2010年高考数学抛物线典型例题(5)

1. 定义： 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.F 是焦点，l 为准线.圆锥曲线可统一定义为：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e ＞1时，表示双曲线；当e=1时，表示抛物线.2.标准方程和图形、焦点坐标及准线方程其焦点的非零坐标为一次项变量的系数的41. 3.抛物线的焦半径抛物线y 2=2px （p>0）上任一点M(x 0，y 0)到焦点的距离等于到准线的距离且为x 0+2p .（一） 抛物线标准方程典型例题例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x 解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，ap 12=∴ ①当0>a 时，a p 412=，抛物线开口向右，∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左，∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=．综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a，准线方程是：a x 41-=．例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程． 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，也可利用“作差法”求k ． 解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=xy kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ．∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴kk x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）．故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--．421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切．证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11,， 在直角梯形A A BB11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+= AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值．（2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x ，设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k（2）9=∆S ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ，∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，坐标（－1，0）或（5，0）．例5 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，等式成立的条件是AB 过点F ．当45=x 时，41221-=-=P y y ，故22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ， 221±=+y y ，22±=y ． 所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45．例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：p F P FP 21121=+． 证法一：)0,2(pF ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ， 且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k 2221)2(k k p x x +=+∴ ① ， 4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2 则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P 点在F F '、11P P '上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m m nn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =．证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p ，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan p x y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα ，又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立．例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点， 求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程．解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF =，∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点．∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴k k 即12≥k ，由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k ， 由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ，又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤<（2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D ，由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k化简得：032322=-+x y x ， ∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+x x y x例9 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值．分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围．解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=．(2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ．)2(tan p x y AB -=θ：，即2tan p y x +=θ． 代入抛物线方程，有0tan 222=--p y p y θ．故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-．故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”．综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值．说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论；(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =； (3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．例10 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）．又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．（二） 抛物线性质典型例题例1 已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点，求△RAB 的最大面积．分析：求最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以AB 为三角形的底，只要确定高的最大值即可． 解：设AB 所在的直线方程为2px y -=．将其代入抛物线方程px y 22=，消去x 得0222=--p py y p y y y y y y AB 44)(222122121=-+⋅=-=∴当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时，△RAB 的面积有最大值． 设直线l 方程为b x y +=．代入抛物线方程得0222=+-pb py y 由,0842=-=∆pb p 得2p b =，这时),2(p p R ．它到AB 的距离为p h 22=，∴最大面积为2221p h AB =⋅．