不定积分(含变上限积分)和微分解题方法
不定积分和微分
一、公式
)()(x f dx x f dx d =?
和??+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/
的应用 注意：)(x f 的不定积分为?+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数?)(x f 是)(x F 的导数，即
?+=c x F dx x f )()(或)()(/
x f x F
=
1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知
?+=c x F dx x f )())((?，求)(x f
方法：求导得)())((/
x F x f =?，令t x =)(?，则)(1
t x -=?，即))(()(1/x F x f -=?
例1（1）?+=c x
dx x f 2
)(，求?-dx x xf )1(2
解：对
?
+=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=，2222)1(x x f -=-
则c x x dx x x dx x xf +-=-=-??3
2)22()1(2
2
2
2
（2）?+=c x dx x xf arcsin )(，求
?
)
(x f dx
解：对?
+=c x dx x xf arcsin )(两边求导得2
11)(x
x xf -=
，即2
11)(x
x x f -=
c x x
d x dx x x x f dx +--=---=-=???
23
2222)1(3
1
)1(1211)( 2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知)())((/
x f x F =?，求)(x F 方法：令t x =)(?，则)(1
t x -=?
，即))(()(//t f t F ?=，故?=dt t f x F ))(()(/?
例2（1）x x f 22
/
tan )(sin =，求)(x f
解：令t x =2
sin ，则t t -=1cos 2
，t
t
x x x -==1cos sin tan 222
即t t t f -=
1)(/
两边积分的?+---=-=c t t dt t
t t f |1|ln 1)( （2）已知]1)([)(/
/
-=-x f x x f ，求)(x f
解：令t x =-，则上式为]1)([)(/
/
---=t f t t f ，即]1)([)(/
/
---=x f x x f
由上面两式得12)(2
/
+=
x x
x f 两边积分得c x dx x x
x f ++=+=?)1ln(1
2)(22
（3）设)(u f 在+∞<<∞-u 内可导，且0)0(=f ，又
1
01(ln )1
x f x x <≤??'=>，求)(u f
解：令t x =ln 得t
e x =，则
????
?>≤<=1
101)(/
t
t t e e
e t
f 即???
??>≤=0
1
)(2/
t e
t t f t
当0≤t 时，1)(/
=t f ，两边积分得?
+==1)(c t dt t f 当0>t 时，2
/
)(t e t f =，两边积分得?
+==22
22)(c e dt e t f t t
又因为设)(t f 在+∞<<∞-u 内可导，所以)(t f 在+∞<<∞-u 内连续
而222
2)2(lim )(lim c c e t f t
t t +=+=++→→，110
0)(lim )(lim c c t t f t t =+=--
→→ 因为)(t f 在0=t 处连续，则0212==+c c ，即2,021-==c c
故???
??>-≤=0
220)(2t e t t
t f t
（4）设)(x f y =在x 处的改变量为)(1x o x x
y y ?+?+=
?（0→?x ），1)0(=y ，求)1(/
y
解：由)(1x o x x y y ?+?+=
? 知 x
y
y +=
1/ 即x dx y dy +=1 两边积分得
??+=x dx
y dy 1 得 c x y ++=)1ln(ln
而1)0(=y 故 0=c ，即x y +=1 故1)1(/
=y （5）设?
-=π
π0
sin )(dt t
t
x f ，求?π0)(dx x f
解：
dx x
x x dx x x
dx x xf x xf dx x f ???
?
---=-=ππ
π
ππ
πππ00
/
00
sin sin )(|)()(
?
==
π
2sin xdx
二、已知)(x F 是)(x f 的原函数?????+==??
c x F dx x f x f x F )()()
()(/
，求被积函数中含有))((x f ?的
积分
1、由)()(/
x F x f =求出)(x f ，代入积分计算 2、把积分转化为?))(())((x d x f ??的形式，利用?+=c x F dx x f )()(求值
例3（1）
x x sin 是)(x f 的原函数，0≠a ，求?dx a ax f )
( 解：因为x x sin 是)(x f 的原函数，所以?+=c x x
dx x f sin )(
而c x
a ax c t a t dt t f a dx a ax f t ax +=+==??=322sin sin )(1)(
（2）x
e
-是)(x f 的原函数，求?
dx x f x )(ln 2
解：因为x x
e e
x f ---==/)()(，所以x
x f 1
)(ln -=
则??+-=-=c x xdx dx x f x 2
)(ln 2
2
三、已知)(x f 的表达式，求被积函数中含有))((x f ?的积分 1、由)(x f 求))((x f ?，再把))((x f ?的表达式代入积分计算
2、由)(x f 先求
?dx x f )(，把含有))((x f ?的积分转化为?)())((x d x f ??的形式处理
例4（1）x x x f sin )(sin 2
=
，求?-dx x f x
x )(1 解：在
?-dx x f x
x )(1中，令t x 2sin =得
???
