高二数学3月月考卷

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25学年高二数学上学期第三次月考卷(新高考专用,空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列)全解析

2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷（新高考地区专用）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：空间向量与立体几何25%+直线圆20%+圆锥曲线35%+数列20%。

5．难度系数：0.63。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线l 与直线2310x y -+= 平行，则直线l 的斜率为（）A ．32B ．32-C ．23-D ．232．已知向量(,2,1),(2,4,2)a x b =-=-，若//a b ，则x =（）A ．1-B ．1C ．5-D ．5故选：B.3．已知抛物线2:2C y x =，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（）A ．4B ．14C ．2D ．124．已知圆22:330C x y mx y +-++=关于直线:0l mx y m +-=对称，则实数m =（）A ．1或3-B ．1C ．3D ．1-或35．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（）A ．29B ．31C ．33D ．366．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y-+=所截得的弦长为2a，则双曲线C的焦距是（）A．2B．3C．4D．67．平行六面体1111ABCD A B C D-的底面ABCD是边长为2的正方形，且1160A AD A ABÐ=Ð=°，13AA=，M 为11A C，11B D的交点，则线段BM的长为（）A．3B C D．8．已知点P为椭圆22:11612x yC+=上任意一点，直线l过22:430M x y x+-+=e的圆心且与Me交于,A B两点，则PA PB×uuu r uuu r的取值范围是（）A ．[]3,35B ．[]2,34C ．[]2,36D ．[]4,36二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法不正确的是（）A ．“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”是“1a =-”的充分不必要条件B ．直线sin 20x y a ++=的倾斜角q 的取值范围是π3π0,,π44éùé⎫È⎪êúêëûë⎭C ．若圆()222:(4)(4)0M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r 的取值范围是()4,6D ．设b 为实数，若直线y x b =+与曲线x =11b -<£当直线y x b =+过点(0,1)A 时，b 当直线y x b =+过点(1,0)B 和点C 当直线y x b =+与半圆相切于点由圆心O 到直线0x y b -+=的距离为10．设12,F F 是椭圆2211612x y+=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（）A ．125,3PF PF ==B ．离心率为12C ．12PF F V 的面积为6D ．12PF F V 的面积为12因为P 是椭圆上一点，所以因为122PF PF -=，所以11．对于数列{}n a ，定义：1n n n a a a +=D -，21n n n a a a +D =D -D ，*n ÎN ，则下列说法正确的是（）A ．若n a n =，则20n a D =B ．若2n a n =，则1n na a +D >D C ．若3n a n =，数列{}nb 的前n 项和为n a D ，则6n b n =D ．若(2)2n n a n D =+×，12a =，则22n n na a a D =+D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3724S S +=，则31119a a += .【答案】48【详解】解：由数列前n 项和的性质可知：3724137102424S S a a a d +=+=+=，即151212a d +=，则()31111192048451248a a a d a d +=+=+=.故答案为：4813．在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是BC 的中点，点E 在棱11C D 上，且11114=D E C D ，则直线EF 与平面1D AC 所成角的正弦值为．以D 为坐标原点,分别以DA 设正方体的边长为4，则D 所以()(12,3,4,EF D A =-=uuu r uuuu r 设平面的一个法向量为n =r 14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点，且12AB F F ^，现将平面12AF F 沿12F F 所在直线折起，点A 到达点P 处，使面12PF F ^面12BF F ，若25cos 9PF B =Ð，则双曲线C 的离心率为．由题意，2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以211b PF BF a ==，12F F 因为12AB F F ^，所以112PF F F ^，112BF F F ^又平面12PF F ^平面12BF F ，平面12PF F I 平面1BF F 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知O 为坐标原点，动点P 到两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比12，记动点P 的轨迹为曲线C ，(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 过点(0,2)B ，曲线C 截l所得弦长等于l 的方程．16．（15分）过抛物线()220y px p =>的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，已知16AB =.(1)求抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，求AOB V 的面积.217．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ^平面,,ABCD AD DC AB DC ^∥，11,2AB CD AD M ===为棱PC 的中点．(1)证明：//BM 平面PAD ；(2)若1PC PD ==，（i ）求二面角P DM B --（ii ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM ？若存在，求出PQ 的值；若不存在，说明理由．1,,2AB CD AB CD AB =\Q ∥∥∴四边形ABMN 是平行四边形，又BM Ì/平面,PAD AN Ì平面PAD（i）10,1,,(1,1,0)2DM DB⎛⎫==⎪⎝⎭uuuu r uuu r，设平面BDM的一个法向量为n=r则12n DM y zn DB x yì×=+=ïíï×=+=îuuuu rruuu rr，令2z=18．（17分）数列{}n a 的首项152a =，1341n n n a a a +-=-.(1)证明12n a ìüíý-îþ是等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)设()9210nn nn b a =-´，①当数列{}n b 的项取得最大值时，求n 的值；②求数列{}n b 的前n 项和n S .19．（17分）通过研究，已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转q 角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y q q q q =-+uuu r ，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转q 角得到点P ，(1)已知平面内点(A ，点B-，把点B 绕点A 逆时针旋转π3得到点P ，求点P 的坐标：(2)已知二次方程221+-=x y xy 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆()222210+=>>x y a b a b 绕原点O 逆时针旋转π4所得的斜椭圆C ，（i ）求斜椭圆C 的离心率；（ⅱ）过点Q 作与两坐标轴都不平行的直线1l 交斜椭圆C 于点M 、N ，过原点O 作直线2l 与直线1l 垂直，直线2l 交斜椭圆C 于点G 、H 理由.法二：将椭圆顺时针旋转点Q旋转后的坐标为233⎛⎝当直线1l旋转后斜率不存在时，。

2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷(上海专用,沪教版2020必修第三册全册)(全解全析

2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷（上海专用）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册全册。

