那么此棱锥的体积为〔〕10．(2021年高考卷理科10)如右图，正四棱锥SABCD -所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两局部，记(01),SE x x =<<截面下面局部的体积为(),V x 那么函数()y V x =的图像大致为〔〕11.(2021年高考卷理科6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥那么“αβ⊥〞是“a b ⊥〞的〔〕 ()A 充分不必要条件()B 必要不充分条件()C 充要条件 ()D 即不充分不必要条件13.(2021年高考卷理科6)〕A 、假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行B 、假设一个平面内有三个点到另一个平面的间隔相等，那么这两个平面平行C 、假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D 、假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行15．(2021年高考全国卷理科4)正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,22,AB CC E ==为1CC 的中点，那么直线1AC 与平面BED 的间隔为〔〕A ．2B 3C 2D ．116.(2021年高考卷理科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 2的棱异面，那么a 的取值范围是〔〕〔A 〕2)〔B 〕3)〔C 〕2)〔D 〕3)二、填空题:2.(2021年高考卷理科16)正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 3PA ， PB ，PC 两两互相垂直，那么球心到截面ABC 的间隔为_______.3．〔2021年高考卷7〕如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，那么四棱锥D D BB A 11-的体积为cm 3.4.(2021年高考卷理科10)―个几何体的三视图如下列图(单位：m )，那么该几何体的体积为3m .8．(2021年高考卷理科8)假设一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，那么该圆锥的体积为.9．(2021年高考卷理科14)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，假设c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，那么四面体ABCD 的体积的最大值是.11.(2021年高考全国卷理科16)三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA 1=CAA 1=60°那么异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.三、解答题:2.(2021年高考卷理科18)〔本小题总分值是13分〕如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。
专题08平面解析几何-2019届浙江省高考数学复习必备高三优质考卷分项解析(Word版含解析)
一．基础题组1. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】双曲线的一条渐近线方程为，则正实数的值为（）A．9 B．3 C．D．【答案】D【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，即可得到结果【详解】2. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中，则满足的点的轨迹的圆心为____________，面积为____________.【答案】【解析】【分析】由阿波罗尼斯圆求出点的轨迹的圆的方程，就可以得到圆心坐标和圆面积【详解】设，即化简可得故圆心坐标为面积为【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆，即一动点到两定点的距离之比是个常数时其轨迹是圆，运用两点间的距离公式就可以求出圆的标准方程，从而得到结果.3.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，已知椭圆，双曲线，若以为长轴的直径的圆与的一条渐近线交于两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则且，根据这个关系我们能得到的坐标，从而得到的大小．详解：设直线与椭圆在第一象限内的交点为且设，其中则，故，所以，也就是，所以，选A．点睛：圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．4. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点.如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为_____________.【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，是线段的两个三等分点，则线段的中点与线段的中点重合，得到关系式求出斜率【详解】由题意，设直线的方程为，，则，联立椭圆方程可得，由韦达定理可得，，是线段的两个三等分点线段的中点与线段的中点重合，解得故答案为【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题目中“是线段的两个三等分点”出发，联立直线方程与椭圆方程，求得线段中点坐标，得到方程求出结果，解题关键是找出相等的量。
2021-2023年高考数学真题分类汇编：平面解析几何解答题
专题08平面解析几何（解答题）近三年高考真题1．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,2的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于【解析】（1）设点P 点坐标为(,)x y ，由题意得||y ，两边平方可得：22214y x y y ，化简得：214y x，符合题意．故W 的方程为214y x．（2）解法一：不妨设A ，B ，C 三点在W 上，且AB BC ．设21(,)4A a a ，21(,)4B b b ，21(,4C c c ，则22(,)AB b a b a ，22(,)BC c b c b．由题意，0AB BC，即2222()()()()0b a c b b a c b ，显然()()0b a c b ，于是1()()0b a c b ．此时，||b a ．||1c b ．于是{||min b a ，||}1c b ．不妨设||1c b ，则1a b b c，则||||||||AB BC b a c b||b a c b|||b a c b||c a1|b c b c设||x b c，则1()(f x x x 322(1)()x f x x ，又11222222222(1)(31)(1)(21)()x x x x x f x x x．显然，2x为最小值点．故()(2f x f 故矩形ABCD的周长为2(||||)2()AB BC f x ．注意这里有两个取等条件，一个是||1b c，另一个是||b c ，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A ，B ，D 在抛物线W 上，C 不在抛物线W上，欲证命题为||||2AB AD ．由图象的平移可知，将抛物线W 看作2y x 不影响问题的证明．设(A a ，2)(0)a a ，平移坐标系使A 为坐标原点，则新抛物线方程为22y x ax ，写为极坐标方程，即22sin cos 2cos a ，即2sin 2cos cos a．欲证明的结论为22sin()2cos()sin 2cos 3322||||cos 2cos ()2a a ，也即222sin 2cos ||||cos cos sin sin a a ．不妨设22||||cos sin，将不等式左边看成关于a 的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当22sin 0cos cos a 即sin 2cos a时取得，因此欲证不等式为21cos ||cos sin，即21||cos sin ，根据均值不等式，有2|cos sin |由题意，等号不成立，故原命题得证．2．（2023•上海）已知抛物线2:4y x ，在 上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a ．（1）若A 到抛物线 准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a 时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线 上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线:3l x ，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为Q ．若在P 的位置变化过程中，||4HQ 恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）抛物线2:4y x 的准线为1x ，由于A 到抛物线 准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a ，解得a ；（2）当4a 时，点A 的横坐标为2444，则(4,4)A ，设(,0)B b ，则AB 的中点为4(,2)2b ，由题意可得24242b ，解得2b ，所以(2,0)B ，则402423AB k，由点斜式可得，直线AB 的方程为2(2)3y x ，即2340x y ，所以原点O 到直线AB13；（3）如图，设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t A a H t t a ，则22444AP t a k t a t a，故直线AP 的方程为24()4a y a x t a，令3x ，可得24(3)4a y a t a ，即24(3,(3))4a Q a t a，则24|||(3)|4a HQ t a t a，依题意，24|(3)|44a t a t a恒成立，又24(3)2204a t a a a t a ，则最小值为24a ，即2a ，即2a ，则221244a a a ，解得02a ，又当2a 时，1624442t t，当且仅当2t 时等号成立，而a t ，即当2a 时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(0，2]．3．（2022•上海）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a b，直线:0l x y ， 下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(F ，0)、2F ，0)．（1）2a ，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM 中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆 上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ，随a 的变化，求d 的最小值．【解析】（1）由题意可得2,a b c ，22:1,(0,42x y A ，AM ∵的中点在x 轴上，M ，代入0x y 得M ．（2）由直线方程可知B ，①若3cos 5BAM，则4tan 3BAM ，即24tan 3OAF ，234OA OF ，b．②若3cos 5BMA，则4sin 5BMA ，∵4MBA， 34cos()252510MBA AMB ，cos BAMtan 7BAM ．即2tan 7OAF ， 7OA ， 7b ，综上b或27．（3）设(cos ,sin )P a b ，62a ，很明显椭圆在直线的左下方，则62a ，即) ，222a b ∵，) ，)22a ，|sin()|1 ，整理可得(1)(35)0a a ，即513a ，从而58626233d a ．即d 的最小值为83．4．（2022•浙江）如图，已知椭圆22112x y ．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点1(0,2Q 在线段AB上，直线PA ，PB 分别交直线132y x 于C ，D 两点．（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求||CD 的最小值．【解析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点(,)M x y ，则222222||(1)12122111213PM x y y y y y y ，[1y ，1]，而函数211213z y y 的对称轴为1[1,1]11y ，则其最大值为21114411(213111111， 1441211||1111max PM，即点P 到椭圆上点的距离的最大值为121111；（Ⅱ）设直线11221:,(,),(,)2AB y kx A x y B x y ，联立直线AB 与椭圆方程有2212112y kx x y，消去y 并整理可得，22(121)1290k x kx ，由韦达定理可得，121222129,121121k x x x x k k， 22212121222212366161||()4()121121k k x x x x x x k k k，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，直线111:1y AP y x x ，直线221:1y BP y x x ，联立1111132y y x x y x 以及2211132y y x x y x，可得12341244,(21)1(21)1x x x x k x k x，由弦长公式可得21234124415||1()|||22(21)1(21)1x x CD x x k x k x1212212121225|5|[(21)1][(21)1](21)(21)()1x x x x k x k x k x x k x x66|231555k，当且仅当316k 时等号成立，||CD的最小值为5．5．（2022•北京）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b的一个顶点为(0,1)A，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点(2,1)P 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当||2MN 时，求k的值．【解析】（Ⅰ）由题意得，12bc，1b，c ，2a ，椭圆E的方程为2214x y ．（Ⅱ）设过点(2,1)P 的直线为1(2)y k x，1(B x，1)y，2(C x，2)y，联立得221(2)141y k xx y，即2222(14)(168)16160k x k k x k k，∵直线与椭圆相交， △2222[(168)]4(14)(1616)0k k k k k，0k，由韦达定理得212216814k kx xk，2122161614k kx xk，111ABykx∵， 直线AB为1111yy xx，令0y ，则111xxy，11(1xMy，0)，同理22(1xNy ，0)，1212211212211||||||()|11(2)(2)22x x x x x xMNy y k x k x k x x212112122()11||||(2)(2)x xk x x k22|216162(168)41414k k，2|2k，1|2，4k ．6．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y ．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在C 上，且120x x ，10y ．过P且斜率为Q且斜率为的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M 在AB 上；②//PQ AB ；③||||MA MB ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】（1）由题意可得ba，2 ，解得1a，b ，因此C 的方程为2213y x ，（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx m ，(0)k ，将直线PQ 的方程代入2213y x 可得222(3)230k x kmx m ，△2212(3)0m k ，120x x ∵122203kmx x k ，2122303m x x k，230k，1222333x x k ，设点M 的坐标为(M x ，)M y，则1122))M M M M y y x x y y x x ，两式相减可得1212)M y y x x ，1212()y y k x x ∵，1212)()M x x k x x ，解得23M kmX k ，两式相加可得12122())M y y y x x ，1212()2y y k x x m ∵，12122)()2M y x x k x x m ，解得M y ，3M M y x k，其中k 为直线PQ 的斜率；若选择①②：设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 234243k x x k ，342123ky y k ，此时点M 的坐标满足(2)3M M M My k x y x k，解得234221()32M k X x x k ，34261()32M k y y y k ，M 为AB 的中点，即||||MA MB ；若选择①③：当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点(2,0)F ，此时不在直线3y x k上，矛盾，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)(0)y m x m ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y m x y，解得3x，3y ，同理可得4x，4y 此时234212()23M m x x x m ，34216()23M my y y m，由于点M 同时在直线3y x k 上，故2362m m k，解得k m ，因此//PQ AB ．若选择②③，设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 设AB 的中点(C C x ，)C y ，则234212()23C k x x x k ，34216()23C ky y y k ，由于||||MA MB ，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1()C C y y x x k上，将该直线3y x k 联立，解得2223M C k x x k ，263M C ky y k ，即点M 恰为AB 中点，故点M 在直线AB 上．（2）解法二：由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为0．若选①③ ②，则M 为线段AB 的中点，假设AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ，此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，从而12x x ，已知不符．综上，直线AB 的斜率存在且不为0，直线AB 的斜率为k ，直线AB 的方程为(2)y k x ．则条件①M 在直线AB 上，等价于20000(2)(2)y k x ky k x ，两渐近线的方程合并为2230x y ，联立方程组，消去y 并化简得：2222(3)440k x k x k ，设3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，线段中点为(N N x ，)N y ，则2342223N x x k x k ．26(2)3N N ky k x k ，设0(M x ，0)y ，则条件③||||AM BM 等价于222203030404()()()()x x y y x x y y ，移项并利用平方差公式整理得：3403434034()[2()]()[(2()]0x x x x x y y y y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，200283k x ky k ，由题意知直线PM的斜率为QM的斜率为，由1010)y y x x，2020)y y x x，121202)y y x x x ，直线PQ的斜率1201212122)x x x y y m x x x x，直线00:)PM y x x y，即00y y ，代入双曲线的方程为22330x y，即)3y y 中，得0000(()]3y y ，解得P的横坐标为100)]3x y ，同理，2022003()3x y y x ，012002200323x x x x x y x ，03x m y， 条件②//PQ AB 等价于003m k ky x ，综上所述：条件①M 在AB 上等价于200(2)m k ky k x ，条件②//PQ AB 等价于003ky x ，条件③||||AM BM 等价于200283k x ky k ．选①② ③：由①②解得20223k x k 20002843k x ky x k ， ③成立；选①③ ②：由①③解得：20223k x k ，20263k ky k ，003ky x ， ②成立；选②③ ①：由②③解得：20223k x k ，20263k ky k ， 02623x k ， ①成立．7．（2022•上海）已知椭圆222:1(1)x y a a，A 、B 两点分别为 的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线:l x a 上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆 的右焦点，且6AFB，求 的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆 上，并说明理由；（3）设直线AD 、BC 分别交椭圆 于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求||CD 的最小值．【解析】（1）由题可得(0,1)B ，(,0)F c ，因为6AFB，所以1tan tan 63b AFBc c，解得c ，所以214a ，故 的标准方程为2214x y ；（2）直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上，由题可得此时(,0)A a ，(0,1)B ，(,2)C a ，(,1)D a ，则直线3:1BC y x a ，直线11:22AD y x a ，交点为3(5a ，4)5，满足2223()45()15a a ，故直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上；（3）(0,1)B ，(cos ,sin )P a ，则直线sin 1:1cos BP y x a ，所以sin 1(,1)cos C a，(,0)A a ，(cos ,sin )Q a ，则直线sin :()cos AQ y x a a a，所以2sin (,cos 1D a，所以222222sin cos 4sin cossin 12sin 222222||11cos cos 12222sin cos CD cos sin sin，设tan 2t ，则11||2()21CD t t，因为114a ba b ，所以114411t t t t，则||6CD ，即||CD 的最小值为6．8．（2021•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b的一个顶点(0,2)A ，以椭圆E 的四个顶点围成的四边形面积为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(0,3)P 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 分别与直线3y 交于点M 、N ，当||||15PM PN 时，求k 的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b过点(0,2)A ，则2b ，又因为以四个顶点围成的四边形面积为，所以1222a b，解得a ，故椭圆E 的标准方程为22154x y；（Ⅱ）由题意，设过点(0,3)P ，斜率为k 的直线为直线l ，设直线l 的方程为(3)(0)y k x ，即3y kx ，当0k 时，直线l 与椭圆E 没有交点，而直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，所以0k ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程组223154y kx x y，可得22(45)30250k x kx ，则△22(30)425(45)0k k ，解得||1k ，所以1212223025,4545k x x x x k k，则221212121222036(3)(3)3()945k y y kx kx k x x k x x k ，121212224(3)(3)()645y y kx kx k x x k，直线AB 的方程为11(2)(2)(0)0y y x x ，即1122y y x x ，直线AC 的方程为22(2)(2)0)0y y x x，即2222y y x x ，因为直线AB 交3y 于点M ，所以令3y ，则112M x x y ，故11(,3)2x M y ，同理可得22(,3)2x N y ，注意到12225045x x k，所以1x ，2x 同号，因为120y ，220y ，所以M x ，N x 同号，故||||||||||M N M N PM PN x x x x ，则1212211212(2)(2)|||||||22(2)(2)x x x y x y PM PN y y y y 1221121212(3)(3)2()||2()4x kx x kx x x y y y y 121212122()||2()4kx x x x y y y y 22222253024545||20364844545kk k k k k k5||k ，故||||5||PM PN k ，又||||15PM PN ，即5||15k ，即||3k ，又||1k ，所以1||3k ，故k 的取值范围为[3 ，1)(1 ，3]．