代数方程 最优化方程
数学解题：50个方程式(打印版)
数学解题：50个方程式(打印版)数学解题：50个方程式（打印版）前言本文档旨在为数学学习者提供一个全面、系统的方程式解题指导。
我们精心挑选了50个具有代表性的方程式，涵盖了初中、高中及大学数学的主要知识点。
通过学习这些方程式，读者可以巩固基础，提高解题技巧。
目录1. 线性方程2. 一元二次方程3. 二元一次方程组4. 不等式5. 函数6. 对数方程7. 三角方程8. 反三角方程9. 指数方程10. 多元方程组11. 微分方程12. 积分方程13. 线性代数方程14. 特征值与特征向量15. 矩阵方程16. 空间解析几何方程17. 复数方程18. 概率方程19. 统计方程20. 逻辑方程21. 排列组合方程22. 图论方程23. 数论方程24. 代数方程25. 几何方程26. 物理方程27. 化学方程28. 生物方程29. 经济方程30. 金融方程31. 工程方程32. 计算机科学方程33. 人工智能方程34. 量子力学方程35. 天体物理方程36. 热力学方程37. 电磁学方程38. 流体力学方程39. 光学方程40. 声学方程41. 振动方程42. 波动方程43. 非线性方程44. 微分方程组45. 积分方程组46. 线性规划方程47. 非线性规划方程48. 最优化方程49. 插值与拟合方程50. 数值分析方程结语希望通过本文档的学习，读者能够掌握方程式解题的精髓，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
如有疑问，请随时与我们联系。
祝您学习愉快！（此处为内容结束标志）。
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
综合应用三代数方程与最优化问题的计算机求解
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
3
代数方程的求解
代数方程的图解法 多项式型方程的准解析解法
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
4
代数方程的图解法
1.一元方程的图解法
【例6-1】
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
5
2. 二元方程的图解法
当然也可以用前面的函数求解
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
18
【例6-10】
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
19
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
10
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
11
【例6-6】
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
12
【例6-7】
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
13
有约束最优化问题 的计算机求解
2019/9/19
【例6-2】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
6
6.1.2 多项式型方程的准解析解法
【例6-3】
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
7
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
8
【例6-4】
2019/9/19
高等应用数学问题的MATLAB求解
9
【例6-5】
实验八 最佳广告编排方案
［实验目的］ 1、了解线性规划问题 2、掌握MATLAB求解线性规划的命令
第6章 代数方程与最优化问题的计算机求解
例6-12
求非线性方程组全部根
感兴趣区间 图解法
10/30/2016星期六, 2008-9- 6, 13:09:29
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院 29/195
设定求解区间 [-2*pi,2*pi] 求解
用图解法显示出找到的全部根
10/30/2016星期六, 2008-9- 6, 13:09:29
10/30/2016星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院 21/195
6.1.4 求解多解方程的全部解
Riccati 方程（第4章）
更多的非线性矩阵方程，例如，
广义Riccati方程
类Riccati方程
还有很多很多的矩阵方程
10/30/2016星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院 22/195
第6章 代数方程与最优化问题 的计算机求解
代数方程的求解 无约束最优化问题求解 有约束最优化问题的计算机求解 混合整数规划问题的计算机求解 线性矩阵不等式问题求解 多目标优化问题求解 动态规划及其在路径规划中的应用
