代数方程求解
数学解题方法代数方程的求解
数学解题方法代数方程的求解教案主题：数学解题方法——代数方程的求解一、引言解决数学问题需要一定的方法和技巧，代数方程作为数学问题的一种常见形式，在实际应用中有着广泛的应用。
本节将介绍几种常用的代数方程求解方法，并结合例题展开讲解。
二、一元一次方程的求解1. 提出问题假设班级有x名男生和y名女生，已知男生人数是女生人数的3倍，总人数为60人，请问班级中男生和女生的人数分别是多少？2. 分析问题根据题目要求，可以列出如下的一元一次方程：x = 3y（男生人数是女生人数的3倍）x + y = 60（班级总人数为60人）3. 解决问题（1）将第一个方程中的x代入第二个方程中，得到：3y + y = 604y = 60y = 15（2）将y的值代入第一个方程中，得到：x = 3 * 15 = 45因此，班级中男生人数为45人，女生人数为15人。
三、一元二次方程的求解1. 提出问题一块矩形田地的长度是宽度的2倍，已知矩形的周长是30米，请问矩形的长度和宽度分别是多少？2. 分析问题根据题目要求，可以列出如下的一元二次方程：2x + 2y = 30（矩形的周长是30米）x = 2y（矩形的长度是宽度的2倍）3. 解决问题（1）将第二个方程中的x代入第一个方程中，得到：2 * 2y + 2y = 306y = 30y = 5（2）将y的值代入第二个方程中，得到：x = 2 * 5 = 10因此，矩形的长度为10米，宽度为5米。
四、三元一次方程组的求解1. 提出问题设某工厂生产甲、乙、丙三种产品，已知甲的产量是乙的2倍，丙的产量是甲和乙产量的和的3倍，总产量为600件，请问甲、乙、丙三种产品的产量分别是多少？2. 分析问题根据题目要求，可以列出如下的三元一次方程组：x = 2y（甲的产量是乙的2倍）z = 3(x + y)（丙的产量是甲和乙产量的和的3倍）x + y + z = 600（总产量为600件）3. 解决问题（1）将第一个方程中的x代入第三个方程中，得到：2y + y + z = 6003y + z = 600（2）将第二个方程中的z代入第一个方程中，得到：x = 2y（3）将第二个方程中的z代入第三个方程中，得到：x + y + 3(x + y) = 6004x + 4y = 600x + y = 150（4）将第二个方程中的y代入第三个方程中，得到：x + 2x + 3(3x) = 6007x = 600x = 85.7（取整为86）（5）将x的值代入第二个方程中，得到：y = 86 / 2 = 43（6）将x和y的值代入第一个方程中，得到：z = 3(86 + 43) = 387因此，甲、乙、丙三种产品的产量分别是86件、43件和387件。
代数方程求解
代数方程求解引言在数学领域，代数方程是基础且重要的一环。
它不仅是中学数学课程的核心内容之一，而且在科学研究、工程技术以及日常生活中都有广泛的应用。
本文将简要介绍一元一次方程和一元二次方程的解法，帮助初学者掌握代数方程求解的基本技能。
一元一次方程求解定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的方程，一般形式为：ax + b = 0，其中a和b为常数，x为未知数。
解法解一元一次方程通常采用以下步骤：1. 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。
2. 合并同类项：如果方程两边有相同类型的项，可以合并。
3. 化简：将系数化简到最简形式。
4. 求解：得到未知数的值。
例如，求解方程 2x - 5 = 3：1. 移项得：2x = 3 + 52. 合并同类项得：2x = 83. 化简得：x = 4所以方程2x - 5 = 3的解是x = 4。
一元二次方程求解定义一元二次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的方程，一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为常数，且a≠0。
解法解一元二次方程可以使用以下几种方法：1. 因式分解：适用于能够简单分解的情况。
2. 配方法（完成平方）：通过配方将二次三项式转化为完全平方的形式。
3. 公式法（求根公式）：直接应用二次方程的求根公式来求解。
4. 图像法：利用函数图像与x轴的交点来确定解的位置。
示例以方程 x^2 - 4x + 4 = 0 为例，使用因式分解法：(x - 2)(x - 2) = 0得 x = 2因此，方程x^2 - 4x + 4 = 0的解为x = 2。
结语以上便是一元一次方程和一元二次方程的基础求解方法。
掌握这些技巧对解决更复杂的代数问题至关重要。
当然，随着学习的深入，我们还会接触到更多种类的代数方程及其解法。
希望本文能帮助你打下坚实的基础，为进一步的学习铺平道路。
代数方程的求解方法
代数方程的求解方法
代数方程是数学中重要的研究对象，解代数方程有很多方法和技巧。
本文将介绍几种常见的代数方程求解方法。
1. 试探法
试探法是一种简单而直观的求解代数方程的方法。