?=-=-dt t f t t d t f t
t dx x f x
x )(sin sin 2)(sin )(sin sin 1sin )(1222222
c
t t t tdt t t t td tdt t ++-=+-=-==???sin 2cos 2cos 2cos 2)(cos 2sin 2
因为x t x t x t arcsin ,1cos ,sin =-==
所以
c x x x dx x f x
x ++?--=-?
2arcsin 12)(1
（2）2
ln )1(22
2
-=-x x x f ，且x x f ln )]([=?求?dx x )(?
解：令t x =-12
，则1
1
ln )(-+=t t t f ，而x x f ln )]([=? 则x x x ln 1)(1)(ln
=-+?? 即1
1
)(-+=x x x ?
c x x dx x x dx x +-+=-+=?
?|1|ln 21
1
)(? （3）)()(/2
x f e
x =-，)(/x f 连续，求?dx x xf )(/
解：因为)()(/2
x f e x =-，所以2
2)(x xe x f --=，
?
+=-c e dx x f x 2
)(
c e e x dx x f x xf x f x
d dx x xf x x +--=-==--?
??2
2
2/2)()()]([)( （4）x
xe x f =)(，求?
?xdx x f ln )(/
解：
??
?-==?dx x
x f x x f x f xd xdx x f )
(ln )()]([ln ln )(/
c e x xe dx e x xe x x x x +-=-=?
ln ln
（5）x x f cos )(ln =，求?dx x f x xf )
()
(/ 解：dx x f x f x x f xd dx x f x xf ???-==)(ln )(ln )]([ln )
()
(/ c x x x xdx x x +-=-=?sin cos cos cos
（6）设dt t
t
x f x ?
=
21
sin )(，求?10)(dx x xf
解：因为dt t t x f x ?
=
21
sin )(，所以x x x x
x x f 22
2/
sin 22sin )(=?= ????-=-==10
2
10/21021021
0sin )(21|2)()(21)(dx x x dx x f x x f x dx x f dx x xf 2
121cos |cos 21sin 211
021022-==-
=?x dx x 四、利用凑微分法求积分
注意：))](([)]([)]([)()]([/
/
/
x g f d x g d x g f dx x g x g f =?=? 例5（1）1)0(=f ，3)2(=f ，5)2(/
=f ，求
?
10
//)2(dx x xf
解：????-====20
/20/20/
20//21
0//
)(41|4)()]([41)(41)2(dt t f t tf t f td dt t tf dx x xf t
x 令 24
)0()2(2)2(/=--=f f f （2）设)(x f 二阶可导，a b f =)(/
， b a f =)(/
，求
?
b a
dx x f x f )()(///
解：
2
|2)]([)]([)()()(2
22//
/
//
/b a x f x f d x f dx x f x f b a b a b a
-===?
?
（3）设5sin )]()([0
//=+?
xdx x f x f π
，2)(=πf ，求)0(f
解：
???
-==π
π
π
//0
//cos )()]([sin sin )(xdx x f x f xd xdx x f
??
--=-=π
π
π0
sin )()()0()]([cos xdx x f f f x f xd
因为
5sin )]()([0
//=+?
xdx x f x f π
，所以
5)()0(=-πf f 而2)(=πf ，故7)0(=f
五、已知)()(/
x f x F =，且)()()(x g x F x f =?，求)(x f
方法：两边积分??=dx x g dx x F x F )()()(/
，得?=dx x g x F )(2
)
(2，求)(x f 例6（1）)(x F 是)(x f 的原函数，且0≥x 时，有x x F x f 2sin )()(2
=?，又1)0(=F ，
0)(≥x F ，求)(x f
解：因为)(x F 是)(x f 的原函数，所以)()(/
x f x F =， 由于 x x F x f 2sin )()(2
=? 故x x F x F 2sin )()(2
/
=?， 两边积分得 12
/
8
4sin 24cos 21212sin )()(c x x xdx dx xdx dx x F x F +-=-=
=???
?