10/30/2016星期六, 2008-9- 6, 13:09:29 高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院 1/195
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院 41/195
6.2.3 全局最优解与局部最优解
最小值存在的必要条件是
使用搜索方法，从初始值出发，可能找到 一个这样的点，它是局部最小值 局部极小值中目标函数最小的为全局最小 整个目标函数可能存在多个局部最小值 搜索算法不一定能求出全局最小值
数学中的最优化理论
数学中的最优化理论最优化理论作为数学中一个重要的分支，其目的是寻找在给定条件下能够使某一函数取得最优值的变量取值。
最优化问题广泛应用于工程、经济、计算机科学等领域，对于提高效率、降低成本具有重要意义。
本文将对最优化理论的基本概念、常见方法和应用进行介绍。
一、最优化理论的基本概念最优化问题可以归结为如下形式：$$\min_{x \in D} f(x)$$其中，$D$是定义域，$f(x)$是目标函数。
最优化问题分为约束优化和无约束优化两类。
在约束优化问题中，目标函数的取值需要满足一定的条件。
无约束优化问题则没有这样的限制条件。
在求解最优化问题时，我们需要找到一个使目标函数值最小的变量取值。
这个变量取值被称为最优解，对应的目标函数值被称为最优值。
最优解的存在性和唯一性是最优化问题的重要性质，而最优化理论研究的就是如何找到最优解。
二、最优化问题的常见求解方法1. 数学分析方法数学分析方法主要通过对目标函数进行求导以及对约束条件进行分析，来得到最优解。
这种方法通常适用于目标函数和约束条件具有良好的可导性质的情况。
通过求解一阶导数为零的方程组，可以得到最优解的可能取值。
然后通过二阶导数的符号来判断这些取值是最大值还是最小值。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化方法，特别适用于目标函数为凸函数的情况。
其基本思想是通过不断朝着函数梯度的负方向迭代，直到找到最小值或达到预设的停止条件。
梯度下降法的优势在于可以处理大规模问题，并且不需要求解函数的导数。
然而，梯度下降法可能陷入局部最优解，因此在实际应用中需要谨慎选择初始点和调整学习率。
3. 线性规划法线性规划是一种特殊的最优化问题，其目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划问题具有良好的可解性，并且有高效的算法可以求解。
最著名的线性规划方法是单纯形法，它通过不断沿着可行解空间中的边界移动，寻找最优解。
此外，整数规划、二次规划等也是常见的最优化问题，各自有不同的求解方法。
代数方程的解法
代数方程的解法代数方程是数学中常见的问题，解决代数方程意味着找到方程中变量的取值，使得方程成立。
本文将介绍几种常见的代数方程解法，帮助读者更好地理解和应用这些解法。
一、一次方程的解法一次方程是指方程中最高次项为1的代数方程，常见形式为ax + b = 0。
解一次方程的方法是通过变形和化简，将方程化为x = c的形式，其中c为常数。
例如，对于方程3x + 5 = 0，我们可以通过变形得到3x = -5，然后再除以3，得到x = -5/3。
所以该方程的解为x = -5/3。
二、二次方程的解法二次方程是指方程中最高次项为2的代数方程，常见形式为ax^2 + bx + c = 0。
解二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式等。
1. 因式分解法：如果二次方程可因式分解，则可以通过因式分解法来解。
例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，可以因式分解为(x + 2)(x + 2) = 0，得到x = -2。
所以该方程的解为x = -2。
2. 配方法：对于一般的二次方程，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式，然后再求解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0，得到x = -3。
所以该方程的解为x = -3。
3. 求根公式：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，可以将a、b、c的值代入求根公式，得到x = -1/2或x = -2。
所以该方程的解为x = -1/2或x = -2。
三、高次方程的解法高次方程是指方程中最高次项大于2的代数方程。
解高次方程的方法较为复杂，常见的有综合除法法、因式分解法、数值计算法等。
1. 综合除法法：通过综合除法法，可以逐次除去方程中的高次项，将高次方程转化为低次方程，最终得到解。
线性代数—克莱姆法则
线性代数—克莱姆法则
克莱姆法则是由现代数学家狄里克·克莱姆在十九世纪二十年代初发现的一种数学方法，用于快速地解决某些复杂的非线性方程组。
该法则主要有四步：（1）假设一组未知量；（2）求解该组方程；（3）核查解的有效性；（4）如果解有效，则接受该解；否则更改第1步中的未知量，然后重新开始这一过程。
克莱姆法则的运用是基于线性代数中最优化方程组的求解，即确定未知连续变量的值来最大程度地满足非线性方程组限制条件的过程。