9．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线22(0)y px p 的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且||2MF ．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足2||||||RN PN QN ，求直线l 在x轴上截距的取值范围．【解析】（Ⅰ）依题意，2p ，故抛物线的方程为24y x ；（Ⅱ）由题意得，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线:(1)AB y k x ，将直线AB 方程代入抛物线方程可得，2222(24)0k x k x k ，则由韦达定理有，242,1A B A B x x x x k，则4A B y y ，设直线1:(1)AM y k x ，其中11A A y k x，设直线2:(1)BM y k x ，其中21B B yk x ，则12(1)(1)(1)(1)0011(1)(1)(1)(1)(1)(1)A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B y y y x y y x y k x x k x k x x k x k k x x x x x x x x，2122244(1)(1)1121A B A B y y k k k x x k k，设直线:2()l y x t ，联立2()(1)y x t y k x ，可得22R k t x k ，则2||||||22R k t k kt x t t k k ，联立12()(1)y x t y k x ，可得1122P k t x k ，则111112||||||22P k t k k t x t t k k ，同理可得，222222,||||22Q Q k t k k tx x t k k，又2||||||RN PN QN ，2112212||||222k k t k k tk kt k k k ，即2222(1)()234k kt k t k k ，22222222(1)343(2)12(2)16161243333()(1)(1)(2)(2)(2)22244t k k k t t k k k k k ，224(21)3(21)t t t t ，即21410t t，解得7t或71)t t ；当直线AB 的斜率不存在时，则直线:1AB x ，(1,2)A ，(1,2)B ，(1,0)M ，直线MA 的方程为1y x ，直线MB 的方程为1y x ，设直线:2()l y x t ，则(12,22)P t t ，2122(,)33t t Q ，(1,22)R t ，(,0)N t ，又2||||||RN PN QN，故22(1)(22)t t 解得t满足(,77,1)(1,) ．直线l 在x轴上截距的取值范围为(,77,1)(1,) ．10．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F ，0)，2F ，0)，点M 满足12||||2MF MF ．记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解析】（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为22221(0,0),1x y a b x a b ，根据题意22222c a c a b，解得14a b c，C 的方程为221(1)16y x x ；（2）（法一）设1(,)2T m ，直线AB 的参数方程为1cos 2sin x t y m t，将其代入C 的方程并整理可得，2222(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m ，由参数的几何意义可知，1||TA t ，2||TB t ，则2212222121216117m m t t sin cos cos，设直线PQ 的参数方程为1cos 2sin x y m，1||TP ，2||TQ ，同理可得，212212117m cos ，依题意，22221212117117m m cos cos，则22cos cos ，又 ，故cos cos ，则cos cos 0 ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．（法二）设1(,)2T t ，直线AB 的方程为11()2y k x t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设1212x x ，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，22222111111(16)(2)1604k x k tk x k k t t ，由韦达定理有，22211111212221111624,1616k k t t k k tx x x x k k ，又由111111(,),(,)22A x k x k t T t可得11||)2AT x ，同理可得21||)2BT x ，222111221(1)(12)11||||(1)()()2216k t AT BT k x x k，设直线PQ 的方程为233441(),(,),(,)2y k x t P x y Q x y ，设3412x x ，同理可得22222(1)(12)||||16k t PT QT k ，又||||||||AT BT PT QT ，则22122212111616k k k k ，化简可得2212k k ，又12k k ，则12k k ，即120k k ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．11．（2021•乙卷（文））已知抛物线2:2(0)C y px p 的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】（1）由题意知，2p ，24y x ．（2）由（1）知，抛物线2:4C y x ，(1,0)F ，设点Q 的坐标为(,)m n ，则(1,)QF m n，9(99,9)PQ QF m nP 点坐标为(109,10)m n ，将点P 代入C 得21004036n m ，整理得22100362594010n n m ，当0n 时，2100259n n K m n，当0n 时，2101019259325n n K m n n n，当且仅当925n n ，即35n 时，等号成立，取得最大值．故答案为：13．12．（2022•甲卷（文））设抛物线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，点(,0)D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，||3MF ．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为 ， ．当 取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）由题意可知，当x p 时，222y p，得M y，可知||MD ，||2p FD ．则在Rt MFD 中，222||||||FD DM FM，得22())92p，解得2p ．则C 的方程为24y x ；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，当MN 与x 轴垂直时，由对称性可知，AB 也与x 轴垂直，此时2，则0 ，由（1）可知(1,0)F ，(2,0)D ，则1212221212124tan 44MN y y y y k y y x x y y，又N 、D 、B 三点共线，则ND BD k k ，即24240022y y x x，242224002244y y y y，得248y y ，即428y y；同理由M 、D 、A 三点共线，得318y y ．则34123434124tan 2()y y y y x x y y y y．由题意可知，直线MN 的斜率不为0，设:1MN l x my ，由241y x x my ，得2440y my ，124y y m ，124y y ，则41tan 4m m，41tan 242m m，则11tan tan 12tan()1111tan tan 122m m m m m m，∵1tan m，1tan 2m，tan 与tan 正负相同，22， 当 取得最大值时，tan() 取得最大值，当0m时，1tan()142m m；当0m 时，tan() 无最大值， 当且仅当12m m，即2m 时，等号成立，tan() 取最大值，此时AB 的直线方程为33344()y y x x y y ，即34344()0x y y y y y ，又123412128()888y y y y m y y y y∵34128816y y y y ，AB的方程为4160x，即40x ．13．（2023•甲卷（文））已知直线210x y 与抛物线2:2(0)C y px p 交于A ，B两点，||AB ．（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且0FM FN，求MFN 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ，（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 由24y x x my n，可得2440y m n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．14．（2023•甲卷（理））设抛物线2:2(0)C y px p ，直线210x y 与C 交于A ，B 两点，且||AB ．（1）求p 的值；（2）F 为22y px 的焦点，M ，N 为抛物线上的两点，且0MF NF，求MNF 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ；（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由24y x x my n，可得2440y my n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF ，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n ，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．15．（2023•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知1||3A F ，2||1A F ．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若△1A PQ 的面积是△2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．【解析】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c ，解得21a c，222413b a c ．则椭圆方程为22143x y ，椭圆的离心率为12c e a ；（Ⅱ）由题意可知，直线2A P 的斜率存在且不为0，当0k 时，直线方程为(2)y k x ，取0x ，得(0,2)Q k ．联立22(2)143y k x x y ，得2222(43)1616120k x k x k ．△2222(16)4(43)(1612)1440k k k ，221612243P k x k ，得228643P k x k ，则21243P k y k ．11212322111216124(2)4()224343A PQ A A Q A A Pk k k S S S k k k ．22211261()24343A FP k k S k k ． 3221612124343k k k k k ，即223k ，得6(0)2k k ；同理求得当0k 时，62k ． 直线2A P 的方程为6(2)2y x ．16．（2022•天津）椭圆22221(0)x y a b a b的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足||3||2BF AB ．（1）求椭圆的离心率e ；（2）直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于(N N 异于)M ．记O 为坐标原点，若||||OM ON ，且OMN 3【解析】（1）∵22||3||BF aAB a b 22234a a b ，223a b ，2223()a a c ，2223a c ，222633c e a ；（2）由（1）可知椭圆为222213x y a a，即2223x y a ，设直线:l y kx m ，联立2223x y a ，消去y 可得：2222(31)6(3)0k x kmx m a ，又直线l 与椭圆只有一个公共点，△2222364(31)(3)0k m k m a ，2223(31)m a k ，又2331M km x k ， 22233131M M k m m y kx m m k k ，又||||OM ON ， 222223(()3131km m m k k ，解得213k，3k ，又OMN的面积为2113||||||||2231M km ON x m k ，212224m ，又k 2223(31)m a k ，26a ，22b ， 椭圆的标准方程为22162x y ．17．（2022•新高考Ⅰ）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a 上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ，求PAQ 的面积．【解析】（1）将点A 代入双曲线方程得224111a a ，化简得42440a a ，22a ，故双曲线方程为2212x y ，由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m ，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m ，故122421km x x k ，21222221m x x k ，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x ，化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m ，故2222(22)4(12)(4(1)02121k m km m k m k k ，即(1)(21)0k m k ，而直线l 不过A 点，故1k ；（2）设直线AP 的倾斜角为，由tan PAQ22tan21tan 2PAQ PAQ，得tan 22PAQ 由2PAQ ， 2PAQ，得tan AP k，即1112y x ，联立1112y x ，及221112x y得1110533x y ，同理22x y 故12122068,39x x x x ，而12||2|,|||2|AP x AQ x，由tan PAQsin 3PAQ，故12121||||sin 2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x ．18．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为( 0)．（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于P ，证明P 在定直线上．【解析】（1）双曲线C中心为原点，左焦点为( 0)，则222c a b c c e a，解得24a b ，故双曲线C 的方程为221416x y ；（2）证明：过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，则可设直线MN 的方程为4x my ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，记C 的左，右顶点分别为1A ，2A ，则1(2,0)A ，2(2,0)A ，联立224416x my x y ，化简整理可得，22(41)32480m y my ，故△222(32)448(41)2641920m m m 且2410m ，1223241m y y m ，1224841y y m ，直线1MA 的方程为11(2)2y y x x，直线2NA 方程22(2)2y y x x ，故21211212(2)(2)22(2)(6)y x y my x x y x y my 121211212()26my y y y y my y y 12212483222414148641m m y m m m y m 1212162141483641m y m m y m ，故2123x x ，解得1x ，所以1P x ，故点P 在定直线1x 上运动．19．（2021•上海）已知22:12x y ，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(P m，0)(m ，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上．（1）若B 是上顶点，11||||BF PF ，求m 的值；（2）若1213F A F A ，且原点O 到直线l的距离为15，求直线l 的方程；（3）证明：对于任意m 12//F A F B 的直线有且仅有一条．【解析】（1）因为 的方程：2212x y ，所以22a ，21b ，所以2221c a b ，所以1(1,0)F ，2(1,0)F ，若B 为 的上顶点，则(0,1)B ，所以1||BF ，1||1PF m ，又11||||BF PF ，所以1m（2）设点A ，sin ) ，则2221211)213F A F A sin cos sin ，因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cos ，故()33A ，设直线l的方程为(0)33y kx k ，由原点O 到直线l，则15d ，化简可得231030k k ，解得3k 或13k ，故直线l的方程为13y x或3y x（舍去，无法满足m ，所以直线l的方程为139y x ；（3）联立方程组2212y kx km x y ，可得22222(12)4220k x k mx k m ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则222121222422,1212k m k m x x x x k k ，因为12//F A F B ，所以2112(1)(1)x y x y ，又y kx km ，故化简为122212x x k ，又122216882||||1212k k m x x k k ，两边同时平方可得，2224210k k m ，整理可得22142k m ，当m 时，221042k m ，因为点A ，B 在x 轴上方，所以k 有且仅有一个解，故对于任意m ，使得12//F A F B 的直线有且仅有一条．20．（2021•甲卷（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P满足AP ，写出P 的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【解析】（1）由极坐标方程为，得2cos ，化为直角坐标方程是22x y ，即22(2x y，表示圆心为C 0)（2）【解法1】根据题意知，点P 的轨迹是以A为缩放比例将圆1C 作位似变换得到的，因此1C的圆心为(3 0)，半径差为2 ，所以圆C 内含于圆1C ，圆C 与圆1C 没有公共点．【解法2】设点P 的直角坐标为(,)x y ，1(M x ，1)y ，因为(1,0)A ，所以(1,)AP x y ，1(1AM x ，1)y ，由AP ，即1111)x x y ，解得11(1)122x x y y ，所以1)1M x)y ，代入C的方程得221)1)2x ，化简得点P的轨迹方程是22(34x y，表示圆心为1(3C ，0)，半径为2的圆；化为参数方程是32cos 2sin x y， 为参数；计算1|||(332CC ，所以圆C 与圆1C 内含，没有公共点．21．（2023•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b，A 、C 分别为E 的上、下顶点，B 、D 分别为E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的一个动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．【解析】（1）由题意可得：24b，c e a，222a b c ，解得2b ，29a ， 椭圆E 的方程为22194x y ．（2）证明：(0,2)A ，(3,0)B ，(0,2)C ，(3,0)D ，直线BC 的方程为132x y ，化为2360x y ．设直线AP 的方程为：2y kx ，(0)k ，4(N k ，2) ．联立222194y kx x y ，化为：22(49)360k x kx ，解得0x 或23649k k，236(49k P k ，22818)49k k ．直线PD 方程为：22218849(3)36349k k y x k k ，即22188(3)273612k y x k k ，与2360x y 联立，解得26432k x k k ，2281896k y k k．264(32k M k k，2281896k k k ．2228182296464332MN k k k k k k k k，23CD k，//MN CD ．22．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b，右焦点为F ，0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN ．【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率3c a，又c所以a 2221b a c ，故椭圆的标准方程为2213x y ；（Ⅱ）证明：先证明充分性，当||MN 时，设直线MN 的方程为x ty s ，此时圆心(0,0)O 到直线MN的距离1d ，则221s t ，联立方程组2213x ty s x y ，可得222(3)230t y tsy s ，则△22222244(3)(3)12(3)24t s t s t s ，因为2||3MN t ，所以21t ，22s ，因为直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切，所以0s，则s ，则直线MN的方程为x ty恒过焦点F ，故M ，N ，F 三点共线，所以充分性得证．若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN的方程为x my ，则圆心(0,0)O 到直线MN的距离为1d ，解得21m ，联立方程组2213x my x y，可得22(3)10m y ，即2410y ，所以||44MN所以必要性成立；综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是||MN．23．（2021•天津）已知椭圆22221(0)x y a ba b的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且||BF．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若//MP BF，求直线l的方程．【解析】（1）因为离心率5e，||BF所以222caaa b c，解得a ，2c ，1b ，所以椭圆的方程为2215x y ．（2）先证明椭圆22221x ya b上过点(M x，)y的椭圆的切线方程为：00221xx yya b．由于椭圆过点0(x，0)y，则2200221x ya b①，对椭圆求导得22b xya y，即切线的斜率22b xka y，故切线的方程2002()b xy y x xa y，将①代入得00221xx yya b．则切线MN 的方程为0015x x y y ，令0x ，得01N y y，因为PN BF ，所以1PN BF k k ，所以1(12PN k ，解得2NP k ，设1(P x ，0)，则01120NPy k x ，即1012x y ，因为//MP BF ，所以MP BF k k ，所以0001122y x y ，即000122y x y ，所以000122x y y，又因为220015x y ，所以22002042115520y y y ，解得06y ，因为0N y ，所以00y ，所以06y，036x ，所以6156y，即0x y ．24．（2021•甲卷（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x 交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ．已知点(2,0)M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设1A ，2A ，3A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【解析】（1）因为1x 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，令1x ，则2y p ，根据抛物线的对称性，不妨设P 在x 轴上方，Q 在x 轴下方，故2),(1,2P p Q p ，因为OP OQ ，故112(202p p p，抛物线C 的方程为：2y x ，因为M 与l 相切，故其半径为1，故22:(2)1M x y ．另（1）根据抛物线的对称性，由题意可得45POx QOx ，因此点P ，Q 的坐标为(1,1) ，由题意可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，可得12p ，因此抛物线C 的方程为2y x ．而圆M 的半径为圆心M 到直线l 的距离为1，可得M 的方程为22(2)1x y ．（2）很明显，对于12A A 或者13A A 斜率不存在的情况以及23A A 斜率为0的情况满足题意．否则：设11(A x ，1)y ，22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ．当1A ，2A ，3A 其中某一个为坐标原点时（假设1A 为坐标原点时），设直线12A A 方程为0kx y ，根据点(2,0)M 到直线距离为11，解得k 联立直线12A A 与抛物线方程可得3x ，此时直线23A A 与M 的位置关系为相切，当1A ，2A ，3A 都不是坐标原点时，即123x x x ，直线12A A 的方程为1212()0x y y y y y ，1 ，即22212121(1)230y y y y y ，同理，由对称性可得，22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是方程222111(1)230y t y t y 的两根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．（2）另设2(i i A y ，)i y ，1i ，2，3，由直线的两点式可知，直线12A A 的方程为222122122()()()()y y y y y y x y ，化简可得1212()0x y y y y y ，因为直线12A A 与圆M2212121(2)1()y y y y ，整理得22212121(1)230y y y y y ，同理有22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是关于y 的方程222111(1)230y y y y y 的两个根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．25．（2023•乙卷（文））已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b的离心率为3，点(2,0)A 在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点．【解析】（1）由题意，22232c a b a b c，解得32a b c ． 椭圆C 的方程为22194y x ；证明：（2）如图，要使过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，则PQ 的斜率存在且小于0，设:3(2)PQ y k x ，即23y kx k ，0k ，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立2223194y kx k y x ，得22(49)8(23)16(3)0k x k k x k k ．△22[8(23)]4(49)16(3)17280k k k k k k ．1228(23)49k k x x k ，12216(3)49k k x x k ，直线11:(2)2y AP y x x，取0x ，得112(0,)2y M x ；直线22:(2)2y AQ y x x，取0x ，得222(0,2y N x ． 1212211212222(2)2(2)22(2)(2)y y y x y x x x x x 12211212(23)(2)(23)(2)22()4kx k x kx k x x x x x 121212122(43)()4(23)22()4kx x k x x k x x x x 222216(3)8(23)2(43)4(23)4949216(3)8(23)244949k k k k k k k k k k k k k k k 32322322223296649648723272481082164832481636k k k k k k k k k k k k k k 1082636．MN 的中点为(0,3)，为定点．。
