2015年春季新版北师大版七年级数学下学期第4章、三角形单元复习教案5
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形讲义(含答案)
全等三角形概念和性质1、知识与能力：理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题。
2、过程与方法：在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径。
3、情感、态度与价值观：培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识。
1.全等形（1）定义：能够________的两个图形叫做全等形。
理解要点：图形的全等与他们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层意思：图形的________、________；全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。
（2）几种常用全等变换的方式：平移、翻折、旋转。
2.全等三角形及相关的概念（1）全等三角形的定义：能够________的两个三角形叫做全等三角形。
（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角。
（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF。
符号“≌”的含义：“∽”表示_______，“=”表示________，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等。
（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB 与__、AC与__、BC与__是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；③图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边（角）是________，最小的边（角）是对应边（角）。
（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的________。
对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角。
易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写。
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形讲义(含答案)
北师大版初北师大版七年级（下）数学第四章三角形教案：全等三角形讲义（含答案）全等三角形概念和性质1、知识与能力：理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题。
2、过程与方法：在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径。
3、情感、态度与价值观：培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识。
1.全等形（1）定义：能够________的两个图形叫做全等形。
理解要点：图形的全等与他们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层意思：图形的________、________；全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。
（2）几种常用全等变换的方式：平移、翻折、旋转。
（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的________。
对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角。
易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写。
3.全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的_________、_________。
易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等。
参考答案1.完全重合形状相同大小相等2.完全重合形状相同大小相等DE DF EF 对应边（角）位置关系3.周长相等面积也相等1.全等三角形对应角相等,对应角相等【例1】如图是“人”字形屋梁，AB＝AC．现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直”的要求吗？为什么？【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．练1.如图所示，已知：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB∥DE.【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：∠A＝∠D，即可证明AB∥DE．证明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF．∴AC＝DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠A＝∠D．∴AB∥DE．练2.已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS）．∴∠C＝∠A．练3.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.【解析】证明：连接AC，在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA（SSS），∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°．【例2】如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【解析】：∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∴∠EAC=∠DAE-∠DAC，=70°-35°，=35°．答案：B练 4.如图，若△ABC≌△AEF，则对于结论：（1）AC=AF；（2）∠FAB=∠EAB；（3）EF=BC；（4）∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故（1）（3）正确，∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠EAB=∠FAC，故（4）正确，只有AF平分∠BAC时，∠FAB=∠EAB 正确，故（2）错误．