(19)3.1圆的对称性(2)
3.1 圆的对称性(第3课时)
对应练习2
1、一条弦把圆分成3：6两部分，则优弧 所对 的圆心角为 240 °. ⌒ AmB ⌒ 、BC ⌒、 ⌒ 2、A、B、C为⊙O上三点，若 AB CD 的度数之比为1：2：3， 则∠AOB= 60 °，∠BOC= 120 °, ∠COA= 180 °. 3、在⊙O中，AB弧的度数为60°，AB弧的长 是圆周长的 1/6 。 4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆 心角是 60 度。
课堂检测
5.已知：如图，⊙O中， AB、CD
︵ ︵
交于E， ACB与DBC的度数相等。线 段DE与线段BE相等吗？证明你的结 C A E 论.
•
D O B
小
结
圆心角的度数与它所对弧的度数相等.
1 整个圆的 叫做1°的弧.因此， 360 1°的圆心角所对的弧是 1°的弧 ；
1°弧 1°圆心角
反之， 1°的弧所对的圆心角是
1°的角 . 一般的， n°的圆心角所对的弧 是 n°的弧；反之， n°的弧所 对的圆心角是 n°的角.
A O
n°弧
B
n°圆心角
圆心角的度数与它所对弧的度数相等.
例 题 如图，OA,OC是⊙O中两条垂直的半径， D是⊙O上的一点.连接AD并延长与 OC的延长线相交于点B， ∠B=25°. 求
3.1
圆的对称性
（第3课时）
1.理解圆心角的度数和弧的度数概念；
2.掌握圆心角的度数与它所对的弧度数相等.
问题
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份， 每一份圆心角的度数是多少？
（2）把顶点在圆心的周角等分为360份 时，整个圆被分成了多少份？每一份的 弧是否相等？为什么？
圆心角与它所对弧的关系
解：连接OD.由已知∠AOB=90°， ∠B=25°，则∠A=65°. ∵OA=OD ∴ ∠ODA= ∠A=65°. 于是∠DOA=180°-（ ∠ODA+∠A ） ∴
圆形对称图形的知识点总结
圆形对称图形的知识点总结
1. 圆的对称中心: 圆形是一种高度对称的图形，因此它的对称中心即为圆心。
无论是将圆
形沿着任何轴线进行翻转、旋转或倒影，都将得到一致的图形，因为圆形的每一点到圆心
的距离都相等。
2. 圆的轴对称: 圆形具有无数个轴对称轴线，这是因为圆形的任意一条直径都是它的轴对
称轴线。
将圆形沿着任意直径进行翻转、旋转或倒影，所得到的图形都与原图形完全一致。
3. 圆的中心对称: 圆形具有中心对称性，也就是说如果将圆形沿着圆心进行旋转180度，
那么所得到的图形与原图形将完全一致。
这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，因
此无论如何旋转，都将得到一致的图形。
4. 圆形的旋转对称: 圆形在任意角度的旋转下都具有对称性，也就是说无论将圆形旋转多
少度，所得到的图形都与原图形完全一致。
这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，
因此无论如何旋转，都将得到一致的图形。
5. 圆形的对称性质: 圆形的对称性质使得我们能够更好地理解和描述它的特征和性质。
通
过对称性的分析，我们可以得到许多重要的结论，例如圆形的面积公式和周长公式，圆形
的切线性质和弦的性质等等。
总之，圆形对称图形具有高度的对称性，包括轴对称、中心对称和旋转对称等多种对称性质。
这些对称性质使得我们能够更好地理解和描述圆形的特征和性质，为解决各种几何问
题提供了重要的理论基础。
因此，对圆形的对称性进行深入的研究和分析，有助于我们更
好地掌握几何学知识，提高解决问题的能力。
青岛版初三3.1圆的对称性
定义 A r
O
性质 判定
OA>r OA=r OA<r
点在圆外 点在圆内
圆
测评验收
1.已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与 ⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D．无法判断 2.以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画
⊙O，下面的点中，在⊙O上的是（ ） A．（1，1） B．（ ， ） C．（1，3） D．（1， ）
圆心
定
义
半径
知二推三
轴 对 称
定理 垂径
应用
直角
转化量
圆
对
作垂 直和
称 连半
性径
三角 形
勾股定理 三角比 解直角三角形
等角 等弧 等弦（知一推二）
中
等对等定理 弧之间的关系 连半径
心 对
（同圆或等圆） 线段之间的关系
构造等 腰三角
称
弧的度数
圆心角 的度数
形
圆心角、弧、弦之间的关系
易错题：
1.如图,在同圆中,若A⌒B＝2C⌒D,则 ∠AOB与∠COD
A．120° B．135° C．150° D．165°
6.如图，在⊙O中，
⌒
AC
=
⌒
BC
,
CD⊥OA于D，
CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．
A
E
B
O
D
F C
圆心角、弧、弦之间的关系
例3.如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．
（1）求证：
⌒
BD
＝
Hale Waihona Puke C⌒D．（2）若⌒
AC
的度数为
青岛版九年级数学上册 3.1.1圆的对称性
2 ．什么是弧、弦、直径、等弧？ 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； 连接圆上任意两点的线段叫做弦； 经过圆心的弦叫做直径； 同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 今天这节课我们就利用轴对称的相关性质来研究圆．
3
3.思考下面的问题，并与同学交流：
（1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心
7
