2.2.1向量加法运算及其几何意义(2)
向量的加法运算及其几何意义
向量加法的性质
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)， 表明向量的加法不依赖于其组合的顺序。
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a，表明向量加法 的结果与元素的组合顺序无关。
分配律
向量加法不满足分配律，即a×(b+c)不等于 a×b+a×c。
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本加法规则之一，它 表示将两个向量首尾相接，并连接它们的起点和终点，所形 成的平行四边形的对角线向量即为这两个向量的和。
详细描述
根据平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，即不 论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量加法的结果都相 同。
向量加法的三角形法则
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法满足分配性 ，即向量加法可以分配到括号内的各个向量 上。
详细描述
分配律是向量加法的另一个重要运算律。根 据分配律，对于任意两个向量$vec{a}$和任
意标量$k$，有$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。这意味着标量可以与括
总结词
向量加法的三角形法则是向量的另一种加法规则，它表示将一个向量的起点平 移到另一个向量的终点，所形成的向量即为这两个向量的和。
详细描述
三角形法则在几何中常用于表示力的合成或速度的合成等物理现象。通过三角 形法则，可以直观地理解向量加法的几何意义，并用于解决实际问题。
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法可以看作是向量场中点的运动变化。在向量场中，任意两点之间 的连线可以表示为向量，而这个向量的加法运算则反映了这两点之间的相对运动关系。
2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义
③当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2),则a+b与b方向相同 (与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||. ④当两个向量a与b中至少有一个为0时,则必有|a+b|=|a|+|b|=||a||b||. 综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
uuur uuur 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;
uuur uuur uuur 两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = AC .
uuur uuur 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km), 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
新知导学 课堂探究
新知导学·素养养成
1.向量加法的定义 定义:求两个向量 和 的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+ 0 = a .
2.向量求和的法则
三角形 法则
法则
前提 作法
结论
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
uuur uuur
uuur
作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1)解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, 所以 0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|0|+|b|,⑤正确.故选 C.
uuur uuur uuur (2)化简:① AB + CD + BC ;
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义 导学案
2.2平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．【预习案】1．(1)一条数轴不可表示一个向量；(2)一个点可表示一个向量．2．相等向量应满足大小相等，方向相同；所谓共线向量是指___________________的向量．3．实数的加法对于实数a、b、c其加法交换律为a＋b＝b＋a，其加法结合律为(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量的加法【探究案】问题探究1．三角形法则能求向量：AB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→的和吗？2．对于非零向量AB→、CD→如何按平行四边形法则求其和？考点一：利用法则求作向量用有向线段表示向量，根据三角形法则作图时，使向量平移到“首尾相接”的位置，根据平行四边形法则作图时，使向量平移到“共起点”的位置，在图形中找到相应的有向线段例一如图，O为正六边形ABCDEF的中心，求作下列向量：(1)OA→＋OE→；(2)AO→＋AB→；(3)AE→＋AB→.互动探究1在本例图形中，求：(1)OE→＋AB→；(2)OE→＋DB→.考点二利用法则化简向量表达式利用向量的运算律，合理交换各向量的位置，使之符合三角形法则或平行四边形法则，从而将表达式化简例二：化简下列各式：(1)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→；(2)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→.考点三：利用向量证明几何问题把平面几何问题看作向量的运算，利用向量关系证明.例三：在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F、E，使BE＝DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．互动探究2在本例中证明△ADF≌△CBE.方法技巧1．化简含有向量的关系式一般有两种方法：(1)利用几何方法通过作图实现化简；(2)利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律求和，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．如例22．用向量证明几何问题的一般步骤：(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．(3)还原成几何问题．如例3失误防范1．化简向量表达式，要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2．注意区分向量与线段的写法与符号．AB→表示向量，AB表示线段，二者勿混淆．如例3。