2021高考数学(文)真题分项汇编专题《08 平面解析几何(解答题)》含近年高考真题(原卷版)
专题08平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知||2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G的坐标．8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，焦距为.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||AB =（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．（i ）求直线FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为.（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.1121．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)(22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P的坐标．。
专题8 平面解析几何--《2021届新高考山东优质冲刺数学试卷分项解析》【原卷版】
专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线2．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．3．（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．4．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．一、单选题1．（2020·山东高三期中）若双曲线221mx ny +=(0m >)mn=（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．4-2．（2020·江苏南通·高二月考）已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·山东高三开学考试）已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P ，则PA 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知点()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线C ：22221x y a b-= (0a >，0b >)的左､右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ， 2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则C 的离心率为（ ） A ．53B ．3C ．32D ．525．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点.若1ABF 为等边三角形，则b 的所有取值的积为（ ）AB C ．D ．6．（2020·江苏泰州中学高二月考）P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 到原点O 的距离为焦距的一半，且12PF PF a -=，则椭圆的离心率为（ ）A ．4B ．4C ．2D ．27．（2020·安庆市白泽湖中学高二月考）设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为( )A ．2B C ．12+ D ．28．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于,A B 两点，22,AF BF 分别交y 轴于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）AB C D 9．（2020·山东高三其他模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(,)(0)4pA a a >在C 上，||3AF =.若直线AF 与C 交于另一点B ，则||AB 的值是（ ）A ．12B ．10C ．9D ．4.510．已知抛物线E ：y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p =（ ）A ．1BC ．2D ．二、多选题11．（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点()1F 和)2F 连线的斜率之积等于13，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）A ．E 的方程为221(3x y x -=≠B ．EC ．E 的渐近线与圆()2221x y -+=相切D ．满足AB =l 仅有1条12．（2020·山东高三开学考试）已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（ ）A ．若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43B ．若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2C ．AB 的最短长度为323D ．满足11AB =的直线有4条13．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P为双曲线上一点，且122PF PF =，若1215sin 4F PF ∠=，则对双曲线中,,,a b c e 的有关结论正确的是（ ） A ．6e =B ．2e =C ．5b a =D ．3b a =14．（2020·湖南衡阳市八中高二月考）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线15．已知双曲线()222:104x y C m m m m -=>-+，若C 的离心率最小，则此时（ ）A ．2m =B ．双曲线的渐近线方程为30x y ±=C ．双曲线的一个焦点坐标为()2,0D ．双曲线的焦点到渐近线的距离为316．（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线221:1916x y C -=与双曲线222:1916y x C -=-，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等17．（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 三、填空题18．（2020·博兴县第三中学高三月考）以抛物线22y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.19．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q .当PFQ △的周长为12时，PFQ △的面积为______.20．（2020·山东高三其他模拟）已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=，则λ=________.21．（2020·山东潍坊·高三三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()22:23F x y -+=相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为________. 四、双空题22．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线l ：()1y k x =-与抛物线C ：()220y px p =>在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______.23．（2020·江苏南通·高二月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________. 五、解答题24．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为4，四边形1122F B F B 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M ，N 为椭圆C 上的两个动点，OMN 的面积为1．证明：存在定点W ，使得22WM WN +为定值.25．（2020·山东高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点1F ，2F 为等腰直角三角形的三个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：直线l 过定点.26．（2020·江苏泰州·高二月考）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM =求AOB ∆面积的最大值.27．（2020·山东高三期中）已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-.记点G 的轨迹为曲线C .（1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE .（2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点.试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由. 28．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且CD =O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值； （2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．29．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2点.M 为椭圆上的一动点， MF 1F 2面积的最大值为4.过点F 2的直线l 被椭圆截得的线段为PQ ，当l ⊥x 轴时，22PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 1作与x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.30．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率是22，原点到直线1x y a b +=23. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点()0,3Q ，若椭圆C 上总存在两个点,A B 关于直线y x m =+对称，且328QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围．31．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率32F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1l 的方程为y kx m =+，直线2l 的方程为2()y kx m =+，其中01m <<.设1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，2l 与圆22:4O x y +=交于P ，Q 两点，求MONPOQS S ∆∆的值. 32．已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程； （2）点Q 为直线12y 上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．33．（2020·山东高三其他模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为32，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点000(,)(0)P y y x ≠为椭圆C 上一动点，连接1PF 、2PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求实数m 的取值范围.34．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆经过点，且右焦点．（1）求椭圆的标准方程； （2）过且斜率存在的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值．35．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆22165:x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点. （1）若1F AB 的面积为20311，求直线l 的方程； （2）若222BF F A =，求AB .36．（2020·泰安市基础教育教学研究室高三其他模拟）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是双曲线2C ：2221x y m -=的左、右焦点，且1C 与2C 相交于点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程； （2）设直线l ：13y kx =-与椭圆1C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.37．（2020·广西桂林十八中高三月考（文））设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1. （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围.。
2020届山东优质冲刺数学试卷分项解析08 平面解析几何(解析版)
专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.2．（2020·C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点FAB的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1633．（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【答案】33 233- 【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 2211k =+，2211k =+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得3333k b ==-. 3234．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=,2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，， 于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 221214221233⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值.一、单选题1．（2020·山东省泰安市6月三模）已知抛物线2:4C x y =的准线恰好与圆()()()222:340M x y r r -+-=>相切，则r =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】抛物线2:4C x y =的准线方程为1y =-，()()()222:340M x y r r -+-=>的圆心为()3,4，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到直线的距离为415r =+=. 故选：C.2．（2020·山东省泰安市6月三模）如图，已知双曲线22212x y C a a -=+：的左、右焦点分别为12,,F F M 是C上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF ∆的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若=2MN ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5 B ．5C ．2D ．2【答案】D 【解析】设1AMF ∆的内切圆在边1,AF AM 的切点分别为E ，G ，则122MF MF a -=，得1222NF MF a +-=，又112||||||NF EF GF ==，则22||22GF MF a +-=，得2||2MG a +=，又||2MG =，得24,a = 2a =，所以双曲线C 的离心率为22422+=故选：D3．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ，若1CC 的中点为()1,4M ，则p =（ ） A ．4 B ．8C ．42D．82【答案】B 【解析】因为1CC 的中点为()1,4M ，所以8,212A B C py y x +=-=⨯， 所以4,22A B C p x x p x +=+=+， 设直线AB 的方程为2p x my =+，代入抛物线的方程得，2220y pmy p --=，所以 2,()8A B A B A B y y pm x x m y y p m p +=+=++=+所以8284pm m p p =⎧⎨+=+⎩，解得812p m =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：B4．（2020·山东省济南市二模）已知抛物线24x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上且横坐标为4，则||PF =（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．6【答案】C 【解析】将4x =代入抛物线得到()4,4P ，根据抛物线定义得到||44152pPF =+=+=. 故选：C.5．（2020·山东省济南市二模）已知点A ，B ，C 均在半径为2的圆上，若||2AB =，则AC BC ⋅的最大值为（ ） A ．3+22 B ．222+C ．4D ．2【答案】B 【解析】根据圆O 半径为2，2AB =得到OA OB ⊥，以,OB OA 为,x y 轴建立直角坐标系， 则()0,2A ，()2,0B ，设()2cos ,2sin Cθθ，则()()2cos ,2sin 22cos 2,2sin 222sin 4AC BC πθθθθθ⎛⎫⋅=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时有最大值为222+. 故选：B.6．（2020·山东省仿真联考3）已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）． A 2 B 3C ．2D 5【答案】A 【解析】OMN ∆为直角三角形，结合对称性可知，双曲线C 的渐近线为：y x =±即1ba=c ∴==c e a ∴==本题正确选项：A7．（2020·山东省仿真联考3）已知点P 在圆224x y +=上，(2,0)A -，(2,0)B ，M 为BP 中点，则sin BAM ∠的最大值为( ) A ．14BC ．13D ．12【答案】C 【解析】设(),P x y ，因为为BP 中点，所以2M ,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2tan 2622yy BAM x x ∠==+++，因为点P 在圆224x y +=上，则22x -≤≤,不妨令0y >，则tan 6yBAM x ∠====+ 令111t ,684x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则tan BAM ∠==所以当且仅当316t=时，tan BAM ∠取最大值4，故1sin 3BAM ∠=.故选C. 8．（2020·山东省仿真联考2）设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为 （） A．2BC ．12+ D ．2【答案】C 【解析】将x =化为：x 2+（y ﹣1）2＝1， ∴圆心（0，1），半径r ＝1， ∵圆心到直线x ﹣y ﹣2＝0的距离d =，∴圆上的点到直线的最小距离b 32=-1， 最大值为（0，2）到直线的距离，即a 2==22 则a ﹣b 2=+1． 故选：C ．9．（2020·山东省仿真联考2）已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，得①，且分别为的中点．由双曲线定义，知②，③，联立①②③，得．因为的周长为12，所以的周长为24，即，亦即，所以．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时，所以，所以，故选C ．10．（2020·山东省滨州市三模）已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（ ） A ．(3，5) B ．(5，7)C ．(6，8)D ．(6，8]【答案】C 【解析】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得()()2,22,2,22A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =， 所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C11．（2020·山东省济南市6月模拟）已知双曲线C 的方程为221169x y -=，则下列说法错误的是（ ） A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94【答案】D 【解析】由双曲线C 的方程为221169x y -=得：2216,9,a b ==224,3,5a b c a b ∴===+=.∴双曲线C 的实轴长为28a =,故选项A 正确.双曲线C 的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项B 正确.取焦点()5,0F ，则焦点()5,0F 到渐近线34yx 的距离2235334d ⨯==+，故选项C 正确.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 错误. 故选：D .12．（2020·山东省济宁市6月三模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，B ，且满足2,AF FB E =为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为( ) A ．114B ．94C ．52D ．