计算置信区间(总体平均数)
正态总体均值的区间估计
的下α/2分位数。
实例二
总结词
在未知总体标准差的情况下，可以使用样本标准差来估 计总体均值的区间。
详细描述
当总体标准差未知时，我们可以使用样本标准差来代替总 体标准差进行区间估计。具体来说，对于一个样本容量为n 的随机样本，其样本均值和样本标准差分别为和s。根据中 心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值近似服从正 态分布，其均值和标准差分别为μ和s/√n。因此，可以使 用μ±Zα/2s/√n来估计总体均值的置信区间。
实例三：小样本下的总体均值区间估计
总结词
在小样本情况下，可以使用t分布的性质来估计总体均 值的区间。
详细描述
当样本容量n较小时，样本均值的标准误差较大，使用 正态分布进行区间估计可能不准确。此时可以使用t分布 进行区间估计。具体来说，对于一个自由度为n-1的t分 布，其上侧分位数记为tα/2(n-1)，那么可以使用 μ±tα/2(n-1)s/√n来估计总体均值的置信区间。与正态 分布相比，t分布的尾部更厚，因此在小样本情况下更为 稳健。
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理论依据
许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
实际应用
在自然科学、社会科学和工程领域中，许多 现象都可以用正态分布来描述和分析。
03
总体均值的区间估计方法
样本均值和样本标准差
样本均值
表示样本数据的平均水平，计算公式 为 $bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样 本数量，$x_i$ 是每个样本值。
区间估计的应用
区间估计在统计学、经济学、社会学等领域有着广泛的应用。例如，在市场调查中，通过 抽样调查得到样本数据，然后利用区间估计方法估计总体市场占有率或平均价格等指标。
平均值的置信区间
平均值的置信区间什么是置信区间？统计学家经常必须从样本数据推断总体数据的特征。
在这个过程中，一个单独的样本本身代表的是总体的一部分，因此不能仅仅依靠简单地描述样本来了解总体。
这就是置信区间的意义所在。
置信区间是总体平均值的一个估计值，因此是样本平均值的范围。
平均值的置信区间是一种用来估计某个总体参数范围的工具。
换句话说，它是一个实数区间，可能包含某个待估计参数的真实值。
例如，如果我们根据样本数据计算出来的平均值是12，那么我们可能会使用置信区间来推断总体平均值的真实值（假设总体符合正态分布）。
这个置信区间告诉我们，在一定置信度下，总体平均值可能位于某个范围内，例如11至13之间。
在置信区间的范围内，我们可以以某一个概率推测待估计参数的真实值。
但是，由于我们只能够进行样本数据的抽样，因此我们无法知道总体的真实情况，也无法肯定某个置信区间是否覆盖了总体真实值。
因此，置信区间只是一个通过样本数据估计总体数据的工具，不能对总体答案的正确性做出绝对保证。
置信区间的理论基础置信区间的关键是$t$分布。
$t$分布是概率论和统计学中的一个重要分布。
在统计推断中，为计算总体平均值的置信区间而被广泛使用。
$t$分布是由William S. Gossett发明的，是在样本量较小、总体标准差未知的情況下针对总体平均值的推断所采用的一种概率分布。
当样本容量较少时，总体标准差通常被视为不知道。
此时，如果使用普通的$z$分布进行推断，则推断的误差非常大。
而当样本容量较大时，通常可以将总体标准差视为已知。
这时，我们可以使用$z$分布进行推断。
但是，如果我们无法确认总体标准差，却需要进行总体平均值的推断，那么我们就可以使用$t$分布。
$t$分布与正态分布不同，它没有一个固定的标准差。
相反，它的标准差是根据样本数据中的方差估计得出的。
与正态分布相比，$t$分布的曲线更高、更平，它的尾部比正态分布更粗、更长。
在样本容量较小（小于30）时，$t$分布对总体平均值的估计要比正态分布更准确。
全国2022年4月自学考试00452教育统计与测量试题及答案
2022年4月高等教育自学考试全国统一命题考试教育统计与测量试卷课程代码00452一、单项选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。