例1 如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点
C，D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．
证明：作OE⊥AB，垂足为点E．
O
由垂径定理，得CE＝DE．
∵AC＝BD， ∴AC+CE＝BD+DE，即AE＝BE．
AC
E
DB
∴OE为线段AB的垂直平分线．
∴OA＝OB．
8
例2 1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥（如 图）的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为 7.23 m．求桥拱所在圆的半径（精确到0.1 m）．
解：AC与BD相等．
理由：如图，过点O作OP⊥AB，垂足为P．
O
P
∵OP⊥AB，
AC
DB
∴AP＝BP，CP＝DP（垂直于弦的直径平分弦）．
∴AP-CP＝BP-DP，即AC＝BD．
12
如图，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一条弦AB，
使点P恰为AB的中点吗？说明你的理由．
解：能； 理由：连接OP， 过点P作OP的垂线AB，交⊙O于A，B两点， 则AB就是所求的⊙O的弦．
你发现线段CE与DE有什么关系？ AC 与AD有什
C
E
D
么关系？BC与BD有什么关系？为什么？
第三章 对圆的进一步认识
A B O. .A C DB O 第三章 对圆的进一步认识 3．1圆的对称性(第一课时)【学习目标】1.会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；2.能利用垂径定理进行相关的计算和证明； 3、掌握垂径定理的推论学习重点：垂径定理的证明与简单应用；。
学习难点：垂径定理的证明及其简单应用。
【预习检测】 （1）、我们是用什么方法研究了轴对称图形?圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? （2）、垂径定理的内容是什么？它是圆中哪些元素的关系？ 【当堂训练】 1、判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧。
( ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心。
( ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分。
( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
( ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分。
( )2、如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径。
3、已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。
求证：AC ＝BD 。
. AOBE CDF4、已知：如图,AB 是⊙O 直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD. 求证：EC ＝DF5、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，C 为 AB 的中点，OC 交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.【达标检测】1、在圆中某弦长为8cm ，圆的直径是10cm ，则圆心到弦的距离是( )cm2、如图①，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB•的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A ．3：2 B2 C D ．5：4① ② ③3．如图②，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于E ，则下列结论中错误的是（ ） A ．∠COE=∠DOE B．CE=DE C ．AE=BE D ．弧BD=弧BC4、如图③，EF 是⊙O 的直径，OE=5，弦MN=8，则E 、F 两点到直线MN 的距离之和（ ）A A ．3B ．6C ．8D ．12【拓展提升】如图,在下列五个条件中:① CD 是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, 如果具备其中两个条件,能否推出其余三个结论成立？举例说明。
圆的定义及对称性
ABC 圆的定义与圆的对称性【知识要点】（一）圆的有关概念 1.圆的基本概念定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径 6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD.(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。
（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。
（三）点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。
则：（1）若rd=，则点P在圆上；（3）若rd<，d>，则点P在圆外；（2）若r则点P在圆内。
说明：点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径大小的数量关系是对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系。
圆的对称性课件
根据定理1，EF平分弦 PQ，从而直线EF是线段 PQ的垂直平分线.