综上所述，正确的是（1）（3）（4）共3个．答案：C【例3】.如果△ABC≌△ADC，AB=AD，∠B=70°，BC=3cm，那么∠D=______，DC=________．【解析】：∵△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=70°，DC=BC=3cm．答案：70°；3cm练5.如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，则AC=____cm.【解析】：DF=32-DE-EF=10cm．∵△ABC≌△DEF，∠E=∠B，∴AC=DF=10cm．练6．如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）A．50° B.30°C．80° D．100°【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，则∠D=∠B=30°．解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．【例4】如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数。
北师大版数学七年级下册第四章《三角形》复习导学案设计(无答案)
第四章《三角形》复习导学案 【】一、复习回顾1.三角形的分类2.两个 的三角形是全等三角形.2.全等三角形的对应边 ,对应角 .3.两个三角形全等的条件: , , , . 二、典型例题例1.填空:如图1,请你选择合适的条件填入空格内,使△DEF ≌△DGF(1)因为DF=DF, , ,根据SAS,可得到△DEF ≌△DGF.(2) 因为 , DF=DF, ,根据ASA,可得到△DEF ≌△DGF.(3) 因为 , , DF=DF, 根据AAS,可得到△DEF ≌△DGF.(4) 因为DF=DF, , , 根据SSS,可得到△DEF ≌△DGF.变式一：如图2，若△DEF ≌△AGB,你能得到哪些结论?变式二：如图3,AC ⊥BC,AD ⊥BD,垂足分别为C 、D,AC=BD,△ABC ≌△BAD 吗?为什么?变式三： 如图4,AC ⊥BC,ED ⊥BD ，BE ⊥BC 垂足分别为C 、D 、 B,AB=BE.试探究BE 与AC+AD 之间的关系.变式四：如图5,AC ⊥BC,AD ⊥BD,垂足分别C 、D,AD=BC,问(1)AE=BE 吗?备课授课时间 班级 姓名 学习目标 1、能掌握三角形全等的判定方法2、会利用三角形全等的判定解决实际问题学习重点 .建立本章的知识网络，并应用相关知识解决实际问题 学习难点.建立本章的知识网络，并应用相关知识解决实际问题 图1 D F G 图3 O D B 图4D C B A 图5OE D C A图2请说明你的理由.(2)如图6,在上述条件不变的情况下,连接AB,OE,你认为OE 具有哪些性质?能说明你的理由吗三、当堂检测： 1.如图所示，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，结论：①EM ＝FN ；②CD ＝DN ；③∠FAN ＝∠EAM ；④△ACN ≌△ABM ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图，已知，AB=AD ， ∠BAE= ∠DAC 要使△ABC ≌△ADE ，可补充的条件是 （写出一个即可）．3、工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，边OB 上分别取OD =OE ，移动角度，使角尺两边相同的刻度分别与D 、E 重合，这时过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线，你能先说明△OPE 与△OPD 全等，再说明OP 平分∠AOB 吗？四、拓展延伸如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF五、课堂小结我的收获是什么？ 图6 B A C D E O。
北师大版七年级下册数学教学设计：第四章《三角形回顾与思考》
北师大版七年级下册数学教学设计：第四章《三角形回顾与思考》一. 教材分析北师大版七年级下册数学第四章《三角形回顾与思考》主要包括三角形的性质、分类及应用。
本章内容是学生在学习了三角形基本概念和性质后的进一步拓展，旨在让学生掌握三角形的相关知识，培养其运用所学知识解决实际问题的能力。
教材通过复习巩固旧知识，引出新知识，激发学生的学习兴趣，同时注重培养学生的探究能力和合作意识。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了三角形的基本概念、性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但部分学生在理解和运用方面还存在困难，如对三角形分类的判断、三角形内角和定理的应用等。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行有针对性的教学，提高他们的数学素养。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的分类、性质、内角和定理等基本知识，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受数学在生活中的应用，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形的分类、性质、内角和定理等基本知识。
2.教学难点：三角形分类的判断、内角和定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例、数学故事等激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。
2.探究教学法：学生进行观察、猜想、验证等探究活动，培养学生的动手能力和思维能力。
3.小组合作教学法：引导学生分组讨论、合作解决问题，提高学生的沟通能力和团队协作能力。
4.反馈教学法：及时了解学生的学习情况，针对性地进行教学调整，提高教学效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学，提高学生的学习兴趣。
2.教学素材：准备相关的生活实例、数学故事等，用于引导学生的学习。
3.练习题：根据教学目标和学生实际情况，设计有梯度的练习题，巩固所学知识。
北师大版七年级数学下册第四章全等三角形复习课件
∴ ∠1=∠2（三角形内角和180°）
E
FD C
1
O
2
B
通过由浅入深的两例两练，巩固新知， 培养学生计算，逻辑推理能力
（六）、例题分析，拓展应用
如右图，已知△ABD≌△ACE， ∠1=45°,∠ADB=95°,则 ∠AEC= ∠C= .