而 22/
2
)
()]([)()()(c x F x F d x F dx x F x F +==?? 故c x
x x F +-
=4
4sin )(2
，又1)0(=F 得1=c 而0)(≥x F ，所以14
4sin )(+-
=
x
x x F 4
4sin 44cos 1)(+--=x x x x f
（2）)(x f 连续，且当1->x 时，2
)
1(2]1)()[
(x xe dt t f x f x
x +=+?
，求)(x f 解：令dt t f x g x ?
=
)()(，)()(/
x f x g =，由于2
)
1(2]1)()[(x xe dt t f x f x
x +=+?
则 2
/
)
1(2]1)()[(x xe x g x g x
+=+
两边积分得 dx x xe dx x g x g x
??+=+2
/
)1(2]1)()[(
即 ????+-+=+=++dx x e dx x e dx x xe x g d x g x
x x 2
2)1(21121)
1(2]1)([]1)([ 故 c x
e x g x
++=
+1]1)([2
因为 dt t f x g x ?
=
)()( 令0=x 得0)0(=g ，代入上式0=c
故11)(-+±=x
e x g x ，2
3
/
)1(2)(x e x x f x +±= （3）已知)(x f 为非负连续函数，且0>x 时，30
)()(x dt t x f x f x =-?
，求)(x f
提示：因为
??
==
-x
x du u f x f dt t x f x f 0
u
t -x 0
)()()()(令，令?=x du u f x g 0
)()(处理
六、变上限积分的导数运算 注意：(1)如],[,)()(b a x dt t f x F b x
?∈=
，则?-=x
b
dt t f x F )()(，则)()(/x f x F -=
(2)如??=
)()()(x a
dt t f x F ，则由复合函数的求导法则有
)()]([)()()()(///
x x f x u f dx
du u F dx d x F ????=?=?= (3)如?
?φ=
)()
()()(x x dt t f x F ，可得成?
?
?φ+=)()
()()()(x c
c x dt t f dt t f x F ，则
)()]([)()]([)(///x x f x x f x F φφ???-?=
例7（1）已知)(x f 满足?
+
=x dt t f t x xf 0
2)(1)(，求)(x f
解：两边求导得)()()(2
/
x f x x xf x f =+ 即
dx x
x x f x f d )1
()()]([-=
两边积分得c x x x f +-=ln 2)(ln 2，所以x
Ce x f x 2
2
)(=
（2）求一个不恒等于零的连续函数)(x f ，使它满足?
+=
x dt t
t
t f x f 0
2
cos 2sin )
()(
解：两边求导得x
x
x f x f x f cos 2sin )()()(2/
+=
即 0)cos 2sin )(2()(/
=+-
?x
x
x f x f
因为)(x f 是不恒等于零的连续函数，故x
x
x f cos 24sin )(/
+=
两边积分得c x dx x x x f ++-=+=
?)cos 2ln(2
1
cos 2sin 21)( 在?+=x dt t t t f x f 02
cos 2sin )()(中令0=x ，得0)0(=f 代入上式有3ln 21=c
故3ln 2
1
)cos 2ln(21)(++-=x x f
注意：
（1）上题要充分利用已知条件确定初始条件0)0(=f
（2）定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变
量，然后再求导
例8（1）已知)(x f 连续，?
=
-x x dt t x tf 0
2arctan 2
1
)2(，1)1(=f 求?21)(dx x f
解：令u t x =-2，
则
?
???
-=--=-x x
x
x
x
x
x
du u uf du u f x du u f u x dt t x tf 220
2)()(2)()2()2(
即 222arctan 2
1
)()(2x du u uf du u f x
x x
x
x =
-?
?
两边求导得：4
21)()(2
x
x
x xf du u f x x
+=-?
因为 1)1(=f ，上式中令1=x 得2
1)1()(221
=
-?
f du u f 所以
4
3)(21
=
?
dx x f （2）求可导数)(x f ，使它满足?
+=10
sin )()(x x x f dt tx f
解：令u tx =，则du u f x dt tx f x
??
=
10
)(1)( 因为
?
+=10
sin )()(x x x f dt tx f ，所以
x x x xf du u f x sin )()(20
+=?
两边求导得x x x x f cos sin 2)(/
--=
两边积分得c x x x xdx x xdx x f +-=--=??
sin cos cos sin 2)(
（3）由方程
1sin e 22
y 0
t =+?
?
dt t
t dt x （0>x ）确定y 是x 的函数，求
dx
dy 解：对x 求导得0sin 22
/
2
=+?x y e y ，故2
2
sin 2y e
x dx dy -=
（4）)(x y y =是由01
2
=-
?