图3-4
于是点P与点Q关于直线EF对称， 因此，圆O关于直线EF对称.
图3-4
结论
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的 直线都是它的对称轴.
练习
1. 自行车的车轱辘是圆形，为什么？
答：车轱辘(圆周)上的任意一点到轴 (圆心)的距离都相等(半径).
︵ 小于半圆的部分叫做劣弧，记做AB ；A，B间的大
于半圆的部分叫做优弧，记做AMB ，其中M是圆上 一点.如图3-5(1)，∠AOB叫做A︵B 所对的圆心角，A︵B 叫做圆心角∠AOB所对的弧.
在生活中，我们常遇到圆心角，如飞靶(图35(2))中有圆心角，还有手表中的时针与分针所成的
角也是圆心角.
由于AB∥CD，
因此EF⊥CD.
由于EF⊥AB， 因此A︵E = B︵E，
从由 因 即而此于EAC︵A︵︵FCEE⊥==-CBCD︵︵︵EDDE.=，. B︵E
-
︵ DE
E
F 图3-8
练习
1. 如图3-9，圆O中，AB∥CD. 求证：∠AOC=∠BOD.
答 ∵ AB∥CD.
∴
︵︵ AC = BD
（由例题结论得)
动脑筋
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们 所对的圆心角相等吗？所对的对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你 能讲出道理吗？
垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条 弧吗？
如图3-7，直径CD垂直于弦AB. 根据定理1可得， 直线CD是线段AB的垂直平分线，从而点A与点B关于 直线CD对称.
2. 下述命题是否正确？为什么？
（1）平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦； 答：正确. 因为平分非直径的弦的直径所在的 直线是这条弦的对称轴.
3.2.1圆的对称性(垂径定理)PPT课件
.
45
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理的推论1和推
论2,并且运用推论1等分弧。
●要分清推论1的题设和结论,即已知什么条 件,可推出什么结论. 这是正确理解应用推论1 的关键;
●例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦
的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想
在这里的运用.
.
46
圆的相关概念
A⌒mB
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc).
H 弧长 FE = 3.84 cm
G
E
F
A
.
C
6
看一看
C
.O
A E B D
AE≠BE
C
.O
A
E
B
D
AE＝BE
.
7
垂径定理
A⌒mB
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└
你能发现图中有哪些等量关系? B 与同伴说说你的想法和理由.
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
A E.
B
D
O
BA
E
B
12
C
练习
如图，已知在⊙O中， 弦AB的Байду номын сангаас为8厘米，圆心 A
O到AB的距离为3厘米，
求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
圆的对称知识点总结
圆的对称知识点总结一、基本概念圆是平面上所有点到一个固定点的距离都相等的集合。
这个固定点叫做圆心，相等的距离叫做半径。
圆通常用一个大写字母表示圆心，用一个小写字母r表示半径。
二、对称性圆具有很强的对称性，主要表现在以下几个方面：1. 中心对称：圆的中心是对称轴，圆上的每一个点关于圆心都有对称点。
2. 旋转对称：以圆心为中心，任意角度旋转圆都不变。
3. 轴对称：圆上的任意一条直径都是圆的轴对称线，即圆上的任意一点与圆心连线的垂直平分线。
三、对称性的运用圆的对称性在数学、几何学和物理学等领域都有着广泛的应用。
在几何学中，圆的对称性在解题过程中经常发挥重要作用，可以帮助我们简化问题、找到解题的突破口。
在建筑设计和艺术创作中，圆的对称性也常被运用，可以创造出和谐美观的作品。
四、圆的对称性性质圆的对称性具有以下性质：1. 对称轴上的任意两点的对称点也在对称轴上。
2. 对称轴上的点到对称轴的距离相等。
3. 对称变换保持了图形的大小和形状不变。
五、圆的对称性的应用圆的对称性在日常生活中也有着广泛的应用。
如镜子、会旋转的木马等等都具有对称性，因此在制作这些用具时，需要考虑图形的对称性，这样会使产品更加美观，使用起来也更加安全。
六、圆的对称图形圆拥有非常丰富的对称图形，例如：1. 圆形2. 半圆形3. 扇形4. 弧形5. 弦形这些对称图形在实际生活中都有着广泛的应用，如构造街道的拱门、钟表的表盘等。
七、圆的对称性的研究圆的对称性不仅仅在几何学中有重要的应用，在现代数学中也有着广泛的研究。
在拓扑学中，圆是一个最基本的几何图形，对称性是研究圆的基本属性的重要内容之一。
在几何结构、代数结构等领域中，圆的对称性也有着深入的研究和运用。
八、总结圆是一个非常特殊的几何图形，具有很强的对称性，对称性在数学、几何学和现实生活中都有着广泛的应用。
圆的对称性性质以及对称图形的研究都是数学领域的重要内容，对于学生来说，深入理解圆的对称性有助于提高他们的数学素养和数学思维能力。