54【答案】B 【解析】由题得抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2,AF FB =||2||AF BF ∴=，1212(1)x x ∴+=+，1221x x ∴=+， 221212||2||,y 4y y y =∴=，124x x ∴=，12x ∴=，212x =. ∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为1219[(1)(1)]24x x +++=. 故选：B.13．（2020届山东省青岛市三模）若直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，则下列选项中正确的（ ） A ．p 是q 的必要非充分条件B ．q 是p 的充分非必要条件1C ．p 是q 的充分非必要条件D ．q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或65a =-. 经检验，当0a =或65a =-时，两直线平行. 设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 故选：C.14．（2020·山东省青岛市二模）已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B 【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离35d ===≠，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .15．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a =是“0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420y xy a -+-=， 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <， 2121242,55a a y y y y -∴+==， 121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=， ()()1212220y a y a y y ∴--+=， ()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a aa a -∴⨯-⨯+=，解得a =则“5a =”是“0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选A.16．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)【答案】C 【解析】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，）， 由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 17．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是（ ）A 2B 21C 13D ．53【答案】B 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为120MF MF ⋅=，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上， 解得m a =，故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率23b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率3c e a ===.故选：B . 二、多选题18．（2020·山东省德州市6月二模）抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A ．|PM | +|PF |的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3 C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD 【解析】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+--+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程为0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上， 所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-， 所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++，所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ．19．（2020·山东省德州市6月二模）直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】BC 【解析】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC20．（2020·山东省滨州市三模）已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD 【解析】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确. 当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为21122222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD21．（2020·山东省威海市三模）已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =-B ．0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列 C ．若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D ．若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB =，22(1,)FC x y =-，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，即FA ，FB ，FC 成等差数列，故B 正确； 因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AFCF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确. 故选：ABD22．（2020·山东省仿真联考1）已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( )A B ．C D ．3【答案】AC 【解析】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得5PF PF '===，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C 的离心率c e a ==≤因为1e >.所以双曲线C 的离心率的取值范围为(. 故选：AC23．（2020·山东省仿真联考3）设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）．A ．||||OM ON +≥B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2,0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2【答案】CD 【解析】不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN x ⊥轴时，OM ON k k =-，由12OM ON k k ⋅=-，得OM k =2ON k =-，所以直线OM ，ON的方程分别为：y x =和y x =．与抛物线方程联立，得M，(2,N ，所以直线MN 的方程为2x =，此时||||OM ON += 以MN 为直径的圆的面积2S π=，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y kx m =+， 与抛物线方程联立消去x ，得20ky y m -+=，则140km ∆=->．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12m y y k=． 因为12OM ONk k ⋅=-，所以121212y y x x ⋅=-， 则222121122y y x x y y =-=-，则122y y =-，所以2mk=-，即2m k =-， 所以直线MN 的方程为2y kx k =-，即(2)y k x =-．综上可知，直线MN 为恒过定点(2,0)Q 的动直线，故C 正确； 易知当OQ MN ⊥时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2．故D 正确． 故选：CD24．（2020·山东省泰安市模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆CC ．PQ PF +的最小值为D ．过点F 的圆E的切线斜率为43-± 【答案】AD 【解析】圆E 的圆心为()3,4E -，半径长为2，由于椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则24a =，可得2a =，设椭圆的左焦点为点1F ，由椭圆的定义可得124PF PF a +==，14PF PF ∴=-，所以，()111144246256PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF -=--=+-≥+--≥-=， 当且仅当P 、Q 、E 、1F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段1EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立， 则()()()222134031625EF c c =-++-=-+=02c a <<=，解得1c =，所以，椭圆C 的焦距为22c =，A 选项正确；椭圆C 的短轴长为222223b a c =-=，B 选项错误；()()222231402422PQ PF PE PF EF +≥+-≥-=--+-=，当且仅当P 、Q 、E 、F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，C 选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x =，圆心E 到该直线的距离为3142--=>，则直线1x =与圆E 相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，223441211k k k k k ---+==++，整理得23830k k ++=，解得47k -±=.故选：AD.25．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD 【解析】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(214+>==a12+>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故正确；D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得21122244+===a ，2=，所以椭圆C 的.三、填空题26．（2020·山东省潍坊市6月模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______. 【答案】2213y x -=【解析】由题意，圆()2223F x y -+=：的圆心()2,0F 是双曲线C 的右焦点，2c ∴=.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，∴圆心()2,0F 到直线by x a=，223b a =∴=，又2224c a b =+=，221,3a b ∴==.∴双曲线C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.27．（2020届山东省青岛市三模）若方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1(0,)2【解析】由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<， 所以实数m 的取值范围为：1(0,)2. 故答案为：1(0,)2.28．（2020·山东省威海市三模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________． 【答案】32【解析】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c ya b-=，解得：2b y a =±，设2,b Pc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a=，则,P Q 两点到渐近线的距离22bc b bc b cc---++=，c b >，上式去掉绝对值为22bc b bc b c c +-+=，即2b a =，那么32c a ==.∴双曲线的离心率32e =. 故答案为：3229．（2020·山东省泰安市模拟）已知点12F F ，分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点2F 恰好为1F AB 的外心，若11()0BF BA AF +⋅=，则C 的离心率为__________.【答案】31+ 【解析】取1AF 的中点为C ，连接BC 、2AF 、2BF ，如图所示：因为1111()02BF BA AF BC AF +⋅=⋅=，所以1BC AF ⊥， 又C 为1AF 的中点，所以1ABF 为等腰三角形且1BF BA =，因为点2F 恰好为1F AB 的外心，所以点2F 在直线BC 上，且22122AF BF F F c ===， 由双曲线的定义知12122AF AF BF BF a -=-=，则1122AF BF a c ==+， 所以1ABF 为等边三角形，则2332BC BF c ==， 在1CBF 中，22211CB CF BF +=即()()222922c a c a c ++=+，化简得223660a ac c +-=， 同时除以2a 可得22210e e --=，解得132e +=13-(舍去). 故答案为：31230．（2020·山东省青岛市二模）抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5 【解析】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 故答案为：531．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，M 为虚轴的一端点，若以M 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点N ，且M ，N ，F 三点共线，则该双曲线的离心率为________. 【答案】152+ 【解析】由题意可得(),0F c -，()0,A b -， 双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=， 可得22ab abMN ca b ==+，22MF c b =+， 在直角三角形MOF 中，可得：222abb c b c=+， 化为()22222b c acb =+，由222b c a =-，可得422430c a c a -+=， 由ce a=，可得42310e e -+=， 解得235e ±=1e >，所以2e =e =.32．（2020·山东省济宁市6月三模）设双曲线()222210x y C a b a b -=>0,>：的左、右焦点分别为1212,,2F F F F c =，过2F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】32⎛ ⎝⎭【解析】将x c =代入双曲线的方程，得2by a =±=±，所以2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又22F Q F A >，得232a b a >，所以232b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2c e a ==<=；因为12222PF PQ a PF PQ a F Q +=++≥+，又在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，所以有212726a F Q F F +<， 即372226a a c +<⨯，解得：32e >，又1e >，所以32e <<故答案为：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭33．（2020·山东省济南市6月模拟）已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为__________.【解析】由于2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点1F 且12AB F F ⊥，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为P 是2AF 的中点，则20,2b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又()2,0F c ，则2223,,2,2b b BP c AF c a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为20BP AF ⋅=，则4223202b c a -=，即2c =.又222b ac =-，则)222ac a c=-220e +=，解得：3e =或e =（舍去）.34．（2020·山东省德州市6月二模）已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______.【答案】221105x y -=【解析】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=． 故答案为：221105x y -=．35．（2020·山东省仿真联考2）已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=，则λ=________. 【答案】4 【解析】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ， 得2281720x px p -+=， 解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=， 4AF FBλ==.故答案为：436．（2020·山东省仿真联考1）已知抛物线()2:20Cx py p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 在抛物线C 上，且点M 在直线l 的下方，若MAB △面积的最大值是C 的方程是_______；此时，点M 的坐标为_______.【答案】24x y = ()2,1【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得直线l 的方程为2p y x =+， 联立222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220x px p--=，所以122x x p +=，212x x p =-，则12x x -==，故124AB x p =-=，设()00,M x y ，由题意可知当直线l 与过点M ，且与抛物线C 相切的直线平行时，MAB △的面积取最大值.因为212y x p =，所以1y x p '=，所以011k x p ==.所以0x p =，则,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时，点M 到直线l的距离2d ==，故1422p ⨯⨯=2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =，此时点M 的坐标为()2,1. 故答案为：24x y =，()2,137．（2020·山东省济南市二模）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线2F P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠的大小为________；双曲线的离心率为________． 【答案】2π【解析】如图所示：不妨取渐近线by x a=，易知b a >，（否则不能与右支相交）. 则直线1F P 为：()ay x c b=-+，即0ax by ac ++=， 设内切圆圆心为1O ，根据对称性知1O 在y 轴上，1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，故1112O F O F ⊥，故()10,O c -，1O 到直线1PF的距离为：1d b a ==-，设直线2PF ：()y k x c =-，即0kx y kc --=1O 到直线2PF的距离为：21d d b a ===-，化简整理得到()2220abk a b k ab -++=，解得bk a=或a k b =， 当a k b =时，直线()a y x c b =-+与()ay x c b=-的交点横坐标为0，不满足题意，舍去. 故直线2PF ：()b y x c a =-，故12PF PF ⊥，122F PF π∠=，联立方程得到()()a y xc bb y xc a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得到：()22222222241ba ab ac b c--=，化简整理得到：225c a =，故5e =. 故答案为：2π；5.38．（2020·山东省山东师范大学附中最后一卷）已知双曲线2218y x -=，F 1，F 2是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆M 是△F 1PF 2的内切圆.则M 的横坐标为_________，若F 1到圆M 上点的最大距离为3△F 1PF 2的面积为___________. 【答案】1 243 【解析】双曲线的方程为2218y x -=，则1,2,183a b c ===+=.设圆M 分别与1212,,PF PF F F 相切于,,B C A ，根据双曲线的定义可知122PF PF -=，根据内切圆的性质可知()121212122PF PF PB F B PC F C F B F C F A F A -=+-+=-=-=①，而12126F A F A F F +==②. 由①②得：124,2F A F A ==，所以1,0A , 所以直线MA 的方程为1x =，即M 的横坐标为1.设M 的坐标为()()1,0M r r >，则1F 到圆M上点的最大距离为1MF r +=r =，解得3r =. 设直线1PF 的方程为()()30y k x k =+>，即30kx y k -+=.M 到直线1PF=k =所以线1PF的方程为)3y x +.由)22318y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩且P在第一象限，解得(P . 所以116PF ==，21214PF PF a =-=.所以△F 1PF 2的面积为()121212PF PF F Fr ⨯++⋅()1161462=⨯++=. 故答案为：1；四、解答题39．（2020·山东省潍坊市6月模拟）设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围. 【答案】（1）24x y =；（2）()[),610,-∞-+∞.【解析】（1）依题意得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,A x y ，由AF 的中点坐标为()1,1，得0012212x p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即02x =，022p y =-，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =；（2）由题意知()2,1A ，设211,4xB x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4xC x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2111114224BA x kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142BCk x =-+，BC 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立()211124424x y x x x x y ⎧--=-⎪+⎨⎪=⎩， 因为1x x ≠，得()()112160x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()()2242160x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-. 经检验，当6x =-时，不满足题意； 所以点C 的横坐标的取值范围是()[),610,-∞-+∞.40．（2020·山东省威海市三模）已知P是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点1F ，2F为顶点的三角形面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 作斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，M 是1l 与C 两交点的中点，N 是2l 与C 两交点的中点，求△2MNF 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）49． 