通过不断试探可能的解，直到找到满足方程的解为止。
例如，对于一元一次方程ax + b = 0，可以通过试探不同的x值来求解，直到找到满足方程的x值即为解。
2. 因式分解法
因式分解法是一种适用于多项式方程的求解方法。
通过将多项式进行因式分解，将方程转化为更简单的因式形式，从而求解出方程的解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用因式分解法将其转化为(x - m)(x - n) = 0的形式，然后解得x = m或x = n，即为方程的解。
3. 代入法
代入法是一种将已知的等式代入其他方程的方法，从而求解出未知数的值。
通过找到一些已知的等式或条件，将其代入待求解的方程，可以得到新的方程，从而求解出未知数的值。
例如，对于线性方程组：
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
可以通过将第一个方程中的x代入第二个方程，得到新的方程a2(a1x + b1y) + b2y = c2，然后求解出y的值，再将y的值代入第一个方程，求解出x的值。
以上是一些常见的代数方程的求解方法，实际应用中还存在其他方法和技巧。
根据具体的方程形式和求解目标，选择适合的求解方法可以提高求解效率和准确性。
请注意，本文介绍的方法和技巧仅供参考，并不针对特定的代数方程类型或问题。
在实际应用中，应根据具体情况选择合适的方法，并结合数学推导和分析进行求解。
代数方程的解法
代数方程的解法代数方程是数学中常见的问题，解决代数方程意味着找到方程中变量的取值，使得方程成立。
本文将介绍几种常见的代数方程解法，帮助读者更好地理解和应用这些解法。
一、一次方程的解法一次方程是指方程中最高次项为1的代数方程，常见形式为ax + b = 0。
解一次方程的方法是通过变形和化简，将方程化为x = c的形式，其中c为常数。
例如，对于方程3x + 5 = 0，我们可以通过变形得到3x = -5，然后再除以3，得到x = -5/3。
所以该方程的解为x = -5/3。
二、二次方程的解法二次方程是指方程中最高次项为2的代数方程，常见形式为ax^2 + bx + c = 0。
解二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式等。
1. 因式分解法：如果二次方程可因式分解，则可以通过因式分解法来解。
例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，可以因式分解为(x + 2)(x + 2) = 0，得到x = -2。
所以该方程的解为x = -2。
2. 配方法：对于一般的二次方程，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式，然后再求解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0，得到x = -3。
所以该方程的解为x = -3。
3. 求根公式：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，可以将a、b、c的值代入求根公式，得到x = -1/2或x = -2。
所以该方程的解为x = -1/2或x = -2。
三、高次方程的解法高次方程是指方程中最高次项大于2的代数方程。
解高次方程的方法较为复杂，常见的有综合除法法、因式分解法、数值计算法等。
1. 综合除法法：通过综合除法法，可以逐次除去方程中的高次项，将高次方程转化为低次方程，最终得到解。
代数方程求解的方法与技巧
代数方程求解的方法与技巧代数方程是数学中重要的概念之一，它是指一个或多个未知数的系数与常数之间的关系式。
解代数方程是数学中的基本技能之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的代数方程求解方法与技巧。
一、一次方程的求解一次方程是指未知数的最高次数为1的方程，它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
求解一次方程的方法很简单，只需要将未知数的系数和常数代入方程中，然后进行简单的运算即可得到解。
例如，对于方程2x + 3 = 0，我们可以将未知数的系数2和常数3代入方程中，得到2x + 3 = 0，然后将3移到等号的另一侧，得到2x = -3，最后将方程两边同时除以2，即可得到x的解为-3/2。
二、二次方程的求解二次方程是指未知数的最高次数为2的方程，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
求解二次方程的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法。
1.配方法配方法是求解二次方程的一种常用方法，它的基本思想是将二次方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：首先，将二次方程的左边进行配方，即将x^2和bx两项分别拆开，得到(ax^2+ bx) + c = 0。