+-dt e x x
y t 确定的函数，求0//=x y
解：对x 求导得0)1(1/)(2
=+-+-y e x y 故12
)(/-=+x y e y 在01
2
=-
?
+-dt e x x
y t 中令0=x 时，有01
2
=?-dt e y
t ，即1=y
故1/0/
-==e y x
注意：此题确定y 的方法
（5）设)(x f 为已知可导奇函数，)(x g 为)(x f 的反函数，则?--)
()(x f x x dt x t xg dx
d 解：令u x t =-，则
du u g x dt x t xg x f x f x x
?
?
--=-)(0
)()()(
所以??---?-=-)(0/)
()]([)()()(x f x f x x
x f g x xf du u g dt x t xg dx d 令?
-=
)(0
)()(x f du u g x h ，则)()]([)()(///x xf x f g x f x h =-?-=
两边积分得??-
==dx x f x xf dx x xf x h )()()()(/
故??-+=--dx x f x f x x xf dt x t xg dx d x f x x
)()()()(/2)( （6）设函数)(x f 可导，且0)0(=f ，?
-=-x n n n dt t x f t x g 0
1)()(，求n
x x x g 20
)
(lim
→ 解：令u t x n
n =-，则??
=-=-n
x x n
n
n du u f n dt t x f t
x g 0
1
)(1)()(
由于 )()(1
/
n n x f x
x g -=
故n f x f x f n x x f n nx x g x x g n n x n n x n x n x 2)
0(0
)0()(lim 21)(lim 212)(lim )(lim /0012/020=--===→→-→→
七、求分段函数的不定积分
先分别求分段函数)(x f 的各分段在相应区间的原函数)(x F ，然后考虑函数)(x F 在分段点处的连续性。如果)(x f 在分段点0x 处连续，则)(x F 在0x x =处连续 例9（1）??
?>≤+=1
211)(x x
x x x f ，求
?dx x f )(
解：当1≤x 时，??++=+=12
2
)1()(c x x dx x dx x f 当1>x 时，??+==222)(c x xdx dx x f
因为
?
dx x f )(在1=x 处连续，故12231c c +=
+，即c c c +=+=2
1
2112 所以???
????>++≤++=?12112
)(22
x c x x c x x dx x f
（2）dx x ?
),1max(2
解：??
???-<>≤≤-=11111),1max (222
x x x x x x
当11≤≤-x 时，?
?+==12),1max(c x dx dx x
当1>x 时，??+==23
2
2
3
),1max (c x dx x dx x 当1- 2 2 3 ),1max (c x dx x dx x 求满足1)1(=F 的原函数 由于)(lim )1(11x F F x + →==，即213111c c +=+= 得01=c ，3 22=c 又由于)(lim )1(1x F F x -→=-，即3311c +-=- 得3 23 -=c ?????????-<+->++≤≤-+=? 13 2 3132311),1max(33 2 x c x x c x x c x dx x （3）? dx x ][（0≥x ） 解：分别求出在区间]1,[+n n （ 3,2,1,0=n ）上满足0)0(=F 的原函数 在]1,[+n n 上，n c nx dx x +=? ][，n n F n F =-+)()1( 在],1[x n +上，1)1(][+++=? n c x n dx x ，)1)(1()1()(--+=+-n x n n F x F 故c n x n c n x n n dx x +--+=+--++++++=? )12 )(1()1)(1(3210][ 八、分段函数的变上限积分 例10（1）??? ? ?? ?≤<≤ ≤=π π π x c x x x f 2 2 0cos )(，求? = x dt t f x 0 )()(?，并讨论)(x ?在],0[π的连 续性 解：当2 0π ≤ ≤x 时，?? === x x x tdt dt t f x 0 sin cos )()(? 当 ππ ≤ 2 0)2(1cos )()(π π π π ?x c cdt tdt dt t f x x )(x ?在],2 (,)2 ,0[πππ上连续，在2 π =x 处， 1)]2 (1[lim )(lim 22 =- +=++→ → π ?π π x c x x x ，1sin lim )(lim 2 2 ==--→ → x x x x π π ? 故)(x ?在2 π = x 处连续 （2）??? ? ?? ?> -≤≤=2 22 0cos )(π ππ x x x x x f ，求 ?-x dt t x tf 0 )( 解：令u t x =-，则??? -=-x x x du u uf du u f x dt t x tf 0 )()()( 当2 0π ≤ ≤x 时， ? ?==x x x udu du u f 00 sin cos )( 1cos sin cos )(0 0-+==? ?x x x du u u du u uf x x 此时 x dt t x tf x cos 1)(0 -=-? 当2 π > x 时， ? ? ?++-=-+=x x x x du u udu du u f 0 2 2 22 1822)2(cos )(π ππππ ???-++-=-+=x x x x udu u udu u du u uf 0203 232 124843)2(cos )(π ππ πππ 此时12 48)18(46)(32230+--++-= -?π πππx x x dt t x tf x 九、积分估值 估计积分 ? b a dx x f )(的值 方法：（1）令)(x f y =，],[b a x ∈ （2）求)(/ / x f y =，确定0)(/=x f 和)(/ x f 不存在的点 （3）在],[b a 上确定)(x f y =的最值 （4）利用? -≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(估计积分值 例11估计积分值 ? -20 2 dx e x x 解：设函数x x e x f y -==2 )(，其中]2,0[∈x x x e x y --=2)12(/ 令0/ =y ，得2 1= x 因为1)0(=f ，41 )2 1(-=e f ，2 )2(e f =，故241 e y e ≤≤- 所以 22 4 1222 e dx e e x x ≤≤?-- 十、形如? +=b a dx x f x h x g x f )()()()(的等式，求)(x f 和 ? b a dx x f )( 方法：（1）令 A dx x f b a =? )( （2）两端积分 ???