1．教育统计学是一门（D）A．自然学科B．人文学科C．应用学科D．交叉学科2．温度的测量，使用的是（B）A．绝对参照点B．相对参照点C．绝对参照点或相对参照点D．绝对参照点和相对参照点3．下列推断统计的是（B）A．参数估计B．标准分数C．假设检验D．方差分析4．某教研室全体教师的年龄分别为24岁、24岁、35岁、55岁、26岁，这组数据的中位数是（B）A．24岁B．26岁C．31岁D．33岁5．下列数值指标。
用于描述数据的离散程度或变异程度的是（D）A．全距B．百分位数C．变异系数D．平均数6．掷一个六面的骰子，事件A为“掷出的点数是2”，事件B为"掷出的点数为奇数”，则事件A与事件B的关系是（A）A．互斥B．对立C．包含D．相等7．由于男生更喜欢运动，因此在调查大学生的运动时间时应考虑性别差异，抽样时宜采用（C）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层随机抽样D．整群抽样8．分别从3个地区中随机抽取10名学生，测试他们的阅读能力。
采用方差分析法，比较不同地区学生阅读能力是否存在显著性差异，则组间自由度为（A）A．2 B．3C．10 D．279．考察两个连续变量的相关程度，应采用（A）A．积差相关B．斯皮尔曼等级相关C．肯德尔和谐系数D．点二列相关10．关于卡方分析，下列说法的是（A）A．一种参数检验方法B．x2值不可能是负数C．主要用于分类数据D．通过实际频数和理论频数之差进行计算11．所获得的数据可以进行加减计算，但不能进行乘除计算。
这种量表是（C）A．称名量表B．顺序量表C．等距量表D．比率量表12．下列标准分数的量数是（A）A．差异系数B．SAT分数C．IQ分数D．T分数13．测验的标准化（C）A．测验内容的标准化B．施测过程的标准化C．测验结果的标准化D．测验评分与解释标准化14．某判断题的正确答案为“错”，全班50名学生有10人判断为“对”。
已知均值求标准差的置信区间
已知均值求标准差的置信区间
在统计学中，置信区间是用来估计参数真实值的范围。
当我们已知一个样本的均值，想要估计总体标准差的置信区间时，我们可以使用统计学的方法来进行计算。
首先，我们需要明确一些基本概念。
总体的标准差通常用σ表示，而样本的标准差通常用s表示。
当总体的标准差未知时，我们可以利用样本的标准差s来估计总体的标准差σ。
而置信区间则是用来估计参数真实值的范围，通常表示为(μ-Δ, μ+Δ)，其中μ为总体均值，Δ为置信度对应的标准误差。
在已知样本均值和样本大小的情况下，我们可以利用t分布来计算标准差的置信区间。
具体步骤如下：
1. 确定置信水平，通常取95%或者99%。
2. 查找t分布表，确定自由度和置信水平对应的t值。
自由度为样本大小减1。
3. 计算标准误差，标准误差为样本标准差除以样本大小的平方
根。
4. 计算置信区间的上下限，上限为样本均值加上t值乘以标准误差，下限为样本均值减去t值乘以标准误差。
通过以上步骤，我们可以得到标准差的置信区间。
这个置信区间表示了我们对总体标准差的估计范围，可以帮助我们更好地理解总体参数的真实情况。
总之，通过已知均值求标准差的置信区间是统计学中常用的方法，它可以帮助我们对总体参数进行估计，并且提供了一个范围来描述参数的真实情况。
在实际应用中，我们可以根据样本数据来计算置信区间，从而更好地理解总体的特征。
总体平均数的区间估计
第二节 总体平均数的区间估计由于前提条件不同，例如，是否知道总体分布，是否知道总体方差，是大样本还是小样本，是重复抽样还是不重复抽样等，因此，对总体平均数估计的公式也是有所不同的，从而有必要对它们进行阐述。
一、样本取自总体方差已知的正态分布设总体服从正态分布，即：x ~()σ2μ,N ，那么x 的抽样分布仍是正态分布，分布的平均数μ=μx，标准差n x σ=σ。
经过变换，变量σΞ/)μ-(=x z 则服从标准正态分布。
若置信水平是1-α，由于：α-1=⎪⎭⎫⎝⎛<μ-σ2σξζξ∏因此α-1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛σ+≤μ≤σ-2α2ανξνξ∏ζζ当抽样得到某一具体样本平均数的估计值ξ时，若规定置信水平为α-1，则总体平均数µ的估计区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛σ+σ-2α2ανξνξζζ,对于上面的区间作如下解释：如从服从正态分布的总体中取出一个容量为n 的简单随机样本，并构造区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ-2α2ανξνξζζ,，那么有)%(α-1100100的把握说这个区间包含总体平均数μ，其中ζ2α值为概率度，它与给定的置信水平有关，可以通过查正态分布表得到。
