切比雪夫不等式证明
切比雪夫不等式给出大偏差发生概率的上界
简介切比雪夫不等式是概率论中的一个基本结果，它为随机变量的均值出现大偏差的概率提供了一个上限。
它是以俄国数学家Pafnuty Chebyshev的名字命名的，他在1867年首次证明了这个结果。
切比雪夫不等式指出，对于任何平均数为μ、方差为σ2的随机变量X，以下情况成立。
Pr(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k2其中k是一个正实数。
换句话说，X偏离其平均值超过k个标准差的概率被1/k2所约束。
这个结果在统计学和机器学习中有许多重要的应用，包括假设检验、置信区间和离群点检测。
在这篇文章中，我们将讨论切比雪夫不等式的证明以及它对数据分析的影响。
切比雪夫不等式的证明切比雪夫不等式的证明依赖于马尔科夫不等式，它指出，对于任何非负的随机变量Y和任何正的实数c，Pr(Y≥c)≤E[Y]/c。
为了证明切比雪夫不等式，我们首先注意到|X - μ|可以写成|X - μ| = (X - μ)2/|X - μ|。
然后我们将马尔科夫不等式应用于(X - μ)2，得到。
Pr((X - μ)2≥ k2σ2) ≤ E[(X - μ)2]/k2σ2 = σ2/k2。
由于|X - μ| = (X - μ)2/|X - μ|，这意味着Pr(|X - μ| ≥ kσ) ≤ σ2/k2σ2 = 1/k2，如愿以偿。
对数据分析的影响切比雪夫不等式对数据分析有许多重要意义。
首先，它可以用来构建估计人口参数的置信区间，如分布的平均值或方差。
例如，如果我们想以95%的置信度来估计一个分布的平均数，我们可以使用切比雪夫不等式来确定我们的估计必须离样本平均数多远才能达到这个置信度。
Pr(|μ - x|≥kσx) ≤0.05 ⇒ k = 2√0.05 = 0.71 ⇒ 95% CI: x±0.71σx。
这意味着我们的估计值必须落在样本平均值的0.71个标准差之内，才能有95%的信心认为它接近真实的群体平均值。
第二，切比雪夫不等式可以用来检测数据集中的离群点，确定一个观察值必须离平均值多远才能被认为是高概率的离群点（例如99%）。
切比雪夫不等式xi
切比雪夫不等式xi切比雪夫不等式xi是一个非常重要的数学不等式，它被命名为“切比雪夫不等式”，以荣誉俄国数学家S.N.切比雪夫（V. Chebyshev）。
这个不等式有许多用处，它可以用来证明某些不等式，也可以用来估计某些概率。
它也用于分析经济和金融理论，为统计学家提供了重要的见解。
本文将首先详细解释切比雪夫不等式xi，然后讨论它的理论应用，最后概述如何使用它进行实际计算。
切比雪夫不等式xi是一个概率不等式，它可以表达为：tP(|X-μ|≥ε )≤1/ε^2t其中，P是概率，X是一个随机变量，μ是它的期望值，ε是一个正常数。
要理解这个不等式，最好的方法是将它拆解为两个简单的不等式。
首先，在概率学中，假定X的期望值为μ，那么有：tP(X≥μ+ε ) 1/ε^2tP(X≤μ-ε ) 1/ε^2第一个不等式意味着，在μ+ε这个点上X的概率要小于1/ε^2。
第二个不等式意味着，在μ-ε这个点上X的概率也要小于1/ε^2。
将这两个不等式合并，就可以得到切比雪夫不等式xi：tP(|X-μ|≥ε )≤1/ε^2也就是说，X和μ之间的距离要大于ε，这个距离的概率就要小于1/ε^2。
切比雪夫不等式xi在数学上的应用是非常广泛的。
它可以用来证明马尔可夫定理和泊松定理，也可以用来估计经验分布的极端值。
在实际应用中，它也可以用来检验指定概率分布的真实性，或者确定概率分布中最大和最小值。
切比雪夫不等式xi也可以用来估计概率分布的极端值。
假设我们有一个概率分布，那么我们就可以用这个不等式来估计这个分布的极值。
例如，假设我们有一个正态分布，则我们可以根据切比雪夫不等式xi来估计此分布的最大值和最小值。
切比雪夫不等式xi也可以用来分析经济和金融理论。
例如，切比雪夫不等式xi可以用来证明通货膨胀和经济周期之间存在关系，或者检验金融市场有效性等经济理论。
在统计学中，切比雪夫不等式xi也可以提供有用的见解。
它可以用来确定样本均值的概率分布，也可以用来检验某种统计推断的正确性。
切比雪夫大数定理证明
切比雪夫大数定理证明介绍切比雪夫大数定理是概率论中的一个重要定理，它是指在一定条件下，随机变量的均值与其数学期望的差距在一定范围内的概率非常高。