由于该法则具有容易理解、计算方便、解结构同构完整、解复杂度小等特点，因而迅速受到业界的欢迎，成为现代线性代数常用的求解方法之一。
克莱姆法则应用于显式多元线性方程组中，它假设这一方程组具有唯一的解，并通过将该方程组映射到另一个虚拟方程组来解决。
它也可以用来求解隐式的多元线性方程组，其优点是能够有效规避数值问题。
实际应用中，克莱姆法则也往往与其它数值技术相结合，如子程序法、减法法等，为解决最优化问题提供了更强大的解决方案。
同时，该法则也被拓展应用到其它领域（如运筹学），并在控制工程和机器人学等领域大量使用。
计算机方程式汇总(最新)
计算机方程式汇总(最新)引言计算机方程式是计算机科学领域中的基础知识，它们被广泛应用于算法设计、数值计算、机器研究和人工智能等领域。
本文将汇总一些最新的计算机方程式，介绍它们的定义、应用和相关的算法。
线性方程组线性方程组是计算机科学中最常见的方程组形式。
它由一组线性方程组成，其解是满足所有线性方程的变量值。
求解线性方程组可以使用高斯消元法、LU分解或迭代方法等。
常见的线性方程组求解算法有：1. 高斯消元法：通过不断消去未知数来求解线性方程组，时间复杂度为O(n^3)。
2. LU分解：将线性方程组分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，时间复杂度为O(n^3)。
3. 迭代方法：通过迭代逼近线性方程组的解，常用的方法有Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代。
非线性方程组非线性方程组是包含非线性方程的方程组。
求解非线性方程组是一个困难的问题，通常需要使用数值优化方法或迭代方法。
常见的非线性方程组求解算法有：1. 牛顿迭代法：通过在初始点处构造切线，不断逼近非线性方程组的解。
2. 递推法：通过逐步迭代来逼近非线性方程组的解，常用的方法有Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR迭代。
3. 数值优化方法：将求解非线性方程组转化为优化问题，使用梯度下降、共轭梯度等方法求解。
微分方程微分方程是描述物理过程或动态系统的方程，它涉及到变量及其导数。
求解微分方程可以使用解析方法或数值方法。
常见的微分方程求解算法有：1. 欧拉方法：使用离散化的近似替代微分方程，通过迭代逼近微分方程的解。
2. 龙格-库塔方法：使用一系列的近似值来逼近微分方程的解，常用的方法有经典的四阶和五阶方法。
3. 有限元方法：将连续的微分方程转化为离散的代数问题，通过求解代数问题得到微分方程的近似解。
优化方程优化方程是求解最优化问题的方程，目标是找到使目标函数达到最小或最大的变量值。
求解优化方程可以使用数值优化方法或迭代方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可先用用图解法选取初值，再调用fsolve( )函数 数值计算
>> format long >> y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t'); >> ff=optimset; ff.Display='iter'; [t,f]=fsolve(y,3.5203,ff) Norm of First-order Trust-region Iteration Func-count f(x) step optimality radius 1 2 1.8634e-009 5.16e-005 1 2 4 3.67694e-019 3.61071e-005 7.25e-010 1 Optimization terminated successfully: First-order optimality is less than options.TolFun. t= 3.52026389294877 f= -6.063776702980306e-010
7.1.3 一般非线性方程数值解
• 格式： 最简求解语句 x=fsolve(Fun, x0) 一般求解语句 [x, f, flag, out]=fsolve(Fun, x0,opt, p1, p2,…) 若返回的flag 大于0，则表示求解成功，否则求 解出现问题， opt 求解控制参数，结构体数据。 获得默认的常用变量 opt=optimset; 用这两种方法修改参数（解误差控制量） opt.Tolx=1e-10; 或 set(opt.‘Tolx’, 1e-10)
c= 1 d= iterations: 7 funcCount: 21 algorithm: 'trust-region dogleg' firstorderopt: 1.3061e-010 ％解回代的精度 调用inline( )函数： >> f=inline('[p(1)*p(1)+p(2)*p(2)-1; 0.75*p(1)^3-p(2)+0.9]','p'); >> [x,Y] = fsolve(f,[1; 2],OPT); % 结果和上述完全一致，从略。 Optimization terminated successfully: First-order optimality is less than options.TolFun.