2.2.1向量加法运算及其几何意义
三 向量的加法满足 交换律 与 结合律
a b b a ( a b) c a (b c )
D
D
b A a a+b
a b B
C
a+b+c A
a B b+c a+b
c
C b
练习 根据图示填空: DA (1)a+d=____________ CB (2)c+b=____________
A （3）以OA,OB为邻边作平行四边形
o
B
（ )4）则 a+ b=OC
C
这种作法叫做 向量加 法的平行四边形法则
规律：起点相同
练习 已知向量a,b,分别用向量加法的 三角形法则与向量加法的平行四边形 法则作出a+b
a b
当向量a , b是共线向量时, a b又如何 作出来? (1) 同向
D
C
d c O b
a
A
B
例:如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h 的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h 的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向 C 解:如图,设用向量 AC D 表示船向垂直于对岸的速 度,用向量 AB 表示水流 B A 的速度
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 实际行驶的速度
f
a
d
c f
f g
A
c
b
C
(3)a b d (4)c d e
B
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算及其几何意义●温故知新1.既有_______，又有_______的量叫做向量.向量可以用_____线段来表示，但起点字母必须放在终点字母的______，手写体上面的______ 不能漏写.2.____________或____________的非零向量叫做平行向量，零向量与任一向量______.3.___________且___________的向量叫做相等向量.4.平行向量也叫__________.表示两个非零平行向量的有向线段所在直线的位置关系是_______或_______.●教材新知1.求两个向量____的运算，叫做向量的加法.2.零向量与任一向量a，规定：0=0a++a=_____.3.当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个_____.两个向量相加，它们的和仍然是一个向量，对应于数轴上的一条_________.4.当向量a、b（1）三角形法则：两向量首尾相接，和向量为首向量的_______指向末向量的_______.（2）平行四边形法则：两向量共始点，以它们为邻边作平行四边形，和向量为平行四边形的_______________.向量加法的几何意义就是________和____________.任意两个向量相加，所得的和一定是一个_______.（3）任一向量都可以写成两个首尾相接向量的和，即AB=____+____.5.向量加法的运算律（1）交换律：=a+b____+____.（2）结合律：()=a+b+c a+_______.结论：（1）当a与b_______时，a+b与a、b同向，且=a+b a+b.（2）当a与b_______时，若a>b，则a+b与a同向，且-a+b a b；=若a<b，则a+b与b同向，且-a+b b a；=若a=b，则a+b=____.（3）当a、b不共线时，a+b____a+b.（4）任意两个向量的和，结果是_______.6.向量链：若干个向量首尾_________，且构成一个_________.组成向量链的所有向量的和为_______.●题组集训（1）若向量a表示向东走1km，向量b表示向南走1km，则向量a+b表示（）A.2B.向东南走2kmC.2D.向东北走2km （2）下列式子不能化简为AD的是（）A.()AD MB BC CM+++++ B.()()AB CD BCC.MB AD MB++++ D.OC AO CD（3）在四边形ABCD中，AC AB AD=+，则一定有（）A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形（4）已知下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++；③OA OC BO ++；④AB + CA BD DC ++.其中结果为0的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4（5）在ABC ∆中，CB =a ，AC =b ，则AB =________.●课堂精讲【例1】（1）如图，已知a 、b ，用向量加法的三角形法则作出a +b .（2）如图，已知a 、b ，用向量加法的平行四边形法则作出a +b .【例2】四边形ABCD 是边长为1的正方形，设AB =a ，BC =b ，AC =c .求作向量++a b c ，并求++a b c .【例3】一条渔船距对岸4km ，以2km /h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的 实际航程为8km ，求河水的流速.●课后反馈（1）下列结论中，正确的是（ ）A.0+=00B.对于任意向量a 、b ，a+b =b+aC.对于任意向量a 、b ，0a +b >D.若向量AB ‖BC ，且1AB =，2014BC =，则2015AB BC +=（2）在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是（ ）A.AB CD =，BC AD =B.AD OD DA +=C.AO OD AC CD +=+D.AB BC CD DA ++=（3）设()()AB CD BC DA +++=a ，b 是一非零向量，则在下列结论中，正确的结论为（ ） ①a ‖b ；②a+b =a ；③a+b =b ；④a +b <a +b .A.①②B.③④C.②④D.①③（4）如图，已知ABC ∆是直角三角形且90A ∠=︒.则在下列各结论中， 正确的结论个数为（ ）①AB AC BC +=； ②AB BC CA +=；③AB CA BC +=； ④222AB AC BC +=.A.4个B.3个C.2个D.1个（5）已知ABC ∆是正三角形，则下列各等式中不成立的为（ ）A.AB BC BC CA +=+B.AC CB BA BC +=+C.AB AC CA CB +=+D.AB BC AC CB BA CA ++=++（6）若O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ++=0，则O 是ABC ∆的（ ）A.