+==b a b a b a dx x Ah dx x g A dx x f )()()( 得? ?+= b a b a dx x h A dx x g A )()(,求A 的值 （3）把A 的值代入原式求)(x f 例12设?? ++=2 310 2)()()(dx x f x dx x f x x x f ，求)(x f 解：令 a dx x f =? 10 )(，b dx x f =?20 )( 则 3 2 )(bx ax x x f ++= 两边积分 ?? ++= ++=1 3210 4 321)()(b a dx bx ax x dx x f 即 638=- b a 两边积分 ?? ++ =++=2 3220 43 82)()(b a dx bx ax x dx x f 即 638=-b a 故8 3 =a ，1-=b ，即3283)(x x x x f -+= 十一、已知函数)(x f 在],[b a 上的形式，求)(x f 方法：（1）求)(/ x f （2）对)(/ x f 两边积分得c x F x f +=)()( （3）取],[b a d ∈，由已知条件求)(d f 的值确定c 例13（1）设2 0π ≤ ≤x ，求? = x dt t x f 2sin 0 arcsin )(+dt t x ? 2cos 0 arccos 解：两边求导得02sin 2sin )(/ =-=x x x x x f ，所以c x f =)(（c 为常数） 又因为当0=x 时，? ? = -== 10 10 3 41arccos )(dt t t dt t x f 所以 3 4)(= x f （2）设0>x ， ?+=x dt t x f 02 11)(+dt t x ?+1 0211，求)(x f 解：两边求导得01111 11)(2 2 2/ =+?-+= x x x x f ，所以c x f =)(（c 为常数） 又因为当1=x 时，2 112)(1 02 π =+=?dt t x f 所以 2 )(π = x f 十二、例14 已知111)(4 3 2-=--+++ ? ????dx y y dx y dx y ydx dx ，求()x f y =. 解：因为111)(4 3 2-=--+++ ? ????dx y y dx y dx y ydx dx 所以?????--- =+++ dx y y dx y dx y ydx dx 43 2111 两边对x 求导得?----=+++24 43 2)11(111dx y y y y y y y 故242 4)11()11( y y dx y y --=--? 即441111y y dx y y --=--?或4 4 1111y y dx y y ---=--? 当 4 41111y y dx y y --=--?时,令411)(y y x u --=,则)()(/ x u x u =,此时两边积分得 x Ce x u =)( 而 411)(y y x u --= 所以4 11y y Ce x --= ) 1(13 2y y y C e x +++= ,即c y y y x ++++-=)1ln(3 2 同理（略） 十三、计算 1、如果?=b a dx x f I )(1，令t x 1 =得?=b a dx x f I )(2 则 A dx x f x f I b a =+=?)]()([221 得2 A I = 例15? ∞+++= 2 ) 1)(1(1 dx x x I p 解：令t x 1=，即dt t dx 2 1-= 则 dt t t t dx x x I p p )1 ()11)(11(1) 1)(1(1 2020 2-?++ =++= ?? ∞ +∞+ dt t t t p p ? ∞+++= 2) 1)(1( 所以 21)1)(1()1)(1(1202020 2π =+=+++++=??? ∞+∞+∞+x dx dx x x x dx x x I p p p 即 4 π= I 2、形如 ? +2 tan 1π αx dx 的积分，令x y -=2 π ，然后相加处理 例16 dx x x x ? +2 2005 20052005sin cos cos π 解：令x t -= 2 π ，则dt dx -= ? ?? +=-+---=+=2 2005 2005200502 2005 2005 200520 200520052005sin cos sin ) 2 ( sin )2 ( cos ) 2 ( cos sin cos cos π π π π π π dt t t t dt t t t dx x x x I 所以??=+++=20200520052005 202005200520052 sin cos sin sin cos cos 2π π πdx x x x dx x x x I 故4 π = I 3、形如?++dx x D x C x B x A cos sin cos sin 令)cos sin ()cos sin (cos sin '+++=+x D x C b x D x C a x B x A 确定b a , 例17（1） ?+-dx x x x x cos 2sin cos 4sin 3 解：令/ )cos 2(sin )cos 2(sin cos 4sin 3x x b x x a x x +++=- 比较上式两端得?? ?-=+=-4 23 2b a b a 即1-=a ，2-=b c x x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x ++--=++-++-=+-???|cos 2sin |ln 2cos 2sin )cos 2(sin 2cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos 4sin 3/ （2） ?+dx x x x cos 4sin 3sin 解：令/ )cos 4sin 3()cos 4sin 3(sin x x b x x a x +++= 比较上式两端得? ??=+=-034143b a b a 即253=a ，254 -=b c x x x dx x x x x dx x x x x dx x x x ++-=++-++=+???|cos 4sin 3|ln 254253cos 4sin 3)cos 4sin 3(254cos 4sin 3cos 4sin 3253cos 4sin 3sin / 4、利用公式???+=+=+b x a x d dx b x a x dx x b x a 22222tan ] [tan tan sec cos sin 1处理 例18 ? +2 2 2cos 4sin 3π x x dx 解：???+=+=+2 02 2022 2022)2 tan 3( 1][tan 41tan 34sec cos 4sin 3π π π x x d dx x x x x dx 123|)2tan 3arctan(3 21]2tan 3[) 2tan 3(11 321 20202ππ π ==+=?x x d x 5、利用??----?