第8章 代数方程求解和最优化问题
精品课件-最优化问题数学模型
表2-1
队员 甲
已
丙
丁
戊
蝶泳 66.8秒
57.2
78
70
67.4
仰泳
75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4
84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
问题分析：记甲、乙、丙、丁、戊分别为i=1,2,3,4,5;
记泳姿j=1,2,3,4.记队员 i 的第 j 种泳姿的百米最好 成绩为c_ij(s),则表2-1可以表示成表2-2.
最优化问题数学模型
一、最优化模型的概述
解决最优生产计划、最优设计、最优策略….
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法，拉格朗日（Lagrange）乘数 法解决等式约束下的条件极值问题。
计算机技术的出现，使得数学家研究出了许 多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问 题。
0
16kg
4
12kg
该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品 II可获利3元。问应如何安排计划使该工厂获利最多？
解：该工厂生产产品I x1件，生产产品II x2件， 我们可建立如下数学模型：
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t.
4
x1
4
x2
16 12
x1, x2 0
z 14
x1 4,x2 2.
2.整数规划
最优化问题中的所有变量均为整数时，这类 问题称为整数规划问题。
整数规划可分为线性整数规划和非线性整数 规划 ，以及混合整数规划等。
数学代数方程式解题思路
数学代数方程式解题思路数学代数方程式解题是数学中的一项重要内容，也是解决实际问题的有效工具。
在解题过程中，我们需要运用一系列的方法和思路来求解方程式，以得到方程的解。
下面将介绍常见的数学代数方程式解题思路。
一、一元一次方程解题思路一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为常数，a ≠ 0。
解一元一次方程的步骤通常包括以下几个方面：1. 整理方程：将方程中的项按照次数从高到低进行排列，并将等号右侧的常数项移到等号左侧。
2. 合并同类项：将方程两边的同类项合并，得到形如cx = d的方程，其中c和d也为常数。
3. 求解方程：将等号右侧的常数项除以系数得到方程的解x = d / c。
二、一元二次方程解题思路一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
解一元二次方程的步骤包括以下几个方面：1. 判别式求值：计算判别式Δ = b² - 4ac的值。
a. 若Δ > 0，方程有两个不相等的实数根。
b. 若Δ = 0，方程有两个相等的实数根。
c. 若Δ < 0，方程无实数根，但存在复数根。
2. 根据判别式的值，使用根的公式计算方程的解。
a. 当Δ > 0时，方程的实数根为x₁ = (-b + √Δ) / (2a)和x₂ = (-b - √Δ) / (2a)。
b. 当Δ = 0时，方程的实数根为x = -b / (2a)。
c. 当Δ < 0时，方程的复数根为x₁ = (-b + i√|Δ|) / (2a)和x₂ = (-b - i√|Δ|) / (2a)，其中i为虚数单位。
三、一元高次方程解题思路解一元高次方程的思路主要根据不同的高次方程形式进行求解。
例如：1. 一元三次方程解题思路：可利用整式除法、综合除法、韦达定理等方法进行求解。
2. 一元四次方程解题思路：可通过将四次方程转化为二次方程进行求解，或运用分解因式、韦达定理等方法求解。
代数方程的解法总结
代数方程的解法总结代数方程是数学中的重要内容之一，解代数方程是我们学习数学的基础。
在代数方程的解法中，我们可以通过等式的变形、消元和代入等方法来解方程。
下面将对代数方程的解法进行总结。
一、一次方程的解法一次方程是指以一次方程组成的方程，形如ax+b=0。
我们通过等式的变形，可以解出一次方程。
1. 等式的变形法主要是通过变形将方程化为一个形如“x=常数”的方程。
例如，对于方程3x+5=0，我们可以通过变形得到3x=-5，再除以3得到x=-5/3。
2. 等式的消元法当方程中含有多个未知数时，可以通过等式的消元法来解方程。
例如，对于方程2x+y=3和3x+2y=4，可以通过两式相减消去y，得到x=2，再代入第一式中求得y=-1。
3. 等式的代入法当方程中含有一个未知数的值表达式时，我们可以通过代入法来解方程。
例如，对于方程2x+1=5，我们可以通过令x=(5-1)/2，求得x=2。
二、二次方程的解法二次方程是指以二次项（或更高次项）组成的方程，形如ax^2+bx+c=0。
解二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式法等。
1. 因式分解法当二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解法来解方程。
例如，对于方程x^2-5x+6=0，可以因式分解为(x-3)(x-2)=0，解得x=3或x=2。
2. 配方法对于不易因式分解的二次方程，可以通过配方法来解方程。