内心B.外心C.垂心D.重心（7）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ）A.0B.BEC.ADD.CF（8）若O 是ABC ∆内一点，D 为BC 边上中点，2OA OB OC ++=0，则（ ）A.AO OD =B.2AO OD =C.3AO OD =D.2AO OD =（9）如图，已知梯形ABCD ，OA AB BC ++=______.（10）化简AB CD BC DB EF BF FA ++++++=______.（11）向量a 、b 满足6=a ，10=b ，则a +b 的最大值是______， 最小值是______.（12）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、 Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点.在A 、P 、 M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为 F .设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的 集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率是 ______.（13）如图，在重300N 的物体上栓两根绳子，这两根绳子在 铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30︒、60︒，当整个系 统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.。
2.2.1向量加法运算及其几何意义
2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义【目标导学】重点：向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）【自主预习】1.若C 是线段AB 中点，则AC BC →→+=（ ） A. AB B. BA C. 0 D. 不同于以上答案2. 设→a ，→b 为非零向量，若||||||→→→→+=+b a b a ，则→a 的方向与→b 的方向必是 .3. 设→a 表示“向东走3km ”，→b 表示“向北偏东o 30走3km ”，则→→+b a 表示 __________. 【课标基础】1.在四边形ABCD 中，下列各式中正确的是( )A. →→→→+=+DC AD BC ABB. →→→+=DA CD ACC. →→=BA ABD. →→→=+DC AC AD2. 下列各向量中，不表示零向量的一个式子是( )A.→→=BA ABB. →→→++CA BC ABC. 和任意向量都平行的向量aD. b a +(其中b a 、不共线)3. 若O 是ABC ∆内一点，满足→→→→=++O OC OB OA ，则O 是ABC ∆的（ ）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心4.点D 、E 、F 分别是三角形ABC 的三边AB 、AC 、BC 的中点，则_______AF BE CD ++=5. 正六边形ABCDEF 中→→=a AB ，→→=b FA ，则=→EC .（用→a 与→b 表示）6.向量a 、b 满足8||=a ，12||=b ，则||b a +的最大值和最小值分别是 __________.7. 河水中水流自西向东速度为每小时20公里，小船自南岸沿正北方向行驶速度每小时【能力拓展】8. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.9. 已知OABCDE 是正六边形，→→=a OA ，→→=b OE ，试用→a ，→b 表示→OB ，→OC ，→OD .10. 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 中点，F 为BC 中点.求证：2EF AB DC →→→=+.OE AA BC。
专题2.2.1-2 向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型(举一反三)(解析版)
专题2.2.1-2向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型【举一反三系列】【知识点1 向量加法的三角形法则与平行四边形法则】1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,a b ，在平面内任取一点A ，作,AB a BC b ==，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b AB BC AC +=+=．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,a b ，作,AB a AD b ==，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a ，我们规定00a a a +=+=．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.【知识点2 向量求和的多边形法则及加法运算律】1.向量求和的多边形法则的概念已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．112231n n n A A A A A A A A -=++⋅⋅⋅+特别地，当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110n n n A A A A A A A A -++⋅⋅⋅++=2．向量加法的运算律（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：()()a b c a b c ++=++【知识点3 向量的减法】1．向量的减法（1）如果b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a b -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量．（2）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()a b a b -=+-．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．