-= dx x e k x e k dx x e k x k x k x 1111 11计算，每用一次分部积分法，被积函数 的分母次数降低一次 例19（1）?+dx x xe x 2 ) 1( 解：因为 dx x e dx x e dx x xe x x x ???+-+=+2 2)1(1)1( 而 dx x e x e x d e dx x e x x x x ???+++-=+-=+11)11()1(2 故 c x e dx x xe x x ++=+?1) 1(2 （4）?-?-dx x x e x ) 2 4(sin 2sin 4sin π 解：4 )sin 1(]2)2cos(1[)24(sin 224x x x -=--=-π π 则)(sin )sin 1(sin 8) 2 4(sin 2sin 2 sin 4sin x d x x e dx x x e x x ??-?=-?--π 令t x =-sin ，则原式=?+?dt t t e t 2 )1(8 由上式知t e dt t t e t t +=+??18) 1(82 ，原式=c x e x +--sin 18sin 6、当)(x f 在],[a a -上可积，则 ??? ---+=-+=a a a a a dx x f x f dx x f x f dx x f 0)]()([)]()([21)( 例20（1） dx x ?-+4 4sin 11 π π 解：dx x dx x x dx x ???----=-++=+44 24444sin 11]sin 11sin 11[21sin 11π ππππ π 2|tan cos 44 442===- -?π πππx x dx （2） dx x e x ?-++1 12)1)(1(1 解：dx x e x e dx x e x x x ??---+++++=++11221 12]) 1)(1(1 )1)(1(1[21)1)(1(1 4 |arctan 211121111 12π==+=?--x dx x 7、积分? = b dx x f I 0 )(，作变量替换x b t -=得?-=b dx x b f I 0 )( 则 ])()([2100 ??-+=b b dx x b f dx x f I 例21（1） dx x x x x n n n ? +π 222cos sin sin 解： dx x x x x x x x x dx x x x x n n n n n n n n n ?? -+---++=+ππ ππππ02222220 222]) (cos )(sin ) (sin )(cos sin sin [21cos sin sin ? ?+++=2 2222222cos sin sin cos sin sin π ππππ dx x x x dx x x x n n n n n n ? ?+= +=-20 2222 2222cos sin cos cos sin sin π π ππ dx x x x dx x x x n n n t x n n n 令 所以 dx x x x x n n n ? +π 222cos sin sin 2cos sin cos cos sin sin 2 2022220222π πππ π =+++=??dx x x x dx x x x n n n n n n （2） dx x ? +4 )tan 1ln(π 解：??-+++=+4040))]4 tan(1ln()tan 1[ln(21)tan 1ln(π π π x x dx x 4 2 ln 2ln 21)]tan 12ln()tan 1[ln(214040ππ π==+++=??dx dx x x 8、利用被积函数的奇偶性求积分 如果)(x f 是],[a a -上的偶函数，则??-=a a a dx x f dx x f 0 )(2)( 如果)(x f 是],[a a -上的奇函数，则 ? -=a a dx x f 0)( 例22 ?-+22 223 cos )sin (π πxdx x x 解：因为函数x x 2 3sin 是奇函数，故 0cos 22 23=? - π π xdx x 所以dx x dx x x xdx x x ???----==+2222 2 2 222 2 3 )4cos 1(81 cos sin cos )sin (π πππππ 8 π = 9、凑微分法利用第一换元法和分部积分法 常见的凑微分公式 )1( ) 1(12 2 32x x d dx x +=+ )11( ) 1(2 2 32x d dx x x +-=+ )11() 1(2232x d dx x x -=- )1()1(122 32x x d dx x -=- )]1[ln(1122x x d dx x ++=+ )1(122 x d dx x x +=+ )1(122 x d dx x x --=- 例23（1）? +dx x x x )ln 1( 解：?? ?+=+==+=+c x c e x x d e dx x e dx x x x x x x x x x x ln ln ln )ln ()ln 1()ln 1( （2）?dx e x e x x 222sin sin 解：???--=?=--)22(sin 41sin sin 22sin 2 22sin 222sin x x d e dx x e dx e x e x x x x x x c e x x +- =-22sin 4 1 （3）dx x x ?+3 6 2 解：)3 ()3 ( 11 93 3)()(313 32 32336 2x d x x x d dx x x ???+=+=+ 一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 不定积分解题方法及技巧总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程： 规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。 不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 一． 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二． 第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分 公式即可解决。 （3）当0 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 不定积分解题技巧探讨 数学与计算机科学学院 数学与应用数学（s ） 2011031103 作者：方守强 指导 老师：邓勇平 【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。 【关键词】 不定积分；难度；典型；技巧 引言 《数学分析》是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。 