然后，将(ax^2 + bx)这一部分进行配方，即将b/2a的平方项加到方程的两边，得到(ax^2 + bx + (b/2a)^2) + c - (b/2a)^2 = 0。
接下来，将方程左边的三项进行合并，并进行化简，得到(ax + b/2a)^2 + c - (b/2a)^2 = 0。
最后，将方程两边同时开方，并进行化简，即可得到x的解。
2.因式分解法因式分解法是求解二次方程的另一种常用方法，它的基本思想是将二次方程进行因式分解。
具体步骤如下：首先，将二次方程进行因式分解，得到(ax + m)(bx + n) = 0。
然后，根据因式分解的性质，得到两个方程ax + m = 0和bx + n = 0。
代数方程的求解方法
代数方程是数学中的一个重要概念，它是指一个或多个未知数与常数之间通过运算关系形成的等式。
在数学中，代数方程的求解是一项基础而且重要的工作，它在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍几种常见的代数方程求解方法。
首先，最基本的代数方程求解方法是试运算法。
这种方法适用于解一元一次方程。
假设我们要解方程ax + b = 0，其中a和b是已知系数，x是未知数。
我们可以对方程两边同时进行运算，通过代入不同的数值来验证方程的解。
如果我们发现某个数值使得方程成立，那么这个数值就是方程的解。
试运算法简单易行，但对于复杂数学方程来说效率较低。
其次，代数方程求解中常用的方法是因式分解法。
这种方法适用于解一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a， b和c是已知系数，x是未知数。
我们可以通过因式分解将方程转化为(x + m)(x + n) =0的形式，然后利用分解出来的(x + m)和(x + n)分别等于0的条件解方程。
通过这种方法，我们可以较快地找到一元二次方程的根。
另一种常见的代数方程求解方法是配方法。
这种方法同样适用于解一元二次方程。
配方法的目标是将方程转化为平方的形式。
例如，对于方程ax^2 + bx +c = 0，我们可以通过选取合适的系数m和n，将方程转化为a(x + m)^2 + n = 0的形式。
然后，我们可以通过移项、开方等运算来解方程。
配方法相对较复杂，但适用范围广，并且在解一些特殊的高次方程时有着重要的地位。
最后，使用数值方法是解决复杂代数方程的有效途径。
数值方法利用数值计算的思想，通过迭代逼近的方式求解方程。
这种方法适用于解高次方程、多元方程以及非线性方程等。
数值方法通过将连续的问题转化为离散的问题，并利用计算机进行迭代计算，可以在较短的时间内得到较精确的解。
综上所述，代数方程的求解方法有很多种，我们可以根据方程的形式和条件选择合适的方法。
无论是试运算法、因式分解法还是配方法，都可以解决不同类型的代数方程。
代数方程求解方法
代数方程求解方法代数方程是一种含有未知数的数学等式，其中包含有系数和常数。
求解代数方程是数学中的一个重要问题，解决了这个问题可以得到未知数的值，进而解决各种实际问题。
本文将介绍几种常见的代数方程求解方法。
一、一次方程求解方法一次方程是指未知数的最高次数为1的代数方程，形式如下：ax + b = 0其中，a和b为已知数，x为未知数。
一次方程的求解方法如下：法1：降次消元法通过将方程中的未知数移到等号的一边，已知数移到等号的另一边，来求解x的值。
具体步骤如下：1. 将方程中的已知数移到等号的另一边，得到ax = -b。
2. 除以a，得到x = -b/a。
法2：代入法将方程的等号右边的已知数代入等号左边，解出未知数的值。
具体步骤如下：1. 将方程中的已知数代入等式，得到ax + b = 0。
2. 将已知数带入，得到a(-b/a) + b = 0，化简得到b - b = 0，因此方程成立。
综上所述，一次方程的求解方法如上所述。
二、二次方程求解方法二次方程是指未知数的最高次数为2的代数方程，形式如下：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c为已知数，x为未知数。
二次方程的求解方法如下：法1：因式分解法通过将方程进行因式分解，将方程变为两个一次方程的乘积形式，进而求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将方程进行因式分解，得到(ax + m)(nx + n) = 0。
2. 令每个因式等于0，解出未知数的值。
法2：配方法通过配方法将二次方程转化为平方形式的方程，再进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程中二次项系数a移项，并将二次项和一次项组成一个完全平方，得到(ax^2 + bx) = -c。
2. 令完全平方为一个平方，解出未知数的值。
综上所述，二次方程的求解方法如上所述。
三、高次方程求解方法高次方程是指未知数的最高次数大于2的代数方程，形式如下：anx^n + an-1x^n-1 + ... + a2x^2 + a1x + a0 = 0其中，a0、a1、...、an为已知数，x为未知数。