2．向量减法的作图方法（1）已知向量a ，b ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-=OA OB -,即向量BA 等于终点向量（OA ）减去起点向量（OB ）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a b -．作,,OA a OB b AC b ===-，则()OC a b =+-，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．【考点1 向量的加减法运算】【例1】化简：（1）AB AC BD CD -+-；（2）AB MB BO OM +++；（3）MB AC BM ++；（4）OA OC BO CO +++．【分析】根据向量加法、减法的几何意义，用有向线段的起点和终点表示向量，以及相反向量的概念进行向量的加法和减法的运算从而化简每个式子即可．【答案】解：（1）0AB AC BD CD CB BD DC -+-=++=；（2）AB MB BO OM AB MB BM AB +++=++=；（3）MB AC BM MB BM AC AC ++=++=；（4）0OA OC BO CO BO OA OC CO MA MA +++=+++=+=【点睛】考查向量、向量加法，以及向量减法的几何意义，相反向量和零向量的概念．【变式1-1】化简：（1）AB DC BD AC ++-；（2）OA OD AD -+；（3）MN MP NQ QP -++；（4）AB AD DC --．【分析】利用向量三角形法则及其交钱加法减法法则即可得出．【答案】解：（1）0AB DC BD AC AB BC AC AC AC ++-=+-=-=；（2）0OA OD AD DA AD -+=+=；（3）0MN MP NQ QP PN NP -++=+=；（4）AB AD DC DB DC CB --=-=．【点睛】本题考查了向量三角形法则及其交钱加法减法法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式1-2】化简下列各式：（1）OA OB OC CO -+--；（2）()()AB CD BC AD ++-．【分析】使用向量加减混合运算的法则进行计算．【答案】解：（1）)()()OA OB OC CO OB OA CO CO AB -+--=-+-=．（2）)()()0AB CD BC AD AB CD BC AD AB BC CD AD AD AD ++-=++-=++-=-=．【点睛】本题考查了平面向量的加减混合运算，属于基础题．【变式1-3】化简：（1）AB BC CA ++（2）()AB MB BO OM +++（3）OA OC BO CO +++（4）AB AC BD CD -+-（5）OA OD AD -+（6）AB AD DC --（7）NQ QP MN MP ++-．【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可．【答案】解：（1）0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-=；（2）()()AB MB BO OM AB MB BO OM AB MO MO AB +++=+++=+-=；（3）()()0OA OC BO CO OA OB OC OC BA BA +++=-+-=+=；（4）()()0AB AC BD CD AB AC BD DC CB BC -+-=-++=+=；（5）()0OA OD AD OA OD AD DA AD DA DA -+=-+=+=-=；（6）()--=--=-=；AB AD DC AB AD DC DB DC CB（7）()()0 ++-=++-=+=．NQ QP MN MP NQ QP MN MP NP PN【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，是基础题目．【考点2 利用向量的加减法法则作图】【例2】对下图中各组向量a、b，求作a b+．【分析】将两向量首尾相接，则a b+表示从起点到指向终点的向量．【答案】解：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了平面向量加法的集合意义．属于基础题．【变式2-1】对图中各组向量a、b，求作a b-【分析】将两向量的起点平移到一起，则a b-表示由b的终点指向a的终点的向量．【答案】解：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了利用平面向量的三角形法则作图，属于基础题．【变式2-2】根据已知向量a、b，求作a b-．+、a b(1(2(3【分析】利用向量加减运算的三角形法则作图．【答案】解：（1）作出a b+，如图所示：作出a b-如图所示：（2）作出a b+，如图所示：作出a b-如图所示：（3）作出a b+，如图所示：作出a b-如图所示：【点睛】本题考查了平面向量加减运算的几何意义，属于基础题．【变式2-3】已知（1）（2）（3）（1）求作：a十b；（2）求作：a十b；（3）求作：a十b十c．【分析】利用向量的平行四边形法则即可作出．【答案】解：如图所示，（1）先把向量a平移到OB，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC a b=+．（2）同理可得：OB a b=+；（3）OA a b=，=+，BO c则BA a b c=++．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【考点3 用已知向量表示相关向量】【例3】（2019春•东城区期末）如图，向量AB a=，AC b=，则向量BD可以表示为()=，CD cA．a b c-+D．b a c--+-B．a b c-+C．b a c【分析】通过向量的加法减法的运算法则，表示出结果即可．【答案】解：如图，向量AB a=+，=，则向量BD BA AD=，CD c=，AC b+=++=-++．BA AD BA AC CD a b c故选：C．【点睛】本题考查向量的基本运算，考查计算能力．【变式3-1】如图所示，在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，对角线AC 与BD 交于点O ，设O A a =，OB b =，用a 和b 表示AB 和AD ．【分析】由题意得AB AO OB OA OB b a =+=-+=-，由AC AB AD =+可得四边形ABCD 是平行四边形，从而求得()AD AO OD b a =+=-+． 【答案】解：OA a =，OB b =，∴AB AO OB OA OB b a =+=-+=-，AC AB AD =+，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD b =-=，∴()AD AO OD b a =+=-+．