线性子空间

V2 为V的子空间.
定理： 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 { x1 x2 | x1 V1 , x2 V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间. 事实上， 0 V1 ,0 V2 , 0 0 0 V1 V2 任取 x , y V1 V2 , 设 x x1 x2 , y y1 y2 ,
方程组的解空间V的维数＝n－秩(A)，
方程组的一个基础解系就是解空间V的一组基
n元齐次线性方程组
c11 x1 c x2 a a12 11 1 12 x2 a 21 x1 c a22 x22 22x a x a x s2 2 s1 1
c a11snx xsn c0 1, s 1 x s 1 xx c0 c a 22 sn s n 2, s 1 x s 1
故 k x ly V 1
（加法封闭）
＃
n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a x a x s2 2 s1 1
a1 n x n 0 a2 n xn 0 a sn x n 0
的全部解向量所成集合V对于通常的向量加法 和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间 Rn 的一个子空间，称V为方程组的解空间
x1 x2
xn 0
1 (1, 1,0,
,0), 2 (1,0, 1,0,
,0),
,
n1 (1,0,
,0, 1) 就是V1 的一组基.
而在 V2中任取两个向量 x , y ，设
x ( x1 , x2 ,
, xn ), y ( y1 , y2 ,
, xn yn )
则 x1 , x 2 ,
是生成的子空间的基
零子空间就是零元素生成的子空间
例：设V为数域K上的线性空间， x 1 , x 2 ,
, xm V
V1 { k 1 x 1 k 2 x 2
k m x m k i K , i 1, 2,
,m }
则V1关于V的运算作成V的一个子空间．
V1 k1 x1
称为由 x 1 , x 2 , 如果 x1 , x2 ,
kn xn
k i K , i 1, 2 , kn xn
,n
L x1 , x 2 ,
, x n 生成(或张成)的子空间,记为
, x n k1 x1
, xm
, xm
m n 是最大线性无关组，
矩阵分析与应用
第二讲 线性子空间
2014/12/16
本讲主要内容

线性子空间的定义 线性子空间的性质 线性子空间的交 线性子空间的和 子空间交与和的有关性质
线性子空间
设V1是数域K上的线性空间V上一个非空子 集合，且对已有的线性运算满足以下条件： 1. 如果 x , y V 1 ，则 x y V 1 ； 2. 如果 x V 1 , k K ， kx V1 则称V1是V的线性子空间或子空间 线性子空间也是线性空间 非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身 以及零空间 线性子空间的维数小于等于线性空间的维数
s1 , s 2 ,
, ss , 0, 0,
,1
这个解向量组就是方程组的解空间的基
判断Rn的下列子集合哪些是子空间：
V1 {( x1 , x2 , V2 {( x1 , x2 , V3 {( x1 , x2 ,
, xn ) x1 x2 , xn ) x1 x2
x , y V 1 , k , l K 有 k x ly V 1
充分性:设
k=l=1， x , y V1 x y V1
取l=0， x V1, k K kx V1
必要性:
x V 1 , k K k x V 1（数乘封闭） y V 1 , l K l y V 1 （数乘封闭）
包含在V1和V2中 的最大的子空间 子空间的交与和的有关性质
1、设 V1 ,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V 1 , W V 2 , 则 W V 1
V2 .
2）若 V 1 W , V 2 W , 则 V 1 V 2 W .
2、设 V1 ,V2 为线性空间V的子空间，则以下三
设A C
mn
是 Cn 的子空间，称为矩阵A的零空间，其维 数为A的零度，记为 n ( A )
N (A ) x | A x 0, x C
的n个列向量为 a 1 , a 2 ,
,an则
n

1 0 1 已知 A 求A的秩和零度 0 1 1 显然A的秩为2，即 r a n k A 2 又由 A x 0 ，可以解得 T 可以得到 x 1 1 1 t n A 1
ca xx c s0 sssn sn , s 1 x s 1
c1 n x n c2 n x n c sn x n
变形后， 用n-s组数表示自由未知量 x s 1 , , x n
1, 0,
,0
0,1,
,0
0, 0,
,1
得到n-s个解向量 11 , 12 , , 1 s 1, 0, , 0
皆为R3的子空间，但是它们的并集
V1 V2 {( a,0,0),(0, b,0) a, b R} {( a, b,0) a, b R 且a, b中至少有一是0}
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如
(1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
其中，x1 , y1 V1 , x2 , y2 V2 , 则有
x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) V1 V2 kx k ( x1 x2 ) kx1 kx2 V1 V2 , k K
x1 , x2 , x1 , x2 ,
, xm 线性表出，把它添加进去，则 , xm , xm1 必定是线性无关的． , xm1 ) 是m＋1维的． , xm , xm1
由定理， 子空间 L( x1 , x2 , 由归纳假设，L( x1 , x2 ,
因 n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，