谈谈本节课你的收获！
（七）、归纳小结，达标检测
1、能够
的两个图形叫做全等形。
（四）、启发诱导，理解性质
∵△ABC≌ △DFE 为了提高学生的整体素质，培养学生合作学习、自主学习、探究学习的能力。
C．25° D．30° （六）、例题分析，拓展应用
（七）、归纳小结，达标检测
掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算。
情感目标 吗？你能把它分成三个、四个全等的三角形吗？
（三）、手脑并用，深入理解
C
掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算。
本节课是在学生掌握了三角形有关概念的基础上，对图形的全等更具体化的研究。
锻炼学生的动手操作能力和空间想象力。
解：∵△EBD≌△ABC
操作手中的三角形纸板使所学知识从感性认知到理性升华，难点又一次突破
（五）、寻找规律，强化思想
性质推广
1、全等三角形的面积、周长分别相等； 2、全等三角形 对应边上的中线
（七）、归纳小结，达标检测
返回
（一）、温故知新，激发情趣
（一）、温故知新，激发情趣
1、什么是全等图形？ 能够完全重合的两个图形叫做全等图形 2、全等图形的特征 全等图形的形状和大小都相同
复习，鼓励学生独立归纳
（二）、得出定义，揭示内涵
A
D
B
CE
F
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形的判定讲义(含有答案)
三角形全等的断定〔1〕__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、理解全等三角形的断定方法SSS 、SAS 、ASA 、AAS ；2、能运用断定方法断定两个三角形全等；3、经理探究断定方法断定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.1．SSS____________的两个三角形全等〔简称SSS 〕．这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有__________的原理．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．如以下图，：△ABC 与△DEF 的三条边对应相等，求证：△ABC ≌△DEF ．证明：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SSS 〕．角用直尺和圆规作一个角等于角的示意图如下图，说明'''A O B =AOB ∠∠的根据是_________．4．边角边定理三角形全等断定方法2：______和它们的______分别相等的两个三角形全等．〔简称SAS 〕 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SAS 〕．图示：5．探究边边角两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形________等．6．ASA_______________分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ．▲如以下图，∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．求证：△ABD ≌△ACE ．证明：∵∠1＝∠2〔〕∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD 〔相等的角加同一个角仍相等〕即∠BAD ＝∠CAE在△ABD 和△ACE 中， ∠D=∠E 〔〕AD=AE 〔〕∠BAD ＝∠CAE 〔等量相加〕∴△ABD≌△ACE〔ASA〕．7．AAS______________________分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．▲如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE．证明：在△ACD和△ABE中．∠C=∠B〔〕∠A=∠A〔公共角〕DC=EB〔〕∴△ACD≌△ABE〔AAS〕．参考答案：1.三边分别相等稳定性3.全等三角形的对应角相等4.两边夹角5.不一定全6.两角和它们的夹边7.两个角和其中一个角的对边1.先证明对应边相等，再证全等〔利用中点、等量相加等〕【例1】如下图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，BC＝ED，求证：△ABC≌△FED．【解析】∵AD＝FC，∴AD＋DC＝FC＋DC，即AC＝FD．在△ABC和△FED中，∴△ABC≌△FED〔SSS〕．总结：利用“SSS〞证明两个三角形全等，有如下几种常见类型：〔1〕有公共边的两个三角形．〔2〕有公共线段的两个三角形，我们可以用等量相加或相减，推出两边相等．〔3〕含有中点的两个三角形，如图：AB=AC，D是BC的中点，由中点的定义可得：BD=CD．继而可证△ABD≌△ACD．练1.如图，AC=BD，0是AB、CD的中点，求证△AOC≌△BOD．【解析】要证△AOC≌△BOD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等．证明：∵O是是AB、CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD．2.先利用SSS证明三角形全等，继而证明边〔角〕相等，或求边〔角〕【例2】如下图，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠1＝∠2．【解析】在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB〔SSS〕.∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB.即∠1＝∠2．总结：1.要求证在两个不同三角形内的角相等，往往利用全等三角形的性质.2.当两个角所在的三角形不易证全等时，可以利用等量的和〔差〕相等，将问题转化.3.求证不在同一个三角形内的两边相等，同样可以利用全等三角形的性质.练2.如图是“人〞字形屋梁，AB＝AC．如今要在程度横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直〞的要求吗？为什么？【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕.∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．练3.如下图，：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB∥DE.【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：∠A＝∠D，即可证明AB ∥DE．证明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF．∴AC＝DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SSS〕．∴∠A＝∠D．∴AB∥DE．练4.：如下图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD〔SSS〕．∴∠C＝∠A．练5.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.【解析】证明：连接AC，在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA〔SSS〕，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°．