一:不定积分的概念与性质 定义1 如果F （x ）是区间I 上的可导函数，并且对任意的x ∈I ，有)()(x f x F ='dx 则称F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数。 定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I 上连续，那么f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在可导函数F （x ），使得)()(x f x F ='（x ∈I ）。 定理2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，则 （1） F （x ）+C 也是f(x)在区间I 上的原函数，其中C 是任意函数； （2） f(x)在I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F （x ）+C 称为f(x)在区间I 上的不定积分，记为 ()?dx x f ,即()()?+=C x F dx x f 。其中记号? 称为积 分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。 性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则 ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 性质2 设函数f(x)存在原函数，k 为非零常熟，则()()? ? =dx x f k dx x kf 。 附：常用积分公式 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 第三节定积分和微积分基本定理 考纲解读 1?了解定积分的实际背景、基本思想及概念 ? 2?了解微积分基本定理的含义 . 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主， 其应用主要是求一个曲边梯形的面积， 题型主要为选择题和填空 题? 知识点精讲 一、基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效 f (x )在区间［a , b ］上连续.用分点a = x 0 < x 2< L < x — < x b - a < L < X n 二b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间，每个小区间长度为 D x ( D x = )， n n 在每个小区间［X i -^X i ］上任取一点\ i =1,2J||,n ，作和式：S^v f(i)C x =： i 二 n b _a f ( i )，当D x 无限接近于0 (亦即n —； ? ?)时，上述和式S n 无限趋近于常数 S ， i i n b 那么称该常数S 为函数f (x)在区间［a,b ］上的定积分?记为： S 二 f (x)dx , f (x)为 * a 被积函数，X 为积分变量， 需要注意以下几点： ［a, b ］为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限. b (1) 定积分 f(x)dx 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S (n 时)，称为 a b f (x)dx ，而不是 S n . a (2) 用定义求定积分的一般方法 . b n ? b -^a a f(x)dx 二［imj f i -" a - i n b t 2 b (3)曲边图形面积：S = f x dx ；变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx 2 ?定积分的几何意义 b 从几何上看，如果在区间［a ,b ］上函数f (x )连续且恒有f(x)_0，那么定积分a f x dx 表 示由直线 X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影 ①分割：n 等分区间［a ,b ］；②近似代替：取点 n b — a i ?〔x 」，X i 丨；③求和：、? 口 f(i )； ◎ n ④取极限: 凑微分法 一，凑微分法原理 回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x) dy/dx df(x)/dx 等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)= df(x)/dx 再加以变形可得f′(x) dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义） 为了说明这个式子，我们来看几个例子： 例题一：d(2x+1)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)= 2 d(x) 例题二：d(e^x)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)= e^x dx 因为做题目的时候，往往是告诉你们e^x dx要你们求d(e^x)。 我再举一个凑微分法的事例: 例题三： 1 2 dx x = - ? 解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d 后面去。所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将 这题变为 d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你们 会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。 具体的实例就不举了，多操作。 下面我要重点说说，讨厌，这个问题 二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌 什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分 我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。 根据已知的不定积分公式我们可以知道： 1三角函数求导仍为三角函数 2反三角函数求导为有理函数 3幂函数求导认为幂函数 4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数 5幂函数求导仍为幂函数 所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。 最后给你们一个提醒：最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数，1/根号x。而最不能扔的，就是把对数函数，反三角函数想方法扔到d后面去，因为你们想想，什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。 