5．难度系数：0.65。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为．【答案】平行或相交【解析】若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b平行或相交.故答案为：平行或相交.2．袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为．（只需写出一个）【答案】（白球）（答案不唯一）【解析】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球），故答案为：（白球）（答案不唯一）3．某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为．4．若一个球的体积是4π3，则这个球的表面积是．所以这个球的表面积为24π4πR =.故答案为：4π.5．“直线m ^平面a ”是“m 垂直平面a 内无数条直线”的条件．【答案】充分不必要条件【解析】“直线m ^平面a ”Þ“m 垂直于平面内无数条直线”成立；“m 垂直于平面内无数条直线”Þ“直线m ^平面a ”不成立；因为无数条直线可以是平面内平行的直线；故“直线m ^平面a ”是“m 垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.6．如图，矩形O A B C ¢¢¢¢是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中3O A ¢¢=，1O C ¢¢=，则原图形周长是．在直观图中，设O y ¢¢与B C ¢¢交于点P ¢，则cos 45O C O P ¢¢¢¢=°在原图形中，1CP =，222OP O P ¢¢==，2OC OP =+所以原图形的周长是()()223312OA OC ´+=´+=．7．已知PA ^正方形ABCD 所在的平面，且24PC =，PB PD ==，则PC 和平面ABCD 所成角的大小为．8．在某演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．9．如图，在三棱锥D -AEF 中，111,,A B C 分别是DA ，DE ，DF 的中点，B ，C 分别是AE ，AF 的中点，设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，三棱锥D -AEF 的体积为2V ，则12:V V =．10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是．（1）BM 与ED 平行；（2）CN 与BE 是异面直线；（3）CN 与BM 成π3；（4）DM 与BN 垂直；【答案】（3）（4）【解析】将该正方体的平面展开图还原得到如图所示：11．设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且()0.5P M =，()0.25P N =，则()0.45P M N È=；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P M N Ç=，则M 、N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()56P M N Ç=，则M 、N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16Ç=P M N ，则M 、N 为互斥事件；其中正确命题的个数为．则事件M ，N 不能同时发生，故事件M ，N 为互斥事件，故（4）正确；综上，正确命题的个数为3.故答案为：3.12．如下图，已知四边形,,ABCD ADEF AFGH 均为正方形，先将矩形EDHG 沿AD 折起，使二面角E AD B ¢--的大小为30o ，再将正方形AF G H ¢¢沿AF ¢折起，使二面角H AF D ¢-¢-的大小为30o ，则平面AF G H ¢¢¢¢与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为．作,H M DE ¢^¢交DE ¢于M ，作,DE AD ¢在平面AF E D ¢¢内，由,DE AD ¢在平面AF E D ¢¢内，由二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4100m ´接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（）A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，简单随机抽样C ．简单随机抽样，分层抽样D ．分层抽样，分层抽样【答案】A【解析】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．故选：A14．某单位共有A 、B 两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A 、B 两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为1n ，2n ，方差分别为21s ，22s ，则（）A ．12n n >，2212s s >B ．12n n >，2212s s <C ．12n n <，2212s s <D ．12n n <，2212s s >【答案】C【解析】根据频率分布条形图可知14n =，25n =，即12n n <；显然A 部门得分数据较B 部门更为集中，其方差更小，即2212s s <；故选：C15．若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-16．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75°角．以下判断正确的是（）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】B【解析】如下图所示，在侧面正方形11A B BA 和11A D DA 再延伸一个正方形11B E EB 和11D F FD ，则平面1E C 和1C F 在同一个平面内，所以过点P ，有且只有一条直线l ，即1EF 与a 、b 相交，故①为真命题；取1A A 中点N ，连PN ，由于a 、b 为异面直线，a 、b 的夹角等于11A B 与b 的夹角.由于11AC Ì 平面11AC ，NP Ë平面11A C ，11NP A C P ，所以NP P 平面11A C ，所以NP 与11A B 与b 的夹角都为45o .又因为1C C ^平面11A C ，所以1C C 与11A B 与b 的夹角都为90o ，而457590<<o o o ，所以过点P ，在平面1AC 内存在两条直线，使得与a 与b 的夹角都为75o ，同理可得，过点P ，在平面1F E 内存在两条直线，使得与a 与b 的夹角都为75o ，故②为假命题.故选：B三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图所示，圆柱1OO 的母线长为2，矩形11AA B B 是经过1OO 的截面，点C 为母线1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点.(1)求异面直线AB 与11A C 所成角的大小；(2)若圆柱1OO 的侧面积为4π，求直线1CC 与平面111A B C 所成角的正弦值的大小.【解析】（1）连接11A B ，则11//A B AB ，所以111B AC Ð是异面直线AB 与11A C 所成角（或其补角）， (2分)因为点1C 为弧11A B 的中点，所以11145B A C Ð=o，所以异面直线AB 与11A C 所成角为45o ； (6分)（2）设圆柱底面半径为r ，由已知2π24πr ⋅=，则1r =，连接11B C ，因为1CB ^平面111A B C ，所以11B C 是直线1CC 在平面111A B C 上的射影，所以11CC B Ð是直线1CC 与平面111A B C 所成的角， (8分)111B C CC ===，所以11sin CC B Ð==即直线1CC 与平面111A B C (14分)18．已知三棱锥P ABC -中，,AB AC PA ^^平面,3,4,ABC PA AB AC M ===为BC 中点，过点M 分别作平行于平面PAB 的直线交AC PC 、于点E F 、.(1)求直线PM 与平面ABC 所成的角的正切值；(2)证明：平面//MEF 平面PAB ，并求直线ME 到平面PAB 的距离.【解析】（1）因为PA ^平面ABC ，连接AM ，则PMA Ð即为直线PM 与平面ABC 所成的角， (2分)又3PA AB ==，4AC =，AB AC ^，M 为BC 中点，可得5BC =，52AM =，所以6tan 5PA PMA AM Ð==，即直线PM 与平面ABC 所成的角的正切值为65.(6分)（2）由题知，//ME 平面PAB ，//MF 平面PAB ，ME MF M =I ，,ME MF Ì平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . (8分)因为PA ^平面ABC ，AC Ì平面ABC ，所以PA AC ^，(10分)又AC AB ^，,AB PA Ì平面PAB ，AB PA A =I ，所以AC ^平面PAB ，又//ME 平面PAB ，所以AE 就是直线ME 到平面PAB 的距离，又M 为BC 中点，则122AE AC ==，即直线ME 到平面PAB 的距离为2.(14分)19．某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中N a Î，N b Î）；进球数012345高一人数42ab 4212高二人数311244337(1)请写出高二年级样本的中位数；(2)若高一年级样本的平均数为3.2，求a 的值；(3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求a 的值；【解析】（1）因为高二年级进球数不超过2个的人数为311216++=人，不超过3个的人数为164460+=人，所以高二年级样本的中位数为3个； (2分)（2）因为高一年级样本的平均数为3.2，所以()10412******** 3.2100a b ´´+´+++´+´=，即2390a b +=，又因为424212100a b +++++=，所以40a b +=，联立方程239040a b a b +=ìí+=î，解得3010a b =ìí=î，即a 的值为30；(6分)（3）由题意可知，高一100人中进球数为2的有a 人，则随机抽一人进球数为2 高二100人中进球数为2的有12人，则随机抽一人进球数为2的概率为12310025=， (10分)所以“至少有一个人的进球数为2”的概率31110.401610025a P ⎛⎫⎛⎫=--´-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32a =．(14分)20．在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，1BC =2π3ABC Ð=，111AB AC ^，,,,,D E F H G 分别为11111,,,,AC AA A C C C BB 的中点.(1)证明：平面DBE ∥平面1FB H ；(2)证明：平面1A AC ⊥平面ABC ；(3)若P 为线段1B G 上的动点，求二面角P AC B --的平面角的余弦值的取值范围．【解析】（1）三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，,D F 分别为11,AC A C 的中点，所以1AA //DF ，且1DF AA =，又因为1AA 1//BB ，且11BB AA =，所以1BB //DF ，且1DF BB =，所以四边形1DFB B 为平行四边形，所以1FB //DB ，又由于DB Ë面1B FH ，1FB Ì面1B FH ，所以DB //面1B FH ， (2分)在11AA C C Y 中，1CA //DE ，且112DE CA =，同理1CA //FH ，且112FH CA =，所以FH //DE ，又由于DE Ë面1B FH ，FH Ì面1B FH ，所以DE //面1B FH ，又DB //面1B FH ，DB DE D Ç=，,DB DE Ì平面DBE ，所以平面DBE ∥平面1FB H ； (4分)（2）连接1DA ， DB ，因为 AB BC = ，所以 AC DB ^ ，又因为 11//AC A C ，且111A C A B ^，所以 1AC A B ^ ，因为 1A B ， DB Ì 平面 1OBA ，且1A B DB B Ç= ，所以 AC ^ 平面 1DBA ，因为 1DA Ì 平面 1DBA ， (6分)所以1AC DA ^ ，在 ABC V 中， 2AB BC == ， 2π3ABC Ð=，AC ===由余弦定理求得AC ==则11A C AC ==，1BC = ，(8分)因为111A C A B ^，所以2221111A C A B BC += ，解得1A B =，在1Rt ADA ，12AA =，AD = ，可知11A D =，又1DB =，在1DBA △中，22211DA DB A B +=，因此1A D DB ^ ．由（1）知，1AC DA ^ ，且 AC ， DB Ì 平面 ABC ，且 AC DB D =I ，所以1A D ^ 平面ABC ，因为1A D Ì 平面 1A AC ，因此平面 1A AC ^ 平面 ABC ．(10分)（3）设[]()1,2BP x x =Î，12P ABC B ABC x V V --=，11222P ABC B ABC A ABC V x V x V x ---====所以P 到平面ACB 的距离为2xd =， (12分)在平行四边形11AA B B 中，计算得1cos 43BAA Ð=，在ABP 中可得2234AP x x =++，在平行四边形11CC B B 中，计算得11cos 43BB C Ð=-，(14分)在CBP 中可得2234CP x x =-+，在CAP中，CAPS ==所以P 到AC设二面角P AC B --的平面角为q，cos q ==.(18分)21．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，经过A ，1D ，E 三点的平面记为平面a ，点P 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A P a .(1)设平面11BCC B l a =I ，求证：1//AD l ；(2)平面a 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分，求这两部分的体积之比12V V （其中12V V ≤）；(3)当1A P 最小时，求三棱锥11P AA D -的外接球的表面积.【解析】（1）连接1BC ，因为11AB D C =且11//AB D C ，所以11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，1AD Ë平面11BCC B ，1BC Ì平面11BCC B ，所以1//AD 平面11BCC B ， (2分)又平面11BCC B l a =I ，1AD Ì平面a ，所以1//AD l .(4分)（2）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F =I ，连接AF ，设BC AF G =I ，连接GE ，由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，1//EG AD \，所以平面1AGED 即为平面a ， (6分)因为E 为1CC 的中点，所以C 为DF 的中点，所以平面a 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，所以111F DAD F CGECGE DAD V V V V ---=-=棱台11771711564488838323F DAD DAD V S FD -==´´=´´´´´= ，\另一部分几何体的体积3256136433V -==，\两部分的体积12717V V =． (10分)（3）取11B C 的中点N ，1BB 的中点M ，连接MN 、ME 、1A M 、1A N ，显然1//MN BC ，1//EG BC ，所以//MN EG ，MN Ë平面1AGED ，EG Ì平面1AGED ，所以//MN 平面1AGED ，又E 为1CC 的中点，所以11//ME B C 且11ME B C =，又1111//B A C D 且1111A D B C =，所以11//A D ME 且11A D E M =，所以11A D EM 为平行四边形，所以11//A M D E ，1A M Ë平面1AGED ，1D E Ì平面1AGED ，所以1//A M 平面1AGED ，(12分)又1A M ME M =I ，1,A M ME Ì平面1A MN ，所以平面1//A MN 平面1AGED ，又点P 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A P a ，所以P 在线段MN上，又11A N A M ===，即1A MN 为等腰三角形，所以当P 为MN 的中点时1A P 最小，(14分)因为11AA D 为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边1AD 的中点，设为Q ，令1ME BC H =I ，则H 为1BC 的中点，连接QH ，则//QH AB ，所以QH ^平面11AA D ，所以球心在QH 上，设球心为O ，连接1OD 、OP 、PH ，设外接球的半径为R ，OQ h =，则1OD OP R ==，又1112D Q AD ==，PH =所以(222R h =+，()2224R h =-+，解得54h =，则215316R =，所以外接球的表面积21534ππ4S R ==. (18分)。