3．利用SAS直接证明三角形全等【例3】如下图，△ABC，△DEF均为锐角三角形，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：△ABC ≌△DEF．【解析】直接根据SAS可证明△ABC≌△DEF．证明：在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．总结：运用“边角边〞断定两个三角形全等时，〔1〕同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边〞的顺序书写；〔2〕注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等；〔3〕条件里的三个元素必须对应，一个三角形中的元素依次是“边—角—边〞，另一个三角形的元素也必须依次是“边—角—边〞，假如是其他“边—边—角〞或“角—边—边〞，那么两个三角形不一定全等；〔4〕在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，假如把夹角改为其中一条边的对角，那么不一定全等．练6．〔2021秋•天元区期末〕如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，根据〔SAS〕断定△ABC ≌△DEF，还需的条件是〔〕A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以【解析】根据三角形全等的断定中的SAS，即两边夹角．做题时根据条件，结合全等的断定方法逐一验证，要由位置选择方法．解：要使两三角形全等，且SASAB=DE，BC=EF，还差夹角，即∠B=∠E；A、C都不满足要求，D也就不能选取．应选B．练7．如以下图所示，∠1＝∠2，AO＝BO，求证：△AOC≌△BOC．【解析】两个三角形包含一个公共边，结合条件，根据SAS可证明△AOC≌△BOC．证明：在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC〔SAS〕．4．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等【例4】〔2021春•启东市校级月考〕如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE．【解析】根据平行线的性质及全等三角形的断定定理“SAS〞证得结论．证明：∵AE=CF，∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE．又∵AD∥BC，∴∠A=∠C．∵在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE〔SAS〕．总结：没有直接给出能证明三角形全等的条件时，〔1〕先根据条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的断定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；假如两边，那么要找第三边或夹角；假如一角和该角的一边，那么需要找夹角的另一条边；〔2〕在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比方公共边、对顶角等，从而为解题所用；〔3〕有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到．练8．〔2021•房山区二模〕如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．【解析】∠1=∠2，∠BAE是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来断定△ABC≌△ADE．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE〔SAS〕．练9．〔2021•永春县质检〕：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE．求证：△AEC≌△BDC．【解析】根据∠ACD=∠BCE，可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD．根据边角边公理可得出△AEC≌△BDC．证明：在△AEC和△BDC中，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，在△AEC和△BDC中，∴△AEC≌△BDC〔SAS〕．点评：此题考察了全等三角形的断定SAS．5.先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等【例5】〔1〕〔2021•十堰〕如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【解析】首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角∠A=∠A可利用“SAS〞定理证明△ABE≌△ACD，进而得到∠B=∠C．证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD〔SAS〕．∴∠B=∠C．〔2〕〔2021春•鼓楼区校级月考〕如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：BF=DE．【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE，根据SAS证明△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE〔SAS〕，∴BF=DE．总结：综合利用三角形全等的断定与性质解题步骤如下：〔1〕由问题中的条件，根据三角形全等的断定方法证明两个三角形全等；〔2〕由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等．练10．〔2021秋•涞水县期末〕如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，那么∠D的度数为〔〕A．50° B.30°C．80°D．100°【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，那么∠D=∠B=30°．解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB〔SAS〕，∴∠D=∠B=30°．应选B．练11．〔2021春•锦州校级期中〕如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，假设∠_____=∠______，那么△ABC≌△DEF，所以BC=_____，因此BE=________．【解析】根据三角形全等的断定方法SAS，假设∠A=∠D时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果．解：假设∠A=∠D时，△ABC≌△DEF；∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕，∴BC=EF，∴BE=CF；故答案为：∠A=∠D，EF，CF．6．先用ASA证全等，再证边角相等【例6】如下图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BO＝DO．【解析】先用“ASA 〞证明△ABC ≌△ADC ，得出AB=AD ，再用“SAS 〞证明△ABO ≌△ADO ，可得出结论．