(中考复习)第13讲 反比例函数及其图象
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反比例函数图像和性质ppt课件
反比例函数的定义域和值域
定义域
反比例函数的定义域是 x ≠ 0 的所有实数，即 x 可以取任何实数值，除了 0。
值域
反比例函数的值域是除了 y = 0 以外的所有实数，即 y 可以取任何实数值，但 永远不会等于 0。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词
反比例函数在其定义域内并非单 调，但在各自象限内具有单调性。
表达式形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x (k ≠ 0)，其中 x 和 y 是自变量和 因变量，k 是常数。
反比例函数图像的绘制
图像绘制方法
反比例函数的图像通常在二维坐标系 中绘制，通过选择不同的 k 值，可 以绘制出不同的反比例函数图像。
图像特性
反比例函数的图像位于 x 轴和 y 轴的 有限区域，呈现出双曲线的形状，随 着 x 的增大或减小，y 的值会无限接 近于 0 但永远不会等于 0。
积分是数学中计算面积和体积的方法，分为定积分和不定积分。
反比例函数的不定积分
反比例函数y=1/x的不定积分为ln|x|+C（C为常数），这表明反比例函数可以通过对ln|x|进行不定积分得 到。
反比例函数与复数的关系
复数的概念
复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi（a,b为实数）。
反比例函数在复数域的表现
投资回报
投资回报与投资风险成反比，即投资风险越大，投资回报越小；反之亦然。
反比例函数在日常生活中的应用
药物剂量
在药物治疗过程中，药物剂量与药效 成反比关系，即当药物剂量增加时， 药效可能会减弱。
体育训练
在体育训练中，训练强度与训练效果 成反比关系，即当训练强度增加时， 训练效果可能会减弱。
中考总复习数学13-第一部分 第13讲 反比例函数及其应用
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第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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续表
在每个象限内,y随x的增大
增减性
而⑤ 减小
对称性
是轴对称图形,对称轴为直线y=⑦
⑧ 原点O
在每个象限内,y随x的增大
而⑥增大
±x
; 是中心对称图形,对称中心是
图象由分别位于两个象限的双曲线组成,图象无限接近坐标轴,但不与
图象特征
坐标轴相交.
第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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考点 4 反比例函数的应用
1.判断同一坐标系中反比例函数图象和一次函数图象的方法
(假设法)假设反比例函数正确,即可确定 k的取值范围,再根据 k 的取值范围
确定一次函数图象,无矛盾,则正确.
2.已知两个函数图象,求交点坐标
(1)求一次函数图象与反比例函数图象的交点,将两个函数解析式联立方程组
位置关系,依据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大 ,在各区域
内找对应的x的取值范围.
4.求图形面积
(1)当图形有一边在坐标轴上时,通常将坐标
轴上的边作为底边,再利用点的坐标求出底边上的高,最后用面积公式求解.
(2)当图形三边都不在坐标轴上时,一般用“割补法”.
第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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2.与反比例函数中k的几何意义有关的面积计算
S△AOP=⑩
S△APP‘=
|k|
2|k|
S△OBP= |k|
S△ABC=
|k|
S矩形OAPB=|k|
S▱ABCD=
|k|
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反比例函数及其图象
常数$k$。
02
当$k > 0$时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 $k < 0$时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的性质
反比例函数是奇函数，因为对于 任意实数$x$，都有$f(-x) = f(x)$。
当$x$趋向于正无穷或负无穷时， $f(x)$趋向于0，但永远不会等
解决工程问题
材料强度与横截面积的关系
在材料力学中，材料的强度与横截面积成反比关系。这意味着当横截面积增大时，材料的强度减小； 反之，当横截面积减小时，材料的强度增大。这一关系对于设计工程结构和选择材料非常重要。
机械效率与摩擦力的关系
在机械系统中，机械效率与摩擦力之间存在反比例关系。随着摩擦力的增加，机械效率会降低；反之 ，随着摩擦力的减小，机械效率会提高。在设计机械系统时，了解这一关系有助于提高机械设备的效 率和性能。
当 $k < 0$ 时，函数 图像位于第二象限和 第四象限。
当 $k > 0$ 时，函数 图像位于第一象限和 第三象限。
解析式的求解
求函数值
将 $x$ 的值代入解析式中，即可求 得 $y$ 的值。
求未知数
通过已知的点或方程组，可以求出 $k$ 的值或确定函数的表达式。
解析式的应用
解决实际问题
反比例函数可以用于解决 一些实际问题，如电流与 电阻、速度与距离等关系 的问题。
当$k>0$时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限，且 随着$x$的增大，$y$的值逐渐减 小。
$k<0$时
当$k<0$时，反比例函数的图像 分布在第二象限和第四象限，且 随着$x$的增大，$y$的值逐渐增 大。
03 反比例函数的解析式
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
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增大而增大.