3.1圆的对称性(垂径定理)
∴ 重合当,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
峻青初中
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
峻青初中
D O
B N
挑战自我画一画
• 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦 AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
峻青初中
判断 当堂达标 填一填
⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( ) ⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 ( )
⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( ) ⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ( ) ⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） 峻青初中
C
A
D
B
O
峻青初中
M
O
C A
探索一：
N
①直线MN过圆心 ③ AC=BC
峻青初中
B
结论：
②MN⊥AB ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
推论
平分弦（不是直径）的直径
M
垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧。
A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分，C 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
峻青初中
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴.
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法一：教材解法
法二：作直径MNAC,由ACDE得MNDE，
根据垂径定理，DN=EN，AN=CN，
DN-AN=EN-CN，
AD=CE
中学教案
年级： 初三 科目: 数学 课题: 4.1圆的对称性(2) 课型: 新授 节数 时间 主备人:
教学目标 掌握圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间的关系定理，并能运用它们解决有关的
实际问题。
教学重点 圆心角、弧、弦之间的关系定理
教学难点 圆心角、弧、弦之间的关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的探索与
运用
教学过程 一、 激情导入： 同桌相互提问上节课学习的圆的轴对称性与垂径定理的内容与运用，比较那位同学记忆运用的更到位。 二、自主学习： 1、预习教材70页观察与思考，理解下列问题 （1）圆是中心对称图形， 是它的对称中心 （2） 叫做圆心角 2、预习教材71页实验与探究，理解定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 三、合作学习，展示提升 小组合作交流预习成果，大胆展示自己的见解， 四、质疑释疑，精讲点拨 1、师强化圆心角、弧、弦关系定理用法： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 通常证明弧相等时，考虑圆心角或弦是否相等；反之亦然。 2、教材例3 师生活动
师组织学
生复习旧
知识，为
新课做好
铺垫
学生预习
填空
小组合作
交流，师
巡视指导
师解释定
理及用法
鼓励学生
运用两种
方法思考
AB=BC=AC
C
B
A
AB=2CD
O
D
C
B
A
3、补例：如图点A、B、C为⊙O上的三点，且 (1)求∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数 (2)连接AB、BC、AC，试确定△ABC的形状 (3)若⊙O的半径为10cm，求△ABC的各边长 4、挑战自我 如图，在⊙O中， 试判断AB与2CD的大小关系，并说明理由 五、达标测评． 1、下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 2、在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ） A．42 B．82 C．24 D．16 3、如果两条弦相等，那么（ ） A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对 4、半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ） A．43R B．23R C．3R D．23R 5、半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ． 六、教学反思：
学生代表
展示思路
及过程，
师点评强
化
提示：取
劣弧AB
的中点，
利用三角
形三边关
系证明
学生独立
完成后展
示，师点
评要点：
1、等弧中
隐含条件
在同圆或
等圆中
2、求半
径、求弦
长、求弦
心距常考
虑垂径定
理，作弦
心距是常
加的辅助
线。
学生代表
谈收获