人教版八年级数学下册 18.2 矩形 综合练习

矩形1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A ．内角和为360° B ．对角线相等 C ．对角相等 D ．相邻两角互补2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质( ) A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直3.下列关于矩形的说法中正确的是( ) A ．矩形的对角线互相垂直且平分 B ．矩形的对角线相等且互相平分 C ．对角线相等的四边形是矩形 D ．对角线互相平分的四边形是矩形4.下列说法正确的有( )①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个5.如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ：∠BAE =1：2，试求∠CAE 的度数．6.如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分∠ADC 交BC 于E ， ∠BDE =15°，试求∠COE 的度数．7.Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥ACABCEDOCAO于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为 ．8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =2，E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，D 是BC 边上一动点，则△EFD 的周长最小值是 ．9.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连接BF ．(1)线段BD 与CD 有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．10.如图，以△ABC 的各边向同侧作正△ABD ，正△BCF ，正△ACE ． (1)求证：四边形AEFD 是平行四边形； (2)当∠BAC =______时，四边形AEFD 是矩形；(3)当∠BAC =______时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在．A E F DAE CDBFCPAEBFM11.如图，已知平行四边形ABCD ，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 与DC 交于O 点． (1)求证：△BOC ≌△EOD ；(2)当∠A =12∠EOC 时，连接BD 、CE ，求证：四边形BCED 为矩形．12.已知四边形ABCD 中，AB =CD ，BC =DA ，对角线AC 、BD 交于点O ．M 是四边形ABCD 外的一点，AM ⊥MC ，BM ⊥MD ．试问：四边形ABCD 是什么四边形，并证明你的结论．13.如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，F 是AC 中点，AN 是△ABC 的外角∠MAC 的角平分线，延长DF 交AN 于点E ．(1)判断四边形ABDE 的形状，并说明理由；(2)问：线段CE 与线段AD 有什么关系？请说明你的理由．14.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． (1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．AECBDFBM ENFCD AMDCOBA15.如图，矩形纸片ABCD 的宽AD =5，现将矩形纸片ABCD 沿QG 折叠，使点C 落到点R 的位置，点P 是QG 上的一点，PE ⊥QR 于E ，PF ⊥AB 于F ，求PE +PF ．16.如图，已知，E 是矩形ABCD 边AD 上一点，且BE =ED ，P 是对角线BD 上任一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足分别为F 、G ，你知道PF +PG 与AB 有什么关系吗？并证明你的结论．参考答案题一： B ．详解：A ．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B ．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C ．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D ．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误． 故选B ． 题二： B ．详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B ． 题三： B ．详解：A ．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误； B ．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C ．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D ．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误． 故选B ． 题四： C ．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错； 有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确． 故选C ． 题五： 30°．详解：∵∠DAE ：∠BAE =1：2，∠DAB =90°，DCPG B RE AFQAE GDPFBC∴∠DAE =30°，∠BAE =60°，∴∠DBA =90°∠BAE =90°60°=30°， ∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°， ∴∠CAE =∠BAE ∠OAB =60°30°=30°． 题六： 75°．详解：∵四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ， ∴∠CDE =∠CED = 45°，∴EC =DC ， 又∵∠BDE =15°，∴∠CDO =60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD =OC ， ∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO =60°，∠OCB =90°∠DCO =30°，∵DE 平分∠ADC ，∠ECD =90°，∠CDE =∠CED = 45°， ∴CD =CE =CO ，∴∠COE =∠CEO ； ∴∠COE =(180°-30°)÷2=75°．详解：由题意知，四边形AFPE 是矩形，∵点M 是矩形对角线EF 的中点，则延长AM 应过点P ，∴当AP 为Rt △ABC 的斜边上的高时，即AP ⊥BC 时，AM 有最小值， 此时AM =12AP ，由勾股定理知BC =22AB AC +=5， ∵S △ABC =12AB •AC =12BC •AP ，∴AP =345⨯=125，∴AM =12AP =65．题七： 1+13．详解：作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG ，交BC 于D 点，D 点即为所求， ∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线， ∵BC =2，∴EF =12BC =12×2=1； ∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠EFG =∠C =90°， 又∵∠ABC =60°，BC =2，FG =AC =23，EG =22EF FG +=13，∴DE +FE +DF =EG +EF =1+13． 题八： 见详解． 详解：(1)BD =CD ．理由：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ， 在△AEF 和△DEC 中，∠AFE =∠DCE ，∠AEF =∠DEC ，AE =DE ， ∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF =CD ， ∵AF =BD ，∴BD =CD ；(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形． 理由：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形， ∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°， ∴平行四边形AFBD 是矩形． 题九： 见详解．详解：(1)∵△BCF 和△ACE 是等边三角形， ∴AC =CE ，BC =CF ，∠ECA =∠BCF =60°，∴∠ECA ∠FCA =∠BCF ∠FCA ，即∠ACB =∠ECF ，∵在△ACB和△ECF中，AC=CE，∠ACB=∠ECF，BC=CF，∴△ACB≌△ECF(SAS)，∴EF=AB，∵三角形ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴EF=AD=AB，同理FD=AE=AC，即EF=AD，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC=150°时，平行四边形AEFD是矩形，理由：∵△ADB和△ACE是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，∵∠BAC=150°，∴∠DAE=360°60°60°150°=90°，∵由(1)知：四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形AEFD是矩形．(3)当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB=∠EAC=60°，∠BAC=60°，∴∠DAE=60°+60°+60°=180°，∴D、A、E三点共线，即边DA、AE在一条直线上，∴当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．题十：见详解．详解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO，∵DE=AD，∴DE=BC，在△BOC和△EOD中，∠OBC=∠OED，BC=DE，∠OCB=∠ODE，∴△BOC≌△EOD(ASA)；(2)∵DE=BC，DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形，在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠A=∠ODE，∵∠A=12∠EOC，∴∠ODE=12∠EOC，∵∠ODE+∠OED=∠EOC，∴∠ODE=∠OED，∴OE=OD，∵平行四边形BCED中，CD=2OD，B E=2OE，∴CD=BE，∴平行四边形BCED为矩形．题十一：见详解．详解：矩形．理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，∴OM=12BD，OM=12AC，∴BD=AC，∴四边形ABCD是矩形．题十二：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．题十三：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12AB，CF=12CD．∴AE=CF，在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．题十四：5．详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．题十五：PF+PG =AB．详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，则S△BEP+S△DEP=S△BED，即12BE•PF+12DE•PG =12DE•AB．又∵BE=DE，∴12DE•PF+12DE•PG=12DE•AB，即12DE(PF+PG)=12DE•AB，∴PF+PG =AB．。