代数方程的求解
代数方程的求解
引言
代数方程是数学领域的重要内容之一，求解代数方程是许多数学问题的关键步骤。
本文将介绍代数方程的基本概念，常见的求解方法以及求解过程中需要注意的事项。
代数方程的定义
代数方程是指一个或多个未知数的表达式与常数之间通过运算等式相连的等式。
常见的代数方程形式包括一次方程、二次方程、高次方程等。
代数方程的求解方法
1. 一次方程的求解方法
- 对于形如 ax + b = 0 的一次方程，可以直接通过移项求解。
- 将方程中的未知数移到一边，将常数移到另一边，将未知数的系数除到常数上即可求解出未知数的值。
2. 二次方程的求解方法
- 对于形如 ax^2 + bx + c = 0 的二次方程，可以使用求根公式进行求解。
- 求根公式为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
3. 高次方程的求解方法
- 对于高次方程，求解方法相对复杂，可以使用数值方法进行求解，如牛顿法、二分法等。
求解代数方程的注意事项
1. 方程的解可能有多个，也可能无解。
2. 求解过程中要注意检查结果的合法性，是否满足原方程。
3. 在使用数值方法进行求解时，需要注意选取适当的迭代次数和初始值，防止求解过程发散或陷入死循环。
总结
代数方程的求解是数学领域的重要内容，不同类型的方程有不同的求解方法。
求解代数方程时需要注意检查结果的合法性，并在使用数值方法时选择合适的迭代次数和初始值。
通过学习和掌握代数方程的求解方法，可以更好地理解和解决数学问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4 价格p
5
6
6.2859
7
8
代数程的常用求解方法
1．图形放大法 2. 区间迭代法
3．点迭代法
返 回
1．图形放大法
方程 f(x)=0 1）建立坐标系xoy，画曲线 f(x)； 2）观察曲线 f(x)与 x轴相交的交点； 3）将交点逐一进行局部放大； 4）交点的横坐标值就是方程的根。
1．图形放大法
max R( p) max{ px C ( x)}
p 0
化简目标函数，得
R( p) ( p 1.5)(78 p 655 p 125)h 50 8h (78 p 655 p 125)
2 2 3 4 3 4
令 得
3 4
R '( p) 0
(78 p 2 655 p 125)h ( p 1.5)(156 p 655)h 6h (78 p 2 655 p 125) (156 p 655) 0
右边 0.333 0.465 0.531 0.567 0.588 0.599 0.607 序号 左边 0.607 0.612 0.615 0.616 右边 0.612 0.615 0.616 0.617
3. 点迭代法
图形表示点迭代
迭 代 过 程 如 图 所 示
1
y=x
0.8 0.6 0.4 0.2 0
3.点迭代法
模型求解 1.图形法
1000 500 0 200 -500 -1000 -1500 0 2 4 6 8 0 -200
作图：曲线-x轴
利 润 导 数 曲 线 R’(p) 600 400
一个零点：放大
利 润 导 数 曲 线 R’(p)
1
1.5 利 润 导 数 曲 线 R’(p)
2
利 润 导 数 曲 线 R’(p) 50 4 2 0 0 -2 -4 -100 1.1 1.15 1.2 1.25 -6 1.17
经有三次因喷气机设计的创新而迎来了它的巨大飞跃，波音 巴黎航展上展示的“波音7E7”设想图
707是第一架横跨大西洋的喷气机；波音747是第一架巨型的喷
气式客机；波音777是第一架长途旅行双发动机的客机。为设 计一种全新的喷气客机——波音7E7，设计目标是成为世界飞
机市场上最有效率和最为经济的机型。
价格作为市场调节的杠杆，是非常重要的一个因素，对研 发的一种新型客机如何定价？
1.6725
1.9554 1.7730 1.8822
11
12 13
1.8391
1.8392 1.8392
1.8454
1.8355 1.8416
精确解：x=1.8393
1(x)的迭代是失败的（迭代不收敛 ）。
6.25
6.3
6.35
6.4
利 润 导 数 曲 线 R’(p)
4 2 0 -2 -4 6.28
6.285
6.29
6.286
6.2865
6.2859
模型求解
利 润 函 数 曲 线 R’(p) 2000
1500
1000
数值解为： p1=1.1764
500
0
p2=6.2860
-500
-1000
0
1
2
3
1.1764
5 x-exp(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 5x-exp(x)
-0.5
-0.5
0
0.5
1 x
1.5
1.5
2
2.5
2.5
3
0
0.2 5
0.5
1
1.5 x
2
2.5
2.5
3
引例: 飞机如何定价
波音707客机
【问题背景】
波音747客机
波音777客机 在近90年的历史中，波音这个世界最大的飞机制造商已