例如，对于方程x^2-3x+2=0，我们可以通过将方程重新整理成(x-1)(x-2)=0，解得x=1或x=2。
3. 求根公式法对于一般的二次方程，我们可以通过求根公式来解方程。
二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
例如，对于方程x^2-2x-3=0，代入求根公式即可解得x=3或x=-1。
三、高次方程的解法高次方程是指三次方程、四次方程等以更高次项组成的方程。
解高次方程的方法包括因式分解法、配方法、迭代法和数值方法等。
高考数学技巧如何快速解决代数方程
高考数学技巧如何快速解决代数方程代数方程作为高考数学中的一道常见题型，常常让很多学生感到头疼。
然而，只要掌握了一些高考数学技巧，解决代数方程其实并不那么困难。
本文将介绍一些高考数学中快速解决代数方程的技巧和方法。
一、整理方程解决代数方程的第一步是要对方程进行整理，将其转化为最简形式。
在整理方程时，我们可以根据题目的要求和方程的形式选择合适的方法。
1. 去括号当方程中含有括号时，我们可以通过去括号来简化方程。
对于一对括号，我们可以使用分配律或者消去法则将其去掉，然后继续整理方程。
2. 合并同类项如果方程中含有同类项，我们可以将其合并，使方程变得更简洁。
合并同类项可以通过对同类项进行加减运算来实现，从而得到一个更简单的方程。
3. 移项当方程中含有未知数的项分布在等式的两边时，我们可以通过移项的方法将其集中在一边，从而便于求解。
移项的方法包括加减法移项和乘除法移项，根据具体情况选择合适的方法进行移项。
二、运用等式性质在解决代数方程时，我们可以利用等式的性质来简化方程，从而更快地求解。
1. 去分母当方程中含有分母时，我们可以通过乘以分母的倒数来将其去掉。
在乘法分配律的基础上，我们可以将分母乘到方程的每一项上，从而得到一个无分母的方程。
2. 因式分解当方程中含有多项式时，我们可以通过因式分解来简化方程。
将多项式分解成更简单的因式可以使方程更易于处理，并且有助于找到方程的解。
三、运用代数性质在解决代数方程时，我们也可以利用代数的性质来快速求解。
1. 方程相等性在进行方程的变形时，我们可以利用方程的相等性质。
即如果两个方程在等号两边是相等的，那么它们可以互相替换，从而得到另一个等效的方程。
2. 方程的可逆性方程在不改变解的情况下可以进行各种等价变形，这是因为方程具有可逆性。
利用方程的可逆性，我们可以将方程转化为更简单的形式，使问题更易于解答。
综上所述，高考数学中解决代数方程的技巧主要包括整理方程、运用等式性质和运用代数性质等。
数值计算08-线性方程组数值解法(优选.)
0
(k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。
引理
A的主元素
a(k) kk
0
(k=1,2,…,n) 的充要条件
是矩阵A的各阶顺序主子式不为零，即
a11
a1k
D1 a11 0 Dk
0, k 2, 3, , n
ak1
akk
定理2 Ax=b 可用高 斯消元法求解的充分必要条件是： 系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。
Page 5
线性代数方程组的计算机解法常用方法：
直接法 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
Page 6
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原
始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
a(k) ik
a(k) kk
aijk
mik
a
k
kj
bik1 bik mikbkk
xn
bnn annn
bii
n
a
i
ij
x
j
,
xi
ji1
aiii
i, j k 1, k 2,, n
i n 1,,2,1
高斯消元法的条件
Page 20
定理1
如果在消元过程中A的主元素
a(k) kk
即:
a111
a112 a222
a11n a22n
x1 x2
bb1212
an22
an2n
xn
bn2
其中：
第8章 代数方程求解和最优化问题
编制求解线性规划问题的M文件：
% 求解线性规划问题
xx (zx)= 1.0000
2.0000
3.0000
-1.0000
计算残量：
r = 1.0e-014 *
0.0888
0.2220
-0.4441
0.1776
计算残量的模：
R = 5.3475e-015
8.1.4 非线性方程的数值解
1、一维非线性方程
对于一维非线性方程求解，可以看作是单变量的 极小化问题，通过不断缩小搜索区间来逼近一维 问题的真解。因此，可以使用一维非线性方程优 化解函数来求解。其调用格式是：
线性规划的数学模型表示为 min f T X
s.t. AX b
AeqX
beq
lb X ub
用于求解线性规划的MATLAB函数是linprog，其调 用格式为：
[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,o ptions)
使用多维非线性方程组优化解函数求解的格式：
[x,fval,flag]=fsolve(fun,x0)
其中，输入参数中fun是非线性方程组的向量函数 表达式；x0是根的初值；输出参数中x是非线性方 程（组）的数值解；fval是数值解的函数值；返 回参数flag>0时，表示求解成功.
函数fsolve的作用是从根的初值x0开始，以逐渐 减少误差的算法，搜索出满足多维非线性方程组 fun的实根x和对应的函数值fval。
的形式）； 2、分析数学模型中的目标函数，并建立相
应的目标函数文件（包括计算目标函数必需 的输入参数，描述目标函数表达式等内容）， 以自定目标函数文件名将它存储在工作间 \MATLAB\WORK\中； 3、分析数学模型中的非线性约束条件，并 建立相应的非线性约束函数文件（包括计算 约束函数必需的输入参数，描述约束函数表 达式等内容）， 例8-6 求解 线性规划问题
数学中的代数方程
数学中的代数方程代数方程是数学中一种重要的研究对象，它在许多领域和问题中都有广泛的应用。
本文将介绍代数方程的定义、性质以及一些常见的解法方法。
一、代数方程的定义和性质代数方程是指一个或多个未知数与常数之间通过运算符和等号相连的数学表达式。
一般形式的代数方程可以表示为：P(x₁, x₂, ..., xn) = 0其中，P是一个多项式函数，x₁, x₂, ..., xn 是未知数。
代数方程的解是使得该方程成立的未知数的取值。
代数方程有许多重要的性质和特点。
首先，任何代数方程都有一个或多个解，可能是有限个，也可能是无限个。
其次，代数方程的解可以是实数或复数，具体取决于方程中的系数和指数。
最后，代数方程的次数是指其中多项式函数的最高次幂，次数越高，通常解法越复杂。
二、代数方程的解法方法接下来，将介绍一些常见的代数方程解法方法。
1. 一次方程一次方程是最简单的代数方程，其形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数。
一次方程的解可以通过移项和求解得到。
2. 二次方程二次方程是一种常见的代数方程，其形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a ≠ 0。
求解二次方程有多种方法，如配方法、因式分解法、求根公式等。
3. 高次多项式方程高次多项式方程指次数大于2的代数方程，如三次方程、四次方程等。
这类方程没有通用的公式解，但可以通过一些特殊的情况或方法进行求解，如韦达定理、拉格朗日插值法等。
4. 方程组方程组是多个代数方程的组合，其中的方程同时成立。
求解方程组可以使用消元法、代入法、高斯消元法等。
方程组的解不仅是各个方程的解，还要满足方程之间的关系。
5. 参数方程参数方程是将一组变量的取值通过参数表示的方程。
求解参数方程可以将参数带入原方程中求解未知数的取值范围。
6. 不定方程不定方程是未知数个数多于方程个数的方程系统。
求解不定方程通常需要引入一些附加条件或限制条件来确定解的个数和取值范围。
代数方程的解法与应用
代数方程的解法与应用代数方程是数学中的一个重要概念，通过代数方程可以描述数学问题中的关系和规律。
解代数方程是数学学习的基础之一，它不仅有着广泛的应用，还可以培养和锻炼思维能力。
本文将讨论代数方程的解法和应用，并介绍其中一些常见的方法和技巧。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，常见的形式为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的方法主要有逆运算和等式性质的运用。
1. 逆运算法：逆运算法是指通过逆运算将方程中的未知数从等式中分离出来，并得到它的具体值。
逆运算的方法主要有加减消元法、乘除消元法等，通过反复运用逆运算，直到将未知数解出即可。
2. 等式性质法：根据等式两边相等的性质，对方程进行等式性质的转化和变换，将方程化简为简单形式，并最终得到未知数的值。
等式性质包括等式两边加减相等数、等式两边乘除相等数等等。
二、多元一次方程的解法多元一次方程是指含有两个或两个以上的未知数的一次方程，常见的形式为ax+by+c=0。
解多元一次方程的方法主要有代入法、消元法和等式变换法。
1. 代入法：代入法是指通过已知方程解中的一个未知数，将其代入另一个方程中，并解得另一个未知数的值。
通常选择较为简单的方程进行代入，依次求解其他未知数。
2. 消元法：消元法是指通过方程组之间的相互运算，将其中一个未知数消去，得到另一个未知数的值。
消元法主要有加减消元法和乘除消元法等。
3. 等式变换法：通过将方程组进行等式的变换和整理，使得其中一个未知数的系数为1，再通过代入或消元等方法求解出其他未知数。
三、代数方程的应用代数方程在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 经济学中的供求方程：通过建立供给和需求的方程，求解平衡价格和平衡数量，分析市场情况和经济发展趋势。
2. 物理学中的运动方程：通过建立运动物体的方程，求解物体的位置、速度和加速度等参数，研究运动过程和规律。
3. 工程学中的电路方程：通过建立电路的方程，求解电流、电压等参数，分析电路的稳定性和性能。
数学代数方程解答
数学代数方程解答数学代数方程是数学中的一个重要分支，它研究的是方程的解。
方程是数学中的基本工具，可以用来描述各种各样的现象和问题。
在解决实际问题时，我们常常需要求解方程，找到方程的解，从而得到问题的答案。
数学代数方程的解法有很多种，下面我将介绍几种常见的解法。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是指只有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程。
它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的常数。
解一元一次方程的方法有很多种，最常见的是通过移项和合并同类项来求解。
具体步骤如下：1. 将方程中的常数项移到等号的另一边，得到ax = -b；2. 将方程中的未知数系数移到等号的另一边，得到x = -b/a。
举个例子来说明，假设我们需要求解方程2x + 3 = 0。
按照上述步骤，我们可以将常数项3移到等号的另一边，得到2x = -3；然后将未知数系数2移到等号的另一边，得到x = -3/2。
所以方程的解为x = -3/2。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是指只有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程。
它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，最常见的是通过配方法和求根公式来求解。
具体步骤如下：1. 使用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，即将方程的左边进行平方，得到(ax + b/2a)^2 = b^2/4a^2 - c/a；2. 对方程的右边进行化简，得到(ax + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2；3. 对方程的左边进行开方，得到ax + b/2a = ±√((b^2 - 4ac)/4a^2)；4. 将方程的右边进行化简，得到ax + b/2a = ±√(b^2 - 4ac)/2a；5. 将方程两边减去b/2a，得到ax = -b ±√(b^2 - 4ac)/2a；6. 将方程两边除以a，得到x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/2a。
代数方程与最优化问题的计算机求解icaredbd课件
3
代数方程的图解法
1.一元方程的图解法
【例6-1】
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
4
2. 二元方程的图解法
【例6-2】
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
5
6.1.2 多项式型方程的准解析解法
【例6-3】
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
6
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
7
【例6-4】
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
8
【例6-5】
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解用数学问题的MATLAB求解
10
【例6-6】
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
11
【例6-7】
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
12
有约束最优化问题 的计算机求解
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
13
2.1 线性规划问题的计算机求解
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
14
【例6-8】
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
18
15
【例6-9】
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
16
2.2 0-1规划问题求解
MATLAB 7.0 版本提供的 0-1 线性规划问题
当然也可以用前面的函数求解
2024/7/11
高等应用数学问题的MATLAB求解
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xlabel('\bf x');ylabel('\bf y');
title('\bf 二维代数方程组的图解法')
gtext('\bf f_1=x^2+y^2-1.3^2'); gtext('\bf f_2=2.4x^3-y+1.5');
8.1.2 代数方程的解析解
求非线性方程或方程组解析解的函数调用格式：
X=solve(fun,x)
其中，fun是符号方程的函数表达式，x是自变量， X是解析解。
应当指出，函数solve(fun,x)也可以用于求线性 方组的解析解。
例8-2 求非线性解方程组解析解
x2 xy a 0
y2
xy
b
0
% 二维非线性方程组的解析解
syms a b x y;
例8-1 用图解法求解二维联立方程。
a=-2;b=2;
% 定义横轴区间
ezplot('x^2+y^2-1.69',[a,b]);
axis 'equal';
% 控制坐标轴比例相等
hold on;grid on;
ezplot('2.4*x^3-y+1.5',[a,b]);
line([a,b],[0,0]);line([0,0],[b,a]);
例如，在例5-3使用符号绘图函数绘制代数方程的 图形（图5-3左图）中可见，函数在区间[-5,5]内 与x轴有3个交点，因此该代数方程该区间内有3个 实根。
对于二维方程组图解，其解就是两条函数曲线的 交点所对应的坐标数值。如果只有1个交点（或切 点），则表示该方程组有1个解；如果有2个交点， 则表示该方程组有2个解；如果没有交点，则表示 该方程没有解。
输出参数中：x是非线性方程的数值解；fx是数值 解的函数值；返回参数flag>0时，表示求解成功， 否则求解出现问题。
函数fzero所使用的算法为二分法、secant法和逆 二次插值法的组合。
例8-4 求解一维非线性方程 f x arctan x ex 0
% 求解单变量x非线性方程
8.1.4 非线性方程的数值解
1、一维非线性方程
对于一维非线性方程求解，可以看作是单变量的 极小化问题，通过不断缩小搜索区间来逼近一维 问题的真解。因此，可以使用一维非线性方程优 化解函数来求解。其调用格式是：
[x,fx,flag]=fzero(fun,x0)
其中，输入参数中：fun是非线性方程的函数表达 式；x0是根的初值；
第8章 代数方程求解和最优化问题
代数方程是未知数和常数进行有限次代数运算所 组成的方程，它包括有理方程和无理方程。代数
方程 f X 0 的解称为 f X 0 的根或零点，
其求解一般是通过代数几何来进行。
优化设计问题数学模型的一般形式是
min f X f x1, x2, , xn
f1='x^2-x*y-a';
f2='y^2-x*y+b';
disp(' 二维非线性方程组的解析解：')
[X,Y]=solve(f1,f2,'x,y')
M文件运行结果：
二维非线性方程组的解析解：
x = a/(a-b)^(1/2) -a/(a-b)^(1/2) Y = 1/(a-b)^(1/2)*b -1/(a-b)^(1/2)*b
2xx1123xx22xx3345xx44
2 2
3x1 x2 2x3 11x4 0
% 线性方程组的数值解 AA=[1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11]; bb=[5;-2;-2;0]; % 线性方程组常数向量 disp(' 采用矩阵左除求出线性方程组的解：') xx=AA\bb disp(' 采用矩阵求逆求出线性方程组的解：') zx=inv(AA)*bb disp(' 计算残量：') r=AA*zx-bb disp(' 计算残量的模：') R=norm(r)
M文件运行结果：
采用矩阵左除或矩阵求逆求出线性方程组的解：
xx (zx)= 1.0000
2.0000
3.0000
-1.0000
计算残量：
r = 1.0e-014 *
0.0888
0.2220
-0.4441
0.1776
计算残量的模：
R = 5.3475e-015
x0=0.1; % 解的初值
[xz,fz,flag]=fzero('atan(x)+exp(x)',x0);
X Rn
s.t. gu X 0 u 1, 2, , m
hv X 0 v 1, 2, , p
优化设计问题数学模型包括维设计变量、约 束条件（不等式约束条件和等式约束条件） 和目标函数三项要素。优化问题的数学模型 是实际优化问题的数学抽象，在满足所有的
8.1.1 代数方程图解法
符号绘图函数fplot()和ezplot()也可以用于图解 法求代数方程的根，它适用于求解维数较少的一 维方程或二维方程组。
对于一维方程图解，其解就是函数曲线与x轴交点 所对应的变量数值。如果有多个交点，则表示该 方程有多个解；如果没有交点，则表示该方程没 有解。
x
பைடு நூலகம்
a ab
y
b
ab
8.1.3 线性方程组的数值解
最简便方法是使用矩阵左除或是矩阵求逆的方法， 求解线性方程组AX=b。
X= A\b
X=inv(A)*b
其中，A是方程组的系数矩阵，b是常数向量，X是 解析解。
例8-3 求线性方程组的数值解
x1 x2 x3 x4 5
约束条件的情况下，求解 n 维设计变量，
使某项或多项设计目标（技术经济指标）达 到最优。
应当指出，对于等式约束条件，施加于该项 设计的等式约束条件数 p 必须小于优化设计
问题的维数 n。如果 p n ，则由 n 个等
式约束方程限制了设计变量只可能有唯一的 解，没有最优化的余地。
8.1 代数方程求解