【点睛】本题考查了平面向量的加法及其几何意义的应用．【变式3-2】如图所示，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f 表示下列向量．（1）AC ；（2）AD ；（3）AD AB -；（4）AB CF +；（5）BF BD -．【分析】利用平面向量线性运算的三角形法则进行表示．【答案】解：（1）AC OC OA c a=-=-；（2）AD OD OA d a=-=-；（3）AD AB BD OD OB d b-==-=-；（4）AB CF OB OA OF OC b a f c+=-+-=-+-；（5）BF BD DF OF OD f d-==-=-．【点睛】本题考查了平面向量线性运算的三角形法则，属于基础题．【变式3-3】向量a，b，c，d，e如图所示，解答下列各题：（1）用a，d，e表示DB；（2）用b，c表示DB；（3）用a，b，e表示EC；（4）用d，c表示EC．【分析】利用平面向量加法的三角形法则及相反向量求解即可．【答案】解：（1）DB DE EA AB d e a=++=++；（2）DB DC CB c b=+=--；（3）EC EA AB BC e a b=++=++；（4）EC ED DC d c =+=--．【点睛】本题考查了平面向量加法的三角形法则及相反向量，加法比减法更简单一些．【考点4 向量的加减法的几何意义】【例4】（2019春•水富县校级期中）已知O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，//||||AB CD OA OB OC OD -=-且则四边形ABCD 一定为( )A ．菱形B ．任意四边形C ．平行四边形D ．矩形 【分析】根据OA OB OC OD -=-和//AB CD 可得//AB CD 且AB CD =即可判断该四边形．【答案】解：由OA OB OC OD -=-得||||AB CD =，又//AB CD 所以//AB CD 且AB CD =，∴四边形ABCD 为平行四边形．故选：C ．【点睛】本题考查了平面向量的运算性质和向量的平行，属基础题．【变式4-1】（2019秋•沧州期末）O 为四边形ABCD 所在平面内任意一点，若OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【分析】根据OA OC OB OD +=+即可得出BA CD =，从而得出四边形ABCD 为平行四边形．【答案】解：OA OC OB OD +=+；∴OA OB OD OC -=-；∴BA CD =；//BA CD ∴，且BA CD =；∴四边形ABCD 为平行四边形．故选：A ．【点睛】考查向量减法的几何意义，相等向量的概念，以及平行四边形的定义．【变式4-2】（2019•海淀区一模）在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则( )A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上 【分析】据条件，容易得出AD AB CB =+，可作出图形，并作BD CB '=，并连接AD '，这样便可说明点D 和点D '重合，从而得出点D 在CB 的延长线上．【答案】解：2AD AB AC =-AB AB AC =+-AB CB =+；如图，作BD CB '=，连接AD '，则：AB CB AB BD AD AD +=+'='=；D ∴'和D 重合；∴点D 在CB 的延长线上．故选：D ．【点睛】考查向量减法的几何意义，向量的几何意义，相等向量的概念，以及向量加法的三角形法则．【变式4-3】（2019秋•昌平区期末）在平行四边形ABCD 中，若||||AB AD AB AD -=+，则平行四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形【分析】根据向量的基本运算，利用平方法进行判断即可．【答案】解：由||||AB AD AB AD -=+，平方得222222AB AB AD AD AB AB AD AD -+=++，得得0AB AD =，即得AB AD ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形，故选：A ．【点睛】本题主要考查平行四边形的形状的判断，根据向量的基本运算，是解决本题的关键．【考点5 利用向量的加减法证明几何问题】【例5】P ，Q 是三角形ABC 边BC 上两点，且BP QC =，求证：AB AC AP AQ +=+．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法与减法的几何意义，即可得出结论．【答案】证明：P ，Q 是三角形ABC 边BC 上两点，且BP QC =，如图所示；=-，∴BP AP AB=-；QC AC AQ又BP QC=，-=-，∴AP AB AC AQ+=+；∴AP AQ AC AB即AB AC AP AQ+=+．【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义的应用问题，是基础题目．【变式5-1】（2019•广东模拟）如右图，已知点D、E、F分别是ABC∆三边AB、BC、CA的中点，求证：0++=．EA FB DC【分析】由题意先证明ADEF为平行四边形，再由向量加法的平行四边形法则得ED EF EA+=，同理求出FB，DC再把三个式子加起来，重新组合利用向量加法的首尾相连法则求解．【答案】证明：连接DE、EF、FD，如图，D、E、F分别是ABC∆三边的中点，DE AF，∴，////EF AD∴四边形ADEF为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则，得ED EF EA+=①，同理在平行四边形BEFD中，FD FE FB+=②，在平行四边形CFDE在中，DF DE DC+=③，将①②③相加，得(EA FB DC ED EF FD FE DE DF++=+++++=+++++()()()EF FE ED DE FD DF=【点睛】本题的考点是向量的加法及其几何意义，根据图中的中点构成的中位线证明四边形是平行四边形，利用四边形法则，把所要证明的向量和转化为其他向量的和，由加法的首尾相连法则证出．【变式5-2】O是平行四边形ABCD外一点，求证：OA OC OB OD+=+．【分析】将OA OC和表达，找关系即可．和放在三角形中，由向量加法的三角形法则用OB OD【答案】解：OA OC OB BA OD DC+=+++因为ABCD是平行四边形，所以0+=BA DC所以OA OC OB OD+=+【点睛】本题考查向量加法的几何意义，向量的三角形法则．【变式5-3】点D，E，F分别是ABC∆三边AB，BC，CA的中点，求证：（1）AB BE AC CE+=+．（2）0++=．