证明：在△ABC 和△ADC 中，∴△ABC ≌△ADC 〔ASA 〕.∴AB ＝AD.在△ABO 与△ADO 中，△ACO ≌△ADO 〔SAS 〕.∴BO ＝DO ．总结：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．练12.如下图，在△ABC 中，点O 为AB 的中点，AD ∥BC ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点D ，E ，求证：OD ＝OE.【解析】∵点O 为AB 的中点，∴AO ＝BO ．∵AD ∥BC ，∴∠ADO ＝∠BEO ，∠DAO ＝∠EBO.在△AOD 与△BOE 中，∴△AOD ≌△BOE 〔AAS 〕.∴OD ＝OE ．7．先用AAS 证全等，再证边角相等【例7】如下图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD ．D C BA O12 3 4【解析】先利用AAS 证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出AC ＝AD ．证明：在△ACB 与△ADB 中，∴△ACB ≌△ADB 〔AAS 〕.∴AC ＝AD ．总结：1. 由“ASA 〞与“AAS 〞可知，两个三角形假如有两个角及任意一边对应相等，那么这两个三角形相等．2. 注意不用混淆“ASA 〞和“AAS 〞，“ASA 〞是两角及夹边对应相等，“AAS 〞是两角及一对边对应相等.练13.如下图，C ，F 在BE 上，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ，BF ＝EC ．求证：AB ＝DE ．【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BC ＝EF ，应用AAS 可得△ABC ≌△DEF ，进而得出结论．证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACE ＝∠DFB.又∵∠ACE ＋∠ACB ＝180°，∠DFB ＋∠DFE ＝180°，∴∠ACB ＝∠DFE.又BF ＝EC ，∴BF －CF ＝EC －CF ，即BC ＝EF.在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔AAS 〕.∴AB ＝DE ．8．灵敏选用证明方法证〔判断〕全等AB C FED【例8】如下图，∠B＝∠DEF，BC＝EF，要证△ABC≌△DEF，假设要以“ASA〞为根据，还缺条件_________；以“SAS〞为根据，还缺条件_________；以“AAS〞为根据，还缺条件_________.【解析】一组角和一组边相等,要根据“ASA〞证全等就要求夹边的另一组角相等，故填∠ACB=∠DFE；要根据“SAS〞证全等就要求夹角的另一组边相等，故填AB=DE；要根据“AAS〞证全等就要求另一组角相等，故填∠A=∠D.答案：∠ACB＝∠DFE；AB＝DE；∠A＝∠D．总结：1.到目前为止，我们学习了4种证明三角形全等的方法，分别是“边边边〞“边角边〞“角边角〞“角角边〞.注意：三角形全等的断定方法中不存在“角边边〞“角角角〞．2.“边边边〞“角边角〞“角角边〞“边角边〞这四种判断方法中，都要求有一组边对应相等．3.在寻求全等条件时，要注意结合图形挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线.4.以及平行线中包含的角的关系，垂直中包含的角的关系，以便顺利求解．练14.如下图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充以下一个条件后，仍无法断定△ABE≌△ACD的是〔〕.＝AE B.∠AEB＝∠ADC＝＝AC【解析】选择A中的AD=AE，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项B中给出∠AEB＝∠ADC，加上条件，可得三对角相等，但三对角相等的三角形不一定全等；选项C中的BE＝CD，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项D中的AB＝AC，加上条件，可根据ASA证明△ABE≌△ACD；应选：B．练15.如下图，BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，垂足分别为点F ，E ，BF ＝DE ，∠B ＝∠D ，求证：AE ＝CF.【解析】∵BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°.在△BFA 与△DEC 中，∴△BFA ≌△DEC 〔ASA 〕.∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF.∴AE ＝CF.练16．如图，将△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，再过点O 任意画一条与AC ，BD 都相交的直线MN ，交点分别为M 和N ．试问：线段OM ＝ON 成立吗？假设成立，请进展证明；假设不成立，请说明理由．【解析】OM ＝ON 成立．理由是：∵△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，∴△BOD ≌△AOC ．∴∠A ＝∠B ，AO ＝BO ．又∵∠AOM ＝∠BON ，∴△AOM ≌△BON (ASA)．∴OM ＝ON ．练17．如下图，直角三角形ABC 的直角顶点C 置于直线l 上，AC ＝BC ，现过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，E.DC E FA B BA C DE【解析】〔1〕△ACD ≌△CBE ，证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°.又∵AD ⊥l ，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°.∴∠BCE ＝∠CAD.∵BE ⊥l ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°.在△ACD 与△CBE 中，∠CAD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE 〔AAS 〕.〔2〕由〔1〕可知△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ＝3＋5＝8.1．如下图，AB ∥CD ，OB ＝OD ，那么由“ASA 〞可以直接断定△______≌△___________.2．如下图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD ，CE 交于点H ，EH ＝EB ＝3，AE ＝4，那么CH 的长是___________．3．如下图，点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ∥DE ，∠ACB ＝∠F ．求证：△ABC ≌△DEF ．AC D F EB l4．如下图，∠B ＝∠E ，∠BAD ＝∠EAC ，AC ＝AD ，求证：AB ＝AE.5.〔2021•厦门校级一模〕如图，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，AB=CD ，EC=DF ，EC ∥DF ．求证：△ACE ≌BDF ．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1.：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC 。