高二数学3月月考试卷试题(共8页)

HY中学(zhōngxué)高二数学3月月考试卷一、选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共60分〕1．从平面外一点P引与平面相交的直线，使得P点与交点的间隔等于1，那么满足条件的直线条数一定不可能是〔〕A.0条B. 1条C. 2条D. 无数条2. 一条线段的两个端点分别在直二面角的两个面内，那么这条线段与这两个平面所成的角的和一定〔〕A.等于90°90° C.不大于90°°3．棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是〔〕A.棱柱有一条侧棱与底面垂直.B.棱柱有一条侧棱与底面两条边垂直.C.棱柱有一侧面是矩形且与底面垂直.D.棱柱有一条侧棱与底面的一条边垂直.4.设过长方体的一个顶点的三个面的对角线长分别为a.b.c,那么这个长方体的对角线长是A. B. C. D.5．在平行六面体中，关于向量的以下表达式正确的选项是〔〕A. B.C. D.6. 设集合A={正方体}，B={长方体}，C={直四棱柱}，D={直平行六面体}，E={正四棱柱}，那么(nà me)这些集合之间的关系是〔〕A. B. C.D.7．正三棱锥的高为，侧棱长为，那么侧面与底面所成的二面角是〔〕 °°°°8.设正四棱锥的侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为，那么的值是〔〕．A ．B ．C ．D ．9．正四棱锥相邻二侧面所成的二面角为，那么θ的取值范围是〔〕 A.〔0，〕 B.〔,2π〕 C.(,3π) D.(2π,) 10．在△ABC 中，有命题：①；②；③假设，那么为等腰三角形；④假设，那么ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的选项是〔〕A.①②B.①④C.②③D.②③④ 11.假设正棱锥的底面边长与侧棱长相等，那么该棱锥一定不是〔〕 A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥12．两个完全一样的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是〔〕A ．B ．C ．D ．二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分〕13．在棱长为2的正方体中，是的中点(zh ōn ɡ di ǎn)，那么点到平面的间隔是14．直线a 是平面α的斜线，a 与平面α所成的角为θ，假设平面α⊥β，那么a 与β所成的角的范围是。

广东省中山市普通高中高二数学下学期3月月考试题

下学期高二数学3月月考试题01满分150分.时间120分钟. 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. f 伽沙处和冋=乙则实数A .— 1B . 1【答案】B【答案】D3.已知物体的运动方程是 s it 4 4t 3 16t 24（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度为0的时刻是（）A . 0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C. 2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒【答案】D24 .曲线y=2x 在点P （1 , 2）处的切线方程是（）A . 4x-y-2=0B . 4x+y-2=O C. 4x+y+2=O D. 4x-y+2=0【答案】A5•由曲线y = x 2和直线x = 0, x = 1, y = t 2, t € （0,1）所围成的图形（阴影部分）的面积的最小【答案】Asin x6.函数y的导数为（cosx【答案】Ca 等于（）C.-宀D 宀2.若函数f x 满足 f3 ，则xo-Tmo Hh3A . -3B . -6C. -9D. -12A . 2 ■ 2cos x sin x -2cos xC.cos x sin 2x2cos xD.2cos x 2sin x 2 cos x 2・2cos x sin x2 cos x值为（）1 A 1 BB .2x 在x x 0处切线的斜率的乘积为 3，则x 0的值为【答案】11. °2(sinx cosx)dx ()【答案】A【答案】D第n 卷（非选择题共90分）本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）..一 1 2 ，.一一13.若函数f （x ）=尹—ax + Inx 存在垂直于y 轴的切线，贝U 实数a 的取值范围是 __________ 【答案】［2，+^ ）【答案】2f (x)为一次函数，且 f (x) 2x o f (t)dt ,则 f (x)=【答案】f(x) 2x 416.由曲线1,y 1所围成的图形面积是7.已知曲线y 1A . -2B . 2C. D. 1&过点 (0, 1)且与曲线在点（3, 2) 处的切线垂直的直线的方程为A . 【答案】 2x AB . 2x y 1C. x 2y 2D. x 2y9.若1 2x 1 dx xIn 2 a 1 ,则a 的值是（ A . 【答案】 B . 3C.D.10.若曲线1x 2在点 a,a处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则（） A . 64 【答案】AB . 32 C. 16D.8A . 0B . 1 C. 2 D. 一212.已知直线 a的值为（）b1r 2 c 2 1B.—C.——D.——3 3 3 3二、填空题（ 14 .已知函数f (x) 3x 22x 1,若11f (x)dx 2f (x 。

高二数学3月月考试题含解析

白云高级中学2021-2021学年高二3月月考数学试题一、选择题: 本大题一一共14小题．每一小题4分，一共56分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.函数f(x)＝，那么( )A. 4B.C. －D. －【答案】D【解析】【分析】先对原函数求导，再把-3带入即可求解.【详解】应选D.【点睛】此题考察常见函数的求导，属于根底的计算题.在区间上的平均变化率等于〔〕A. 4B.C.D. 4x 【答案】B【解析】【分析】先由变化量的定义得到，再根据平均变化率的计算公式对化简,即可求出结果.【详解】因为，所以 +4.应选B【点睛】此题主要考察平均变化率的计算，结合概念，即可求解，属于根底题型.在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】，在点〔1，-1〕处的切线斜率为，所以切线方程为y=-3x+2。

的图象与直线相切，那么a等于〔〕A. B. C. D. 1【答案】B【解析】此题考察导数的几何意义.设切点为那么，消去解得应选B5.(05)函数是减函数的区间为 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，易知在区间上,所以函数的单调递减区间为，应选D．考点：利用导数研究函数的单调性6.函数，在处获得极值，那么等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】求出，由解方程即可得结果.【详解】因为，所以，因为在处获得极值，所以即，解得，经检验，时，在处获得极大值，符合题意，应选D.【点睛】此题主要考察利用导数求函数的极值，意在考察对根底知识的掌握与应用，属于简单题.7.函数y＝f(x)＝x2＋1，那么在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，代入数据计算即可．【详解】解：应选：B．【点睛】此题主要考察了函数的变化率，属于根底题．有极值的充要条件是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，应选答案C。

天津市高二下学期3月月考数学试题(解析版)