EA FB DC【分析】（1）利用图形和向量加法的三角形法则，证明左边等于右边；（2）利用图形和向量加法的三角形法则，分别求出EA、FB和DC，再把它们加在一起，由中点和向量相等证明出左边等于0．【答案】证明：（1）由向量加法的三角形法则得，AB BE AE +=，同理可得，AC CE AE +=，∴AB BE AC CE +=+，（2）由向量加法的三角形法则得，EA EB BA =+，同理可得，FB FC CB =+，DC DB BC =+，∴左边EA FB DC EB BA FC CB DB BC EB BA FC DB =++=+++++=+++①，点D ，E ，F 分别是ABC ∆三边AB ，BC ，CA 的中点，∴FC AF =，代入①得，左边EB BF DB EF DB =++=+， 又EF BD =，∴左边0==右边，故等式成立．【点睛】本题的考点是向量加法以及几何意义，主要考查了三角形法则以及向量相等的应用，注意利用图形进行化简和证明．【考点6 用向量解决实际问题】【例6】在水流速度为10/km h 的河中，如果要使船以/h 的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．【分析】由题意，画出示意图，然后利用向量的加法运算解答．【答案】解：如图，OA 表示水流方向，OB 表示垂直于对岸横渡的方向，OC 表示船航行的方向，有OB OC OA =+可知BC OA =，所以||||10BC OA ==，||OB =||20OC =，且120AOC ∠=︒． 所以船行驶速度的大小20/km h ，与水流方向成120︒角行驶．【点睛】本题考查了向量加法的实际应用，关键是明确水流方向与船的航行方向的合成为船实际航行方向．【变式6-1】已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5/km h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在诲面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25/km h ，若艇要沿着与桥平行的方问由南向北航行，则艇的航向如何确定？【分析】根据题意分别用向量表示船速、水流速度，由向量加法的四边形法则画出图形，根据条件在直角三角形中求出船航行的角度．【答案】解：如图，设渡船速度为OB ，水流速度为OA ，则船实际垂直过江的速度为OD ，由题意知，||12.5OA =，||25OB =，四边形OADB 为平行四边形，||||BD OA ∴=，又OD BD ⊥，∴在Rt OBD ∆中，30BOD ∠=︒，则航向为北偏西30︒．【点睛】本题考查了向量的加法几何意义的实际应用，即用向量来表示题中的矢量，根据向量的知识进行求解．【变式6-2】一艘轮船从码头出发驶向河对岸，已知轮船的速度为6/km h ，河水的流速为2/km h ，轮船的实际航行路线与对岸的岸边垂直．（1）试用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度；（2）求轮船航行的实际速度的大小（精确到0.01 1.414)≈．【分析】（1）设河水速度为0v 、轮渡速度为1v ，轮渡实际航行的速度为v ，由题意能用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度．（2）由16/v km h =，0/v km h =，0v v ⊥，利用勾股定理能求出轮船航行的实际速度．【答案】解：（1）设河水速度为0v 、轮渡速度为1v ，轮渡实际航行的速度为v ，由题意用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度如下图：（2）16/v km h =，0/v km h =，0v v ⊥，∴轮船航行的实际速度262 5.656(/)v km h =-==．【点睛】本题考查向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度，考查轮船航行的实际速度的大小的求法，是基础题，解题时要注意向量三角形法则的合理运用．【变式6-3】为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5/km h ．（1）试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水的速度方向间的夹角表示）．【分析】（1）根据方向和速度大小作图；（2）利用向量加法的平行四边形法则求出矩形的对角线和DAC ∠． 【答案】解：（1）作出向量如图所示：其中AC 表示江水速度，AB 表示船速，AD 表示船实际航行速度．（2）AB AC ⊥，AD AB AC =+，∴四边形ABDC 是矩形，2||510AD ∴=．tan DAC ∠==60DAC ∴∠=︒． ∴船实际航行的速度为10/km h ，实际航行方向与江水速度方向夹角为60︒．【点睛】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
鸡西市第十九中学学案2015年（）月（）日班级姓名2.2.1 向量加法运算及其几何意义学习目标1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．重点难点1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．向量的三角形法则可推广到n个向量求和——多边形法则，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n个向量的终点的向量．3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了.【向量加法的三角形法则】如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：OA＋AB＝OB.使用向量加法的三角形法则具体做法是：先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量．问题1当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？问题2想一想，|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？当a与b同向共线时，a＋b与____同向，且|a＋b|＝_______.当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______；若|a|<|b|，则a＋b与__的方向相同，且|a＋b|＝_______.【向量加法的平行四边形法则】向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A 为起点作向量AB ＝a ，AD ＝b ，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，记作a ＋b ＝AC ，如图．