【解析】 解：（Ⅰ）由点P在椭圆上可得22231a b+=， 整理得222223b a a b +=①．12122PF F Sc =⨯=2c =， 所以22224a b c b =+=+，代入①式整理得42120b b --=， 解得24b =，28a =．所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22,0F ，所以设直线1l ：2x my =+，联立直线与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222480m y my ++-=．所以直线1l 与椭圆两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==+， 同理直线2l 与椭圆两交点的中点N 的纵坐标22221212N m m y m m --==++，所以22212MNF M N S MF NF y ==△()24221252m m m m +=++()()22222121m m m m+=++， 将上式分子分母同除()21m m+可得，2222121MNF S m m m m =+++△，不妨设0m >，令21m t m+=，2t ≥，则2212MNF S t t =+△， 令()12f t t t =+，()2221't f t t-=，因为2t ≥，所以()'0f t >， 所以f t 在[)2,+∞单调递增，所以当2t =时，三角形△2MNF 面积取得最大值max 241942S ==+．41．（2020·山东省泰安市模拟）已知点()0,2M -，点P 在直线21216y x =+上运动，请点Q 满足12MQ MP =，记点Q 的为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设()()0,3,0,3D E -，过点D 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，求证：2AEB AED ∠=∠. 【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析. 【解析】（1）设()()00,,,Q x y P x y ，由12MQ MP =可得()()001,2,22x y x y +=+， 所以0012222x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩即00222x x y y =⎧⎨=+⎩，因为点P 在曲线21216y x =+上， 所以2001216y x =+即()21222216y x +=⋅+，整理得28x y =. 所以曲线C 的方程为28x y =；（2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，由238y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得28240x kx --=，264960k ∆=+>， 可知128x x k +=，1224x x ⋅=-， 直线AE ，BE 的斜率之和为121212123366AE BE y y kx kx k k x x x x +++++=+=+ ()121212264848024kx x x x k kx x ++-+===-，故AE ，BE 的倾斜角互补，∴AED BED ∠=∠， ∴2AEB AED ∠=∠.42．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分6月模拟）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右两个焦点为1F 、2F ，抛物线22:4(0)C y mx m =>与椭圆1C 有公共焦点()21,0F .且两曲线1C 、2C 在第一象限的交点P 的横坐标为23. （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）直线:l y kx =与抛物线2C 的交点为Q 、O （O 为坐标原点），与椭圆1C 的交点为M 、N （N 在线段OQ 上），且MO NQ =.问满足条件的直线l 有几条，说明理由.【答案】（1）221:143x y C +=；22:4C y x =；（2）满足条件的直线l 有2条，理由见解析. 【解析】（1）由于椭圆1C 和抛物线2C 的公共焦点为()21,0F ，故椭圆1C 的焦点坐标为()1,0±. 所以1m =，所以抛物线2C 的方程24y x =，由点P 在抛物线上，所以226,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，又点P 又在椭圆1C 上，所以222222622621143333a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2a =，又1c =，故3b =，从而椭圆1C 的方程为22143x y +=；（2）联立直线与椭圆方程得22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223412x k x +=，解得2334M x k =-+2334N x k=+. 联立直线与抛物线得24y kx y x=⎧⎨=⎩，得224k x x =，解得0O x =，24Q x k =，由MO NQ =，故N 为线段OQ 的中点，即2O QN x x x +=，得24k=，化简得423430k k --=，解得223k +=（负值含去）， 故满足题意的k 值有2个，从而存在过原点O 的有两条直线l 满足题意.43．（2020·山东省青岛市二模）已知O 为坐标原点，椭圆()22:10x y C a b a b +=>>线2214x y -=的渐近线与椭圆C 的交点到原点的距离均为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k . （i ）证明：1214k k =-； （ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析； 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c e a ====，2a b ∴=…①， 双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±， ∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，=，解得：212t =. ()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=.（2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=， 221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--. （ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，120k k +=，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+， 由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=， 22m n ∴+为定值2.44．（2020届山东省青岛市三模）已知直线1l 过坐标原点O 且与圆224x y +=相交于点A ，B ，圆M 过点A ，B 且与直线20y +=相切． （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若圆心在x 轴正半轴上面积等于2π的圆W 与曲线C 有且仅有1个公共点． （ⅰ）求出圆W 标准方程；。
专题08 平面解析几何(解答题)——三年(2021-2021)高考真题文科数学分项汇编(解析版)
+ 2y 专题 08 平面解析几何（解答题）1. 【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】已知 A 、B 分别为椭圆E ：x 2 a 2y= 1 （a >1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， AG ⋅ GB = 8 ，P 为直线 x =6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C ，PB 与 E 的另一交点为 D ．（1） 求 E 的方程；（2） 证明：直线 CD 过定点.【解析】（1）由题设得 A (-a , 0), B (a , 0),G (0,1) ．则 AG = (a ,1) ， GB = (a , -1) ．由 AG ⋅ GB = 8 得 a 2 - 1 = 8 ，即 a = 3 ．所以 E 的方程为 x 2 + 29= 1 ．（2）设C (x 1, y 1), D (x 2 , y 2 ), P (6, t ) ．若t ≠ 0 ，设直线CD 的方程为 x = my + n ，由题意可知-3 < n < 3 ．由于直线 PA 的方程为 y = t (x + 3) ，所以 y = t(x + 3) ．9 19 1直线 PB 的方程为 y = t (x - 3) ，所以 y = t (x- 3) ．3可得3y 1(x 2 - 3) = y 2 (x 1 + 3) ．23 2x 22(x 2 + 3)(x 2 - 3)由于 2 + y 2 = 1 ，故 y 2 = - ，可得27 y 1 y 2 = -(x 1 + 3)(x 2 + 3) ，929即(27 + m 2 ) y y + m (n + 3)( y + y ) + (n + 3)2 = 0 ．①1 212x = my + n x 2 + 22 2 2将 代入 9 y = 1 得(m + 9) y + 2mny + n - 9 = 0 ．2mn n 2 - 9所以 y 1 + y 2 = - m 2 + 9 , y 1 y 2 = - m 2 + 9．代入①式得(27 + m 2 )(n 2 - 9) - 2m (n + 3)mn + (n + 3)2 (m 2 + 9) = 0 ． 解得 n = -3 （舍去），n = 3． 2故直线CD 的方程为 x = my + 3 ，即直线CD 过定点( 3, 0) ．2 2若t = 0 ，则直线CD 的方程为 y = 0 ，过点( 3, 0) ．23综上，直线CD 过定点( , 0) ．2【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力， 属于难题.a 2 -b 2 2 x 2 + y 2 =2. 【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆 C 1： a 2 b2 1(a >b >0)的右焦点 F 与抛物线 C 2 的焦点重合，C 1 4的中心与 C 2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C 1 于 A ，B 两点，交 C 2 于 C ，D 两点，且|CD |=3（1） 求 C 1 的离心率；（2） 若 C 1 的四个顶点到 C 2 的准线距离之和为 12，求 C 1 与 C 2 的标准方程．|AB |．【解析】（1）由已知可设C 2 的方程为 y 2 = 4cx ，其中c = .不妨设 A , C在第一象限，由题设得 A , B 的纵坐标分别为 b a，- b；C , D a的纵坐标分别为2c ，-2c ，2b 2 故| AB |=， a| CD |= 4c .由| CD |= 4 | AB |得4c = 8b 2，即3⨯ c = 2 - 2( c )2 ，解得 c = -2 （舍去）， c = 1 .3 3aa a a a 2 所以C 的离心率为 1.1（2）由（1）知 a 2= 2c ，b =x 2 3c ，故C 1 : 4c2+ y 23c 2= 1 .所以C 1 的四个顶点坐标分别为(2c , 0)，(-2c , 0) ，(0, 3c ) ， (0, - 3c ) ， C 2 的准线为 x = -c .由已知得3c + c + c + c = 12 ，即c = 2 .Cx 2 y 2C2所以 1 的标准方程为+ = 1， 2 的标准方程为 y 16 12= 8x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.x 2 y 215 3. 【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C : 25 + m 2 = 1(0 < m < 5) 的离心率为右顶点．， A ，B 分别为C 的左、4（1） 求C 的方程；（2） 若点 P 在C 上，点Q 在直线 x = 6 上，且| BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，求△APQ 的面积．【解析】（1）由题设可得 25 - m 2=15 ，得 m 2 = 25 ， 541621 +y 2Q1010130+22 22x2+y2所以C 的方程为25 2516 = 1.（2）设P(x P , y P ), Q(6, y Q ) ，根据对称性可设y Q > 0 ，由题意知y P > 0 ，由已知可得B(5, 0) ，直线BP 的方程为y =-1yQ(x - 5) ，所以| BP |=，|BQ |=，因为| BP |=| BQ | ，所以y P = 1，将y P = 1 代入C 的方程，解得x P = 3 或-3 .由直线BP 的方程得y Q = 2 或8.所以点P, Q 的坐标分别为P1 (3,1), Q1 (6, 2); P2 (-3,1), Q2 (6,8) .| PQ |=，直线PQ 的方程为y =1x ，点A(-5, 0) 到直线PQ 的距离为10 ，故△APQ 的面1 1积为1⨯1 1 310⨯=5.1 1 1 12 2 2| PQ |= 130 ，直线P Q 的方程为y =7x +10，点A 到直线P Q 的距离为130，故△AP Q 的2 2面积为12 2 93 26130=5.2 26 2综上，△APQ 的面积为5 .2【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4.【2020 年高考北京】已知椭圆C : x2+y2=过点A(-2, -1) ，且a = 2b ．a2 b21（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M , N ,直线MA, NA 分别交直线x =-4 于点P,Q．求|PB|的| BQ |值．【解析】(1)设椭圆方程为：x2y= 1(a >b > 0 )，由题意可得：a b1 +y 2Q2 222y P y QPB PQ y Py Q=2 2 ⎧ 4 + 1 = 1⎧a 2 = 8 ⎪ 2 2⎨ a b⎩⎪ a = 2b，解得： ⎨ ， ⎩b = 22 故椭圆方程为： x+ y = 1.8 2(2)设 M ( x 1, y 1 ) ， N (x 2 , y 2 ) ，直线 MN 的方程为： y = k ( x + 4) ，与椭圆方程 x 2 + y2= 1联立可得：x 2 + 4k 2 ( x + 4)2= 8 ， 82即：(4k 2 +1) x 2 + 32k 2 x + (64k 2 - 8) = 0 ，-32k 2 则： x 1 + x 2 = 4k 2 +1, x 1 x 2 = 64k 2 - 8. 4k 2+1直线 MA 的方程为： y +1 =y 1 +1( x + 2) ，x 1 + 2令 x = -4 可得： y = -2⨯ y 1 +1 -1 = -2⨯ k ( x 1 + 4) +1- x 1 + 2 = - (2k +1)(x 1 + 4 ) ， P x + 2 x + 2 x + 2 x + 2同理可得： y 1 1 1 1= -(2k +1)( x 2 + 4 ) . x 2 + 2很明显 y P y Q < 0 ，且：= ，注意到：y + y = -(2k +1)⎛ x 1 + 4 + x 2 + 4 ⎫ = -(2k +1)⨯ ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) ， P Q x + 2 x + 2 ⎪ ( x + 2)( x + 2) ⎝ 1 2 ⎭ 1 2而： ( x 1 + 4)( x 2 + 2) + ( x 2 + 4)( x 1 + 2) = 2 ⎡⎣x 1x 2 + 3( x 1 + x 2 ) + 8⎤⎦= ⎡ 64k 2 - 8⎛ -32k 2 ⎫ ⎤2 ⎢ 4k 2 +1 + 3⨯ 4k 2 +1 ⎪ + 8⎥ ⎣⎝ ⎭ ⎦ (64k 2- 8) + 3⨯ (-32k 2)+ 8 (4k 2+1) 2 04k 2 +1故 y P + y Q = 0, y P = - y Q .从而= = 1 . PB PQ Q2 2 2 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．x 2225. 【2020 年高考浙江】如图，已知椭圆C 1 :2+y = 1，抛物线C 2 : y = 2 px ( p > 0) ，点 A 是椭圆C 1 与抛物线C 2 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆C 1 于点 B ，交抛物线C 2 于点 M （B ，M 不同于 A ）．（Ⅰ）若 p =1，求抛物线C 的焦点坐标；16 2（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．【解析】（Ⅰ）由 p =1得C 的焦点坐标是( 1, 0) ．16 2 32（Ⅱ）由题意可设直线l : x = my + t (m ≠ 0,t ≠ 0) ，点 A (x 0 , y 0 ) ．x 2 22 2 2 将直线l 的方程代入椭圆C 1 : 2 + y = 1 得(m + 2) y + 2mty + t - 2 = 0 ，所以点 M 的纵坐标 y M= - mt ． m 2+ 2将直线l 的方程代入抛物线C : y 2 = 2 px 得 y 2- 2 pmy - 2 pt = 0 ，2 p (m 2 + 2)所以 y 0 y M = -2 pt ，解得 y 0 = m，2 p (m 2 + 2)2因此 x 0 =x 2． m 2 1 = 4(m + 2 )2 + 2(m + 2 )4≥ 160由 0 + y 2 = 1 得 2 ，2p m m 所以当 m = ，t = 10 时， p 取到最大值 10 ． 5 40【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数 学运算能力，是一道有一定难度的题.26. 【2020 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E : x +y= 1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，43y 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线 AF 1 与椭圆 E 相交于另一点 B ．（1） 求△AF 1F 2 的周长；（2） 在 x 轴上任取一点 P ，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q ，求OP ⋅ Q P 的最小值；（3） 设点 M 在椭圆 E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为 S 1，S 2，若 S 2 = 3S 1 ，求点 M 的坐标．【解析】（1）椭圆 E : x 2 + = 1 的长轴长为 2a ，短轴长为 2b ，焦距为 2c ，4 3则 a 2 = 4, b 2 = 3, c 2 = 1 .所以△AF 1F 2 的周长为 2a + 2c = 6 .（2） 椭圆 E 的右准线为 x = 4 .设 P (x , 0),Q (4, y ) ，则OP = (x , 0),QP = (x - 4, - y ) ，OP ⋅ QP = x (x - 4) = (x - 2)2 - 4 ≥ -4, 在 x = 2 时取等号.所以OP ⋅ QP 的最小值为-4 .x 2 （3） 因为椭圆 E :4 + y 23= 1 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1 F 2 ，2⎪+ = AM AN 1 2 1 2 2 2则 F 1 (- 31, 0), F 2 (1, 0), A (1, 2) .所以直线 AB : 3x - 4 y + 3 = 0.设 M (x , y ) ，因为 S 2 = 3S 1 ，所以点 M 到直线 AB 距离等于点O 到直线 AB 距离的 3 倍. 由此得| 3x - 4 y + 3 | = 3 ⨯ | 3 ⨯ 0 - 4 ⨯ 0 + 3 | ，5 5则3x - 4 y + 12 = 0 或3x - 4 y - 6 = 0 . ⎧3x - 4 y + 12 = 0, ⎪由⎨ x 2 + y 2 =⎩ 4 3得7x 2 + 24x + 32 = 0 ，此方程无解；⎧3x - 4 y - 6 = 0, ⎪ 2 2 由⎨ x 2 ⎪⎩ 4 + y 2 = 3得7x -12x - 4 = 0 ，所以x = 2 或 x = - . 7代入直线l : 3x - 4 y - 6 = 0 ，对应分别得 y = 0 或 y = -12.7因此点 M 的坐标为(2, 0) 或(- 2 , - 12) .7 7【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据 S 2 = 3S 1 推出 d = 9是解答本题的关键.57. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ： xa 2y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 2 2，且过点A （2，1）．（1） 求C 的方程：（2） 点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．4 + 1 =a 2 -b 2 1【解析】（1）由题设得 a2 1 ， b 2a 2 = ，解得 a = 6 ，b = 3 ． 2 所以C 的方程为 x y 1 ．6 3（2）设 M (x 1, y 1) ， N (x 2 , y 2 ) ．若直线 MN 与 x 轴不垂直，设直线 MN 的方程为 y = kx + m ，x 2 + y 2 =(1 + 2 2+ + 2 - = 代入 得 6 3 4km2k )x 4kmx 2m 2m 2- 6 6 0 ． 于是 x 1 + x 2 = -1 + 2k 2 , x 1 x 2 = 1 + 2k 2由 AM ⊥ AN 知 ⋅= 0 ，故(x ．① - 2)(x - 2) + ( y -1)( y - 1) = 0 ， 12 2 2 1 1 22m 6 - 4km Q ( , ) Q ( , ) 可得(k 2 + 1)x x + (km - k - 2)(x + x ) + (m -1)2 + 4 = 0 ．1 212将①代入上式可得(k 2+ 1) 2 -(km - k - 2) + (m -1)2 + 4 = 0 ．1 + 2k2 整理得(2k + 3m +1)(2k + m -1) = 0 ．1 + 2k 2因为 A (2,1) 不在直线 MN 上，所以 2k + m - 1 ≠ 0 ，故 2k + 3m + 1 = 0 ， k ≠ 1 ． 于是 MN 的方程为 y = k (x - 2) - 1(k ≠ 1) .3 3 所以直线 MN 过点 P ( 2 , - 1) .3 3若直线 MN 与 x 轴垂直，可得 N (x 1 , - y 1 ) .由 AM ⋅ AN = 0 得(x 1 - 2)(x 1 - 2) + ( y 1 - 1)(- y 1 - 1) = 0 .x 2 又 1 y 2+ 1 = 1 ，可得3x 2 - 8x + 4 = 0 .解得 x = 2 （舍去）， x = 2 . 6 3 1 1 1 1 3 此时直线 MN 过点 P ( 2 , - 1) .3 3令Q 为 AP 的中点，即 4 1.3 3若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是Rt △ADP 的斜边，故| DQ |= 1 | AP |= 2 2.2 3若 D 与 P 重合，则| DQ |= 1| AP | .2综上，存在点 4 1 3 3，使得| DQ | 为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线 MN经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.8. 【2020 年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆 C ： xa 2y 2+ = 1(a > b > 0) 过点 M （2，3）,点 A 为其左顶点，且b 2AM 的斜率为 1，2（1） 求 C 的方程；（2） 点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线 AM 的方程为： y - 3 = 1(x - 2) ，即 x - 2 y = -4 .2当 y =0 时，解得 x = -4 ，所以 a =4，x2y24 + 9= 1椭圆C :+ a2b 2 = 1(a > b > 0 ) 过点 M (2，3)，可得16 b 2，21+412 55 2 解得 b 2=12.2所以 C 的方程： x + y = 1.16 12(2)设与直线 AM 平行的直线方程为： x - 2 y = m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程 x - 2 y = m 与椭圆方程 x y 2+ = 1，可得： 3(m + 2 y )2+ 4 y 2 = 48 ，16 12化简可得：16 y 2 +12my + 3m 2 - 48 = 0 ，所以∆ = 144m 2 - 4 ⨯16 (3m 2 - 48)= 0 ，即 m 2=64，解得 m =±8，与 AM 距离比较远的直线方程： x - 2 y = 8 ， 直线 AM 方程为： x - 2 y = -4 ，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，8 + 4利用平行线之间的距离公式可得： d == ，5由两点之间距离公式可得| AM |== 3 .所以△AMN 的面积的最大值： 1⨯ 3 5 ⨯12 5= 18 . 25(2 + 4)2 + 32 2y += ⎝ ⎭⎝ ⎭22 + =3 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、 三角形的面积等问题．x 2 9. 