高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（） A ． B ．()sin cos x x '=-()33x x '=C ． D ． ()21log ln 2x x '=⋅211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可. 【详解】对于A ，，故A 错； ()sin cos x x '=对于B ，，故B 错； ()33ln 3x x '=对于C ，，故C 正确； ()21log ln 2x x '=对于D ，，故D 错．211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：C ．2．函数（为自然对数的底数），则的值为（）()sin e xf x x =+e ()0f 'A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】先求出，再求出即可．()f x '(0)f '【详解】∵，()sin e xf x x =+∴， ()cos e x f x x '=+∴． 0(0)cos0e 2f '=+=故选：B ．3．已知，则m 等于（）2188C C m m -=A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或2188C =C m m -21m m =-2-18m m +=1m =3m =故选：C4．已知函数的定义域为(a ，b )，导函数在(a ，b )上的图象如图所示，则函数在(a ，b )()f x ()f x '()f x 上的极大值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a ，b )上与x 轴的交点个数为4，但是在()f x '原点附近的导数值恒大于零，故x ＝0不是函数f (x )的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．故选：B5．函数的单调递减区间为（） ()4ln f x x x =-A ． B ．C ．D ．()0,∞+10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由结合定义域即可解出．()0f x '<【详解】因为，所以，由解得：，所()()4ln 0f x x x x =->()14f x x '=-()0140x f x x >⎧=<'⎪⎨-⎪⎩104x <<以函数的单调递减区间为．()4ln f x x x =-10,4⎛⎫⎪⎝⎭故选：B ．6．从6名男医生，5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组，且至少有一名女医生，则不同的选法共有（） A ．130种B ．140种C ．145种D ．155种【答案】C【分析】由题意知医疗小组中有女医生的情况有名三种情况，分别求出对应的选法数，并加{1,2,3}总即可.【详解】1、小组有1名女医生的选法：种；125675C C =2、小组有2名女医生的选法：种；215660C C =3、小组有2名女医生的选法：种； 3510C =∴共有种选法. 145故选：C7．由0，1，2，3，5这5个数字可以组成三位没有重复数字的奇数个数为（） A ．27 B ．36C ．48D ．21【答案】A【分析】根据题意，要求三位没有重复数字的奇数，分析个位、百位、十位数各有几种情况，应用计数原理，求得结果.【详解】根据题意，要求三位没有重复数字的奇数，则个位数字必须为1、3、5中的一个，则个位数有3种情况，剩下4个数字中，0不能在百位，则百位数字有3种情况，在剩下的3个数字中任选1个，安排在十位，有3种情况，则可以组成三位没有重复数字的奇数有个， 33327⨯⨯=故选：A.【点睛】该题考查的是有关构成没有重复数字的奇数的个数问题，涉及到的知识点有分步计数原理，在解题的过程中，注意奇数的条件，以及最高位不能为零，属于简单题目. 8．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是()321233f x x x =+-(),3a a +a （） A ． B ．C ．D ．()3,2--()3,1--()2,1--()2,0-【答案】A【解析】利用导数求出在处取得极小值，在处取得极大值，()f x 0x =()203f =-2x =-()223f -=再根据且，结合三次函数的图象列不等式组可求得结果.2(0)3f =-2(1)3f =03132a a <+≤⎧⎨-≤<-⎩【详解】由得或，()22(2)0f x x x x x '=+=+=2x =-0x =可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.()f x 0x =()203f =-2x =-()223f -=令，得或，令，得或，()23f x =-3x =-0x =()23f x =2x =-1x =由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，()f x (),3a a +2x =-0x =结合函数的图象可得：，解得，()f x 03132a a <+≤⎧⎨-≤<-⎩32a -<<-故的取值范围是. a ()3,2--故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于基础题. 9．已知函数，，若对任意的，存在，31()ln 144g x x x x =+--2()24f x x tx =-+1(0,2)x ∈[]21,2x ∈使，则实数的取值范围是（） 12()()g x f x ≥t A ． B ．17[2,817,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ． D ．[)2,+∞[)1,+∞【答案】B【分析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数最()()min min g x f x ≥()g x 小值，对于函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值. ()f x 【详解】由题意可知，因为， ()()min min g x f x ≥31()ln 144g x x x x =+--所以，且， ()()()222213131434444x x x x g x x x x x -----'=--==02x <<当时，，函数单调递减， ()0,1x ∈()0g x '<当时，，函数单调递增， ()1,2x ∈()0g x '>所以当时，取得最小值，， 1x =()g x ()112g =-，，()()222244f x x tx x t t =-+=-+-[]1,2x ∈①当时，函数单调递增，，1t <()()min 152f x f t ==-即，解得：，不成立；1522t -≤-114t ≥②当时，，12t ≤≤()()2min 4f x f t t ==-即，解得：或2142t -≤-t ≥t ≤③当时，函数单调递减，， 2t >()()min 284f x f t ==-即，解得：，成立.1842t -≤-178t ≥综上可知：. 178t ≥故选：B二、填空题10．函数在__________处取得极小值． 32()34f x x x =-+x =【答案】2【详解】试题分析：，当得，当()322()34()3632f x x x f x x x x x =-+∴=-=-'()0f x '>0,2x x 得，所以处函数取得极小值()0f x '<02x <<2x =【解析】函数单调性与极值 11．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-【答案】23y x =-【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】， 211()f x x x '=+则，()12f '=所以函数在点处的切线方程为， 1()ln f x x x=-(1,1)-()121y x +=-即.23y x =-故答案为：. 23y x =-12．函数是R 上的单调函数，则m 的范围是_________. 32123y x x mx =+++【答案】 [1,)+∞【解析】是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于或恒小于等于， 32123y x x mx =+++00而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可. 【详解】是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于 32123y x x mx =+++0 2'20y x x m =++≥则， 440m ∆=-≤m 1≥故答案为：[1,)+∞【点睛】若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．13．函数在处有极值10，则的值为________． 322()f x x ax bx a =--+1x =a b +【答案】7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得值，再代入验证，即可确定结果. a b ，【详解】解∵函数 322()f x x ax bx a =--+∴，2()32f x x ax b '=--又∵函数，当时有极值10，322()f x x ax bx a =--+1x =∴，∴或 2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩411a b =-⎧⎨=⎩33a b =⎧⎨=-⎩当时，有不等的实根满足题意； 411a b =-⎧⎨=⎩2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=当时，有两个相等的实根，不满足题意； 33a b =⎧⎨=-⎩22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=∴7a b +=【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.14．从名男生和名女生中选出人分别担任三个不同学科课代表，若这人中必须既有男生又有3333女生，则不同的选法种数共有_______________．（用数字作答）【答案】108【分析】先求出选人的方法种数，然后再将所选人分配给不同的科目即可，利用分步乘法计数原3理可求得结果.【详解】所选人中必须既有男生又有女生，可以是男女，也可以是男女，再将所选人分312213配给不同的科目，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理可知，不同的选法种数为.()1221333333186108C C C C A +=⨯=故答案为：.108【点睛】本题考查分配问题，考查分类加法和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.15．已知是定义在R 上的偶函数，当时，，且，则不等式()f x 0x >()()0xf x f x '->()20f -=的解集是___________.()0f x x>【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【分析】构造函数，利用导数、函数的奇偶性进行求解即可.【详解】设，因为当时，， ()()''2()()()f x xf x f x g x g x x x -=⇒=0x >()()0xf x f x '->所以当时，单调递增，0x >'()0,()g x g x >因为是定义在R 上的偶函数，所以当时，()f x 0x ≠，所以函数是奇函数， ()()()()f x f x g x g x x x--==-=--()g x 故当时，函数也是增函数，0x <()g x 因为，所以，所以，， ()20f -=()20f =()20g -=()20g =当时，由，0x >()0(2)2g x g x >=⇒>当时，由， 0x <()0(2)220g x g x x >=-⇒>-⇒-<<故答案为：(2,0)(2,)-+∞三、解答题16．甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站成一排分别有多少种不同站法？（列式并计算） (1)甲不站右端也不站左端；(2)甲，乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端．【答案】(1)72 (2)12 (3)78【分析】（1）甲不在左右两端，故先从其他四人中选两人站两端，余下三人再全排列；（2）甲乙站两端，先排甲乙，余下三人再全排列；（3）先全排列再减去不符合的情况.【详解】（1）因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的4个人中任选两人站在两端，有种24A 12=站法，再让剩下三个人站中间三个位置上，有种站法，由分步乘法计数原理知，33A 6=共有种站法．12672⨯=（2）首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有种站法；22A 2=再让其他3个人在中间3个位置全排列，有种站法，33A 6=根据分步乘法计数原理，共有种站法．2612⨯=（3）甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，而甲在左端且乙在右端的44A 24=44A 24=站法有种，故共有种站法．33A 6=543543A 2A A 120224678-+=-⨯+=17．已知函数.()()2e xf x x =-(1)求函数的单调区间； ()f x (2)求在上的最值.()f x []1,2-【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减 ()f x ()1,+∞(),1-∞(2)最大值，最小值， 0e -【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性；（2）根据第一问的函数单调性得出其最值.【详解】（1）函数，则，()()2e x f x x =-()()1e x f x x '=-当时，，当，，1x >()0f x ¢>1x <()0f x '<故函数在上单调递增，在上单调递减()f x ()1,+∞(),1-∞（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减 ()f x (]1,2[)1,1-且，，()1313e ef --=-=-()20f =则在上的最大值，最小值， ()f x []1,2-()()max 20f x f ==()()min 1e f x f ==-18．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，46（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？4（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少2157种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种． 12490115++=（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有种；41466C C =第二种，3红2白，取法有种，324660C C ⋅=第三种，2红3白，取法有种，2346120C C ⋅=根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有 660120186.++=19．已知函数. ()()212ln R 2f x x ax x a =--∈(1)当时，求函数的单调区间和极值；1a =()f x (2)若函数在区间上单调递增，求实数a 的取值范围.()f x [)1,+∞【答案】(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值 (0,2)(2,)+∞2ln 2-(2) 1a ≤-【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；（2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解. ()0f x '≥【详解】（1）函数的定义域为， ()f x ()0,∞+当时， 1a =()212ln 2f x x x x =--求导得，整理得：. ()21f x x x '=--()()()21x x f x x-+'=由得；由得 ()0f x ¢>2x >()0f x '<02x <<从而，函数减区间为，增区间为 ()f x (0,2)(2,)+∞所以函数极小值为，无极大值. ()f x ()22ln 2f =-（2）由已知时，恒成立，即恒成立， [)1,x ∞∈+()0f x '≥20x a x--≥即恒成立，则.2a x x ≤-min 2a x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭令函数，由知在单调递增， ()()21g x x x x =-≥()2210g x x'=+>()g x [)1,+∞从而.()()min 11a g x g ≤==-经检验知，当时，函数不是常函数，所以a 的取值范围是. 1a =-()f x 1a ≤-20．已知函数．2()(2)ln f x ax a x x =-++(1)当时，求曲线在处的切线方程； 2a =()y f x =()()1,1f (2)求函数的单调区间． ()f x 【答案】(1) 30x y --=(2)答案见解析【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解.（2）求出导函数，分情况求解不等式和即可得解. ()0f x '>()0f x '<【详解】（1）当时，，， 2a =2()24ln f x x x x =-+0x >，所以，又， ()144f x x x'=-+()11f '=()1242f =-=-所以曲线在点处的切线方程为，即. ()y f x =(1,(1))f 21y x +=-30x y --=（2），()2221(1)(21)()(0)ax a x ax x f x x x x-++--'==>当，令得，由得，由得， 0a ≤()0f x '=12x =()0f x '>102x <<()0f x '<12x >所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ()f x 1(0,)21,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当，令得， 0a >()0f x '=1211,2x x a ==当时，由得或，由得， 02a <<()0f x '>102x <<1x a >()0f x '<112x a<<所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； ()f x 1(0,)21,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；2a =()221()0x f x x '-=≥()f x (0,)+∞当时，由得或，由得， 2a >()0f x '>10x a<<12x >()0f x '<112x a <<所以的单调增区间为和，单调递减区间为. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1(,)2+∞11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

高二数学下学期3月份测试题

高二数学下学期3月份数学试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7B．64C．12D．81【解析】根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种．【答案】 C2．①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观测到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ其中ξ不是离散型随机变量的是()A．①B．②C．③D．①②③【解析】由离散型随机变量的定义可知①③是，②不是．【答案】 B3．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．【答案】 D4．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56 B．84C．112 D．168【解析】因为(1＋x)8的通项为C k8x k，(1＋y)4的通项为C t4y t，故(1＋x)8(1＋y)4的通项为C k8C t4x k y t.令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为C28C24＝168.【答案】 D5．若x (小于55)为正整数，则(55－x )(56－x )…(69－x )等于( )A ．A 55－x69－xB ．A 1569－xC ．A 1555－xD ．A 1469－x【解析】排列数的下标是69－x ，上标是项数，共有(69－x )－(55－x )＋1＝15，故选B.【答案】 B6．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24【解析】二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x 3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.【答案】 C7．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，则共有出场方案的种数是( )A ．6A 33B ．3A 33C ．2A 33D ．A 22A 14A 44【解析】先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A 14种选法，这两名女歌手有A 22种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A 44种排法，根据分步乘法计数原理，有A 14A 22A 44种出场方案．【答案】 D8．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A ．40B ．74C ．84D ．200【解析】分三类：第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个，第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个，第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 55C 14＝74.【答案】 B9．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是( )A.110B.210C.810D.910【解析】电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为910×19＝110.【答案】 A10．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582【解析】 ξ＝12表示事件“第12次取球是红球，前11次取球中有9次红球、2次白球”，其中每次摸得红球的概率是38，摸得白球的概率是58，故P (ξ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38. 【答案】 B11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为( )A.13B.23C.14D.12【解析】设至少有一个红球的概率为P ，则P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝23.【答案】 B12．一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个是女孩的概率是（）A. 23B. 13C.14D.12 二、填空题(将答案填在题中的横线上)13．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.【解析】 P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335.【答案】 133514．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．【解析】将产品A 与B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A 22A 44种方法，将产品A ，B ，C 捆绑在一起，且A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A 22A 33种方法．于是符合题意的排法共有A 22A 44－A 22A 33＝36(种)．【答案】 3615．A 、B 、C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (A B )＝________.【解析】设P (A )＝a ，P (B )＝b ，P (C )＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝16，(1－b )c ＝18，ab (1－c )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝12，c ＝14.∴P (A B )＝(1－13)×12＝13.【答案】 1316．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为__________．【解析】完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C 34C 14C 14C 14＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C 13C 24C 13C 14＝216种，由分类加法计数原理得共有472种．【答案】 472三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．18．(本小题满分12分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1；(2)a6即为含x6项的系数，T r＋1＝C r10(2x)10－r·(－1)r＝C r10(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C410(－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13440.19．(本小题满分，12分)在某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个歌唱节目，3个舞蹈节目，3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目单排法：(1)一个歌唱节目排在开头，另一个歌唱节目排在最后；(2)两个歌唱节目不相邻；(3)两个歌唱节目相邻，且3个舞蹈节目不相邻．【解析】(1)先排歌唱节目，有A22种排法．再排其他节目，有A66种排法，故不同的排法共有A22·A66＝1440(种)．(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌唱节目，有A27种插入方法，故不同的排法共有A66·A27＝30240(种)．(3)把2个相邻的歌唱节目看做一个元素，与3个曲艺节目排列，有A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，有A35种插入法，最后将2个歌唱节目互换位置，有A22种排法，由分步乘法计数原理，符合要求的排法共有A44·A35·A22＝2 880(种)．20．(本小题满分12)某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：正确完成其中2道题及以上的便可通过考查，已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每道题正确完成的概率都为23，且每道题正确完成与否互不影响．求：(1)分别写出甲、乙两个考生正确完成的题数的分布列；(2)分析哪个考生通过考查的概率较大？【解】(1)设甲、乙两个考生正确完成的题数分别为ξ、η，则ξ的可能值是1,2,3，P(ξ＝1)＝15，P(ξ＝2)＝35，P(ξ＝3)＝15，同理η的可能值是0,1,2,3，P(η＝0)＝127，P(η＝1)＝29，P(η＝2)＝49，P(η＝3)＝827.分布列为（略）(2)因为P(ξ≥2)＝45，P(η≥2)＝2027，且P(ξ≥2)＜P(η≥2)，所以甲考生通过考查的概率较大．21．(本小题满分12分)一个口袋中有5个同样大小的小球，编号为3，4，5，6，7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出球的最小号码，求ξ的分布列．22．(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1 2，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单元：元)，求X的分布列．【解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝1 16，P(X＝800)＝14，所以X的分布列为。

广东省高二下学期3月月考数学解析版

高二（下）月考数学试卷（3月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知数列中，，则数列的最小项是( ) {a n }a n =n 2−5n +4{a n }A. 第项 B. 第项、第项 C. 第项 D. 第项、第项 1344232. 在数列中，，，若，则( ) {a n }a 1=2a n +1=a n +4a n =2022n =A. B. C. D. 5085075065053. 等差数列的前项和，则( ){a n }11S 11=44a 3+a 7+a 8=A. B. C. D. 91011124. 在等比数列中．已知，，则( ) {a n }a 1+a 3=8a 5+a 7=4a 9+a 11+a 13+a 15=A.B.C.D.1163185. 已知数列是递增的等比数列，，，则公比{a n }a 1+a 2+a 3=14a 1a 2a 3=64q =( )A.B. C. D.121246. 若数列对任意正整数都有，则{a n }n a 1+2a 2+3a 3+…+n a n =2n −12a 2+5a 5=( )A.B. C. D.171834847. 已知两个等差数列，，，和，，，都有项，则它们的公共项的个5811…3711…100数为( )A.B. C. D.252420198. 已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时{a n }n S n a 7+a 8>0a 7+a 9<0S n n的值为( )A. B. C. D.8567二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

高二数学下学期3月月考试题文含解析试题

【点睛】此题主要考察理解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的才能有一定的要求，属于中档题.
，函数，假设方程有4个不同实根，那么实数的取值范围为〔〕
【详解】构造Байду номын сангаас数g〔x〕，
∴g′〔x〕，
∵xf′〔x〕﹣f〔x〕＜0，
∴g′〔x〕＜0，
∴函数g〔x〕在〔0，+∞〕单调递减．
∵函数f〔x〕为奇函数，
∴g〔x〕是偶函数，
∴c g〔﹣3〕＝g〔3〕，
∵a g〔e〕，b g〔ln2〕，
∴g〔3〕＜g〔e〕＜g〔ln2〕，
∴c＜a＜b，
应选：D．
【点睛】此题考察了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进展比较大小，考察了推理才能，属于中档题．
上有三点，的斜率分别为3，6，，那么的重心坐标为〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.
【详解】设那么，得，
同理，，三式相加得，
故与前三式联立，得，，，
那么 .故所求重心的坐标为，应选C.
【详解】A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；
B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；
C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于厘米，但是不是准确值，故正确；
D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.
的前项和为，假设，那么〔〕

安徽省高二下学期月考(3月)数学试题(解析版)