2. 区间迭代法
区间迭代方法之一： 二分法
[x2, x1] [x3, x1]
5
0
f ( x2 )
-5
f ( x1 )
f ( x3 )
-10
-15
-20 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
区间迭代方法之一：
黄金分割法=0.618法
3. 点迭代法
Z
引例： 3xex = 0 1）该方程有多少个根？如何判 断？
Z
3. 点迭代法
点迭代举例-函数构造
例：用迭代方法求解方程 x3 x2 x1 0。 解： 第一步 构造迭代函数： x = (x )
x x x 1
3 2
1 ( x ) 2 ( x) 3 ( x)
x
3
x x 1
2
1 1 x 1 2 x x
3. 点迭代法
1 4
模型求解 需要求解如下方程：
(78 p 2 655 p 125)h ( p 1.5)(156 p 655)h 6h (78 p 655 p 125) (156 p 655) 0
2 3 4 1 4
其中，选取h=0.5 可以采用3种方法：
1.图形法 2.区间迭代法
4. 该公司的市场占有率h是一个常数；
5. 该公司的销售量：x = h×N(p)
引例
问题假设
6. 该公司的制造成本为：C(x) = 50 + 1.5x + 8x3/4 ； 7. 利润函数：R(p) = px – C(x) 8. 最佳定价策略：利润R(p)达最大。
建立模型
引例
根据假设，得到如下数学模型：
返 回
-1.5
-1
逐次缩 小区间，观 察一个根在 -1.55~-1.5之 间。
1．图形放大法
方程组求解举例 例2: 用图解法求下列代数方程的根
2 2 x y 1 0 3 0.75* x y 0.9 0
0.75 x 3-y+0.9 = 0 6
4
2
ezplot('x^2+y^2-1')
-50
1.175
1.1764
1.18
模型求解 1.图形法
200 0 -200 -400 -600 -50
另一个零点：放大
利 润 导 数 曲 线 R’(p) 50 利 润 导 数 曲 线 R’(p)
0
6
6.5 利 润 导 数 曲 线 R’(p)
7
-100 6.2 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 6.2855
line([-6,6],[0,0]) 或 ezplot(‘f(x)’,[-6,6])
-6000 -8000 -6 -4 -2 0 2 4 6
区间缩小，图形放大。[-6, 6] -> [-2, 2]
1．图形放大法
放大
50 10 0 0 -10 -50 -2 10 0 -10 -20 -2 -1.5 0 2 -20 -2 1 0 -1 -2 -1.6 -1.5 -1.4
0
hold on
ezplot('0.75*x^3-y+0.9')
y
-2
-4
-6 -6 -4 -2 0 x 2 4 6
1．图形放大法
图形放大 ezplot('x^2+y^2-1‘，[-2，2])
Matlab 程序 hold on ezplot('0.75*x^3-y+0.9‘， [-2，2])
0.75 x 3-y+0.9 = 0 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2
引例
问题分析
飞机的定价主要考虑以下因素：
飞机的制造成本、公司的生产能力、飞机 的销售数量与价格、竞争对手的行为与市场占 有率等。
引例
问题假设
1. 设价格表示为 p； 2. 假设只考虑一种型号的飞机； 3. 价格决定总销售量：根据历史数据预测分析得： N(p) = -78p2 + 655p + 125 其中N表示全球销售量。
3. 点迭代法
计算结果 序号
1 2 3
2(x) 3(x)
1.4422 1.6537 1.7532 3.0000 1.4444 2.1716
序号
8 9 10
2(x) 3(x)
1.8175 1.8385 1.8389 1.8136 1.8554 1.8294
4
5 6 7
1.7995
1.8209 1.8308 1.8354
迭代举例-Matlab实现程序
第二/三步 迭代+初始值
设定初值 x0=1， xn+1 = (xn)，n =0，1，… 用 MATLAB 编程（died2.m) X(1)=1;y(1)=1;z(1)=1;(初始点） for k=1:20 x(k+1)=x(k)^3-x(k)^2-1; %1 (x) y(k+1)=(y(k)^2+y(k)+1)^(1/3); %2 (y) z(k+1)=1+1/z(k)+1/z(k)^2; %3 (z) end X，y，z
y
-1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
2
1．图形放大法
图形放大-继续 图形放大
ezplot('x^2+y^2-1‘，[-1,-0.9,0.15,0.2]) hold on ezplot('0.75*x^3-y+0.9‘， [-1,-0.9,0.15,0.2])
0.75 x 3-y+0.9 = 0 0.2
返 回
引言
多项式方程: