理论力学动力学普遍定理
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动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档
在运动过程中，系统所受外力对z轴之矩为零，故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
第4章 动力学普遍定理(动量定理)
dK = ΣF ( e ) dt
K = 常矢量
——质点系动量守恒 质点系动量守恒 ——质点系在 方向上动量守恒 质点系在x方向上动量守恒 质点系在
ΣF ( e ) = 0 ΣX ( e ) = 0
K x = 常量
问题：为何不这样说？ 问题 动量定理积分形式： K 2 − K1 = ΣS (e )
ΣS ( e ) = 0 ( ΣS x e ) = 0
dK = ΣF ( e ) dt
K = Mv理 质心运动定理
注：①此定理与动量定理完全等价，都反映质系随质心平动部分与所受外
力主矢之间的关系，但形式和所用物理量不同。质心运动定理已不再使用 动量和冲量的概念； ②形式与牛二定律（动力学基本方程）相同，但含义不同； ③适于任意质点系； ④对刚体系，由于 MaC = Σmi aCi ，式中 mi、aCi 表示每个刚体的质量和 质心的加速度，则质心运动定理又可写为
K 2 x = K1x = 常量
质点系动量守恒 K = K = 常矢量 ——质点系动量守恒 2 1 ——质点系在 方向上动量守恒 质点系在x方向上动量守恒 质点系在
反例：①光滑水平面上由绳拉住绕定点作匀速圆周运动的小球； 反例 ②圆锥摆
4
§4 质心运动定理
质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，重要而实用。 一、质心运动定理 动量定理微分形式：
§3 动量定理
一、质点的动量定理
d( mv ) = F 或 d( mv ) = dS dt
动量定理的微分形式 二、质点系的动量定理 微分形式： 微分形式
mv2 − mv1 = S
动量定理的积分形式 有限形式） （有限形式） 积分形式： 积分形式
(e K 2 − K 1 = Σ S (e )
22第6章第二十二讲 动力学普遍定理-动量定理
第六章动力学普遍定理质点系整体运动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能）力系特征量（主矢、主矩）和功动量定理动量矩定理动能定理质点是很理想的模型，更一般的模型是质点系，由质点到质点系是动力学走向实用的关键环节1. 动量定理2. 变质量质点动力学3. 动量矩定理4. 动能定理太空拔河，谁胜谁负会不会上下跳动?蹲在磅秤上的人跳起时磅秤指示数发生什么变化扇工作时，会发生什么现象抽去隔板后将会发生什么现象1. 动量定理1.1 动量定理与动量守恒1.2 质心运动定理1.3 应用举例1.4 结论与讨论1. 动量定理1.1 动量定理与动量守恒1.2 质心运动定理1.3 应用举例1.4 结论与讨论1.1 动量定理与动量守恒子弹入墙坦克入墙引入质量和速度的乘积——动量（1）质点系的动量vv m →小知识：惯性的度量——质量（惯性质量，欧拉1736《力学》）概念晚于动量（16~17世纪，笛卡儿、牛顿）质量经典三层含义：物质的量、惯性质量、引力质量近代：电磁质量、质速方程、质能方程动量守恒更具有普适性质点的动量vK m =质点的动量是矢量，单位为kg·m/s 。
（更多的书上采用符号p ）表示质点运动强弱和方向，是质点机械运动的一种度量。
1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量质点系的动量（质点系动量的主矢）质点系中各质点动量的矢量和。
∑∑====ni ii ni i m 11v K K 质点系的动量是质点系整体运动的一种度量。
在直角坐标系的投影形式为∑∑∑======ni izi z ni iy i y ni ix i x v m ,K v m ,K v m K 111可各类比于力系主矢1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量1根据质点系质心定义ymm m m ii ii i C ∑∑∑==r r r ii C m m v v ∑=Ci i m m v v K ==∑1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。
理论力学之动力学普遍定理
分方程得:
O
l
A
T sin=0.366
2clos=0.931
A´
BAB
P
N
P
T
P g
aCy
N
P
(T N )l cos 1 P (2l)2 12 g
联立解得: T = 0.846P N = 0.654P
25
阅读材料和作业
• 1.阅读材料 – (1)P164---P170
O
l
A
2l
A´
B´
B
P
21
解:取杆AB为研究对象进行运动分析.
O
l T
A
OB = 1.732l A´B = 0.732l
当绳索OA运动到铅垂位置时,
N
2l
杆AB作瞬时平动.
B´
vA = vB = v
A´
B
P
对杆AB进行受力分析.
约束力T和N不作功, P是有势力,系统机械能守恒.
0.866 Pl 0.366 Pl 1 P v2 v gl
(3)
联立(1)(2)(3)式解得:
O
m1 ( R
m1g(R r) r)2 m2 (R2
O2 )
aA
(R
r)O
m1(R
m1g(R r)2 r)2 m2 (R2
O2 )
D A
aA
28
O
13-31解.分别取木板和圆柱O为研究对 象画受力图.
aO
O
F Ff FO m1a
=1500.24(1- sin30o)
+600.12(1-sin30o)
理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
理论力学 第8章 动力学普遍定理
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
10
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
6
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
7
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系 的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
20
[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0, 水平方向 Px 常量。
l2 r2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2
9
质点系的质心，内力与外力
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC
mi
M
ri
或 MrC mi ri
理论力学动力学普遍定理与普遍方程
描述了物体运动的基本 规律和原理。
2 质点的运动定理
用于描述单个质点的运 动和力学特征。
3 系统动力学定理
用于描述系统的整体运 动及其相互作用。
普遍方程
运动方程的一般形式
描述物体运动的数学方程。
欧拉-拉格朗日方程
描述质点和系统的力学行为。
哈密顿方程
用于描述力学系统中的能量 和动力学特征。
应用案例
理论力学动力学普遍定理 与普遍方程
在这个演示中，我们将介绍理论力学动力学的普遍定理与普遍方程，并探讨 它们在应用中的重要性和实际应用。欢迎加入我们的学习旅程！
基本概念介绍
力学动力学的定义和作用
解释为物体的运动提供了理论和数学工具。
理论力学的概念
研究力、运动和力学原理的科学分支。
普遍定理
1 动力学的基本定理
1
常见力学动力学问题
探索常见力学问题背后的原理。
2
基于普遍定理与普遍方程的分析
通过应用普遍定理和方程，解决复杂的力学问题。
3
实际应用与工程中的应用实例
展示力学动力学在实际工程中的应用案例。
总结
重点回顾普遍定理和普遍方程
强调普遍定理和方程在理论力学动力学中的重要性。
2 质点的运动定理
用于描述单个质点的运 动和力学特征。
3 系统动力学定理
用于描述系统的整体运 动及其相互作用。
普遍方程
运动方程的一般形式
描述物体运动的数学方程。
欧拉-拉格朗日方程
描述质点和系统的力学行为。
哈密顿方程
用于描述力学系统中的能量 和动力学特征。
应用案例
理论力学动力学普遍定理 与普遍方程
在这个演示中，我们将介绍理论力学动力学的普遍定理与普遍方程，并探讨 它们在应用中的重要性和实际应用。欢迎加入我们的学习旅程！
基本概念介绍
力学动力学的定义和作用
解释为物体的运动提供了理论和数学工具。
理论力学的概念
研究力、运动和力学原理的科学分支。
普遍定理
1 动力学的基本定理
1
常见力学动力学问题
探索常见力学问题背后的原理。
2
基于普遍定理与普遍方程的分析
通过应用普遍定理和方程，解决复杂的力学问题。
3
实际应用与工程中的应用实例
展示力学动力学在实际工程中的应用案例。
总结
重点回顾普遍定理和普遍方程
强调普遍定理和方程在理论力学动力学中的重要性。
理论力学动力学普遍定理
1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例]均质细直杆长为l ，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz
及对z1 轴的转动惯量Jz1 。
z
O
解：
l
Jz 0
x2mdx1ml2 l3
x
x
dx
l
Jz1
l
2 l
2
x2 mdx1ml2 l 12
z1
x
C x dx
l
l
2
2
理论力学
中南大学土木工程学院
4
均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
drvCdt0
r r rr d W F S d r F S v C d t 0
wR O
圆轮沿固定面作纯滚动时， 摩擦力是静摩擦力，不作功!
P
FS C FN
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13
5、质d 点W 系 内F r r力d 的r r rA 功 F rrd r r rB F rdrA rF rdrB F rd(rrArB) FdrBA
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21
[例]已知均质圆盘质量为m，半径为R，摩擦因数为 f ，斜面倾角为j 。求
纯滚动时盘心的加速度。
解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下
产生位移 s 时速度达到vC。
T1 0
T2
3 4
m
v
2 C
力的功： W 12mgssinj
由动能定理得：
w
s
vC
C
FS
mg
j
FN
34mvC 2 0mgssinj
理论力学
1
§10-1 质点系的质心 内力与外力
一、质点系的质心
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理论力学
[例]均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰链 与质量为m2、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作 纯滚动，杆与水平线的夹角为 ，若圆柱中心速度为vA，求系统的动能。
解：
T TA TAB 3 2 TA m2 v A 4
P wAB
C
B
P 为AB杆的瞬心
A
vA
j
vCA v C vA
B
C
w
2 1 J w2 则杆的动能 T 1 mvC 2 2 C 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 ( 1 ml 2 )w 2 1 m ( v A A 2 4 2 12 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 m ( v A A 2 3
O yC x
rC
ri
zC xC
i y
mi xi mi yi mi zi xC ，yC ，zC m m m
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用确定重心 的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质 心比重心具有更加广泛的力学意义。
z1
z2
x
质点系
W Wi mi g( zi1 zi 2 ) mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心 高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。
理论力学
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10
2、弹性力的功 (指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关) 弹簧原长l0 ，作用点的轨迹为图示曲线A1A2。在弹性极限内F k (r l0 )r0 k—弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力(N/m)。
1 1 1 1 2 T mi vi2 ( mi )v 2 mv 2 mvC 2 2 2 2
2、定轴转动刚体 T 1 mi vi2 1 ( mi ri 2 )w 2 1 J zw 2 2 2 2 3、平面运动刚体
T 1 J Pw 2 2
（P为速度瞬心）
质心C
w
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1
§10-1
一、质点系的质心
质点系的质心 内力与外力
z C
质点系的质量中心称为质心。是表示 质点系质量分布情况的一个重要概念。 质心C点的位置：rC
rC xC i yC j zC k
mi ri mi ri mi m (m mi )
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。
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动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运 动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运 动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用 力的物理量—功之间的联系，这是Hale Waihona Puke 种能量传递的规律。§ 12-1
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2
二、质点系的内力与外力 外力：质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：质点系内各质点之间相互作用的力。
对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零， 内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：
(i) (i) F 0 ； M ( F i O i )0
W
M2
M1
F dr
M2
M1
k (r l0 )r0 dr
r 1 1 r0 dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r r2 r2 k W k (r l0 )dr d (r l0 ) 2 r1 r1 2 k [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] A1 2 d1 r1 l0 初变形
l
0
x2
l 2
m 1 dx ml 2 l 3
2
O
x
x
l
dx
J z1
l 2
m 1 2 x dx ml l 12
l 2
z1
C x x
l 2
dx
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4
均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
设细圆环的质量为m，半径为R。则
z
R
J z mi ri2 R2 mi mR2
T 1 m v2 2
瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是J(焦耳)。
1 2 T mi vi 二、质点系的动能 2 对于任一质点系：（viC 为第i个质点相对质心的速度）
1 2 1 2 T mvC mi viC 2 2
柯尼希定理
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16
三、刚体的动能 1、平移刚体
有限变形下弹性力的功只与 弹簧的初始变形和末变形有 关，与力作用点的路径无关。
F
A0
A dr
d
r1 l0
r
r0
O
d 2 r2 l0 末变性
k 2 k 2 2 W (d 初 d 末 ) (d1 d 22 ) 2 2
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r2
A2
11
3、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功
(i) (i) (i) M ( F ) 0 ， M ( F ) 0 ， M ( F x i y i z i )0
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3
转动惯量的计算 1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例]均质细直杆长为l ，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz 及对z1 轴的转动惯量Jz1 。 z 解： J z
5
2、回转半径 由 z
Jz m
所定义的长度z称为刚体对 z 轴的回转半径。
J z mz2
对于均质刚体，z仅与几何形状有关，与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质
FN
dr FR F' R
3、刚体沿固定面作纯滚动
dWN (FN FS ) drC 0
4、柔性约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
C
FS FN
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15
§12-2
动强弱的又一种度量。 一、质点的动能
动
能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运
W
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz)
直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。
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三、常见力的功 1、重力的功
z M1 M
Fx 0， Fy 0， Fz mg
代入功的解析表达式得
z1
O
mg
M2 y
z2
W12 (mg)dz mg( z1 z2 )
A
Ft
W12 M z dj
j1
j2
作用面垂直转轴的常力 偶M，则力偶作的功为
理论力学
W12 M (j2 j1 )
中南大学土木工程学院 12
4、摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M2
M1
Fds
M2
M1
f FNds
FN=常量时，W= －f FNs，与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。
A
vA
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
j w
B
vC v A vCA
速度合成矢量图如图，由余弦定理有：
2 2 2 vC vA vCA 2v AvCA cos(180 j ) 2 2 1 lw cos j vA (1 l w ) 2 v A 2 2 2 2 2 vA 1 l w lw v A cos j 4
均质圆板对于中心轴的转动惯量
设圆板的质量为 m ，半径为 R 。将圆板分为无数 同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm= · 2rdr， =m/R2，于是圆板转动惯量为
y
dr
r
R
x
Jz r d m
2
R
0
1 r 2r d r mR 2 2
2
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法向力FN，静摩擦力FS作用于瞬心C处，而瞬心的位移
dr vC dt 0
dW FS dr FS vC dt 0
圆轮沿固定面作纯滚动时， 摩擦力是静摩擦力，不作功!
w
O
R
P
FS
C
FN
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5、质点系内力的功
dW F drA F drB F drA F drB F d(rA rB ) F drBA
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四、理想约束力的功
约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1、光滑固定面约束
dr
dW FN dr 0
(FN dr )
2、联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dr FR dr FR dr 0 dW FR dr FR
w
vC
C
vC v
1 2 1 T mvC J Cw2 2 2
1 J C mR 2 ， vC Rw 2
1 2 1 T mvC J Cw2 2 2
vC Rw v
1 1 2 T m(v rw ) J Cw 2 2 2
[例]均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰链 与质量为m2、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作 纯滚动，杆与水平线的夹角为 ，若圆柱中心速度为vA，求系统的动能。
解：
T TA TAB 3 2 TA m2 v A 4
P wAB
C
B
P 为AB杆的瞬心
A
vA
j
vCA v C vA
B
C
w
2 1 J w2 则杆的动能 T 1 mvC 2 2 C 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 ( 1 ml 2 )w 2 1 m ( v A A 2 4 2 12 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 m ( v A A 2 3
O yC x
rC
ri
zC xC
i y
mi xi mi yi mi zi xC ，yC ，zC m m m
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用确定重心 的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质 心比重心具有更加广泛的力学意义。
z1
z2
x
质点系
W Wi mi g( zi1 zi 2 ) mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心 高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。
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2、弹性力的功 (指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关) 弹簧原长l0 ，作用点的轨迹为图示曲线A1A2。在弹性极限内F k (r l0 )r0 k—弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力(N/m)。
1 1 1 1 2 T mi vi2 ( mi )v 2 mv 2 mvC 2 2 2 2
2、定轴转动刚体 T 1 mi vi2 1 ( mi ri 2 )w 2 1 J zw 2 2 2 2 3、平面运动刚体
T 1 J Pw 2 2
（P为速度瞬心）
质心C
w
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§10-1
一、质点系的质心
质点系的质心 内力与外力
z C
质点系的质量中心称为质心。是表示 质点系质量分布情况的一个重要概念。 质心C点的位置：rC
rC xC i yC j zC k
mi ri mi ri mi m (m mi )
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。
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动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运 动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运 动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用 力的物理量—功之间的联系，这是Hale Waihona Puke 种能量传递的规律。§ 12-1
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二、质点系的内力与外力 外力：质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：质点系内各质点之间相互作用的力。
对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零， 内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：
(i) (i) F 0 ； M ( F i O i )0
W
M2
M1
F dr
M2
M1
k (r l0 )r0 dr
r 1 1 r0 dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r r2 r2 k W k (r l0 )dr d (r l0 ) 2 r1 r1 2 k [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] A1 2 d1 r1 l0 初变形
l
0
x2
l 2
m 1 dx ml 2 l 3
2
O
x
x
l
dx
J z1
l 2
m 1 2 x dx ml l 12
l 2
z1
C x x
l 2
dx
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均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
设细圆环的质量为m，半径为R。则
z
R
J z mi ri2 R2 mi mR2
T 1 m v2 2
瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是J(焦耳)。
1 2 T mi vi 二、质点系的动能 2 对于任一质点系：（viC 为第i个质点相对质心的速度）
1 2 1 2 T mvC mi viC 2 2
柯尼希定理
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三、刚体的动能 1、平移刚体
有限变形下弹性力的功只与 弹簧的初始变形和末变形有 关，与力作用点的路径无关。
F
A0
A dr
d
r1 l0
r
r0
O
d 2 r2 l0 末变性
k 2 k 2 2 W (d 初 d 末 ) (d1 d 22 ) 2 2
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r2
A2
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3、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功
(i) (i) (i) M ( F ) 0 ， M ( F ) 0 ， M ( F x i y i z i )0
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转动惯量的计算 1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例]均质细直杆长为l ，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz 及对z1 轴的转动惯量Jz1 。 z 解： J z
5
2、回转半径 由 z
Jz m
所定义的长度z称为刚体对 z 轴的回转半径。
J z mz2
对于均质刚体，z仅与几何形状有关，与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质
FN
dr FR F' R
3、刚体沿固定面作纯滚动
dWN (FN FS ) drC 0
4、柔性约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
C
FS FN
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§12-2
动强弱的又一种度量。 一、质点的动能
动
能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运
W
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz)
直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。
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三、常见力的功 1、重力的功
z M1 M
Fx 0， Fy 0， Fz mg
代入功的解析表达式得
z1
O
mg
M2 y
z2
W12 (mg)dz mg( z1 z2 )
A
Ft
W12 M z dj
j1
j2
作用面垂直转轴的常力 偶M，则力偶作的功为
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W12 M (j2 j1 )
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4、摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M2
M1
Fds
M2
M1
f FNds
FN=常量时，W= －f FNs，与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。
A
vA
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
j w
B
vC v A vCA
速度合成矢量图如图，由余弦定理有：
2 2 2 vC vA vCA 2v AvCA cos(180 j ) 2 2 1 lw cos j vA (1 l w ) 2 v A 2 2 2 2 2 vA 1 l w lw v A cos j 4
均质圆板对于中心轴的转动惯量
设圆板的质量为 m ，半径为 R 。将圆板分为无数 同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm= · 2rdr， =m/R2，于是圆板转动惯量为
y
dr
r
R
x
Jz r d m
2
R
0
1 r 2r d r mR 2 2
2
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法向力FN，静摩擦力FS作用于瞬心C处，而瞬心的位移
dr vC dt 0
dW FS dr FS vC dt 0
圆轮沿固定面作纯滚动时， 摩擦力是静摩擦力，不作功!
w
O
R
P
FS
C
FN
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5、质点系内力的功
dW F drA F drB F drA F drB F d(rA rB ) F drBA
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四、理想约束力的功
约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1、光滑固定面约束
dr
dW FN dr 0
(FN dr )
2、联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dr FR dr FR dr 0 dW FR dr FR
w
vC
C
vC v
1 2 1 T mvC J Cw2 2 2
1 J C mR 2 ， vC Rw 2
1 2 1 T mvC J Cw2 2 2
vC Rw v
1 1 2 T m(v rw ) J Cw 2 2 2