【2020 年高考天津】已知椭圆 a 2 2+ = 1(a > b > 0) 的一个顶点为 A (0, -3) ，右焦点为 F ，且b 2| OA |=| OF | ，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC = OF ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，且 P 为线段 AB 的中点．求直线 AB 的方程．【解析】（Ⅰ）由已知可得b = 3 ．记半焦距为c ，由| OF |=| OA | 可得c = b = 3 ．又由 a 2 = b 2 + c 2 ，可得 a 2 = 18 ．所以，椭圆的方程为x y 1．189（Ⅱ）因为直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，所以 AB ⊥ CP ．依题意，直线 AB 和直线CP 的⎧ y = kx - 3, ⎪斜率均存在．设直线 AB 的方程为 y = kx - 3 ．由方程组⎨ x 2 y 2 ⎩18 9 1,消去 y ，可得2 212k ⎛ 12k 6k 2 - 3 ⎫(2k +1) x -12kx = 0 ，解得 x = 0 ，或 x = 2k 2 +1 .依题意，可得点 B 的坐标为 2k 2 , 1 2k 2+1 ⎪ ．因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0, -3) ，所以点 P 的坐标为⎛ 6k, -3．由3OC = OF ，2k 2 +1 2k 2+1⎪ -3 - 0得点C 的坐标为(1, 0) ，故直线CP 的斜率为 2k 2+1 6k -1 2k 2 +13，即 2k 2- 6k +1．又因为 AB ⊥ CP ，所以 k ⋅ 2k 2- 6k +1 = -1，整理得2k 2- 3k +1 = 0 ，解得 k = 1 ，或 k = 1． 2所以，直线 AB 的方程为 y = 1x - 3 ，或 y = x - 3 ．210. 【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知点 A ，B 关于坐标原点 O 对称，│AB │=4，⊙M 过点 A ，B 且与直线⎪ + ⎫x+2=0 相切．（1）若A 在直线x+y=0 上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．【答案】（1） M的半径r=2或r=6 ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为 M 过点A, B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线x+y=0 上，且A, B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y =x 上，故可设M (a, a) .因为 M 与直线x+2=0相切，所以 M 的半径为r =| a + 2 | .由已知得|AO|=2 ，又MO ⊥AO ，故可得2a2 + 4 = (a + 2)2 ，解得a=0 或a=4 .故 M 的半径r=2 或r=6 .（2）存在定点P(1, 0) ，使得| MA | - | MP | 为定值.理由如下：设M (x, y) ，由已知得 M 的半径为r=|x+2|,|AO|=2 .由于MO ⊥AO ，故可得x2 +y2 + 4 = (x + 2)2 ，化简得M的轨迹方程为y2 = 4x .因为曲线C : y2 = 4x 是以点P(1, 0) 为焦点，以直线x =-1 为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2 - (x+1)=1 ，所以存在满足条件的定点P.【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.1.【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知F , F 是椭圆C : x2+y2=>>的两个焦点，P 为C 上一点，1 2 a 21(a b 0) b2O 为坐标原点．（1）若△POF2 为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1 ⊥PF2 ，且△F1PF2 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（1）-1；（2）b = 4 ，a的取值范围为[42,+∞).【解析】（1）连结PF1 ，由△POF2 为等边三角形可知在△F1PF2 中，∠F1PF2 = 90︒，PF2=c ，33 2 = 1PF 1 = 3c ，于是 2a = PF 1 + PF 2= ( 3 +1)c ，故C 的离心率是e = c= -1 . a（2）由题意可知，满足条件的点 P (x , y ) 存在．当且仅当 1 | y | ⋅2c = 16 ， y ⋅ y 2 = -1 x 2 y 2， + = 1，x + c x - c a b即c |y | = 16 ，①x 2 + y 2 = c 2 ，②x 2 y 2 + = 1，③a 2b2由②③及a 2 = b 2 + c 2 得 y 2b 4 = ，又由①知 y 2c 2 162 = ，故b 4 ． c22a 2222222由②③得 x=2(c - b ) ，所以c ≥ b ，从而 a2 2= b + c ≥ 2b = 32, 故 a ≥ 4 .当b = 4 ， a ≥ 4时，存在满足条件的点P ．所以b = 4 ， a 的取值范围为[4 2, +∞) ．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.x 2- 1 12.【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线 C ：y = 2，D 为直线 y = 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，2切点分别为 A ，B ．（1） 证明：直线 AB 过定点；5（2） 若以 E (0， 2)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见解析；（2） x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭ = 4 或 x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭= 2 .【解析】（1）设 D ⎛ t , - 1 ⎫ , A ( x , y ) ，则 x 2 = 2 y ． 2 ⎪ 1 1 1 1 ⎝ ⎭y + 1由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x ，故 1 2 = x ． x 1 - t整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0.2 22 2 2 c12设 B (x 2, y 2 ) ，同理可得 2tx 2 - 2 y 2 +1=0 ． 故直线AB 的方程为 2tx - 2 y +1 = 0 ．1所以直线AB 过定点(0, ) ．2（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1．2⎧y = tx + 1 ⎪ 由⎨ 2 ⎪ y = x ⎩ 2 2 ，可得 x 2 - 2tx -1 = 0 ． 于是 x + x = 2t , y + y = t ( x + x ) +1 = 2t 2+1 .121212设M 为线段AB 的中点，则 M ⎛t , t 2+ 1 ⎫ ．2 ⎪ ⎝⎭由于 EM ⊥ AB ，而EM = (t , t 2- 2)，AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (t 2- 2)t = 0 ．解得t =0或t = ±1．当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭⎛ = 4 ；5 ⎫2 当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2+ y - ⎝ ⎪ = 2 ．⎭【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.x 2 y 2(1, 0)A (0,1)13.【2019 年高考北京卷文数】已知椭圆C : a 2 + = 1 的右焦点为 b2 ，且经过点 ．（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 设 O 为原点，直线l : y = kx + t (t ≠ ±1) 与椭圆 C 交于两个不同点 P ，Q ，直线 AP 与 x 轴交于点M ，直线 AQ 与 x 轴交于点 N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线 l 经过定点．x 22【答案】（1）+ y 2= 1；（2）见解析.【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．⎪ 2 2y ⋅ + - ⋅ - + -所以椭圆C 的方程为 x 2 + 22= 1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线AP 的方程为 y =y 1 -1 x +1．x 1令y =0，得点M 的横坐标 x M = - x 1． y -1又 y = kx 1+ t ，从而| OM |= x = |x 1 | ．11同理，| ON |= |⎧ y = kx + t , Mx 2 |．kx 2 + t -1kx 1 + t -1⎪由⎨ x 2 + y 2 = 1 得(1+ 2k 2 ) x 2 + 4ktx + 2t 2 - 2 = 0 ． ⎪⎩ 2x + x = -4kt2t 2 - 2则 121+ 2k 2， x 1x 2 =1+ 2k 2 ．所以| OM | ⋅ | ON |= |x 1 kx 1 + t -1 |⋅| x 2 |kx 2 + t -1 = | k 2x x x 1x 2+ k (t -1) (x + x ) + (t -1)2 | 1 2122t 2 - 2 = |1+ 2k 2|22t 2- 2 4kt 2k 1+ 2k 2 k (t 1) ( 1+ 2k 2 ) (t 1) = 2|1+ t | ．1- t又| OM | ⋅ | ON |= 2 ，所以 2|1+ t| = 2 ．1- t解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：3 3 1 2 2 ⎪ 2 (1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2) 强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、 三角形的面积等问题．14.【2019 年高考天津卷文数】设椭圆 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，左顶点为 A ，上顶点为 B .已b 2知 | OA |= 2 | OB | （O 为原点）.（1） 求椭圆的离心率；3 （2） 设经过点 F 且斜率为 4的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P ，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C 在直线 x =4 上，且OC ∥AP ，求椭圆的方程.1 x2 【答案】（1） ；（2） 2 y 2+ = 1. 16 12⎛⎫2【解析】（1）设椭圆的半焦距为 c ，由已知有 3a = 2b ，又由 a 2 = b 2 + c 2，消去b 得 a 2 = a ⎝ 2 ⎭+ c 2 ， 解得 c = 1 .a 21所以，椭圆的离心率为 .2x 2 y 2（2）由（1）知， a = 2c , b = 3c ，故椭圆方程为 4c 2 + = 1 .3c 2由题意， F ( - c , 0) ，则直线l 的方程为 y = 3(x + c ) ，4 ⎧ x 2 + y 2=⎪ 4c 2 点 P 的坐标满足⎨ 3c 21, 消去 y 并化简，得到7x 2 + 6cx -13c 2 = 0 ，解得 x = c , x = - 13c . ⎪ y = 3 (x + c ), 7⎩⎪ 4代入到l 的方程，解得 y 1 = 3 c , y 2 2= - 9 c . 14 x ⎛ 3 ⎫因为点 P 在 轴上方，所以 P c , c ⎪ .⎝ ⎭由圆心C 在直线 x = 4 上，可设C (4, t ) .因为OC ∥AP ，且由（1）知 A ( - 2 c , 0) ，故 t 43 c= c + 2c，解得t = 2 .24 2 因为圆C与 x 轴相切，所以圆的半径长为 2，3(4 + c ) - 2 又由圆C 与l 相切，得 4= 2 ，可得c =2 . ⎛ 3 ⎫21+ ⎪ ⎝ ⎭2 所以，椭圆的方程为 x + y= 1.16 12【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.15.【2019 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C : xa 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的焦点为 F 1b2（–1、0），F 2（1，0）．过 F 2 作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方，l 与圆 F 2: (x -1)2 + y 2 = 4a 2 交于点 A ， 与椭圆 C 交于点 D .连结 AF 1 并延长交圆 F 2 于点 B ，连结 BF 2 交椭圆 C 于点 E ，连结 DF 1． 5已知 DF 1= ．2（1） 求椭圆 C 的标准方程；（2） 求点 E 的坐标．【答案】（1） x 2 + y 2= ；（2）E (-1, - 3) . 4312【解析】（1）设椭圆 C 的焦距为 2c . 因为 F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以 F 1F 2=2，c =1. 5又因为 DF 1= 2所以 DF 2= ，AF 2⊥x 轴，== 3 ， 2DF 2- F F 21 12 ( 5)2 - 22 2 2⎩ 2 2 ⎨ 1因此 2a =DF 1+DF 2=4，从而 a =2.由 b 2=a 2−c 2，得 b 2=3.2因此，椭圆 C 的标准方程为 x + y = 1.4 3（2）解法一：2由（1）知，椭圆 C ： x + y = 1，a =2，4 3因为 AF 2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x =1 代入圆 F 2 的方程(x −1) 2+y 2=16，解得 y =±4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A (1，4). 又 F 1(−1，0)，所以直线 AF 1：y =2x +2.⎧ y = 2x + 2由⎨(x -1)2 + y 2= 16，得5x 2 + 6x -11 = 0 ， 解得 x = 1 或 x = - 11.5将 x = - 11 代入 y = 2x + 2 ，得 y = - 12，5 5 因此 B (- 11 , - 12) .又 F 2(1，0)，所以直线 BF 2： y = 3(x -1) .5 5 4 ⎧ y = 3(x -1) 由⎪ 4 ，得7x 2 - 6x -13 = 0 ，解得 x = -1 或x = 13. ⎪ x 2 + y 2= 7 ⎪⎩ 4 3又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 x = -1 . 将 x = -1 代入 y = 3 (x -1) ，得 y = - 3. 4 2因此 E (-1, - 3) .22解法二：2由（1）知，椭圆C：x+y= 1.如图，连结EF1.4 3因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x 轴，所以EF1⊥x 轴.⎧x =-1⎪ 3因为F1(−1，0)，由⎨x2 y2⎪⎩4+3，得y =±.=1 2又因为E 是线段BF2 与椭圆的交点，所以y =-3.2因此E(-1, -3) .2【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.16.【2019年高考浙江卷】如图，已知点F(1，0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q，且Q 在点F 的右侧．记△AFG,△CQG 的面积分别为S1, S2 ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；S1（2）求的最小值及此时点G 的坐标．2S【答案】（1）p=2，准线方程为x=−1；（2）最小值为1+【解析】（1）由题意得p= 1，即p=2. 2所以，抛物线的准线方程为x=−1.3，此时G（2，0）．2（2）设A(x, y ), B (x, y ),C (x, y )，重心G (x, y ).令y = 2t, t ≠ 0 ，则x=t 2 .A AB B c c G G A A由于直线AB过F，故直线AB方程为x =2 (t 2 -1) t 2 -12ty +1，代入y2= 4x ，得y2 -ty - 4 = 0 ，故2ty =-4 ，即y =-2，所以B⎛1, -2 ⎫.B B t t 2 t ⎪⎝⎭又由于x =1 (x +x +x ), y =1 (y +y +y )及重心G 在x 轴上，故2t -2+y= 0 ，得G 3 A B c G 3 A B c t c ⎛⎛1⎫2 ⎛1⎫⎫⎛2t 4 - 2t 2 + 2 ⎫Ct -t ⎪ , 2t-t ⎪⎪, G 3t 2, 0 ⎪.⎝⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭所以，直线AC方程为y - 2t = 2t (x-t 2 )，得Q (t 2 -1, 0).由于Q在焦点F的右侧，故t 2 > 2 .从而1 2 m ⋅ 3 + 4m3 S y 1S | FG | ⋅ y A 2t 4 - t 2 t 2 - 2 1 = 2 = S 2 1 | QG | ⋅ y 22t 4 - 2t 2 + 2 2= = t 4 -1 2- t 4 -1 . 2c | t -1- 3t 2 | ⋅ | - 2t | t令 m = t 2 - 2 ，则m >0，S 1= 2 -S 2 m m 2 + 4m + 3 S 1= 2 - 1 m + 3 + 4 m32 - = 1+3 2 . 当 m = 时， 取得最小值1+ 2 ，此时G （2，0）．2【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.17.【2018 年高考全国Ⅰ文数】设抛物线C ：y 2 = 2x ，点 A (2 ，0) ， B (-2 ，0) ，过点 A 的直线l 与C 交于M ， N 两点．（1） 当l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； （2） 证明：∠ABM =∠ABN ．【答案】（1）y = 1 x +1 或 y = - 1x -1 ；（2）见解析.22【解析】（1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x =2，可得 M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线 BM 的方程为 y = 1x +1 或 y = - 1x -1 ．22（2）当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y = k (x - 2)(k ≠ 0) ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则 x 1>0，x 2>0．⎧ y = k (x - 2) 2 由⎨ 2⎩ = 2x得 ky 2–2y –4k =0，可知 y 1+y 2= k ，y 1y 2=–4． 直线 BM ，BN 的斜率之和为k + k= y 1 + y 2 = x 2 y 1 + x 1 y 2 + 2( y 1 + y 2 ) ．①BMBNx + 2 x + 2 (x + 2)(x + 2) 1 2 1 2将 x = y 1 + 2 ， x = y2 + 2 及 y 1+y 2，y 1y 2 的表达式代入①式分子，可得1k2kx y + x y + 2( y + y ) = 2 y 1 y 2 + 4k ( y 1 + y 2 ) = -8 + 8 = 0 ． 2 1 1 2 1 2k k2t 4 - 2t 2 + 2 - 3t 2 1 ⋅ | 2t |⎩ 所以 k BM +k BN =0，可知 BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解.（1） 求出直线 l 与抛物线的交点，利用两点式写出直线 BM 的方程;（2） 由（1）知，当直线 l 与 x 轴垂直时，结论显然成立，当直线 l 与 x 轴不垂直时，设出斜率 k ，联立直线 l 与 C 的方程，求出 M ，N 两点坐标之间的关系，再表示出 BM 与 BN 的斜率，得其和为 0，从而说明 BM 与 BN 两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等.18.【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线C ：y 2= 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为k(k > 0) 的直线l 与C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．（1） 求l 的方程；（2） 求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y =x –1；（2） (x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或(x -11)2 + ( y + 6)2= 144 ．【解析】（1）由题意得 F （1，0），l 的方程为 y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ⎧ y = k (x -1)由⎨ y 2 = 4x得 k 2 x 2 - (2k 2 + 4)x + k 2= 0 ．2k 2 + 4∆ = 16k 2+16 = 0 ，故x + x = ．12k2所以 AB = AF + BF = (x 1 + 1) + (x 2 + 1) =4k 2+ 4．k2由题设知 4k 2 + 4k2= 8 ，解得 k =–1（舍去），k =1．因此 l 的方程为 y =x –1．（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为y - 2 = -(x - 3) ，即 y = -x + 5 ．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则⎧y0 =-x0 + 5，⎪⎧x0= 3，⎧x= 11，⎨( y -x +1)2解得⎨或⎨⎪(x +1)2 =0 0 +16. ⎩y0 = 2 ⎩y0 =-6.⎩0 2因此所求圆的方程为(x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或(x -11)2 + ( y + 6)2 = 144 ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线l 的方程，代入抛物线方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;（2）由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.x2 19.【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：y2+= 1 交于A ，B 两点．线段AB4 3 的中点为M (1, m)(m > 0) ．（1）证明：k <-1 ；2（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP +FA +FB =0 ．证明：2 | FP |=| FA | + | FB | ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.x2 y2 x2 y2【解析】（1）设A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) ，则1+1= 1，2 +2= 1．4 3 4 3两式相减，并由y1-y2 =k 得x1 +x2 +y1 +y2 ⋅k = 0 ．x1-x24 3由题设知x1+x2 = 1，y1+y2 =m ，于是k =-3．2 2 4m由题设得0 <m <3，故k <-1．2 2（2）由题意得F（1，0）．设P(x3，y3)，则(x3-1，y3)+(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(0，0)．由（1）及题设得x3 = 3 - (x1 +x2 ) = 1 ，y3 =-( y1 +y2 ) =-2m < 0 ．(x -1)2 + y 2 1 1 2 2 3 |FP |=, ) y y 又点 P 在 C 上，所以 m = 3 ，从而 P (1，- 3) ， 3 ．于是4 2 2x |FA |= = x 同理|FB |=2 - 2．21= 2 - 1 ． 2所以 FA + FB = 4 - 2 (x 1 + x 2 ) =3 ． 故2|FP |=|FA |+|FB |．【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、 数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系， 也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解.x 2 y 2 6 20.【2018 年高考北京卷文数】已知椭圆 M : + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 3，焦距为2 .斜率为k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A ，B .（1） 求椭圆 M 的方程；（2） 若 k = 1，求|AB |的最大值；（3） 设 P (-2, 0) ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D .若 C ,D和点Q (- 7 1 4 4共线，求 k .