子空间的交满足交换率与结合率
V1 V2 V2 V1 ,
(V1 V2 ) V3 V1

(V2
V3 )
子空间的和满足交换率与结合率
V1 V2 V2 V1 , (V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如
V1 {( a,0,0) a R}, V2 {(0, b,0) b R}
kx ly V 1
因此，V1关于V的运算作成V的一个子空间
扩基定理
定理：设V1为 n 维线性空间 V的一个 m 维子空间，
x1 , x2 , , xm 为V1的一组基，则这组向量必定可扩充
, xn ，使 x1 , x2 , , xn为 V 的一组基．
为 V的一组基．即在 V中必定可找到 n－m 个向量
( xn yn )
, yn )
则 x y ( x1 y1 , x2 y2 ,
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( x1 x2
xn ) ( y1 y2
yn ) 1 1 2
x y V2 ,
故V2不是Rn的子空间.
xm1 , xm 2 ,
证明：对n－m作数学归纳法． 当 n－m＝0时，即 n＝m，
x1 , x2 ,
, xm 就是V 的一组基.
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定理成立．
假设当n－m＝k时结论成立.
下面我们考虑 n－m＝k＋1 的情形．
既然 x1 , x2 ,
, xm 还不是V 的一组基，它又是线
性无关的，那么在Vn 中必定有一个向量 xm 1不能被
线性子空间V1也是线性空间
证明：必要性由定义直接得出
充分性：各运算律已在V中定义，我们只需证明
0 V1 x V1 , x V1 实际上， 0 0 x V 1 x V1 , 1 K
x 1 x V1
所以线性子空间V1也是线性空间
V1是数域K上的线性空间V上一个非空子空间
同样可以得到
若 A
ra n k A 2 ,
T
nA
T
0
R
mn
，有
T
ra n k A n A n n A n A
nm
定理： 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a | a V1且a V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间. 事实上，
xn 0, xi R} xn 1, xi R} , n 1}
, xn1 ,0) xi R, i 1,2,
若为Rn的子空间，求出其维数与一组基. 解：V1 、V3是Rn的子空间， V2不是Rn的子空间.
事实上，V1 是n元齐次线性方程组
① 的解空间. 所以，维V1 ＝n－1，①的一个基础解系
, xn1 yn1 , 0) V3
kx ( kx1 , kx2 ,
故，V3为Rn的一个子空间，且维V3 ＝n-1 ，
i (0, ,0,1,0 , 0), i 1,2, , n 1
i
就是V3的一组基.
设 x 1 , x 2 , , x n 是数域K上的线性空间V的 一组向量，所有可能的线性组合的集合
证： x V 1 x k 1 x 1 k 2 x 2
km xm lm x m
kk m ll m x m
k , l K : kx ly kk 1 ll 1 x 1
线性组合所成集合.
即 y V, 1x y l x l x x1 , , x 的一切 1 1 2 2 2 m
L ( x1 , x 2 ,
, yt )
, yt )
L ( x1 , x 2 ,
下证V3是Rn的子空间.
首先 0 (0,0,
设 x ( x1 , x2 ,
,0) V3 , V3
其次，x , y V3 , k K ,
, xn1 , 0), y ( y1 , y2 ,
, kxn1 , 0) V3
, yn1 , 0)
则有 x y ( x1 y1 , x2 y2 ,
条件等价: 1) V 1 V 2
包含V1和V2中的 最小的子空间
2 ) V1
V 2 V1
3 ) V1 V 2 V 2
3、 x 1 , x 2 , , x s ; y 1 , y 2 ,
向量，则
, y t 为线性空间V中两组 , x s ) L ( y1 , y 2 ,
, x s , y1 , y 2 ,
, xm1 ) 的基 x1 , x2 ,
可以扩充为整个空间Vn 的一组基．由归纳原理得证.
矩阵的值域
设A C
m
mn
R ( A ) L a1 , a 2 ,
的n个列向量为 a 1 , a 2 ,
,an
,an 则 n y | y Ax, x C
是 C 的子空间，称为矩阵A的值域，或列空间 矩阵的零空间（核空间）
0 V1 ,0 V2 , 0 V1 V2
任取 x, y V1 V2 , 即 x , y V1 , 且x , y V2 ,
则有 x y V1 , x y V2 , x y V1 V2 同时有 kx V1 , kx V2 , kx V1 V2 , k K 故 V1