16反比例函数及其图像

反比例函数及其图像、性质
【知识要点】
1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式
2、一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y=x
k （k 为常数，k 不等 于0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数从y=
x
k
中可知，x 作为分母，所以 不能为零
3、画反比例函数图像时要注意以下几点
a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简 化计算，又便于标点
b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线
c 在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线
4、反比例函数的性质 反比例函数 ()0≠=
k x
k
y k 的取值范围
0>k
0<k
图象
性质
①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y ②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小
①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y ②函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大
注意：
1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；
2）双曲线的两个分支都与x 轴、y 轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交； 3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。

5、反比例函数系数k 的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P 作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，所得矩形的面积为PN PM S ⋅=N M N M ⋅=⋅=
∵x
k
y = ∴y x k ⋅=
∴N M S ⋅=，即过双曲线上任一点作x 轴，y 轴的垂线，所得矩形的面积为
k
注意：①若已知矩形的面积为k ，应根据双曲线的位置确定k 值的符号。

②在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，分别过P ，Q 作x 轴、y 轴的 平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2，则有S 1＝S 2。

【典型例题】
考点一、反比例函数的定义
例1、用电器的输出功率P 与通过的电流I ，用电器的电阻R 之间的关系是R I P 2=，下面说法正确的是（ ）
A. P 为定值，I 与R 成反比例
B. P 为定值，2I 与R 成反比例
C. P 为定值，I 与R 成正比例
D. P 为定值，2I 与R 成正比例 例2、k 为何值时，()5
2
2-+=k
x k y 是反比例函数？
考点二：反比例函数的图象
例3、若()()()321,1,,2,,3y C y B y A ---三点都在函数x
y 1
-=的图象上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）
A. 321y y y <<
B. 321y y y ==
C. 231y y y <<
D. 321y y y >>
例4、观察下面函数x y 2-
=和x
y 2
=的图像，请大家对比着探索它们的异同点
考点三：反比例函数的性质
例5、已知反比例函数x
k
y -=4，分别根据以下条件求出k 的取值范围。

（1）函数图象位于第一、三象限内；
（2）在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。

例6、如图，反比例函数图像上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为1S ，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S 。

（1）1S 与2S 有什么关系？为什么？
（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合吗？
【方法总结】
本讲主要运用归纳式教学，采用“探究－实验－归纳”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯.
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 下列不是反比例函数图象的特点的是 （ ）
A. 图象是由两部分构成
B. 图象与坐标轴无交点
C. 图象要么总向右上方，要么总向右下方
D. 图象与坐标轴相交而成的一对对顶角内
2. 若点（3，6）在反比例函数x
k
y =（k ≠0）的图象上，那么下列各点在此图
象上的是（ ）
A. （3-，6）
B. （2，9） C . （2，9-） D. （3，6-）
*3. 当0<x 时，下列图象中表示函数x
y 1
-=的图象的是 （ ）
4. 如果x 与y 满足01=+xy ，则y 是x 的
（ ）
A. 正比例函数
B. 反比例函数
C. 一次函数
D. 二次函数 5. 已知反比例函数的图象过（2，－2）和（－1，n ），则n 等于 （ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 6. 已知某县的粮食产量为a （a 为常数）吨，设该县平均每人粮食产量为y 吨，
人口数为x ，则y 与x 之间的函数关系的图象可能是下图中的 （ ）
A. B. C. D.
7. 若ab ＜0，则函数ax y =与x
b
y =在同一坐标系内的图象大致可能是下图中
的（ ）
A. B. C.
D. 二、填空题
8. 反比例函数x
k
y =
（k ≠0）的图象是__________，当k ＞0时，图象的两个分支分别在第__________、__________象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而__________；当k ＜0时，图象的两个分支分别在第__________、__________象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而__________；
*9. 已知函数x
y 41
-=，当x ＜0时，y _______0，此时，其图象的相应部分在
第_______象限；
*10. 当_____=k 时，双曲线y =x
k
过点（3，23）；
11. 已知x
k
y = （k ≠0）的图象的一部分如图，则0______
k ；
12. 如图，若反比例函数x
k
y =的图象过点A ，则该函数的解析式为__________；
*13. 若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）都是反比例函数x
y 1
-
=的图象上的点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3由小到大的顺序是
；
**14. 已知y 与x 成正比例，z 与y 成反比例，则z 与x 成__________关系，当1=x 时，2=y ；当2=y 时，2-=z ，则当2-=x 时，______=z ； 三、解答题
15. 已知反比例函数x
k
y -=4，分别根据下列条件求k 的取值范围，并画出草
图.
（1）函数图象位于第一、三象限.
（2）函数图象的一个分支向右上方延伸. 16. 已知y 与x 的部分取值满足下表：
x －6 －5 －4 －3 －2 －1 2 3 4 5 6
…
…
y 1 1.2 1.5 2 3 6 －3 －2
－1.5 －1.2 －1
…
… （1）试猜想y 与x 的函数关系可能是你们学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式.（不要求写x 的取值范围）
（2）简要叙述该函数的性质.。