【答案】（1） x 2 + 23= 1；（2）；（3）1.【解析】（1）由题意得2c = 2 ，所以c = ，又e = c =a6 ，所以 a = ，3所以b 2 = a 2 - c 2 = 1 ，所以椭圆 M 的标准方程为 x 2 + 23= 1．（2）设直线 AB 的方程为 y = x + m ，(x -1) + 3(1 - 2x 2 14 1 ) 2 61+ k 2 6 6 x + 21 12 2 1 1 11 1 ⎧ y = x + m ⎪ 由⎨2 ⎪⎩ 3y = 1 消去 y 可得 4x 2 + 6mx + 3m 2 - 3 = 0 ，则∆= 36m 2 - 4⨯ 4(3m 2 - 3) = 48 -12m 2 > 0 ，即 m 2 < 4 ，设 A (x , y ) ， B (x , y ) ，则 x + x = -3m， x x 3m 2- 3 = ，11则| AB |= 221221 2| x 1 - x 2 |= ⋅ 4=6 ⨯4 - m 2 2易得当 m 2 = 0 时， | AB |max = ，故| AB | 的最大值为 ． （3）设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， C (x 3 , y 3 ) ， D (x 4 , y 4 ) ，则 x 2 + 3y 2 = 3 ①， x 2 + 3y 2 = 3 ②，又 P (-2, 0) ，所以可设 k 1⎧ y = k 1 (x + 2) = k PA =y 1x 1 + 2，直线 PA 的方程为 y = k 1 (x + 2) ， ⎪由⎨ x 2 + y 2 = 1 消去 y 可得(1+ 3k 2 )x 2 +12k 2 x +12k 2 - 3 = 0 ，⎪⎩ 312k 212k 2则 x 1 + x 3 = - 1，即 x 3 = - 1- x 1 ，又 k = 1+ 3k 2 y 1，代入①式可得 x 1+ 3k 2= -7x 1 -12 ，所以 y = y 1 ， x 1 + 2 4x 1 + 7 4x 1 + 7所以C ( -7x 1 -12 , y 1 ) ，4x 1 + 7 4x 1 + 7同理可得D ( -7x 2 -12 , y 2 ) ．4x 2 + 7 4x 2 + 77 1 7 1 故QC = (x 3 + 4 , y 3 - 4) ， QD = (x 4 + 4 , y 4 - 4) ，因为Q , C , D 三点共线，所以(x + 7 )( y - 1 ) - (x + 7 )( y - 1) = 0 ，3 4 4 4 44 3 4将点C , D 的坐标代入化简可得y 1 - y 2= 1，即 k = 1． x 1 - x 2 1+ k 2 (x + x )2 - 4x x 1 2 1 2 ，13 313 13 2 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.21.【2018 年高考天津卷文数】设椭圆xa 2率为 5， | AB |= ．3y 2+ = 1(a > b > 0) 的右顶点为 A ，上顶点为 B ．已知椭圆的离心b 2（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线l : y = kx (k < 0) 与椭圆交于P , Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M ，且点 P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．【答案】（1） x9 + y 2 4= 1；（2） - 1 ． 2【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分 14 分．（1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知得 c a 2又由 a 2 = b 2 + c 2 ，可得2a = 3b ．= 5，9由| AB |= = ，从而 a = 3, b = 2 ．2 所以，椭圆的方程为 x+ y = 1．9 4（2） 设点 P 的坐标为(x 1, y 1) ，点 M 的坐标为(x 2 , y 2 ) ，由题意， x 2 > x 1 > 0 ，点Q 的坐标为(-x 1, - y 1) ．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，可得|PM |=2|PQ | ， 从而 x 2 - x 1 = 2[x 1 - (-x 1)] ，即 x 2 = 5x 1 ． 易知直线 AB 的方程为 2x + 3y = 6 ，a 2 +b 2 2 2 29k 2 + 4 9k 2+ 42 ⎩ +y ⎧2x + 3y = 6, 6 由方程组 消去 y ，可得 x = ． ⎨ y = kx , ⎧ x 2 y 2 ⎪ 由方程组⎨ 9 4 ⎪⎩ y = kx ,2= 1, 消去 y ，可得 x 1 3k + 2= 6 ． 由 x = 5x ，可得= 5(3k + 2) ，两边平方，整理得18k 2 + 25k + 8 = 0 ，解得 k = - 8 ，或 219k = - 1 ．2 当 k = - 8 时， x = -9 < 0 ，不合题意，舍去；当 k = - 1 时， x = 12 ， x = 12，符合题意．9 2 2 2 15所以， k 的值为- 1．2【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决此类 问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.22.【2018 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 过点( 3, 1) ，焦点 F(-3, 0), F ( 3, 0) ，圆 O 的直径为 F 1F 2 ． （1） 求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2） 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P ．①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；②直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点．若△OAB 的面积为212，求直线 l 的方程．【】1）椭圆 C 的方程为x 2 + 24 = 1，圆 O 的方程为 x 2 + y 2 =（2）① ( 2,1) ；② y = -5x + 3 ．【解析】（1）因为椭圆 C 的焦点为 F 1 (- 3, 0), F 2 ( 3, 0) ，2 6748 y 2 (x 2 -2)0 0y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y 可设椭圆 C 的方程为 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) ．b 21 ⎧ 3 + 1= 1, ⎧a 2 = 4, 又点( 3, ) 在椭圆 C 上，所以⎪ a 2 4b 2⎪ ，解得2因此椭圆 C 的方程为x 2 + 24⎨⎪⎩a 2 -b 2 = 3,= 1．⎨ ⎪⎩b 2 = 1,因为圆 O 的直径为 F 1F 2 ，所以其方程为 x 2+ y 2= 3 ．（2）①设直线 l 与圆 O 相切于 P (x , y )(x > 0, y > 0) ，则 x 2 + y 2= 3 ，所以直线 l 的方程为 y = - x 0 (x - x ) + y ，即 y = - x 0x +3．⎧ x 2 + 2⎪ 4 0 0= 1, y 0 y 0由⎨ ⎪ x 0消去 y ，得(4x 2 + y 2 )x 2 - 24x x + 36 - 4 y 2= 0 ．（*） 3⎪⎩y = - y x + ,y 0因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以∆= (-24x )2 - 4(4x 2 + y 2 )(36 - 4 y 2 ) = 48 y 2(x 2 - 2) = 0 ．因为 x 0 , y 0 > 0 ，所以 x 0 = 2, y 0 = 1 ．因此点 P 的坐标为( 2,1) ．②因为三角形 OAB 的面积为2 6 ，所以 1 AB ⋅ OP =2 6 ，从而 AB =4 2 ．727724x ± 设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，由（*）得 x 1,2 =，2(4x 2 + y 2 )2 y2 0x 2 48y 2 (x 2 - 2) 所 以 AB 2 = (x - x )2 + ( y - y )2 = (1+ 0 ) ⋅ 0 0．1 2 1 2 y 2 (4x 2 + y 2 )216(x 2- 2) 32 因为 x 2+ y 2= 3 ，所以 AB 2= 0= ，即2x 4 - 45x 2 +100 = 0 ， 0 0 (x 2 +1)249 0 0解得 x 2 = 5 (x 2 = 20 舍去），则 y 2 = 1 ， 0 2 0 02因此 P 的坐标为( 10 , 2 ) ．2 2综上，直线 l 的方程为 y = - 5x + 3 ．【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力.（1） 利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程.（2） ①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解；②结合①，利用弦长公式、三角形的面积公式求解.23.【2018 年高考浙江卷】如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C ：y 2=4x 上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上．（1） 设 AB 中点为 M ，证明：PM 垂直于 y 轴；y2（2） 若 P 是半椭圆 x 2+ =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 4【答案】（1）见解析；（2）[6 2,15 10]． 4【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分 15 分.（1）设P (x , y ) ， 1 2，1 2．0 0A ( 4 y 1 , y 1 )B ( 4 y 2 , y 2 ) 因为 PA ， PB 的中点在抛物线上，1 y2 + x所以 y ， y 为方程 y + y 2 0即 y 2 - 2 y y + 8x - y 2= 0 的两个不同的实数根．1 2( 0 ) = 4 ⋅ 40 0 02 2所以 y 1 + y 2 = 2 y 0 ．因此， PM 垂直于 y 轴．⎧⎪ y 1 + y 2 = 2 y 0 , （2）由（1）可知⎨ y y = 8x - y 2,⎩⎪ 1 2 0 0所以| PM |= 1 ( y 2 + y 2 ) - x = 3 y 2- 3x ，| y - y 8 |= 2 12 0．4 0 0 1 2因此， △PAB 的面积 S= 1 | PM | ⋅ | y - y |= 3( y 2 - 4x )2 ． △PAB 2 1 2 4 0y 2因 为 x 2 +0 = 1(x < 0) ，所以 y 2- 4x = -4x 2- 4x + 4 ∈[4, 5] ． 04因此， △PAB 面积的取值范围是[6 2,15 10 ]．4【名师点睛】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一，也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容， 需要熟练地掌握椭圆和拋物线的定义、基本性质、标准方程等，对于处理有关问题有很大的帮助.同时还要注意运算能力的培养和提高.2( y 2 - 4x ) 0 0 3 2 0 0 0 0。
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专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.一、单选题1．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ．2．（2020·山东高三模拟）已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）AB ．2C ．4D ．【答案】C 【解析】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C.3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）过点(的直线将圆()22325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( ) A． BC．-D【答案】D 【解析】点(为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，∴只有当过点(的直线与过点(和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小， 过点()2,3和圆心()3,0的直线斜率为303k -==- ∴过点()2,3的直线斜率为133k -=故选：D4．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）过点()1,2P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．43【答案】C【解析】当0a =时，直线10ax y +-=，即直线1y =，此时过点()1,2P 且与直线1y =垂直的直线为1x =，而1x =是与圆相交，不满足题意，所以0a =不成立，当0a ≠时，过点()1,2P 且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1a ，可设该直线方程为()121y x a-=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1可得，22111a a -=+，解得43a =.故本题正确答案为C. 5．（2020届山东省高考模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF ，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a ，即2232MF MF a ，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ，ab cMH，即M 点纵坐标为ab c ，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b c x b ，解得2b cx，2,b ab ccM， 将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c ，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3c ae，故选D 。
6．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51- B ．352+ C ．512+ D ．31+【答案】C 【解析】由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,Bb ，()20,B b -， ()1,0Fc -，()2,0F c ，且222a b c +=，菱形1122F B F B由以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ．由面积相等，可得112222b c a ⋅⋅=⋅， 即为()22222b c abc =+，即有442230c a a c +-=， 由ce a=，可得42310e e -+=，解得232e ±=，可得e =e =(舍去) 故选：C ．7．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12 C ．13D ．14【答案】D 【解析】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP222tan sin cos 6PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D.8．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B 【解析】 化简圆到直线的距离，又 两圆相交. 选B9．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A 62-B 21C 62+ D 21【答案】D 【解析】直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx +p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1， ∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1，丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨222p p =+=，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 21）p ，2c ＝p ， ∴离心率e 221ca ===-1， 故选：D ．10．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ）A ．7112+B ．9+C ．8312D ．9+【答案】D 【解析】抛物线方程中：令1y =可得14x =，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-， 与抛物线方程联立可得：()2222220k x k x k -++=， 据此可得：11,4A B B Ax x x x =∴==， 且：254A B AB x x p =++=， 将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -，故MB ==故△ABM 的周长为1253944MA AB BM ⎛⎫++=-++=+ ⎪⎝⎭本题选择D 选项.11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知双曲线C :22221x y a b -=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =【答案】D【解析】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==可得2m a =，由212PF PF m⋅=可得 21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ．12．（2020·山东高三下学期开学）已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ） A ．12 B ．10C ．6D ．8【答案】A 【解析】因为,,A F B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥，//AD x 轴，F 为AB 中点，因为F 到准线的距离为6，所以||12AD = 由抛物线定义知||||12AD AF ==， 故选：A13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.14．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】由点()2,4M 在抛物线22y px =上，可得164p =，解得4p =，即抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ．15．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）过点(的直线将圆()22325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( )A ．BC ．3-D ．3【答案】D 【解析】点(为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，∴只有当过点(的直线与过点(和圆心的直线垂直时，可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小，过点(和圆心()3,0的直线斜率为k ==∴过点(的直线斜率为13k -=故选：D16．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为( )A B ．2C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在2y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 17．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F ,O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =【答案】D 【解析】因为122PF PF a -=，1222PF PF m ==可得2m a =，由212PF PF m⋅=可得21242cos 4a a F PF a ⋅∠=，所以1260F PF ︒∠=，即有222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即22223c a b a =+=，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为：y =． 故选：D ．18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左､右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（ ）AB．CD【答案】A 【解析】设双曲线的半焦距为c ，令x c =，则2by a =±，不妨设22,,,b b C c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12222200,A BA C b b b b a a kk a c a a c a c a a c +-==-==---+--， 因为12A B A C ⊥，故()()221b b a a c a a c ⎡⎤-⨯-=-⎢⎥+-⎣⎦，整理得到a b =，故离心率e ==故选：A. 二、多选题19．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ） A ．当0m =时，FABB ．不存在m 使FAB 为直角三角形C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大D ．存在m ，使FAB 的周长最大【答案】AC 【解析】 如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确； 对于D 选项，由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--； ∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤； 即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误.故选：AC20．（2020·山东高三模拟）设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率为157的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 倾斜角的余弦值为78B ．若112F P F F =，则C 的离心率43e = C ．若212PF F F =，则C 的离心率2e = D ．12PF F △不可能是等边三角形【答案】AD 【解析】设直线倾斜角为α，则tan α=，所以7cos 8α=.P 在第一象限内，若112F P F F =，则1122PF F F c ==，222PF c a =-，由余弦定理得222244(22)788c c c a c +--=， 整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍）. 若212PF F F =，则2122PF F F c ==，122PFc a =+， 由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+， 整理得2340e e --=， 解得43e =或1e =-（舍）. 由12PF PF >，知12PF F △不可能为等边三角形. 故选:AD.21．（2020届山东省高考模拟）设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【答案】ACD 【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB 的距离211d k =+，即C 正确；A.22222424221122112212||||()()()()(1)(1)OA OB x y x y x x x x x x =++=++=++ 222222212121212124()x x x x x x x x =+++=++=++．||||2OA OB ∴正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以2113==12x x ∴±，，不妨取3x =. 所以1131243k -==-，所以直线AB 的方程为3134y x =-+，所以14b =.由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++=1114++=3223.所以41||133BF =-=.所以D 正确.故选：ACD ．22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为93，则( ) A ．3BF =B ．ABF ∆是等边三角形C ．点 F 到准线的距离为3D ．抛物C 的方程为26y x =【答案】BCD 【解析】由题意，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，且90ABD ∠=由抛物线定义，可得AB AF BF ==，所以ABF ∆是等边三角形， 所以30FBD ∠=，2ABF S ∆==6BF ∴=，又焦点F 到准线的距离为sin303p BF ==，则抛物线方程为26y x =则有BCD 正确，A 错误. 