注:不论μ取什么值，在ξ的全部数值中，μ落入估计区间()σσ+-ξξξξ,,()σσ2+2-ξξξξ,和()σ3σ+3-ξξξξ,的可能性分别是68.27%,95.5%和99.73%。
二、总体平均数区间估计的步骤归纳如下（1）确定置信水平。
即可靠性或把握程度，一般来说对于估计要求比较精确的话，置信程度也要求高一些；（2）根据置信度并利用标准正态分布表确定ζ2α值；（3）抽取一个容量为n 的样本；（4）计算出样本平均数ξ和标准差σξ。
在重复抽样时，样本平均数的标准差为νξσ=σ；有限总体不重复抽样时，1--σ=σννN νξ。
（5）构造置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ-2α2ανξνξζζ,例3 某单位希望估计1546包原材料的平均重量，从中抽取的100包原材料组成的随机样本所给出的平均值4567=.ξ千克，总体的标准差932=σ.千克。
[整理版]EXCEL区间估计
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区间估计计算置信区间的本质是输入两个公式，分别计算置信下限与置信上限．当熟悉了数据输入方法及常见统计函数后，变得十分简单。
1、单一总体均值的区间估计在2σ未知时，均值μ的置信区间：),(22n sz x n s z x αα+-例1：一家保险公司收集到由36位投保人组成的随机样本，得到每位投保人的年龄数据如下图7-1所示。
试建立投保人年龄95%的置信区间。
图7-1 36个投保人年龄的数据具体操作步骤如下：①在单元格C3输入样本数(n)=36。
②计算平均数和标准差。
在单元格C4输入平均数公式：= A VERAGE （E1:J6），在单元格C5输入样本标准差公式：= STDEV （E1:J6）。
③在单元格C6输入置信度（1-α）=95%，在单元格C7中输入显著水平(α)=5%。
④计算Z 值，在单元格C8中输入 =NORMSINV （1-C7/2）⑤计算置信区间上限和下限。
在单元格C9输入求置信区间下限公式：=C4-C8*C5/SQRT(C3)，在单元格C10输入求置信区间上限公式：= C4+C8*C5/SQRT(C3)。
⑥在单元格C11输入求置信区间公式：=CONCA TENA TE("(",C9,",",C10,")")。
由上可得置信区间为（36.96, 42.04），如图7-2所示。
图7-2 单一总体均值的区间估计2、单一总体比例的区间估计： 置信区间为：)/)1(,/)1((2/2/n q q z q n q q z q -+--αα 例2：美国某调查机构想了解美国民众对政府某项税收议案的态度，调查了1000位美国人，结果发现5成人表示支持，4成人表示反对，1成人既不支持，也不反对。
试估计支持比例的95%置信区间。
操作步骤如下：①在单元格C3输入样本数(n)=1000。
②在单元格C4输入样本中支持百分比(q)=0.5。
③在单元格C5输入置信度(1-α)=95%，在单元格C6输入显著水平(α)=5%。
总体率的置信区间
总体率的置信区间是通过考虑抽样误差，按照一定的可信度（即1-α）估计总体率的可能范围。
常见的估计方法有两种：查表法和正态近似法。
1. 查表法：适用于样本含量(n)较小的情况，特别是当样本率(p)接近0或1时。
可以通过查表法获得单个率的总体95%和99%可信区间。
2. 正态近似法：当样本含量n足够大，且样本率P和(1-p)均不太小（一般要求np与n(1-p)都>5）时，样本率的抽样分布近似服从正态分布。
可以用正态分布理论估计单个率的总体可信区间。
使用SPSS软件可以方便地计算出总体率的置信区间，也可以手动计算。
计算公式为：总体率（π）的95%可信区间：p±1.96sp，其中p是样本率，sp是标准误。
例如，如果样本率为25%，标准误为0.0153，则总体率的95%可信区间为（22.0%，28.0%）。
以上信息仅供参考，如果仍有疑问，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
总体参数的区间估计
因为
ˆ (1 P ˆ) P SP ˆ n
0.1 (1 0.1) 0.0077 1500
上一张 下一张 主 页Fra bibliotek退 出
