13动力学普遍定理综合应用wy

理 论 力 学
1 OA2 OO12 20 30 cm
2 AO1 20 10cm
代入动能定理： 即：
T2 T1 A
2 J 02 0 A 2
可求出： ω2 ＝ 5.72( rad / s )
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——动力学普遍定理综合应用 （2）求杆在铅垂位置时轴承O 的约束反力 在铅垂位置时，由刚体定轴转动微分方程（即动量矩定理） 有：
由质点系动量定理得 联立解之得
mAvA mBvB 0
kmA vB (l l0 ) mB (mA mB )
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kmB vA (l l0 ) m A (mA mB )
——动力学普遍定理综合应用 例三 均质杆OA，重P，长l，如图所示。当绳子突然剪断的瞬时， 求杆的角加速度及轴承O处的约束反力。
杆质心C的加速度：
l n aC aC 2 (aC 0) 2
n 盘质心加速度： aB' aB l 2 (a 0) B
vB' 1.58 6.58 rad/s l 0.24
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——动力学普遍定理综合应用
（4）由质心运动定理求支座反力。 以整个系统为研究对象
系统内力和约束力均不 作功,外力为有势力,系统
B
XA

A
C
理 论 力 学
B
机械能守恒.
WB YB C
WAB
B

A
取圆盘B为研究对象 MB(F) = 0 LB = c
XB B
由初时条件可知: B = 0 圆盘B平动,杆AB作定轴转动.
WB
YA XA
T1 = 0

A
C
W12 = WBl(1- sin) + WAB l(1- sin)/2
解得: XA = 82.47 N
YA = 67.15 N
——动力学普遍定理综合应用
理 论 力 学
本题应用了相对质心动量矩守恒定理、动能定理、动 量矩定理、质心运动定理，比较复杂，请大家仔细分析求 解过程中所应用的定理。
可用对积分形式的动能定理求导计算a，但要注意需取 杆AB在一般位置进行分析。
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=37.44 rad/s2
aD = 4.49 m/s2
aB = 8.98 m/s2
由质心运动定理得:
1 (WB aB WAB aD ) WB WAB X A YA g
XA
YA