该定理广泛应用于统计学、金融学、电子工程等领域，是理解概率分布、随机变量行为的关键概念之一。
切比雪夫大数定理的表述设X是一个随机变量，它的数学期望为μ，方差为σ^2。
对于任意正数ε，有：P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2 / ε^2其中，P(…)表示概率，|X-μ|表示X与μ的差的绝对值，ε表示一个正数，σ^2为X的方差。
切比雪夫大数定理的证明思路切比雪夫大数定理的证明思路是通过上述不等式来推导。
首先，由于方差是非负的，可以将右边的分母ε^2移到左边，得到：ε^2 * P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2接下来，可以使用定义来证明该不等式。
切比雪夫大数定理的证明过程步骤一：引入指示函数为了更方便地证明切比雪夫大数定理，我们引入一个指示函数I，它的定义如下：I = { 1, 当 |X-μ| ≥ ε{ 0, 当 |X-μ| < ε也就是说，指示函数I表示X与μ的差是否大于等于ε。
步骤二：方差的定义根据方差的定义可得：σ^2 = ∫(X-μ)^2 * f(x)dx其中，f(x)是X的概率密度函数。
步骤三：变换不等式将步骤一引入的指示函数I代入方差的定义可得：σ^2 = ∫(X-μ)^2 * I * f(x)dx这里的I与前面引入的指示函数I是同一个函数。
由于指示函数I只会取0和1，所以可以进一步变换不等式：σ^2 = ∫(X-μ)^2 * I * f(x)dx = ∫(X-μ)^2 * I * f(x)dx + ∫(X-μ)^2 * (1-I) * f(x)dx = ∫(X-μ)^2 * I * f(x)dx + ∫(X-μ)^2 * (1-I) * f(x)dx = ∫(X-μ)^2 * f(x)dx = σ^2这个等式说明了无论X与μ的差是否大于等于ε，方差σ^2的值都不会改变。
切比雪夫不等式及大数定律 PPT课件
P{20 X 100 20} P{| X 100 | 20}
10 1 202 0.975
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
例2 在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比
雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的 的次数在450至550次之间的概率.
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为 E( X ) 100 , 方差为 D( x) 10 2 ,试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解: 由切比雪夫不等式有: P{80 X 120} P{80 100 X 100 120 100}
由切比雪夫不等式 ，对任意 0,
有：
0
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi ) |
}
1 1 n
C
2
D( n
i 1
Xi)
n 2
.
从而：lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi
)
|
0}
0
证毕 .
推论： 设相互独立的随机变量 X1, X2L , Xn,L 服从相同
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
的分布，且 E( Xi ) , D( Xi ) 2, i 1, 2L ,
第10次课大数定律及中心极限定理
定义
Y 是一个随机变量序列， 设Y1,Y2 ,L n ,L是一个随机变量序列，a是
一个常数.若对于任意正数ε，有
lim P{| Yn − a |< ε} =1
n→∞
则称序列Y1,Y2 ,L n ,L依概率收敛于a.记为 Y Yn →a.
P
P P 性质 设Xn →a，Yn →b, 又设函数 ( x, y)在 g
( 连续， 点 a, b)连续，则g( Xn ,Yn ) →g(a, b).
P
注意 :
{ Xn} 依概率收敛于a，意味着对任意给定的ε > 0，
当n充分大时，事件 Xn − a < ε的概率很大，接近于 ； 1 并不排除事件 Xn − a ≥ ε的发生，而只是说它发生的 可能性很小 .
依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些，它具有某种不确定性 .
n 近似地 n
很大时， 数。但当n很大时，可用正态分布来近似求解。 但当 很大时 可用正态分布来近似求解。
k=1
定理2（李雅普诺夫定理） 定理 （李雅普诺夫定理）
相互独立， 设随机变量X1, X2 ,L, Xn L相互独立，它们具 有数学期望和方差： 有数学期望和方差： E( Xk ) = µk , D( Xk ) = σk ,(k = 1,2,L )
或
nA lim P{| − p |< ε } = 1 n→∞ n nA lim P{| − p |≥ ε } = 0 n→∞ n
证明 因 nA ~ b(n, p)， 此 表 为 为 由 可 示
nA = X1 + X2 +L+ Xn
其中X1, X2 ,L, Xn相互独立，且都服从 以p为参数的(0 −1)分布。因而E( Xk ) = p，
切比雪夫不等式及大数定律
的数学期望
方差
E(X )
D( X ) 2 存在，则对任意的
0, 有： P
即有 P X
证:
仅就连续型随机变量的
X
2
2 1 2
2
（5）
（4）
f (x)
情形进行证明.
设 X 的概率密度函数为
f (x)则有来自P X PX
|x|
f
( x)dx
|x|
(
x
2
)2
f ( x)dx
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为
E( X ) 100 ,
方差为
D( x) 10 ,2 试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解:
由切比雪夫不等式有:
P{80 X 120}
P{80 100 X 100 120 100}
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
p
p
p
n
N
因此，只能求其次，去求证下面两式成立：
（2）
P| fn p | 0 或
（3）
lim P
n
|
fn
p |
0
或
为此 , 先来证明概率论中一个重要的不等式——
P| fn p | 1
lim
n
P|
fn
p
|
1
切比雪夫不等式.
一 . 切比雪夫不等式
第四章 大数定律和中心极限定理
设需N台车床工作， 现在的问题是：
求满足
P(X≤N)≥0.999
的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台 工作所需电力即N千瓦.）
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np 近似N(0,1), np(1 p)
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
这里 np=120, np(1-p)=48
第四章
大数定律和中心极限定理
§1 大数定率
一. 切比雪夫不等式 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，
有
D( X ) P{| X E( X ) | } ; 2
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：
P{| X E( X ) | } 1 D( X ) . 2
P{Y 60000 0.9 }
P{Y>60000}=P{1000012-aX>60000}
=P{X60000/a}0.9; 由中心极限定理,上式等价于
60000 10000 0.006 ( a ) 0.9 10000 0.006 0.994
a 3017
例3 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿 命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率. 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
7 500 100 100 2 P{ X i 500} 1 35 1 (8.78) 0 i 1 10 12
2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De MoivreLaplace)
设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1) 的二项分布，则
5-1切比雪夫不等式与大数定律
说明： 说明：
与(切)大数定律区别: 不要求 X1 , X2 ,..., Xn方差存在,但要求分布相同.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、切比雪夫大数定律 、
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , ..., X n 相 互 独 立 , 各 有 数 学 期 望 E ξ i和 方 差 D ξ i . 同 时 存 在 常 数 C , 使 得 D ξ i ≤ C,i=1,2...n。 则 对 于 任 意 ε > 0 i=1,2...n 。 1 n 1 n lim P ∑ X i − ∑ EX i < ε = 1 n→ ∞ n i =1 n i =1 1 n 1 n 或 ∑ X i − ∑ EX i P → 0 ( n → ∞ ) n i =1 n i =1
证 明 : n A 代 表 n重 伯 努 利 试 验 中 A发 生 的 次 数 , n A ∼ b( n, p )
i A 生 第次 发 1 (i=1,2,...,n) X 令 i = i A 发 0 第 次 没 生
则
n A = X 1 + X 2 + ... + X n
X i ∼ b(1, p ), ⇒ E ( X i ) = p, D( X i ) = p(1 − p) (i=1,2,...,)
推论2、 推论 、伯努利大数定律
设 n A 为 n 次 独 立 重 复 试 验 中 随 机 事 件 A 发 生 的 次 数 , p是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 , 则 对 任 意 ε > 0, 成 立 nA lim P { − p < ε } = 1, 即 n→ ∞ n nA P → p( A ) n
nA 1 n , 又 X = ∑ Xi = n i =1 n 1 n E( X ) = E( ∑ Xi ) = p n i =1
切比雪夫不等式xi
切比雪夫不等式xi弗拉基米尔切比雪夫是一位伟大的俄罗斯数学家，他发现了一些非常重要的定理，其中最重要的莫过于切比雪夫不等式xi。