7.1代数方程的求解
7.1.1 代数方程的图解法
• 一元方程的图解法 例：
>> ezplot('exp(-3*t)… *sin(4*t+2)+4*exp… (-0.5*t)*cos(2*t)-… 0.5',[0 5]) >> hold on, >> line([0,5],[0,0]) % 同时绘制横轴
• 例：求解 （带参数方程） >> syms a b x y; >> [x,y]=solve('x^2+a*x^2+6*b+3*y^2=0','y=a+(x+3)','x,y') x= [ 1/2/(4+a)*(-6*a-18+2*(-21*a^2-45*a-27-24*b-6*a*b3*a^3)^(1/2))] [ 1/2/(4+a)*(-6*a-18-2*(-21*a^2-45*a-27-24*b-6*a*b3*a^3)^(1/2))] y= [ a+1/2/(4+a)*(-6*a-18+2*(-21*a^2-45*a-27-24*b-6*a*b3*a^3)^(1/2))+3] [ a+1/2/(4+a)*(-6*a-18-2*(-21*a^2-45*a-27-24*b-6*a*b3*a^3)^(1/2))+3]
验证：
>> err=[x+3*y.^3+2*z.^2-1/2, x.^2+3*y+z.^3-2, x.^3+2*z+2*y.^22/4]; >> norm(double(eval(err))) ans = 1.4998e-027
• 多项式乘积形式也可，如把第三个方程替换一下。
>> [x,y,z]=solve('x+3*y^3+2*z^2=1/2','x^2+3*y+z^3=2','x^3+ 2*z*y^2=2/4'); >> err=[x+3*y.^3+2*z.^2-1/2, x.^2+3*y+z.^3-2, x.^3+2*z.*y.^2-2/4]; >> norm(double(eval(err))) % 将解代入求误差 ans = 5.4882e-028
• 例：求解 （含变量倒数） >> syms x y; >> [x,y]=solve('x^2/2+x+3/2+2/y+5/(2*y^2)+3/x^3=0',... 'y/2+3/(2*x)+1/x^4+5*y^4','x,y'); >> size(x) ans = 26 1 >> err=[x.^2/2+x+3/2+2./y+5./(2*y.^2)+3./x.^3,y/2+3./ (2*x)+1./x.^4+5*y.^4]; ％验证 >> norm(double(eval(err))) ans = 8.9625e-030
验证： >> syms t ; t=3.52028; vpa(exp(-3*t)*sin(4*t+2)+… 4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5) ans = -.19256654148425145223200161126442e-4
• 二元方程的图解法 例：
>> ezplot('x^2*exp(-x*y^2/2)+exp(-x/2)*sin(x*y)') % 第一个方程曲线 >> hold on % 保护当前坐标系 >> ezplot(‘x^2 *… cos(x+y^2) +… y^2*exp(x+y)')
• 重新设置相关的控制变量，提高精度。
>> ff=optimset; ff.TolX=1e-16; ff.TolFun=1e-30; >> ff.Display='iter'; [t,f]=fsolve(y,3.5203t-region Iteration Func-count f(x) optimality radius 1 2 1.8634e-009 5.16e-005 1 2 4 3.67694e-019 3.61071e-005 7.25e-010 1 3 6 0 5.07218e-010 0 1 Optimization terminated successfully: First-order optimality is less than options.TolFun. t= 3.52026389244155 f= 0
• 一般多项式方程的根可为实数，也可为复数。 可用MATLAB符号工具箱中的solve( )函数。 最简调用格式： S=solve(eqn1,eqn2,…,eqnn) （返回一个结构题型变量S，如S.x表示方程的根。）
直接得出根： （变量返回到MATLAB工作空间） [x,…]=solve(eqn1,eqn2,…,eqnn) 同上，并指定变量 [x,…]=solve(eqn1,eqn2,…,eqnn，’x,…’)
初值改变有可能得出另外一组解。故初值的选择 对解的影响很大，在某些初值下甚至无法搜索到方程 的解。
• 例：
用solve( )函数求近似解析解
>> syms t; solve(exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)* cos(2*t) - 0.5) ans = .67374570500134756702960220427474 ％不允许手工选择初值，只能获得这样的一个解。
• 验证
>> [eval('x.^2+y.^2-1') eval('75*x.^3/100-y+9/10')] ans = [ 0, 0] [ 0, 0] [ 0, 0] [ -.1e-31, 0] [ .5e-30+.1e-30*i, 0] [ .5e-30-.1e-30*i, 0] 由于方程阶次可能太高，不存在解析解。然而， 可利用MATLAB的符号工具箱得出原始问题的高精 度数值解，故称之为准解析解。
• 例： >> syms x y; >> [x,y]=solve('x^2+y^2-1=0','75*x^3/100-y+9/10=0')
x= [ -.98170264842676789676449828873194] [ -.55395176056834560077984413882735-.35471976465080793456863789934944*i] [ -.55395176056834560077984413882735+.35471976465080793456863789934944*i] [ .35696997189122287798839037801365] [ .86631809883611811016789809418650-1.2153712664671427801318378544391*i] [ .86631809883611811016789809418650+1.2153712664671427801318378544391*i] y= [ .19042035099187730240977756415289] [ .92933830226674362852985276677202-.21143822185895923615623381762210*i] [ .92933830226674362852985276677202+.21143822185895923615623381762210*i] [ .93411585960628007548796029415446] [ -1.4916064075658223174787216959259-.70588200721402267753918827138837*i] [ -1.4916064075658223174787216959259+.70588200721402267753918827138837*i]