一、单选题1．已知函数在处可导，若，则＝（） ()f x 0x x =()()00Δ02Δ2Δlim 2Δx f x x f x x x→+--=0()f x 'A ．1 B ．C ．2D ．812【答案】B【分析】利用导数的定义求解．【详解】. 0()f x '=()()()()0000Δ0Δ02Δ2Δ2Δ2Δ111lim lim 24Δ4Δ42x x f x x f x x f x x f x x xx →→+--+--==⨯=故选：B2．下列结论中正确的是（） A ．若，则πcos3y =1πsin 33y '=-B ．若，则 sin(2)y x =()2cos 2y x ='C ．若，则 ()ln 5y x =15y x'=D ．若，则 2e x y =2e x y '=【答案】B【分析】运用求导法则求函数的导数．【详解】A ：是常数，所以，不正确； π1cos 32=0y '=B ：，正确； cos(2)(2)2cos 2y x x x =⋅=''C ：，不正确； 11(5)5y x x x'='⋅=D ：，不正确. 22e (2)2e x x y x '⋅='=故选：B3．在等比数列中，，则（） {}n a 151,3a a ==3a =A ．BC ．D ．3【答案】B【解析】由结合等比数列的通项公式求出，最后得出.151,3a a ==2q =3a【详解】设的公比为q ，则，所以，所以(如果利用等比{}n a 44513a a q q ===2q =231a a q ==中项性质求的话，要注意等比数列奇数项的保号性特点). 故选：B .4．若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（） 2y x ax b =++b 20x y ++=A ．， B ．， 1a =2b =1a =2b =-C ．， D ．，1a =-2b =1a =-2b =-【答案】D【分析】由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为2y x a '=+k a =()0y b a x -=-，比较系数可得a ，b 的值．20x y ++=【详解】因为，切点为(0,)，2y x a '=+b 所以切线的斜率为，则切线方程为，即， 0|x k y a ='==y b ax -=y ax b =+又切线方程为，即， 20x y ++=2y x =--所以，. 1a =-2b =-故选：D5．要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，若任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是（） A ． B ． 3588A A 5355A A C ． D ．5356A A 5456A A 【答案】C【分析】运用插空法，先排5个独唱节目，再插入3个舞蹈节目，即可得结果. 【详解】三个舞蹈节目不排在一起，可先排独唱节目，有种排法，55A 将三舞蹈节目排在5个独唱节目间，即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目，有种排法， 36A 根据乘法原理，共有种不同的排法. 5356A A 故选：C 6．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（） 3212()33f x x x =+-1a -5a +a A ．[－5,1) B ．(－5,1) C ．[－2,1) D ．(－2,1)【答案】C【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间1a -5a +内，且在端点处的函数值不能超过极小值．【详解】由，令，可得或，2()2f x x x =+'()0f x '=2x =-0x =由得：或，由得：，()0f x '><2x -0x >()0f x '<20x -<<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()f x (,2)-∞-(2,0)-(0,)+∞所以函数在处取得极小值，0x =2(0)3f =-令，解得或， ()32122333f x x x =+-=-0x =3x =-若函数在(,)内存在最小值，则，得． ()f x 1a -5a +3105a a -≤-<<+21a -≤<故选：C7．一矩形地图被分割成了4块，小刚打算对该地图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色．现有5种颜色可供选择（5种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（）A ．180B ．240C ．80D ．260【答案】D【分析】将图中的地图涂色，最少需要2种颜色，最多可用4种颜色，可对所用颜色的种数分类计数．【详解】四部分分别记为ABCD ，如图所示，由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，有种方法．45A 120=第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（A 、C 或35C B 、D ）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求12C 33A 得共种涂法．313523C C A 120⋅⋅=第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A 、C 用一种颜色，B 、D 涂一种颜色，有种涂25C 22A 法，故共种涂法．2252C A 20⋅=∴共有涂色方法120+120+20＝260种．故选：D ．8．如图，方格蜘蛛网是由一簇正方形环绕而成的图形．除最外边的正方形外，每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且将边长分为3:4两部分．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边正方形的边长为1米，并按由外到内的顺序制作，记由外到内第个正方形的n 边长为，则（）（参考数据：） n a 7lg0.155≈A ．由外到内第二个正方形的周长为 57B ．57nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．完整的正方形最多有7个D ．完整的正方形最多有8个【答案】C【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第个正方形的边长为，则，，，…，n n a 11a =257a =2357a ⎛⎫= ⎪⎝⎭157n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．这个正方形所用铁丝的总长为，n 2151555574141415777717nn n -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++=⨯=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- 令≤，则≥，即≤14，51417n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1357n ⎛⎫ ⎪⎝⎭11475n ⎛⎫ ⎪⎝⎭两边取对数，得≤，则≤，解得≤， 7lg5n 7lg141lg 5=+0.15n 1.15n 273即可制作完整的正方形的个数最多为7，所以C 正确，D 不正确．而第二正方形的周长应为，，所以A ，B 均不正确.22047a =157n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C二、多选题9．在数列中，，，则（）{}n a 11a =11(1)n n a a n n +-=+A ． B ．374a =353=a C ． D ．121n a n =-+12n a n=-【答案】BD【分析】由递推公式、运用累加法可求出数列的通项公式．【详解】由得：，，…，1111(1)1n n a a n n n n +-==-++1111n n a a n n--=--121121n n a a n n ---=---，，321123a a -=-21112a a -=-将各式相加得：，则，当时，. 111n a a n -=-12n a n =-3n =315233a =-=故选：BD10．已知定义在R 上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是()f x ()f x '（）A ．()()()f c f b f a >>B ．函数在处取得极小值，在处取得极大值 ()f x x c =x e =C ．函数在处取得极大值，在处取得极小值 ()f x x c =x e =D ．函数的最小值为 ()f x ()f d 【答案】BD【分析】观察导函数的图象，可得的零点，使中的区间，从而确定函()f x '()f x '()0f x '>()0f x '<数的极值点和单调区间，根据函数的单调性比较函数值的大小，通过分析可得函数极大值、极()f x 小值以及最值情况．【详解】由的图象可知，当时，，当时，，()f x '(,)(,)x c e ∈-∞⋃+∞()0f x '>(,)x c e ∈()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ()f x (),c -∞(,)c e (,)e +∞对于A ，因为，所以，所以A 正确；a b c <<()()()f c f b f a >>对于B ，C ，由单调性可知：为极大值点，为极小值点，所以B 不正确，C 正确； c e 对于D ，由于，则，不是最小值，所以D 不正确. d (,)c e ∈()()()f c f d f e >>()f d 故选：BD ．11．下列等式正确的有（）A ．B ．C C m n mn n -=111C C C m m m n n n -+-=-C ． D ．11C C m m n n m n --=122C C 2C C m m m m n n n n --+=++【答案】ACD【分析】利用组合数公式，进行逐项计算判断，也可以通过取特殊值排除错误答!C !()!mn n m n m =-案．【详解】，故A 正确；()()()!!C C !!!!n mmn n n n n m n n m n m m -===--+-令，，则，而，故B 不正确；5n =2m =25C 10=2212125151645C C C C 15411C -+--=-=-=≠，，所以()()()!!C !!1!!m n m n n m m n m m n m ⨯==---()()()()()111!!C 1!11!1!!m n n n n n m n m m n m --⨯-==---+--，C 正确．11C C m m n n m n --=12C 2C C m m m n n n--++=()()()()()!2!!!!1!1!2!2!n n n m n m m n m m n m ++---+--+()()()()()()()!122!2!1!2!!2!!2!n n m n m n n m m n m m m n m m n m m n m -+-+-+-=++-+-+-+()()()()()!12221!2!n n m n m n m m m m m n m ⎡⎤-+-++-++-⎣⎦=-+，故D 正确． ()()()()()()()22!32!122!C !2!!2!!2!m n n n n n n n n m n m m n m m n m ++++++====-+-+⎡⎤+-⎣⎦故选：ACD12．已知函数，函数，下列选项正确的是（）3e ,1()e ,1x x x x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩()()g x xf x =A ．点是函数的零点；()0,0()f xB ．，，使()10,1x ∃∈2(1,3)x ∃∈12()()f x f x >C ．若关于的方程有一个根，则实数的取值范围是x ()20-=g x a a 222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．函数的值域为 ()f x )1e ,--+∞⎡⎣【答案】BD【分析】由函数零点的定义可判断A 不正确，根据函数的单调性，结合图像可判断B 与D 是()f x 否正确，根据函数的单调性与极值情况，结合图像可确定a 的取值范围，可判断选项C ． ()g x 【详解】令，可得，是函数的零点，零点是实数0，不是点，A 错()0f x =0x =0x =()f x ()0,0误；因为，当时，，当时，，当时，24(1)e ,1()(3)e ,1x x x f x x x x ⎧+<⎪=≥'⎨-⎪⎩1x <-()0f x '<11x -<<()0f x '>13x <<，当时，，()0f x '<3x >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递()f x (),1-∞-()-11，13（，）()3,+∞增，且的极小值为和，且， ()f x 1(1)e f --=-3e (3)27f =(1)e f =当时，，当时，，如图，作出函数的图像，0x <()0f x <0x >()0f x >()f x观察图像可知，，，使，所以B 正确；()10,1x ∃∈2(1,3)x ∃∈12()()f x f x >函数的值域为，D 正确；()f x )1e ,--+∞⎡⎣对于C ，由，得，因为，则()20-=g x a ()2g x a =22e ,1()()e ,1x x x x g x xf x x x ⎧<⎪==⎨≥⎪⎩23(2)e ,1()(2)e ,1x xx x x g x x x x ⎧+<⎪=⎨-≥'⎪⎩，令，得或或，当变化时，，的变化情况，如下表()0g x '=2x =-0x =2x =x ()g x '()g xx(,2)-∞- 2- (2,0)-0 (0,1) 1(1,2) 2 (2,)+∞()g x '＋ 0－＋－＋()g x 递增24e 递减 0 递增e 递减2e 4递增如图，当或或时，关于的方程有一个根，所以a 的取值范围是224e 2e 4a <<2a e >20a =x ()20-=g x a ，C 不正确.{}222e e ,,0e 82∞⎛⎫⎛⎫⋃+⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BD ．三、填空题13．在等差数列中，若，，则数列的通项公式为____________． {}n a 513a =6818a a +={}n a 【答案】223n a n =-+【分析】利用等差数列基本量间的关系和性质，求得公差即可．【详解】设的公差为，由，得， {}n a d 687218a a a +==79a =所以， 759132752a a d --===--所以，即． ()()551325n a a n d n =+-=--223n a n =-+故答案为：223n a n =-+14．从四棱锥的5个顶点中任选4个，以这4个点为顶点，可以组成________个四面体．【答案】4【分析】从四棱锥的5个顶点中选出的4个点不共面时，可以组成四面体，用间接法．【详解】从四棱锥的5个顶点中选出的4个不同的点，有＝5种取法， 45C 其中从底面四边形的四个顶点不能组成四面体，故取出的四点能组成四面体的个数为5－1＝4．故答案为：415．若函数在上只有一个零点，则的取值范围是__________．()(1)e x f x x a =--(2,)-+∞a 【答案】{}23,1e ∞⎡⎫-+⋃-⎪⎢⎣⎭【分析】问题化为方程只有一个解，等价于的图象与直线只有一个(1)e x x a -=()(1)e x g x x =-y a =交点，结合函数图象可得的取值范围．a 【详解】由题意，方程在上只有一个解， (1)e x x a -=(2,)-+∞令，则，()(1)e x g x x =-()e x g x x '=当时，，当时，， (2,0)x ∈-()0g x '<,()0x ∈+∞()0g x '>即在上单调递减，在上单调递增， ()g x (2,0)-(0,)+∞所以，又，当趋向于时，趋向， min ()(0)1g x g ==-()232e g -=-x +∞()g x +∞当或时，与的图象只有一个交点，即在上只有一个零点， 23ea ≥-1a =-y a =()g x ()f x (2,)-+∞故的取值范围是．a {}23,1e ∞⎡⎫-+⋃-⎪⎢⎣⎭故答案为：{}23,1e ∞⎡⎫-+⋃-⎪⎢⎣⎭16．已知函数，若存在，使得成立，则ln (),()e x xf xg x x x-==12(0,),∈+∞∈R x x ()()12==f x g x k 下列命题正确的有___________． ①当时，0k >121x x +>②当时，0k >212e 2e xx <+<③当时，0k <121+<x x ④当时，的最小值为0k <21e k x x ⋅1e -【答案】①③④【分析】根据可求得在上单调递增，在上单调递减，则可画出的图像；()f x '()f x (0,e)(e,)+∞()f x 利用同构可知等价于，结合图像则可判断① ②③；当时，12()()f x g x k ==2211ln ln e e x x x k x ==0k <可得，，构造函数可判断④． 21e x x =1(0,1)x ∈【详解】解：①， 21ln ()(0)xf x x x -'=>令得，在上递增，且值域；()0f x '>0e x <<()f x (0,e)1(,)e-∞令得，在上递减，且值域；()0f x '<e x >()f x (e,)+∞1(0,e作图如下：当时，由知：若，使得，则， 0k >(1)=0f 1(0,)x ∃∈+∞1()f x k =11x >当时，若，使得，则， 0k <1(0,)x ∃∈+∞1()f x k =101x <<由得：， ()e x g x x -=1()e xxg x -'=令得，在上递增，且值域；()0g x '>1x <()g x (,1)-∞1(,e-∞令得，在上递减，且值域；()0g x '<1x >()g x (1,)+∞1(0,e作出图象如下：()g x当时，由知：若使得，则， 0k >(0)0g =2x ∃∈R 2()g x k =20x >当时，若使得，则， 0k <2x ∃∈R 2()g x k =20x <∴当时，．故①正确．0k >121x x +>②当时，由得：，即， 0k >()()12==f x g x k 2121ln e x x x x -=2211ln ln e e x x x x =∴可看成的两零点， 21,e x x ln xk x=作出的图象如下： ln xy x=由图象易知：或均可趋向于，故②错误； 1x 2e x +∞③当时，由①的讨论知：，，0k <20x <101x <<．故③正确；121x x ∴+<④当时，此时，由②知：，0k <1(0,1)x ∈21e x x =，则， 21ln x x ∴=2111ln x x k x x ==∴要求的最小值即求的最小值即可， 21e kx x ⋅e k k 令，则，()e (0)k h k k k =<()e e (1)e k k k h k k k '=+=+令，解得：，易知为极小值点，故的最小值为．故④正确． e e 0k k k +=1k =-1k =-()h k 1(1)eh -=-故答案为：①③④．【点睛】关键点点睛：同构找到，通过与的图象及性质判断求解，在处理④时，21e x x =()f x ()g x 要注意消元思想的运用．四、解答题17．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动．(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ (2)如果男生甲与女生乙至少有一人参加，有多少种选法？【答案】(1)100 (2)140【分析】（1）分两步完成，第一步先选2名男生；第二步再选2名女生，根据乘法原理求得结果；（2）先求出从10人中任选4人的方法数，再减去男生甲与女生乙都不参加的方法数，即得男生甲与女生乙至少有一个参加的选法种数．【详解】（1）第一步，从5名男生中选2人，有种选法；第二步，从5名女生中选2人，有25C 25C 种选法．根据分步乘法计数原理，共有种选法．2255C C 100=（2）从10人中选取4人，有种选法；男生甲与女生乙都不参加，有种选法．410C 48C 所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有种选法．44108C C 140-=18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，()21063,ay x x =+--每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】(1)2a =(2)当销售价格时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 4x =【分析】（1）设，由题有，据此可得答案； ()f x =()21063ax x +--()511f =（2）设商场每日销售该商品所获得的利润为，则由题可得()g x ，后利用导数可得答案. ()32101507201078g x x x x =-+-【详解】（1）设， ()f x =()21063ax x +--则由题有：. ()5101122af a =+=⇒=（2）设商场每日销售该商品所获得的利润为，则由题可得：()g x ，()()()()()232321063101507201078g x f x x x x x x x =-=+--=-+-其中.则，36x <<()()()2303007203046g x x x x x '=-+=--得在上单调递增，在上单调递减， ()g x ()34，()4,6故当销售价格时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 4x =19．已知函数（）．2()ln f x ax x x =+-R a ∈(1)当时，求函数在区间上的最值；1a =()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若在定义域内仅有一个零点，求的取值范围． ()()g x f x x =-a 【答案】(1)，； max ()2f x =()min 3ln24f x =+(2)．(]1,02e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出函数的极值点，并求极值和端点处的函数值，可得函数最大值与最小值；（2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有一个交a 2ln ()x h x x=y a =()h x 点，求的取值范围．a 【详解】（1）当时，，则，1a =2()ln f x x x x =+-()()()211x x f x x-+'=当时，当时，11,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '<1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0f x '>所以，在上单调递减，在上单调递增，则．()f x 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦()min 13ln224f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭又，＞，所以． 14ln 339f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)2f =13f ⎛⎫⎪⎝⎭max ()(1)2f x f ==（2）由，得，令，则，()()0g x f x x =-=2ln x a x =2ln ()xh x x =212ln ()x h x x -'=令得，令得 ()0h x '>0x <<()0h x '<x >∴在上单调递增，在)上单调递减， ()h x +∞∴，当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向． max 1()e2h x h ==x 0()h x -∞x +∞()h x 0作出函数的图象和直线， 2ln ()x h x x=y a =如图示，在定义域内有且仅有一个零点,即和有且只有一个交点， ()g x 2ln ()x h x x =y a=由图象知，的取值范围是．a (]1,02e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭20．已知数列的前项和为，若对任意，都有．{}n a n n S *N n ∈23()n n S a n =-(1)求证：数列为等比数列；32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭(2)记，数列的前项和为，求证：＜1．213n n n n b a a ++={}n b n n T n T 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用得，得，依据等比1n n n a S S -=-123()3(1)n n n a a n a n -=---+133322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭数列的定义进行证明；（2）运用裂项相消法求，即可证明． n T 1n T <【详解】（1）证明：由， 23()n n S a n =-当时，，解得， 1n =1123(1)a a =-13a =当时，，2n ≥1123(1)n n S a n --=-+则， 11122()3()3(1)333n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--即，所以，， 133n n a a -=+133322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又因为，所以数列是首项为，公比为3的等比数列．133930222a +=+=≠32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭92（2）证明：由（1）可知，，所以，139322n n a -+=⨯3(31)2n n a =-则22111133431129(31)(31)3131(31)(31)4n n n n n n n n n n n n b a a ++++++⨯⎛⎫====- ⎪----⎝⎭--所以 22311111112313131313131n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．111122123131n n ++⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭由，有，则，即.*n ∈N 1310n +->121131n +-<-1n T <21．已知函数（为自然对数的底数）．21()e xax x f x +-=e (1)若是函数的极值点，求的值； 3x =()f x a (2)若，讨论的单调性．0a ≥()f x 【答案】(1)；13a =-(2)答案见解析.【分析】（1）可导函数在极值点处的导数为0，求得a 的值后，再进行检验；（2）分和两种情况进行讨论，根据符号，研究的单调性．0a =0a >()f x '()f x 【详解】（1）， 2(21)2(1)(2)()e e x x ax a x ax x f x -+-++-=-'=因为是函数的极值点，所以，3x =()f x (3)0f '=即，解得，()()31320a -+-=13a =-经检验，符合题意，故．13a =-13a =-（2）由（1），，若，则，(1)(2)()e xax x f x +-'=-0a =2()e x xf x -=-'当时，当时，2x <()0f x '>2x >()0f x '<所以在上单调递增，在上单调递减； ()f x (,2)-∞(2,)+∞若，令，解得或，且，0a >()0f x '=1x a=-2x =12a -<当时，当或时，12x a-<<()0f x '>1x a <-2x >()0f x '<所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,+∞22．设函数，为的导函数．()e kx f x x a =+()f x '()f x (1)当时，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； 1k =-0x >()ln f x x x ≥-a (2)当时，设，若，其中，证明：． 1k =()()g x f x '=12()()g x g x =12x x ≠124x x >【答案】(1)11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析【分析】（1）当时，存在实数，使得不等式成立，等价于：存在实数1k =-0x >()ln f x x x ≥-，使得不等式成立，构造函数，则等价于，利用0x >ln e x x a x x ≥--()ln e xxx x x φ=--min ()a x φ≥导数求出即可；min ()x φ（2）当时，，则，由此可得函数有极小值点，由函1k =()(1)e x g x x =+()(2)e x g x x '=+()g x 2x =-数单调性可判断在极值点的两侧，不妨假设，则，利用分析法得，()g x 12,x x 12x x <1221x x <-<<-要证明，只需证明，于是构造函数（），利用124x x >224()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭4()()h x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2<<1x --导数证明在上恒成立即可得证．()0h x >()2,1--【详解】（1）当时，存在实数，使得不等式成立， 1k =-0x >()ln f x x x ≥-等价于：存在实数，使得不等式成立， 0x >ln e xxa x x ≥--设， ()()ln 0e xxx x x x φ=-->，当时，，1111()1(1)e ex xx x x x x φ-⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭0x >110e x x +>所以当时，，当时，， 01x <<()0x φ'<1x >()0x φ'>所以在上单调递减，在上单调递增，()x φ()0,1()1,+∞所以，所以，()()min 111e x φφ==-11e a ≥-即实数的取值范围为；a 11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）当时，，所以，， 1k =()e x f x x a =+()()(1)e x g x f x x '==+()(2)e x g x x '=+当时，，当时，，<2x -()0g x '<2x >-()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()g x (),2-∞-()2,-+∞所以， ()()2min 120e g x g =-=-<且当时，，当时，， 1x <-()0g x <1x >-()0g x >不妨设，则， 12x x <1221x x <-<<-于是要证明，只需证， 124x x >1242x x <<-因为在上单调递减，故只需证，()g x (),2-∞-124()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭又，所以只需证，， 12()()g x g x =224()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭221x -<<-设，，4()()h x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2<<1x --则， 4443233448(2)2()()(2)e e e (e 8)x x x xx x x h x g x g x x x x x x -++⎛⎫'''=+=++=+ ⎪⎝⎭设，，则，43()e8x xF x x -=+2<<1x --2437()e24x xF x x x -⎡⎤⎛⎫'=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当时，，， 2<<1x --4e0x x->237024x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭所以，在单调递减，所以，()0F x '<()F x ()2,1--()()20F x F <-=又，所以， 43(2)e 0x x x +<()0h x '>所以在单调递增， ()h x ()2,1--所以，()(2)(2)(2)0h x h g g >-=---=即在上恒成立，4()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭()2,1--又，所以成立，2(2,1)x ∈--224()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以．124x x >【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得()()()h x f x g x =-不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