2015年春季新版北师大版七年级数学下学期第4章、三角形单元复习教案2
1 第五章 三角形 三角形三边关系 三角形 三角形内角和定理 角平分线 三条重要线段 中线 高线 全等图形的概念 全等三角形的性质 SSS 三角形 SAS 全等三角形 全等三角形的判定 ASA AAS HL（适用于RtΔ）
全等三角形的应用 利用全等三角形测距离 作三角形 一、三角形概念 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。 2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。 3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示； 4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。 二、三角形中三边的关系 1、三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形： （1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形； （2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。 3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即 2
abcab. 三、三角形中三角的关系 1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。 2、三角形按内角的大小可分为三类： （1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形； （2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。 注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 （3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。 3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。 4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。 5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。 6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。 四、三角形的三条重要线段 1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。 2、三角形的角平分线： （1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。 3、三角形的中线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 （2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。 4、三角形的高线： （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。 （2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。 区 别 相 同 中 线 平分对边 三条中线交于三角形内部 （1）都是线段
北师大版七年级数学下册教学课件第四章三角形小结与复习
练 习 通过复习能够利用三角形有关知识及全等三角形知识解决相关问题.
如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝25°,CD⊥AB于点D,则∠ACD＝____°.
△又A因B为C9B的E.内如⊥角A图E和，为，所( 以C)∠是BEA线=∠段BEFA=9B0°的，中点，CD平分∠ACE, CE平分∠BCD，CD=CE.
全等三角形 用尺规作三角形
判定：SSS、ASA、AAS、SAS
【解析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为∠C=90°，所以∠ACD=∠AED，又AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠EAD，又AD=AD，所以
△ACD≌△AED(AAS)，所以DE=CD=4，即点D到AB的距离为4.
五、作业布置与教学反思 1．作业布置 2．教学反思
仿例3.若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上,则这个三角形 是__直__角__三__角__形_____.
已知一个等腰三角形的底和一腰的长,求作三角形,则这个三角形( )
E③C△＝ABOFD≌△E活OCD. 动； 2 合作探究1 三角形的全 活【动解1析范】旧过知例点回D顾2作.如DE⊥图AB所，垂示足,为点E，E因是为长∠C=方等90°形，A所B以C∠ADCD的=∠边AEDA，D又延AD长平分线∠B上AC，一所点以∠,C且ADA=∠DE＝AD，D又EA,D连=AD，所以 △(泰A山C期D接≌末△)BA如EE图D交,(△AAACSB)C，D≌所△于以AE点DFE, =AOCBD,＝连=A4E，接,∠即BA点＝DO∠到E,下,A则B对的列于距结结离论为论：4.①：AC①＝A△F；AOB≌△BOC；②
①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC,其中正确
结论的个数是( C )
春七年级数学下册第4章三角形4.2图形的全等教案北师大版(new)
4。
2 图形的全等〖教学目的：〗〖知识与技能目标:〗借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，了解图形全等的意义，了解全等图形的特征。
〖过程与方法：〗培养学生善于观察的能力。
〖情感态度与价值观：〗培养学生审美情趣。
〖教学重点、难点：〗重点：图形的全等与全等图形的特征的了解。
难点：识别全等图形及通过实践活动得出全等形〖教学过程：〗Ⅰ.创设现实情景，引入新课引导学生观察课本两组图形。
Ⅱ．根据现实情景，讲授新课一．探讨多举一些学生比较熟悉的能全等或不全等图形的实例,让学生进行想象全等力形与不全等图形的区别。
例如：（1）同一张底片冲印出两张相同尺寸的相片与两张不同尺寸的相片。
（2）同一人的两只手掌与一大人左手掌和一小孩的左手掌。
（3）一个三角形和一个四边形3．把下列两组图形投影出来:二．结论a)从“做一做"中得到的两个图形有什么特征？这两个图形能够重合，它们的形状和大小都相同。
b)在看一看中，你的看法如何?形状相同且大小也相同的两个图形能够重合，反之亦然。
形状不同或大小不同的两个图形不能重合，不能重合的两个图形大小一定不相同.c)能够重合的两个图形称为全等图形。
d)全等图形的形状和大小都相同Ⅲ．做一做教材练习Ⅳ．课时小结本节课学习了能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同。
Ⅴ．课后作业〖板书设计:〗尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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北师大版数学七年级下学期第四章三角形全等复习学案设计(无答案)