故选：BCD23．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC 【解析】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2p y =-， 点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确； 由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+， 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，，221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+，在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++， 当且仅当0k =时取等号， 所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确， 故选：BC.24．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为93，则( ) A ．3BF =B ．ABF ∆是等边三角形C ．点 F 到准线的距离为3D ．抛物C 的方程为26y x =【答案】BCD 【解析】由题意，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，且90ABD ∠= 由抛物线定义，可得AB AF BF ==，所以ABF ∆是等边三角形， 所以30FBD ∠=，23934ABF S ∆==6BF ∴=，又焦点F 到准线的距离为sin303p BF ==，则抛物线方程为26y x =则有BCD 正确，A 错误. 故选：BCD25．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（ ）A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．()()b m R n R ++【答案】ABD 【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩ ，（*）a c m R ∴-=+ ，故A 正确；a c n R +=+，故B 正确；（*）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确； 由（*）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩ ，两式相乘可得()()22m R n R a c ++=-222a c b -= ，()()()()2b m R n R b m R n R ∴=++⇒=++ ，故D 正确.故选：ABD26．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F ∆的周长为803C ．12F PF ∠小于3πD ．12PF F ∆的内切圆半径为34【答案】ABC 【解析】设12F PF ∆的内心为I ，连接22IP IF IF 、、，双曲线E ：221169x y -=中的4a =，3b =，5c =， 不妨设()P m n ，，0m >，0n >， 由12PF F ∆的面积为20，可得1215202F F n cn n ===，即4n =， 由2161169m -=，可得203m =，故A 符合题意； 由2043P ⎛⎫⎪⎝⎭，，且()150F -，，()250F ，， 可得11235PF k =，2125PF k =， 则(121212360535tan 0312123191535F PF -==∈⨯+⨯，，则123F PF π<∠，故C 符合题意；由12371350333PF PF +==+=，则12PF F ∆的周长为50801033+=，故B 符合题意； 设12PF F ∆的内切圆半径为r ，可得()12121211422r PF PF F F F F ++=⋅⋅，可得80403r =，解得32r =，故D 不符合题意． 故选：ABC ．27．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）设椭圆的方程为22124x y +=，斜率k 为的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则AB =【答案】BD 【解析】对于A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质4212AB OM k k ⋅=-=-≠-， 所以A 项不正确；对于B 项，根据2AB OM k k ⋅=-，所以2AB k =-， 所以直线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=， 所以B 项正确；对于C 项，若直线方程为1y x =+，点14(,)33M ，则1442AB OM k k ⋅=⋅=≠-， 所以C 项不正确；对于D 项，若直线方程为2y x =+，与椭圆方程22124x y +=联立， 得到222(2)40x x ++-=，整理得：2340x x +=，解得1240,3x x ==-，所以4033AB =-=， 所以D 正确； 故选：BD.28．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=【答案】BC 【解析】因为双曲线22:1169x y C -=，所以5c ==.又因为12112102022PF F P P S c y y ∆=⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误； 将4P y =代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即203P x =. 由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知2133PF ==. 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=， 所以12133750333PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F ∆中，12371321033PF c PF =>=>=. 且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅，则21PF F ∠为钝角，所以12PF F ∆为钝角三角形，选项C 正确；由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，123F PF π≠∠，所以选项D 错误.故选：BC. 三、填空题29．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O为坐标原点），且AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．【答案】【解析】AOB ∆为等腰直角三角形 OA OB ∴⊥，又OA OB r === 2AB ∴=又圆O的圆心到直线距离d ==2AB ∴===，解得：a =故答案为30．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c，再根据椭圆定义得2c a +=，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1.c a ==双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m++∴===∴=， 31．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）双曲线2213x y -=的渐近线与直线3x =围成的图形绕y轴旋转360︒，则所得旋转体的体积为___；表面积为_____ 【答案】4π 83π 【解析】双曲线2213x y -=的渐近线3y x =±，与直线3x =的交点为()3,1和()3,1-，该旋转体为底面半径是3，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为3，高为1，母线长为2的圆锥， 所以所得旋转体的体积为()()22123223143V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=圆柱圆锥，表面积为23223283S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 故答案为：4π，83π.32．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.33．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是________________. 【答案】6x －8y ＋1＝0 【解析】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则直线l 1：y ＝k （x －3）＋5＋b ，平移后的直线方程为y ＝k （x －3－1）＋b ＋5－2即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b取直线l 上的一点3,4P m m b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，则点P 关于点（2，3）的对称点为34,64m b m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ， ()331164444b m m b --=-++ ，解得b ＝18.∴直线l 的方程是3148y x =+ ，即6x －8y ＋1＝0.故答案为：6x －8y ＋1＝034．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；【答案】 【解析】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故2AB ==,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离1d ==.1a =⇒=故答案为：35．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）以双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右焦点(),0F c 为圆心，a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于A ，B 两点，若23AB c =，则双曲线C 的离心率为__________． 【答案】5【解析】∵双曲线的一个焦点为F （c ，0），双曲线的一条渐近线为y ba=x ，即bx ﹣ay ＝0， ∴焦点到渐近线的距离d bcb c===， ∵|AF |＝|BF |＝a ，∴|AD|=则|AB |＝2|AD |＝23=c ， 平方得4（a 2﹣b 2）49=c 2， 即a 2﹣c 2+a 219=c 2， 则2a 2109=c 2， 则c 295=a 2，则c =a ，即离心率e 35=， 故答案为：35．36．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件： ①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30；③实轴长为4，且焦点在x 轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________.【答案】①②()2203x y λλ-=>或()2203x y λλ-=>；①③221412x y -=；②③223144x y -=【解析】若选①②：若双曲线的焦点在x 轴上，则设双曲线方程为22221x ya b-=，所以2tan 30ca b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以23c a a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>，若双曲线的焦点在y 轴上，则设双曲线方程为22221y xab-=，所以2tan 30c a a b⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以23c a b a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>；若选①③：因为224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以42c a =⎧⎨=⎩，所以2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩221412x y -=；若选②③：因为tan 302b a a ⎧=︒⎪⎨⎪=⎩，所以2b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以双曲线方程为：223144x y -=. 故答案为：()2203x y λλ-=>(或()2203x y λλ-=>或221412x y -=或223144x y -=).37．（2020届山东省高考模拟）已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为____________. 【答案】2 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，=b =，即有双曲线的2c e a ===．故答案为：238．（2020·山东高三下学期开学）已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且PH k PF =，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____． 【答案】11【解析】根据题意画出抛物线，过P 作PN抛物线准线于N ，连接PH .由抛物线定义可知PF PN =，由PH k PF =，（0k >）， 设直线PH 的倾斜角为α，则cos cos PNHPN PHα=∠=， 可得1cos PFPN k PH PHα===， 当k 最大时，cos α取得最小值，且cos 0α>， 当cos α取得最小值时直线PH 与抛物线24y x =相切，设直线PH 的方程为y kx k =+， 则24y kx k y x=+⎧⎨=⎩，化简可得()2222220k x k x k +-+=， 因为直线PH 与抛物线相切，则()2244240k k ∆=--=，解得1k =±，由0k >可得1k =，同时可得切点横坐标为1x =， 将切点横坐标带入抛物线可得()1,2P ±， 因为点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，由双曲线定义及两点间距离公式可得2222a PH PF =-=，22c HF ==，所以双曲线离心率为2121c e a ===-，故答案为：1；21+.39．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为,P O 为原点，OP OF =，则双曲线C 的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________. 【答案】()5,0 5 【解析】 如图所示：直线43200x y -+=过点F ，()5,0F ∴-，半焦距5c =，则右焦点为()25,0FA 为PF 中点，OP OF =，2//OA PF ∴由点到直线的距离公式可得2045OA ==，228PF OA =∴=，由勾股定理可得：22226FP FF PF =-=，再由双曲线定义可得：222PF PF a -==1a ，则离心率5ce a== 故答案为：()5,0，540．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）双曲线C ：222210x y a b a b-=（，＞）的左、右焦点为F 1，F 2，直线y 3=与C 的右支相交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐5_____.【答案】32 22145x y -=.【解析】把y =代入C 的方程可得x ＝2a ，∴P （2a ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 由双曲线的定义可知：|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，4a =2a =，整理可得8ac ＝12a 2，∴2c ＝3a ，所以双曲线的离心率为32c e a ==.b =32c a ==，解得a ＝2，所以双曲线的方程为：22145x y -=.故答案为：32；22145x y -=．41．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为________.【答案】22【解析】由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c , 因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,当122F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得22430e e +-=,解得1e =<（舍）；当121F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得22430e e --=,解得e =故答案为 42．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率是_____．【解析】由m 是2与8的等比中项有22816m ,故4m =±.当4m =时圆锥曲线方程2214y x -=,为焦点在x 轴的双曲线,其中1,a c ==此时离心率e =当4m =-时圆锥曲线方程2214y x +=,,为焦点在y 轴的椭圆,其中2,a c ==此时离心率2e =四、解答题43．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭， （1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2 【解析】（1）直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =, 因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭, 设()()1122,,,A x y B x y ,则121242,33x x y y +=+=,且21211y y x x -=--,又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得22222121220x x y y a b--+=, 则()()()()21212121220x x x x y y y y ab-+-++=,得222a b =又222,1a b c c =+=, 所以222,1a b ==,因此椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）联立22121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,易知直线l 的斜率存在,设直线:l y kx =,代入2212x y +=,得()22212k x +=,解得x =或设()()3344,,,C D x y y x ,则34x x =-=,则34C x D -=,因为()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y kx =的距离分别是12d d =, 由于直线l 与线段AB （不含端点）相交,所以()4101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14k >-,所以()124441k k d d +++, 四边形ACBD 的面积()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,34t >,则2221243k t t +=-+,所以222242424212434124323tSt tt tt t=⋅=⋅=⋅-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,当123t=,即12k=时,min421432416312S=⨯=-因此四边形ACBD面积的最大值为43.44．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，已知抛物线2x y=.点A1139-2424B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P（x,y）13-x22⎛⎫⎪⎝⎭＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求PA?PQ的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）2716.【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，2114122xk xx-==-+，因为1322x-<<，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程110,24930,42kx y kx ky k⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|P A 1)2x +1)k +，|PQ |=2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716．45．（2020·山东高三模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为12e =，其右焦点为F .（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求||||PQ MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）49494848⎡-+⎢⎣⎦.【解析】（1）由2b =b =22222214c a b e a a -===得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ， ①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1),1y k x k =-≠，由()222222(1)438412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩， ()214410k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则221212228412,,4343k k x x x x k k -+==++， 则()22121||34k PQ k+==+， 由椭圆对称性可设直线2l 的斜率为11k k+-， 则()()2222112122411||7121341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭， ()()()()222222121712712||||3468241k k k k kPQ MN k k k +++++=⋅=+++ 22727787486882432k k k k ++=+=+++. 令2872432k t k+=+，则23282470tk k t -+-=， 当0t =时，78k =-，当0t ≠时，由64432(247)0t t '∆=-⨯-≥t≤≤278782432k k +≤+≤+，即49||4948||48PQ MN +≤≤，且||8||7PQ MN ≠. ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，根据对称性不妨设设直线1l 的方程为1y x =-，2l 斜率不存在，则24||7PQ =，22||3b MN a==，此时||8||7PQ MN =∈⎣⎦.若设2l 的方程为1y x =-，1l 斜率不存在，则||74949||84848PQ MN ⎡+=∈⎢⎣⎦，综上可知||||PQ MN的取值范围是⎣⎦.46．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.47．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，点()0,1P -是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径，1l 、2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A 、B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积的最大值及取得最大值时直线1l 的方程.【答案】（1）2214x y +=；当直线1l 的方程为101y x =-时，ABD ∆1613【解析】 （1）由题意得1{2b a ==， ∴椭圆1C 的方程为2214x y +=； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-， 故点O 到直线1l 的距离为21d k =+，又圆222:4C x y +=，AB∴==又12l l⊥，∴直线2l的方程为0x ky k++=，由22{44x ky kx y++=+=，消去y，整理得()22480k x kx++=，故0284kxk=-+，代入2l的方程得2024.4kyk-=+PD∴==，设ABD∆的面积为S，则2124S AB PDk=⋅=+，3213S∴=≤=，=，即k=∴当k=ABD∆此时直线1l的方程为 1.y x=-48．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点32⎛⎝⎭．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且与圆：222x y+=交于E、F两点，求2AB EF⋅的取值范围．。