Z变换和差分方程
典型的采样系统
R(s )
+
E (s )
E * ( s)
−
T
Gh ( s )
E h (s )
1 s
C (s )
输出 : c[( k + 1)T ] = c ( kT ) + Te ( kT ) 这就是上述采样控制系 统的差分方程。
差分方程的 求解方法
1. 迭代求解
输出 : c [( k + 1 ) T ] = c ( kT ) + Te ( kT ) 由于 e ( k ) = r ( k ) − c ( k )
1 d q −1 z R= lim q −1 ( s − p1 ) q F ( s) (q − 1)! s → p1 ds z − e pi T
例8-4-5
解:
求 cos ω t 的Z变换
s s F (s) = 2 = 2 s +ω ( s − jω )( s + jω )
s z 1 z R1 = lim ( s − jω ) = sT s → jω ( s − jω )( s + jω ) z − e 2 z − e jωT
c ( k ) = (1 − T ) k c ( 0 ) + T
∑
(1 − T ) k − 1 − i r ( i )
i= 0
迭代法求解示例
• 例题：若描述某离散系统的差分方程为： 例题：若描述某离散系统的差分方程为： y (k ) + 3 y (k − 1) + 2 y (k − 2) = f (k ) 已知初始条件: 已知初始条件:
1. 级数求和法
• 将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯 将离散函数根据定义展开, 变换， 变换， ∞ • F *(t) = ∑ f ( nt ) δ ( t − nT )
n=0Leabharlann 可得： 可得：F (z) = f(0) ×1 + f (T) Z-1 + f(2T) Z-2 + f (nT) Z-n
s ω ω s 1 1 − + + + − ω 2j 2 2 2j 2j 2j 解： L[sin ω t ] = 2 = = + 2 2 2 s +ω s +ω s + jω s − jω 因为 所以 1 − j ( ±ω t ) L =e s ± jω
−1
1 1 1 ω 1 F ( z) = z 2 = + s + ω 2 2 j 1 − e − jωT z −1 2 j 1 − e jωT z −1 z −1 sin ωT z −1 sin ωT = = − jωT −1 − jωT −1 −2 1− e z −e z +z 1 − 2 z −1 cos ωT + z −2
c ( k + n ) + a 1 c ( k + n − 1) + L + a n c ( k ) = b 0 r ( k + m ) + b1 r ( k + m − 1) + L + b m r ( k )
n—系统的阶次 k—系统的第k个采样周期 系统的第k
线性定常系统差分 方程的一般形式
差分方程的物理意义
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 的序列y 及其各阶差分的方程式。 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程， 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励， 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义: 差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统， 对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 r(k)有 刻的输出值 C(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 而且与过去时刻的输入值r(k 1)、 r(k-2)…有 r(k关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2) 有 还与过去的输出值c(k 1)、 c(k-2)…有关 c(k有关。 关，还与过去的输出值c(k-1)、 c(k-2) 有关。可 以把这种关系描述如下： 以把这种关系描述如下：
A B 1 1 解：因为 F ( s ) = + = − s s+a s s+a 而 L−1 F ( s ) = 1(t ) − e − at z z z (1 − e − aT ) 所以 F ( z ) = − = − aT z −1 z − e ( z − 1)( z − e − aT )
例8-4 求 F ( z ) = Z [sin ωt ]
例 8-1
见教材339页 例题8 见教材339页 例题8－4－1. 339
− at
例 8-2 求 e
解：F ( z ) =
∞
的 F(Z)
见教材339页例题8 见教材339页例题8－4－2 339页例题
0 0 − aT
∑e
k =0
− akT
z
−k
=e z +e = 1
z
−1
+e
− 2 aT
z
−2
+L
Tz F ( z) = 2 ( z − 1)
例8—7
f (t ) = t
2
T 2 z ( z + 1) ⇒ F ( z) = ( z − 1) 3
•
下表列出了一些常见函数及其相应的 Laplace 变换 和 Z 变换，利用此表可以 变换， 根据给定的函数或其 Laplace 变换直接查 变换， 出其对应的 Z变换，不必进行繁琐的计算， 变换 不必进行繁琐的计算， 这也是实际中广泛应用的方法。 这也是实际中广泛应用的方法。