所以该地区老年人结核病患病率ρ 的95%、 99%置信区间为：
0.1 1.96 0.0077 0.1 1.96 0.0077
0.1 2.58 0.0077 0.1 2.58 0.0077
越高。
上一张 下一张 主 页 退 出
常用的置信度为95%和99%，故由（5-13）
式可得总体平均数μ 的95%和99%的置信区间如
下：
（ x t 0.05 S x x t 0.05 S5-14 x ） （ 5-15 ） x t 0.01S x x t 0.01 S x
P( x t a S x x t a S x ) 1 a
称为置信半径； ta S x
（5-13）式称为总体平均数μ 置信度为1-a的置
信区间。其中
x和 ta S x
分别称为置信下限和置信上限； 置信上、下限 x ta S x
之差称为置信距，置信距越小，估计的精确度就
ˆ 其中， P 为样本百分数， 为样本百分数标准 S ˆ P
误， 的计算公式为： SP ˆ
SP ˆ ˆ (1 P ˆ P ) 5-18） （ n
上一张 下一张 主 页 退 出
【例5.10】 调查某地1500老年人，患结核病
的有150人，求该地区老年人结核病患病率的
95%、99%置信区间。
ˆ ，采用正态分布近似法求 由于>1000， >1% P 置信区间。
上一张 下一张 主 页 退 出
统计样本置信区间
统计样本的置信区间是一种用于估计总体参数（如均值）的范围，并给出这个估计的可靠程度。
首先，计算置信区间的基础步骤如下：
1. 确定置信水平：置信水平通常表示为百分比（如95%），它代表的是置信区间包含总体参数的概率。
2. 计算样本平均值：样本平均值是样本数据的总和除以样本数量。
3. 计算标准误差：标准误差是样本标准差除以样本数量的平方根，反映了样本均值的变异性。
4. 确定临界值：对于大样本（通常n≥30），可以使用标准正态分布的z值作为临界值；对于小样本（n<30），则使用t分布的t值作为临界值，因为它考虑了样本量较小时的额外不确定性。
5. 计算置信区间：置信区间的下限是样本平均值减去临界值乘以标准误差，上限是样本平均值加上临界值乘以标准误差。
其次，为什么需要置信区间：
1. 估计总体参数：在无法对整个总体进行调查时，通过样本数据来估计总体参数。
2. 衡量估计的可靠性：置信区间提供了对估计不确定性的量化，帮助我们了解估计可能偏离真实值的程度。
3. 多次测量减少随机误差：通过重复实验和统计分析，可以减少随机误差的影响，提高结果的稳定性和可信度。
总体均值的区间估计公式
2.总体均值的区间估计
总体均值的区间估计公式: S X ± Z (1-α) √n 其中X为样本平均数,S为样本标准差, Z(1-α) 为置 信度是1－α所对应的 Z 值. n为样本规模.
计算练习:
调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作 为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准 差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均 工资的置信区间是多少.
42 1.96× √900
Z 检验表
P≤ 0.10 0.05 0.02 0.01 │Z│≥ 一端 1.29 1.65 2.06 2.33 二端 1.65 1.96 2.33 2.58
3.总体百分数的区间估计
总体百分数的区间估计公式为: P（1—p） P±Z（1－α）
n
这里，P为样本的百分比 。 例题： 从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结 果表明女工的比例为 20%现在要求在90%的置 信度下，估计全厂工人中女工比例的置信区间。
1.假设检验的依据
假设检验所依据的是概率论中的“小概率
原 理”即“小概率事件在一次观察中不可能出现的 原 理”,但是如果现实的情况恰恰是在一次观察中小 概率事件出现了,应该如何判断呢? 一种意见认为该事件的概率仍然很小 ,只不 过偶然被遇上了, 另一种则是怀疑和否定该事件的概率未必很 小,即认为该事件本身就不是一种小概率事件,而
3.假设检验的步骤:
①建立虚无假设和研究假设通常将原假 设作为虚无假设. ②根据需要选择适当的显著性水α(即 小概率的大小).通常α=0.05或α=0.01等. ③根据样本数据计算出统计值,并根据显 著性水平查出对应的临界值. ④将临界值与统计值进行比较,以判定是 接受虚无假设还是接受研究假设.