19次世界大战后，他发现了这一不等式，当时他正致力于解决一些热数学问题，但却开创了一系列定理，其中最著名的就是切比雪夫不等式xi。
切比雪夫不等式xi又被称为“欧拉不等式”，它是一个基本的分析不等式，它的公式如下：$sum_{k=1}^nf(k) leqfrac{1}{2}(f(1)+f(n)+2sum_{k=1}^{n-1}f(k))$。
该不等式表明，任何一个函数$f(x)$在任何一个自变量$x$之间都有一个最大值$M$，而这个最大值$M$可以用切比雪夫不等式xi来计算出来，即，$M=frac{1}{2}(f(1)+f(n)+2sum_{k=1}^{n-1}f(k))$。
该不等式具有重要的应用，它被用来证明各种不等式，例如梯度下降不等式，偏导数不等式，多元函数不等式，函数上下界等等。
它也可以用来研究函数的连续性和一致性，也有助于研究最优化问题。
此外，切比雪夫不等式xi也可以用来证明各种其他数学定理，例如拉格朗日不等式，积分不等式，傅立叶不等式等等。
切比雪夫不等式xi在今天仍然是重要的工具，它可以用来证明几乎所有的数学定理，特别是优化和多元函数定理。
它的强大之处在于，它能够在给定条件下正确地确定数学函数的最大值，从而为解决最优化问题提供重要指导。
因此，切比雪夫不等式xi一直是解决多元函数定理的重要工具，以及定理的重要定理。
总之，切比雪夫不等式xi对于数学领域及其相关领域有重要意义，其重要性即今天仍在不断被研究。
它的应用面非常广泛，既可以被用来证明独立数学定理，也可以用于分析多元数学问题，极大地丰富和拓展了数学的研究领域。
3-5切比雪夫不等式与大数定律
切比雪夫不等式与大数定律
主要内容（2学时）
一、切比雪夫不等式
二、依概率收敛简介
三、大数定律（难点） 1、切比雪夫大数定律
2、伯努利大数定律
3、辛钦大数定律
一、切比雪夫不等式
1、马尔科夫不等式
设X 是只取非负值的随机变量,且具有数学期望E ( X ), 则 对于任意正数 , 有 P{ X } E( X )
证 : nA代表n重伯努利试验中A发生的次数, nA
第i次试验中A发生 1 令X i 0 第i次试验中A没发生 (i 1, 2, ..., n)
B(n, p)
则
nA X1 X 2 ... X n
Xi
B(1, p) E( X i ) p, D( X i ) p(1 p) nA 1 n 1 n 又 X Xi = , E( X ) E( X i ) p n i 1 n n i 1
（证明见下页）
说明：
重要性在于: 不知道X的分布( f ( x ), pk )情况下,通过 E ( X )估计事件{ X }的概率下限.
证 : 以连续型X 证明, 设X的概率密度为f ( x ). X 只取非负值, 故x 0时, f ( x ) 0
E( X )
0
xf ( x )dx x f ( x )dx
P(0.01n X 0.75n 0.01n) P( X E ( X ) 0.01n)
D( X ) 0.1875n 1875 1 1 2 1 2 (0.01n) 0.0001n n
依题意，取 1
1875 0.9 n 1875 解得 : n 18750 1 0.9
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切比雪夫不等式证明一、
试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，
其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此
1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.
解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且
~XB(1000,1/2).因此
500
2
1
1000=×==npEX,
250)
2
答题完毕，祝你开心!
1
1(
2
1
1000)1(= ××= =pnpDX,
而所求的概率为
}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP
}100{< =EXXP
975.0
100
1
2
= ≥
DX
.
二、
切比雪夫(Chebyshev)不等式
对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步
说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界
并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在
理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一
个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不
等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4
与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9
与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16
……
与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可
得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。
设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t > 0，
一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有
上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：
概率论说法
设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，
改进
一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：
这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。
当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：
[1]
证明
定义，设为集的指标函数，有
又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有\Pr(|Y| \le
\opeatorname{E}(|Y|)/a。取Y = (X ? μ)2及a = (kσ)2。
亦可从概率论的原理和定义开始证明。