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a ＋0＝0＋a ＝a .① 根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(注：AB ＝a ，AD ＝b )．②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．【向量加法的多边形法则】向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：12A A ＋23A A ＋34A A ＋… ＋1n n A A -＝1n A A .或12A A ＋23A A ＋… ＋1n n A A -＋1n A A ＝__ .这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效． 例如，在正六边形ABCDEF 中，AC ＋BD ＋CE ＋DF ＋EA ＋FB ＝________. 例1 已知向量a ，b 如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b .小结已知向量a与b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据三角形法则或平行四边形法则作图．训练1如图，已知向量a，b，c，利用三角形法则作出向量a＋b＋c.例2化简：(1)BC＋AB；(2)DB＋CD＋BC；(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.小结解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．训练2如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3) AB＋AD＋CD＝________；(4) AC＋BA＋DA＝________.例3在水流速度为4 3 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．小结速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决．训练3某人在静止的水中的游泳速度为2 3 km/h，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2 km/h，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量____叫做a与b的和(或和向量)，记作_____，即a＋b＝AB＋BC＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝__＋__＝__.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则O、A、B三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝. (2)结合律：(a＋b)＋c＝.【当堂训练】1．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是() A.FD＋DA＋DE＝0 B.AD＋BE＋CF＝0C.FD＋DE＋AD＝ABD.AD＋EC＋FD＝BD2．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE＋EA＝________；(2)BE＋AB＋EA＝______；(3)DE＋CB＋EC＝________；(4) BA＋DB＋EC＋AE＝________.3．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.。
向量加法运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算及其几何意义教学目标：知识与技能：理解向量加法的定义；会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；理解向量加法的运算律，并能够熟练地运用。
培养类比、迁移、分类、归纳等能力。
过程与方法：经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；通过实例到概念，由具体到抽象，培养学生数形结合的学习方法，情感态度与价值观：理解、体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。
通过师生、生生互动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦。
教学重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量加法的运算律。
教学难点：向量的加法法则及其几何意义。
学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法，借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章的接受向量的加法定义。
结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。
教学方法：启发探究式教学和多媒体辅助教学法授课类型：新授课教学过程复习回顾：1 向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量。
2 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等；我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置，导入新课：数能进行运算，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算，今天我们就来首先学习向量的加法运算。
导入1：飞机从上海(点O)经过香港(点A)到台湾(点B)，两次位移→OA,→AB的结果与位移→OB的比较？答：结果相同。
问：两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？学生讨论、探究得出结论：两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点。
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角来表示）.
D
C
解：
A
B
（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，
以AD、AB为邻边作 ABCD,则AC表示 船实际航行的速度.