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
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2
y=
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y
y
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x
2
4
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–6
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–2
4
2
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
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–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
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追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
2014中考复习备战策略_数学PPT第13讲_反比例函数
(1)求上述反比例函数和一次函数的函数解析式； (2)设该直线与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点， 与反比例函数图象的另一个交点为 P，连接 OP，OQ， 求△OPQ 的面积．
1 k 解：(1)将点 ( ， 8)代入 y＝ ， 2 x k 1 得 8＝ ， k＝ ×8＝ 4. 1 2 2 4 ∴反比例函数的解析式为 y＝ . x
∴四边形 AEOD 和 BEOC 都为矩形． 1 ∵点 A 在双曲线 y＝ 上， ∴ S 矩形 AEOD＝ 1. x 3 ∵点 B 在双曲线 y＝ 上， ∴ S 矩形 BEOC＝ 3. x ∴四边形 ABCD 的面积为 3－ 1＝ 2.
6． 若反比例函数 y＝(m－2)x 一、三象限内，则 m 的值是 3 .
k 1．反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠ 0)的图象是双 x 曲线 . 因为 x≠ 0， k≠ 0，相应地 y 值也不能为 0，所以 反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但永不与 x 轴、 y 轴相交 .
2．反比例函数的图象和性质 k 反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠ 0)的图象总是关于 x 原点对称的，它的位置和性质受 k 的符号的影响 .
考点五
反比例函数的应用
例 5 (2013· 益阳 )我市某蔬菜生产基地在气温较低 时， 用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度 为 18 ℃的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温 系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y(℃ )随时间 k x(时)变化的函数图象，其中 BC 段是双曲线 y＝ 的一 x 部分．请根据图中信息解答下列问题：
∴ S△ OPQ＝ S△ AOB－ S△ AOQ－ S△ BOP 1 1 1 ＝ × 5× 5－ × 5× 1－ × 5× 1 2 2 2 15 ＝ . 2
反比例函数的图象和性质课件
函数值的无限性
01
由于x不能为0，所以y的值是无限 的，即反比例函数图像上存在无穷 多个点。
02
在每一个象限内，随着x的增大或 减小，y的值会趋近于无穷大或无 穷小。
函数值的单调性
当k>0时，函数在(0, +∞)区间内单调 递减，在(-∞, 0)区间内也单调递减。
当k<0时，函数在(0, +∞)区间内单调递 增，在(-∞, 0)区间内也单调递增。
反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 k 是 常数。
反比例函数的性质
反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、第三象限；当 k < 0 时，双曲线的两支分 别位于第二、第四象限。
反比例函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调递减的。
反比例函数的图象和性质课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数是指函数形式为$f(x) = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的函数。
当$k > 0$时，反比例函数的图像分布在 第一象限和第三象限；当$k < 0$时，图 像分布在第二象限和第四象限。
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 于描述商品价格与市场需求之间 的关系，通过分析反比例函数的 特性，可以预测市场价格的变动
趋势。
在物理中的应用
磁场问题
在电磁学中，磁场与电流之间的 关系可以用反比例函数描述，通 过分析反比例函数的特性，可以 解决与磁场和电流相关的问题。
2023年河北省中考数学复习全方位第13讲 反比例函数及其应用 课件
4
.
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7. (2020·河北,19)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每
个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整数).函数y= (x<0)的图象为曲线L.
(1)若L过点T1,则k= -16
;
(2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m= 5
;
(3)若曲线L使得T 1 ~T 8 这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有
(2)通过计算,说明一次函数y=kx+3-3k
(k≠0)的图象一定过点C;
(3)对于一次函数y=kx+3-3k(k≠0),当y
随x的增大而增大时,确定点P横坐标的取值范围(不必写出过程).
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解:(1)∵点B,C的横坐标相等,∴BC⊥x轴.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∵当x=4时,y= =1,∴点N在反比例函数y= 的图象上.
(3)4≤m≤8.
考点梳理
考点 1
反比例函数的概念
考点 2
反比例函数的图象及性质
考点 3
反比例函数解析式的确定
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2
考点1
考点梳理
反比例函数的概念
1. 定义:一般地,形如①
y=
(k是常数,k≠0)的函数,叫反比例函数,其中x
是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是x≠0.
2. 三种表达式(k为常数,k≠0):y= ;y=kx-1;xy=k.