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高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题
（时间120分钟，分值150分）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．已知某物体的运动方程是+
=t S 9
13
t , 则当s 3t =时的瞬时速度是（）． A ．10m /s B ．9m /s C ．4m /s D ．3m /s 2．()()()
0000
2,lim
2k f x k f x f x k
→--'=若则的值是（）
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1 3．设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（）
A ．单调递增
B ．有增有减
C ．单调递增
D ．不确定
4.设曲线11
x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =( )
A ． 2
B ．-2
C ．12-
D ．12
5．设x
x y sin 12
-=，则='y （）．
A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---
B ．x x x x x 2
2sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x
x x x sin )
1(sin 22---
6．已知函数b ax x ax x f +-+=63)(23在x =2处取得极值9,则2a b +=( )
A ．-24
B ．-22
C ．24
D ．22 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=
在区间]2
,0[π
的值域为（）．
A ．]21,21[2πe
B ．)2
1
,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2π
e
8．积分
=-⎰
-a
a
dx x a 22（）
． A ．
241
a π B ．
22
1
a π
C ．2a π
D ．22a π
9．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在
),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间)
,(b a 内有极小值点( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．.函数f(x)的定义域为R ，f(－1)＝2，对任意x ∈R ，)(x f '>2，则f(x)>2x ＋4的解集为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1) D.R
11．)(x f 是一次函数，且
1
0()5f x dx =⎰，1
017
()6
xf x dx =
⎰，那么)(x f 的解析式是( )． A ．34+x B ．43+x C ．24+-x D ．43+-x
12．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（）．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题4分，共16分。