例.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
根据图示填空
(1)a b c
(2)c d f
E eD
g fc d
A
C
a Bb
(3)a b d f
(4)(c d ) e g
(5)c (d e) ___g____
(6)a b d e __g____
探究1：多个向量如何相加？
探究1：多个向量的加法
向量加法的多边形法则：
a、b为邻边作 OACB,则以O为起
b
点的对角线OC就是a与b 的和,
a
即 a b OA OB OC
O
a
A
ab
起点相同 b
B
C
适合于起点相同的两个向量相加
试一试，我能行
如图,已知 a, b ,作出a b
终点相同
（1）
C
b
a
B
ab
Oa
（2）
b
A
b
a
b
b ab
a
对于零向量和任一向量 a ，规定：
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
探究2：两个共线向量如何相加？
和向量的方向如何确定？大小怎么求？
a
a
b
b
A
B
a b AC
方向相同
C
BC
A
a b AC
方向相反
探究2：当两个向量共线时，它们的和向量的方
2、已知矩形ABCD中，AD =4 3,设AB=a,BC=b, BD=c,试求a+b+c的模.
3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，设AB=a,
AD=b, AA1=c,则AC1=_a__+__b__+_c___(用a、b、c表示)
C1 D1
B1
A1
C
B
D
A
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律
向量加法的模的性质
向量加法的应用
作业：
1、课本P91 T 3
求两个向量和的运算叫做向量的加法. 记作a b.
已知向量a和b,在平面内任取一点A,作AB a, BC b,
则向量AC叫做a与b的和,即a b= AB+BC=AC
B
C首
a
尾
a+b
相
b
A
接
向量加法的三角形法则
适合于首尾顺次相接的两个向量相加
向量加法的平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量
An1
如图，n个向量经过平移，顺次
Байду номын сангаас
使前一个向量的终点与后一个向 量的始点重合，组成一向量折线，
A4
则这n个向量的和是
A0An
(折线起点到终点的向量)
A0
An A2
A1
A0A1 + A1A2 +… + An-2An- + An- = A0An
1
1An
多边形法则实质是三角形法则的推广.
练一练
化简 (1)AB CD BC __A_D_____
2、如图已知点A是线段BC的中点，则
AB AC 0
BA C
例1、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机 的位移是什么?
上海 台北 香港
上海
b
香港
c
台北
a
阅读教材P80~81例1
思考下列问题：
1、什么叫做向量的加法？
2、向量的加法有哪些法则？它们分 别是怎样定义的？各有什么特点？
3、试一试，我能行
如图,已知 a, b ,作出a b
（1）
（2）
b
a
b
a
向量的加法：
a0 0a a
向量加法的几何意义：
Ab C
a a+b
Ob
a
B
a + b = _O__A__+_A_C___=__O_C___ b + a = _O__B__+_B__C__=_O__C__
∴a+b= b+a
练一练
根据图示填空
(1)a b c
(2)c d f
E eD
g fc d
A
C
a Bb
向如何确定？大小怎么求？
a
a
BC
A
b
方AC向相a同 b
A
B
C
b
AC 方a向相b 反
若a，b同向，则a b与a方向_相__同_ ，
且 | a b | =___a__+__b___
若a，b反向，且 a > b ,则a b的方向与_a_方向 相同，且 | a b | _a__－___b__
| a b | | a | | b |
向量，则下列结论中正确的为(C )
①a b ；②a+b=a ；③a+b=b ；④ | a b || a | | b | ⑤|ab|=|a||b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
2、已知正方形ABCD的边长为1，AB=a,AC=c,BC=b, 则 a+b+c 为( D )
A. 0 B. 3 C. 2 D. 2 2
探究3：
两向量不共线时，a b 与 a 、b 之间又有何关系？
上海
b ab
台北
香港
a
若a，b不共线，则 a b | a b || a | | b |
对任意两个向量a，b，有 a b | a b || a | | b |
注意取等号的条件：
a、b共线或至少有一个为零向量
练一练
1、已知| a | 8,| b | 6,求 | a b |的最大值和 最小值.
角来表示）。
解：(2)在Rt ABC中，| AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4 tan CAB 2 3 3
2
CAB 60 .
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。
探究练习：
1、设a ( AB CD) (BC DA),b是任一非零
(3)a b d f
(4)(c d ) e g
(5)c (d e) ____g___
(6)a b d e ______
思考： 由(4)、(5)可得什么结论？
(c d) e c (d e)
向量加法的运算律
交换律： a b b a
结合律：(a b) c a (b c)