初三数学圆全章导学案

与圆有关的角的综合教学设计

学习目标

1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按

的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论；

2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆

周角之间的关系进行角的转换和计算。

一、导学探究

知识概述

一、圆心角：

1、的角叫圆心角.

2、圆心角定理：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等；

3、圆心角定理推论：

在同圆或等圆中，两个、两条、两条、两条弦的中有一组量相等，其余各组量都相等。

二、圆周角

1、顶点在，两条边的角叫做圆周角．

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．

3、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧．推论2：(或)所对的圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦是．

4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角．

推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的．

二、精讲多动

一、加深理解

1、对圆周角的理解

①如图，∠AOB与∠ACB是AB对的圆心角与圆周角，故有：∠ACB＝∠AOB，反之∠AOB＝∠ACB．

②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．

2、对圆周角定理的两个推论的理解(1)推论1：

①是圆中证角相等最常用的方法之一．

②若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立

了．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图

中的∠1与∠2)．

③推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这个前提条件，结论不成立(如图中的AC BD

与)．

④联系圆心角定理推论可得：在同圆或等圆中，

C B

(2)推论2应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法． 3、对圆的内接四边形定理的理解

(1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角． (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180°)．

(3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据．

(4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置． 二、解题方法技巧点拨

1、圆心角和圆周角之间的换算

例1、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 交AB 于P ，且∠APD ＝60°，∠COB ＝30°，求∠ABD

的度数．

例2、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝80°，以AB 为直径的半圆交AC 于D ，交BC 于E ．求A

D D EB

E 、、所对圆心角的度数．

点评：(1)辅助线AE ，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构成直角三角形．即有直径，得直角.

(2)本题还有副产品BE ＝EC ，你注意了吗？该副产品有时很有用．

仿解：如图，BC 为半圆O 的直径，点F 是弧BC 上一动点（点F 不与B 、C 重合），A 是弧BF 上的中点，设∠FBC ＝α, ∠ACB ＝β.

⑴当α＝50°时，求β的度数。

⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。

2、 圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题 圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角．

圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．

例3、如图，圆的弦AB 、CD 延长线交于P 点，AD 、BC 交于Q 点，∠P ＝28°，

∠AQC ＝92°，求∠ABC 的度数．

P

分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠AQC 与圆外角∠P 可通过圆周角∠ABC (∠ADC )与∠A (∠C )建立起联系。 点评：

⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系．

⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角＞圆周角＞圆外角． ⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和．(如图， ∠AQC ＝∠ABC ＋∠A )．

⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图，∠P ＝∠ABC －∠A )．

3、与圆周角有关的证明

例4、如图，△ABC 内接于⊙O ，AE ⊥BC 于D ，交⊙O 于E ，AF 为⊙O 的直径． ⑴求证：∠BAF ＝∠CAE ． (2) 求证：AB ·AC ＝AD ·AF ；

(3)若过O 作ON ⊥AB 于N ，则ON 与CE 之间有何数量关系？

例5、如图，AB 是△ABC 外接圆O 的直径，D 为⊙O 上一点，且DE ⊥CD 交BC 于E ， 求证：EB ·CD ＝DE ·AC ．

例6、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ， AF ⊥BD 于F ，延长AF 交BC 于G ．求证：AB 2＝BG ·BC ．

例7、已知：⊙O 1的圆心O 1在⊙O 2上，且两圆交于A 、B 两点，O 1D 为⊙O 2的弦，交⊙O 1于C ，求证：O 1C 2＝O 1E ·O 1D ．

点评：在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线．

①过弧中点作半径；②连等弧对的圆心角和圆周角；③连等弧对的弦．

D

B

4、与圆的内接四边形的有关计算问题 例8、如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是AC 上任意一点，那么∠D 的度数是________．

仿解：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交弧BC 于D ． (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BC ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径．

（3）连CD ，设∠BDC ＝α，∠ABC ＝β，探究α与β之间的关系式，

并给给予适当的说明。

例9、已知：四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠BOD ＝100°．求∠A 的度数．（注意：此题不止一种情形）

仿解：已知⊙O 中弦AB 的长等于半径长，则弦AB 所对的圆周角的度数为 .