例2 直线1l 过点)0,1(-M ，与抛物线x y 42=交于1P 、2P 两点，P 是线段1P 2P 的中点，直线2l 过P 和抛物线的焦点F ，设直线1l 的斜率为k ． （1）将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(k f ；（2）求出)(k f 的定义域及单调区间．解：（1）设1l 的方程为：)1(+=x k y ，将它代入方程x y 42=，得0)42(2222=+-+k x k x k设),(),(),(222111y x P y x P y x P 、、，则2222212,24k k x k k x x -=-=+ 将222k k x -=代入)1(+=x k y 得：k y 2=，即P 点坐标为)2,2(22kk k -． 由x y 42=，知焦点)0,1(F ，∴直线2l 的斜率22221122k k kk k k -=--=∴函数211)(k k f -=． （2）∵2l 与抛物线有两上交点，∴0≠k 且04)42(422>--=∆k k ，解得01<<-k 或10<<k∴函数)(k f =的定义域为{}1001<<<<-k k k 或，当)0,1(-∈k 时，)(k f 为增函数．例3 设过抛物线)0(22>=p px y 的顶点O 的两弦OA 、OB 互相垂直，求抛物线顶点O 在AB 上射影N 的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A 则：2221212,2px y px y ==，22221214p y y x x ⋅=∴OB OA ⊥ ，1-=⋅∴O BO A k k 即02121=+y y x x ，042122221=+∴y y py y 021≠y y ，2214p y y -=∴ ①把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为：),(000x x y x y y --=-显然00≠x 0200)(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222020020=+-+y x p y py y x 00≠∴x ，0202021)(2x y x p y y +-=∴ ②， 由①、②得：020202)(24x y x p p +-=-， 化简得)0(02002020≠=-+x px y x ， 用x 、y 分别表示00y x 、得：)0(0222≠=-+x px y x解法二：点N 在以OA 、OB 为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设)2,2(2pt pt A ，则以OA 为直径的圆方程为：)()()(242222t t p pt y pt x +=-+-022222=--+pty pt y x ①， 设)2,2(121pt pt B ，OA ⊥OB ，则tt t t 1111-=⇒-=在求以OB 为直径的圆方程时以t1-代1t ，可得 022)(222=+-+p t y px y x t ②由①＋②得：0)2)(1(222=-++px y x t ， )0(0222≠=-+∴x px y x 的距离相等， 解：以1l 为x 轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系．由题意，曲线段C 是N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为曲线段的两端点． ∴设曲线段C 满足的抛物线方程为：),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、B 的横坐标令,p MN =则)0,2(),0,2(pN p M -，3,17==AN AM∴由两点间的距离公式，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++92)2(172)2(22A A A A px p x px p x 解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p∵△AMN 为锐角三角形，∴A x p >2，则4=p ，1=A x ，又B 在曲线段C 上，4262=-=-=∴pBN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82>≤≤=y x x y例5如图所示，设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(22=+-y x 在x 轴上方的交点为A 、B ， 与圆27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、D ，P 为AB 中点，Q 为CD 的中点． （1）求PQ ． （2）求△ABQ 面积的最大值．分析：由于P 、Q 均为弦AB 、CD 的中点，故可用韦达定理表示出P 、Q 两点坐标， 解：（1）设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 29)5(222得：016)5(22=+--x p x ，P x x x B A-=+=∴521（2）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S B P Q -=-⋅=+=∆∆∆2221)1(821022p p p P-=--=10<<p ，∴当21=p 时，ABQ S ∆取最大值21．例6 已知直线l 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．解法一：设抛物线C 的方程为px y 22=)0(>p ，直线l 的方程为kx y =)0(≠k ，则有点)0,1(-A ，点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ， 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+-⋅=,11,2121111k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=;12,1121221k k y k k x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=+,18,2282222k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1)1(8,11622222k k y k k x解法二：设点A 、B 关于l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，又设α=∠Ox B '，依题意， 有1'==OA OA ，8'==OB OB ．故αcos 82=x ，αsin 82=y ．由︒=∠90BOA ，知︒=∠90''OA B ． ∴ααsin )90cos(1=︒-=x ，ααcos )90sin(1-=︒-=y ．又01>x ，02>x ，故α为第一象限的角．∴)cos ,(sin 'αα-A 、)sin 8,cos 8('ααB ．将'A 、'B 的坐标代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧==.cos 16sin 64,sin 2cos 22ααααp p ∴αα33cos sin 8=，即21tan =α从而55sin =α，552cos =α， ∴552=p ，得抛物线C 的方程为x y 5542=． 又直线l 平分OB B '∠，得l 的倾斜角为︒+=-︒+452290ααα． ∴251sin 1cos )90cos(1)90sin()452tan(+=-=︒++︒+=︒+=αααααk ． ∴直线l 的方程为x y 251+=．解：∵直线4+=x y AB ：，CD AB //，∴设CD 的方程为b x y +=，且),(11y x C 、),(22y x D ．由方程组⎩⎨⎧+==bx y x y 2，消去x ，得02=+-b y y ，于是121=+y y ，b y y =21，∴21211y y kCD -+=(其中1=k )， ∴)41(24)(221221b y y y y CD -=-+⋅=． 由已知，ABCD 为正方形，AD CD =，∴CD 可视为平行直线AB 与CD 间的距离，则有24bCD -=，于是得24)41(2bb -=-．两边平方后，整理得，01282=++b b ，∴6-=b 或2-=b ．当6-=b 时，正方形ABCD 的面积50)241(22=+==CD S ．当2-=b 时，正方形ABCD 的面积18)81(22=+==CD S ． ∴正方形ABCD 的面积为18或50．分析：本题的关键是把CD AB +转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．解：由圆的方程x y x 422=+，即4)2(22=+-y x 可知，圆心为)0,2(F ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F ，设抛物线方程为x y 82=，BC AD CD AB -=+∵BC 为已知圆的直径，∴4=BC ，则4-=+AD CD AB ． 设),(11y x A 、),(22y x D ，∵FD AF AD +=，而A 、D 在抛物线上，由已知可知，直线l 方程为)2(2-=x y ，于是，由方程组 ⎩⎨⎧-==).2(2,82x y y 消去y ，得0462=+-x x ，∴621=+x x ．∴1046=+=AD ，因此，6410=-=+CD AB ． 说明：因此把CD AB +转化成4-=-AD BC AD 是关键所在，在求AD 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算．。