A
C
把上式分别向x y轴投影得:
B
理 论 力 学
1 (WB aBx WAB aDx ) X A g
——动力学普遍定理综合应用
1.动量定理: 理 论 力 学
dP e M ac R dt
2.动量矩定理: Jo = Moe Jc = Mce 3.动能定理: dT=dW T2 - T1 = W
二.动力学普遍定理的主要特征 1. 建立度量质点系整体运动状态的物理 理 论 力 学 量 ( P , Lo , Lc , T ) 与作用其上力系总效果 ( Re , Moe , Mce , W ) 之间的关系,而不着眼 于系统中单个质点的运动. 2. 动量定理和动量矩定理构成质点系普 遍定理的动量方法.动能定理构成质点系普 遍定理的能量方法.
——动力学普遍定理综合应用
此过程中只有重力作功
W12 mg
理 论 力 学
由动能定理
l 1 sin 2
A
FN C
aC α
T2 T1 W12
即 1
1 2 l m 1 vC 0 m g 1 sin 2 2 3 cos 2
mg
理 论 力 学
J02 m0 (F e ) 0
（因为外力通过O点，所以外力矩为零。） 因此可得 ：
2 0
aC 0
L 2 ac a 2 2
n C
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——动力学普遍定理综合应用
再应用质心运动定理，
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——动力学普遍定理综合应用
（3）小球从A——>C：
总功：∑W＝2mgR
理 论 力 学
2 2 2 J C mvC J 0 2mgR 2 2 2
2 vC 4gR
说明：本例应用了“动量矩守恒定律”和“系统动能定理”使问 题 得到全部解决。请注意动量矩的计算与动能的计算。
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——动力学普遍定理综合应用 例六
理 论 力 学
P1 P2 mi aix g aC g aB' 0 FAx
P l 2 P2 2 mi aiy 1 l FAy P P2 1 g 2 g
代入数据，得
FAx 0, FAy 401N
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取系统为研究对象进行运动分析. 由初时条件得: AB = 0 aB =l =0.24
1 (WB aBy WAB aDy ) WB WAB YA g
aC
WAB WB aB B
1 o o 9.8 (1508.98sin30 + 604.49sin30 ) = XA 1 (1508.98cos30o-604.49cos30o ) = Y –150 - 60 A 9.8
受力分析如图：
理 论 力 学
（1） 求杆在铅垂位置的角速度 应用动能定理： T2 － T1 ＝ ∑W12 T1 ＝ 0 （水平位置 ω1＝0）
2 2 J 02 mL22 T2 2 6
（杆在铅垂位置时的动能）
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——动力学普遍定理综合应用
总功为：
c 12 22 m gL A 2 2
理 论 力 学
已知：匀质杆长30（cm）,重98（N）, 弹簧的刚性系数为4.9(N/m), 原长为20(cm)。 开始时杆置于水平位置， 然后将其无初速释放。 由于弹簧作用，杆绕O 轴转动，OO1＝40（cm）。
求： 当杆转到铅垂位置时杆的 角速度和轴承O 处的反力。
（弹性系数不合理）
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——动力学普遍定理综合应用 解： 取研究对象：杆OA
——动力学普遍定理综合应用
理 论 力 学
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普 遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题 的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况 的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求 得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三 个定理联合求解。
A
B
4
——动力学普遍定理综合应用
vA
vB mBg
F
FNB
y
mAg A F x
FNA
理 论 力 学
解：
B
作受力图。质点系包含两个质点A 、 B由于质点位移 在水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的， 故内力F、F’所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体 A、B的速度分别为 vA、vB，方向如图示。由动能定理：
求解过程中,要正确进行运动分析, 提供正确的运动 学补充方程。
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——动力学普遍定理综合应用 例一 物体A、B，质量分别为 mA、mB，用弹簧相连，放在光滑水
平面上。弹簧原长为 l0 ，刚度系数为k。现将弹簧拉长到 l 后无初 速释放，求当弹簧恢复原长时物体 A、B 的速度，弹簧质量不计。
理 论 力 学
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——动力学普遍定理综合应用
代入动力学方程，解得理 论 力 学mg NhomakorabeaFN 4
A
FN
aC
C
α
思考：本题应用了几个定理？
mg
如何求
aA
?
本题难点是什么？
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——动力学普遍定理综合应用 例五 已知：一圆环以角速度ω0 绕铅垂轴 O1O2自由转动，圆环的半径为R ，对 转轴的转动惯量为J ，在圆环内的A 点放一质量为m 的小球，圆环内光滑， 由于微小干扰，小球离开A 点。 求: 当小球分别到达B点和C点 时，圆环的角速度和小球的
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——动力学普遍定理综合应用
例题15-12. 重150N的均质
圆盘B与重60N,长24 cm的

C
A
理 论 力 学
均质直杆AB在 B处用铰链连
接如图.=30 .系统由 图示
位置无初速的释放.求系统通
o
B
B
过最低位置时点B 的速度及
支座A的反力，（试计算在
初瞬时支座A的反力.）
YA
解:取系统为研究对象进行受力分析.
运动学知，杆的角速度与质心C 的速度之间关系为：
理 论 力 学

vC 2vC CP l cos
初始动能为零
T1 0
vA
P
θ
ω C
vC
任意位置杆的动能为
A
T2
1 2 1 1 1 2 m vC J C 2 m1 vC 2 2 2 2 3 cos
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理 论 力 学
解：取杆为研究对象
由动量矩定理：
1P 2 l l P 3g 2
3g / 2l
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——动力学普遍定理综合应用
理 论 力 学
由质心运动定理：
P aCx FOx FOx 0 g
P Pl aCy FOy P g g2
1 FOy P 4
——动力学普遍定理综合应用 例四
题：均质细杆长为l、质量为m，静
理 论 力 学
止直立于光滑水平面上。当杆受微 小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地
面时的角速度和地面约束力。
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——动力学普遍定理综合应用 解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