5、与圆的内接四边形有关的证明问题

例10、如图，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，G 是AC 上任意一点，AG 、DC 的延长线交于F ．求证：∠FGC ＝∠AGD ．

点评：圆内接四边形的性质是沟通圆外角和圆内角的桥梁，此题的关键是添加辅助线，构造圆内接四边形．

变式：①此题条件不变，问DG ·CG 是否与AG ·FG 相等．

②是否有AC 2＝AG ·AF 成立？ 6、巧妙构造四点共圆解题.

例11、在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。

思路点拨：由题中的条件AC ＝BC ＝PC ，联想到圆的定义，画出以点C 为圆心，AC 为半径的圆，巧妙地构造出圆心角∠

ACB ＝1000， 圆周角∠APB ＝500问题，使此题得以突破与解决。

三、优选精练

1、下列命题中，错误的是( )

A ．90°的圆角所对的弦一定是直径；

B ．相等的圆周角所对的弦长也相等；

C ．圆周角等于其所对弧的度数的一半；

D ．同弧所对的圆周角也相等

2、如图，已知直线BC 切⊙O 于点C ，PD 为⊙O 的直径，BP 的延长线与CD 的延长线交于点A ，∠A ＝28°，∠B ＝26°，则∠PDC ＝ .

3、如图所示，P 为等边三角形ABC 外接圆上一点，则∠APB 的度数是

4、如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ，分别过A 、B 作两条直线与⊙O 1交于C 、E ，与⊙O 2交于E 、F ，如∠

ADF ＝

100

°，那么∠ACE ＝ .

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图

5、如图，四边形OADC 中， A

知∠BOC ＝20°，那么∠6、（2009肇庆）9．如图 4，⊙ 第6题图 第7 第8题图 7、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，作弦CD ⊥AB ，当线交圆周于一点E ，此点( A ．是AB 的中点； B 8、如图，⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线交于P ,已知AB ＝BC ，求证：△ABD ∽△DPC 。

9、如图，半圆的半径为2cm ，点C 、D 三等分半圆，求阴影部分面积.

10、（07年重庆）已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，

∠BAC ＝45?。给出以下五个结论：∠EBC ＝22.5?；

12BD ＝DC ；1

2

AE ＝2EC ；劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。其中正确结论的序号是 。

11、如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 . 12、（2008年海南） 如图8, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB

上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是 . 13、（07年广西柳州、北海）如图所示，AB ＝AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE ．

（1）试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由； （2）如果BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长．

14、(2009南充市)如图8，半圆的直径AB ＝10，点C 在半圆上，BC =6． （1）求弦AC 的长；

（2）若P 为AB 的中点，PE ⊥AB 交AC 于点E ，求PE 的长．

15、（2009黄冈市）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2

BC BG BF =

16、(2009年衢州）如图，AD 是⊙O 的直径．

(1) 如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；

（第11题图）

（第15题图）

?

E D C B

A

O 第10题图

(第13题图)

P

B C E A （14题）

B

(2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2，∠B 3的度数； (3) 如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数(只需直接写出答案)．

17、（2008陕西）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB

＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线．过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE ．

（1）求证：AC ＝AE ；

（2）求△ACD 外接圆的半径．

18、(2009成都)如图，Rt△ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ． (1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；

(2)求证：AE ＝

BF ； （3）若3(2OG DE ?=，求⊙O 的面积。

A

B

19、（2010浙江金华）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；

（2）若CD ＝6， AC ＝8，求⊙O 的半径与CE 的长．

图3图2图1

C 2

B

D D D B n n -2-1n B 3

3

20、（2010湖北荆门）如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，

已知BC ：CA ＝4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． （1）求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；

（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；

（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求出这个最大面积S 。

21、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，点O 1在⊙O 2上，⊙O 2的弦O 1C 交AB 、⊙O 1于D 、E 。求证：（1）C O D O AO 112

1?=；（2）E 为△ABC 的内心。

22、如图，四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，AC ⊥BD 于E ，OF ⊥AB 于F ，求证：CD ＝

2OF.

23、如图，已知AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC 。（1）求证：FB ＝FC ；（2）FD FA FB ?=2

；（3）若AB 是△ABC 的外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6cm ，求AD 的长。