1三角形【知识点一】三角形的类型及其组成条件和三角形内角和定理1、三角形的内角和为；2、三角形三边的关系为：，；【例题1】具备下列条件的三角形ABC 中，不是直角三角形的是（）A ．CB A B ．CBA 2C ．B A 90D ．90B A 【例题2】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．cmcm cm 5.3,2,1B ．C ．cm cm cm 15,8,5D ．cmcm cm 9,8,6【例题3】在ABC 中，C BA3121，求C 的度数．【课堂练习】1．图中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（）A ．一个锐角、一个钝角B ．两个锐角C ．一个锐角、一个直角D ．一个直角、一个钝角第1题第2题2.如图所示，已知△ABC 为直角三角形，△B=90°，若沿图中虚线剪去△Ｂ，则△1+△2 等于________.3．如图，将△AB C 三个角分别沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处，则△1+△2的度数为__________4.两根木条分别长cm 7和cm 10，工人师傅要选择第3根木条，将它们钉成一个三角形木架.设第三根木条的长为xcm ，则_________x__________．5.如图，已知AB DEBD AC,.（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？（2）1与A 有什么关系？1与B 有什么关系？若70B ，则1与A 各是多少度？【知识点二】三角形的中线、高线、角平分线3、三角形的高线、中线、角平分线的认识理解与交点，其中三条中线的交点叫作；【例题1】如图，CE BD 、分别是ABC 中ACB ABC 、的平分线，若70A ，则BOC______________．【例题2】如图，在ABC 中，AC AB，周长为cm 18，BC 边上的中线AD 把ABC 分成周长相等的两个三角形，若cm BD3，求AB 的长．【例题3】如图，已知AD 是ABC 的BC 边上的高，AE 是BAC 的平分线，若73,47C B ，则DAE_______________．【课堂练习】1.如图，AD 是ABC 中BAC 的平分线，则下列书写中，错误的是（）A ．DACBADB ．BACDACBAD 21C ．BACDAC BAD 22D ．BACABC 222.填空题（1）AE 是ABC 的中线，若cm BC 8，则BE_____________．（2）AD 是ABC 的角平分线，若60,80B BAC，则BAD_____________,ADC_____________．（3）在ABC 中，36,A AC AB ，BD 是角平分线，则BDC_____________．3．如图，在ABC RT 中，90ACB ,CD 是AB 边上的高．（1）若60A ，则BCD 的度数是多少？（2）若43A，则BCD 的度数是多少？有什么规律？【知识点三】全等图形的定义与性质4．_____________________________________称为全等图形．5．全等图形的__________和___________都相同．6．全等三角形___________相等，___________相等．【例题1】下列说法正确的是A ．周长相等的长方形是全等图形B ．五角星都是全等图形C ．面积相等的三角形是全等图形D ．周长相等的正方形是全等图形【例题2】如图，CDA ABC ≌，并且CD AB ，那么下列结论错误的是（）A ．21B ．CAAC C ．BD D ．BCAC 【课堂练习】1.在下列各组图形中，是全等的图形是（）A B C D2．（1）如图，△ABC △△DCB ，则△A=△____，△ABC=△______，△ACB=△____ _，AB=_____，AC =_____.（2）如图，△AOB △△COD ，则△BAO=△___ ，△B=△____ ，AB=_____，AO=_____，OB=_____，BC =_____.图（1）图（2）3．△AOB ≌△COD ，∠B=30°，∠AOC =52°，则∠CEO 的度数 .二、课堂检测一.选择题（本题满分12分，共有4道小题，每小题3分）1．若一个三角形的三个内角的度数之比为2︰3︰4，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形2.现有四根木棒，长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中任意取三根木棒，能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A．9°B．18°C．27°D．36°4.下列说法中错误的是A．全等三角形的周长相等B．面积相等的两个三角形全等C．全等三角形的面积相等D．形状大小相同的两个三角形全等二.填空题（本题满分6分，共有2道小题，每小题3分）5．如图，在△ABC中，AD，BE，CF分别是各边中线，点O为它们的交点，已知△BOD 的面积为20cm2，则△ABC的面积为 .6．如图，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD= 度.第5题图第6题图三.解答（本题满分10分，共有1道小题，每小题10分）7．沿虚线，画出四种不同的图案，分别将下面的正方形划分成两个全等的图形.一.选择题（本题满分12分，共有4道小题，每小题3分）1．在下图中，正确画出AC 边上高的是（）A B C D2.已知ΔABC 的三个内角∠ A.∠B.∠C 满足关系式∠B+∠C=3∠A ，则此三角形A ．一定有一个内角为45°B ．一定有一个内角为60°C ．一定是直角三角形D ．一定是钝角三角形3．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B=12∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10又△ABC≌△A′B′C，则∠BCA′：∠BCB′等于A． 1：2 B． 1：3 C．2：3 D. 1：4二.填空题（本题满分6分，共有2道小题，每小题3分）5．如图，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，如果AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=300，则AN= cm，NM= cm，∠NAM= .6．如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠D= ，∠EAD= .第5题图第6题图第7题图三.解答题（本题满分10分，共有1道小题，每小题10分）7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC＝12cm，AC ＝5cm求：（1）△ABC的面积；（2）CD的长．。
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第五章 三角形 知识要点分章梳理
三角形三边关系
三角形 三角形内角和定理
角平分线
三条重要线段 中线
高线
全等图形的概念
全等三角形的性质
SSS
三角形 SAS
全等三角形 全等三角形的判定 ASA
AAS
HL（适用于RtΔ）
全等三角形的应用 利用全等三角形测距离
作三角形
一、三角形概念
1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”
表示。
2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，
顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；
4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系