请将答案填在答题卷相应空格上。

）
13．若函数32
()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是
_________ 。

x
y
O
图1
x
y
O
A
x
y
O
B x
y
O
C y
O
D
x
a
b
x
y
)
(x f y '=O
14．已知函数f(x)=xsinx,x ∈R,f(-4),f(错误！未找到引用源。

),f(54
π
－)的大小关系为 _______________。

15．若函数 f(x)=
a x x +2(a >0)在[1，+∞）上的最大值为3
3
,则a 的值为_______________.
16．
=-+-⎰
dx x x 4
|)3||1(| ____________。

三、解答题：（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分10分）
求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积(画出图形)。

（18）（本小题满分12分）
已知函数x bx ax x f 3)(2
3-+=在1±=x 处取得极值.
(1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值; (2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.
（19）（本小题满分14分）某厂生产产品x 件的总成本3
2()120075
c x x =+
(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x 满足:2k
P x
=,生产100件这样的产品单价为50万元.
(1)设产量为x 件时,总利润为()L x (万元),求()L x 的解析式;
(2)产量x 定为多少件时总利润()L x (万元)最大?并求最大值(精确到1万元).
（20）（本小题满分12分）
(21) （本小题满分12分）
已知函数()ln ()a
f x x a R x
=-∈.
(1)判断()f x 在定义域上的单调性; (2)若()f x 在[1,]e 上的最小值为2,求a 的值.
(22) （本小题满分14分）
已知函数f(x )=a ln x +x 2(a 为实常数).
(1)若2a =-,求证:函数f(x )在(1,+∞)上是增函数;
(2)当2a ≥-时,求函数f(x )在[1,e]上的最小值及相应的x 值; (3)若存在x ∈[1,e],使得f(x )≤(a +2)x 成立,求实数a 的取值范围.。