一．直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二．第一类换元法 1.当遇到形如 ? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()() 21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2 的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成 () () ?--2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可 解决。 （3）当0 三．分部积分法 口诀：反对幂指三，谁后谁先微。意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。 分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。 四．有理函数的积分 1.形如 () k a -x 1 的有理函数，它所对应的部分分式是 ()()() k k 221a -x A a -x A a -x A +??++ 2.形如 () k q px ++2 x 1 的有理函数，它所对应的的部分分式是 ( )( ) () k 2 k k 2 22 2211x x x q px C x B q px C x B q px C x B ++++ ??+++++ +++ 3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）： 部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。当部分分式分母次数为1时（指的是x 的次数，并非整体次数），拆开时，分子所设x 的次数相应减一。 例如：当部分分式分母x 次数为1时，分子所设应为A ；当部分分式分母x 次数为2时，分子所设应为Ax+B 。 上述三种方法解题时可用待定系数法或者特殊值法确定各未知量。 3.不能拆的时候，可采用凑微分的方法，将分子凑出分母的微分，再拆开求解。（这样的题用到arctan 和ln 很多）。 4．类似 二次多项式 常数 形式，分母配方，使用arctan 。 5.带根号的，想办法无理化有理，要么三角代换，要么根号整体分式代换。 6.对于分母是多项式平方的有理分式，依然要配方，再凑微分。然后一步三角换元，所得各个三角量利用三角形，找出表达式。 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration. 0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10< 第二讲 Ⅰ 授课题目（不定积分）： §5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求： 熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：凑微分法，变量代换法。 难点：凑微分法, 变量代换法。 Ⅳ 讲授内容： 一、 凑微分法 利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。 例1 求dx x ?2cos 这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。 解 因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 21 (='， 所以c x xdx +=?2sin 2 12cos 。 例2 求dx x ?)4sin(3 解 ) 4sin(3))4cos(4 3() 4sin())4cos(4 1()4sin(4])4[cos(x x x x x x =- ?='-?-=' 按照等价命题 c x dx x +-=?)4cos(4 3)4sin(3 例3 求dt t ?+12 这样想：) (12+=' t ，联想到 )(u = ' ，再想到 u u u u u u = '?= = '=')3 2( 2 32 3)()(3 23 23 3 如果12+=t u 1 2))12(3 1( 1 22)12(12))12(3 2( 3 3 += '+?+='+?+='+t t t t t t 最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到 c t dt t ++= +? 3 )12(3 112。 在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ） 例4 求dx x x ?+212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2 x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作? ?'=+dx x g x g f dx x x )())((122 如果F 是f 的反导数，根据链法则 )())(())((x g x g f x g F dx d '= 所以，将u 看作是 2 1x +， 由于 c u du u du u f += =?? 23 3 2)( 就可以得到 c x dx x x ++= +?32 2 2 )1(3 212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。 把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则 或者 ?? = +=du u f c u F dx dx du u f )()()(， 例5 求? +dx x x 2 32 dx du u f dx du u F u F dx d )()()(='= 高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 一、选择题 1．(2010·山东日照模考)a ＝??0 2x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 不定积分的例题分析及解法 这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ?=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?υud 转化成?du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 dx x x ? sin ；dx e x ?-2 ；dx x ? ln 1；? -x k dx 2 2 sin 1（其中10<高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
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