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考点2
反比例函数的图象及性质
1. 反比例函数图象与性质
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C．y1＝y2
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浙派名师中考
5． (2012· 达州)一次函数 y1＝kx＋b(k≠0)与反 m 比例函数 y2＝ (m≠0)，在同一直角坐标 x 系中的图象如图 13－3 所示，若 y1>y2， 则 x 的取值范围是 ( A )
A．－2<x<0或x>1
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浙派名师中考
2 3． (2012· 菏泽)反比例函数 y＝ 图象上的两个点为 (x1， y1)， (x2， x y2)，且 x1<x2，则下式关系成立的是 ( D ) A．y1>y2 B．y1<y2
D．不能确定 1－2k 4． (2013· 哈尔滨 )反比例函数 y＝ 的图象经过点 (－ 2，3)，则 x k 的值为 ( C ) 7 7 A． 6 B．－ 6 C. D．－ 2 2
轴对称图形 ． ______________ 4．应用：
如图 13－1 所示，点 A 和点 C 是反比 k 例函数 y＝ (k≠0)的图象上任意两点， x 画 AB⊥x 轴于 B，CD⊥y 轴于 D，则 |k| 有 S△AOB＝S△COD＝ . 2
图13－1
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图13－4
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浙派名师中考
题组一
反比例函数解析式的确定
已知图象上一点求解析式
【 例 1】2 ( 0 1 3 · 巴 中 )如 图 1 3 －5 所 示 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，一 次 函 数 y＝ k x ＋ b(k≠ 0 ) 的 图 象 与 反 比 例 k 函数 y＝ 的 图 象 交 于 一 、 三 象 限 内 x 的 A、B 两 点 ，直线 AB 与 x 轴 交 于 点 C，点 B 的 坐 标 为 (－ 6，n)，线 段 OA＝ 5，E 为 x 轴 正 半 轴 上 一 点 ，且 4 a t n ∠A O E ＝ . 3
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浙派名师中考
k 1．(2013· 遂宁)已知反比例函数 y＝ 的图象经过点(2，－2)，则 k x 的值为 ( C )
A．4
B．－8
C．－4
D．－2
( C )
2．(2012· 南充) 矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的 函数关系用图象表示大致为图13－2中的
图13－2
图13－7
∵C的坐标为(－2，0)，A的坐标为(n，6)， ∴AD＝6，CD＝n＋2， ∵tan∠ACO＝2，
图13－3
B．x<－2或0<x<1
C．x>1 D．－2<x<1
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浙派名师中考
4 2 6．(2013· 永州)如图 13－4 所示，两个反比例函数 y＝ 和 y＝ 在 x x 第一 象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B，则△POB 的面积为____ 1 ．
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浙派名师中考
把 A(3 ， 4) 和 B( － 6 ， － 2) 分 别代 入一 次函数 y ＝ kx ＋ b 得 2 3 k ＋ b ＝ 4 ， k＝ ， 3 解得 － 6k＋ b＝－ 2， b＝2. 2 则一次函数的解析式为 y＝ x＋2， 3 ∵点C在x轴上，令y＝0，得x＝－3，
浙派名师中考
第13课 反比例函数及其图象
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浙派名师中考
1．概念： 2．图象：
k y＝ (k 为常数，k≠0) 叫做反比例函数． 函数________________________ x
无限接近x轴、y轴 ，不与两坐标 反比例函数的图象是_____________________
即OC＝3，
1 1 ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ ×3×4＋ ×3×2＝9. 2 2
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浙派名师中考
雅安)如图 13－7 所示，在 ， 一 次 函 数 y＝kx＋b(k≠0) k 的 图 象 与 反 比 例 函 数 y＝ (m≠0)的 图 象 交 于 x A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的 坐 标 为 (n，6)，点 C 的 坐 标 为 (－2，0)，且 a t n ∠ACO ＝2.求 该 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 解 析 式 ． 解：如图13－8所示，过点A作AD⊥x轴于D， [变式训练] 2 ( 0 1 3 · 平 面 直 角 坐 标 系 中
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图13－5
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浙派名师中考 (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积． 解：(1)如图13－6所示，
过点A作AD⊥x轴，
AD 在 Rt△AOD 中，∵tan∠AOE＝ ， OD 设
图13－6 在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD＝4，OD＝3， ∴A(3，4)，
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浙派名师中考
k 把 A(3，4)代入反比例函数 y＝ 中， x
解得k＝12，
12 则反比例函数的解析式为 y＝ ； x 12 (2)把点 B 的坐标为(－6，n)代入 y＝ 中， x
解得n＝－2，
则B的坐标为(－6，－2)，
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轴相交的两条双曲线．
3．性质： 第一、三象限 ，在每个象限 (1)当k>0时，其图象位于________________ 减小 ； 内，y随x的增大而_______
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浙派名师中考 (2)当k<0时，其图象位于_______________ 第二、四象限 ，在每个象限 增大 ； 内，y随x的增大而_______ 中心对称图形 ，又是 (3)其图象是关于原点对称的________________