1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b
（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；
（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，
即abcab.
三、三角形中三角的关系
1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：
（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；
（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,
其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和
为1800的性质。
6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。
四、三角形的三条重要线段
1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
2
2、三角形的角平分线：
（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫
做三角形的角平分线。
（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。
3、三角形的中线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。
4、三角形的高线：
（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
形的高线，简称为三角形的高。
（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。
五、全等图形
1、两个能够重合的图形称为全等图形。
2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。
3、全等图形的面积或周长均相等。
4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。
5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。
6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。
六、全等分割
1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。
2、对一个图形全等分割：
（1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点；
（2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。
七、全等
三角形 1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。 2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要依据。 4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。 八、全等三角形的判定 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。 5、注意以下内容 （1）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等。 区 别 相 同
中
线
平分对边 三条中线交于三角形内部
（1）都是线段
（2）都从顶点画
出
（3）所在直线相
交于一点
角平分
线
平分内角 三条角平分线交于三角表内部
高 线 垂直于对边（或其延长线） 锐角三角形：三条高线都在三角形内部 直角三角形：其中两条恰好是直角
边
钝角三角形：其中两条在三角表外
部
3
（2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形
全等。
（3）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。
6、熟练运用以下内容
（1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关键。
（2）已知“SS”，可考虑A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”。
（3）已知“SA”，可考虑A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角的另一边，即“SAS”。
（4）已知“AA”，可考虑A：任意一边，即“AAS”或“ASA”。
7、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度确
定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
九、作三角形
1、作图题的一般步骤：
（1）已知，即将条件具体化；
（2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；
（3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；
（4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；
（5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。
2、熟练以下三种三角形的作法及依据。
（1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。
（2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。
（3）已知三角形的三边，作三角形。
十、利用三角形全等测距离
1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用
全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易
测量的线段的长度，从而得到被测距离。
2、运用全等三角形解决实际问题的步骤：
（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；
（2）根据实际问题抽象出几何图形；
（3）结合图形和题意分析已知条件；
（4）找到解决问题的途径。
十一、直角三角形全等的条件
1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、
直角边”或“HL”。
2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的；
3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。
十二、分析-综合法
1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。
2、综合法：从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题
的结论。
3、分析法：从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。
4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。