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为: F(S)具有一阶极点 具有一阶极点S=P 其留数为:
z R1 = lim ( s − p1 ) F ( s ) s → p1 z − e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为: F(S)具有 阶重复极点时,其留数为: 具有q
y ( 0 ) = 0 , y (1) = 2 , 激励 f （ k ）= 2 k ε ( k ),
求: y (k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， 以外的各项都移到等号右边， • 得： y (k ) = −3 y (k − 1) − 2 y (k − 2) + f (k ) • 对于 k = 2, 将已知初始值y (0) = 0, y (1) = 2代入上式，得：
第四节
Z 变换
f ∗ (t ) = ∑ f ( nT )δ (t − nT )
n=0
∞
F * (s) =
∑
∞
f ( nT ) e − nT s S
n=0
Z = e ST s , F ( z ) = Z f * (t )
Z =e
sT s
[
]= ∑
∞
f ( nT ) Z − n
n=0
1 s = ln z T
p342） Z 变换的基本定理（p342）
1、线性定理 2、滞后定理 3、初值定理 4、终值定理 5、超前定理 6、复数偏移定理
1、线性定理 设： f (t ) = ∑ ai f i (t ) = a1 f1 (t ) +a2 f 2 (t ) + LL + an f n (t ) 则： F ( z ) = ∑ ai Fi ( z ) = a1F1 ( z ) +a2 F2 ( z ) + LL + an Fn ( z )
• 引入变量： 引入变量：
z=e
Ts
sT s
或者写成： s = 1 ln z 或者写成：
S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期； 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期 采样周期； 一个复变量， 平面上， 变换算子， Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子， 记为：采样信号的Z变换： 记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)] = F(z) 变换， F (z)是采样脉冲序列的 Z变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。 它只考虑了采样时刻的信号值。
y ( 2) = −3 y (1) − 2 y (0) + f (2) = −2
• 类似的依次迭代可得： 类似的依次迭代可得：
y (3) = −3 y (2) − 2 y (1) + f (3) = 10 y (4) = −3 y (3) − 2 y (2) + f (4) = −10 K
迭代法的 特点
Z 变换的实质
1. 将差分方程转为代数方程，简化求解过程。 1.将差分方程转为代数方程 简化求解过程。 将差分方程转为代数方程， 2. 复变量 s 与 z 之间的关系，反映了连续函 2.复变量 之间的关系， 域的对应关系。 数在 s 域和离散函数在 z 域的对应关系。
4.2
Z 变换的方法
级数求和法 部分分式法 留数计算法
s z 1 z R2 = lim ( s + jω ) = sT s → − jω ( s − jω )( s + jω ) z − e 2 z − e − jωT
例8—6 求
解:
f ( t ) = t 的Z变换
两阶重极点!! 两阶重极点!!
1 F (s) = 2 s
d z d z Tz 2 1 R = lim (s − 0) 2 = lim = sT sT 2 s →0 ds s →0 ds z − e s z −e ( z − 1)
思路清楚，便于编写计算程序， 1. 思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程 的数值解。 的数值解。 但不容易得出输出在采样时刻值的通解。 2. 但不容易得出输出在采样时刻值的通解。
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Z变换和差分方程
t z 1
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k
n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k
n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
§8.7 用z变换解差分方程
y ( n) = 0.5 +0.45×( 0.9)
n
( n ≥ 0)
第
例8-7-2
已知系统框图 列出系统的差分方程。 列出系统的差分方程。
n
6 页
x(n)
1 E
+ + +
−3
1 E 1 E
y(n)
(− 2) n ≥ 0 x(n) = , y(0) = y(1) = 0, 0 n<0
求系统的响应 y(n)。 。 解： （1） 列差分方程，从加法器入手 ） 列差分方程，
第
一．应用z变换求解差分方程步骤
一．步骤
(1)对差分方程进行单边 变换（移位性质）； 对差分方程进行单边 变换（移位性质） 对差分方程进行单边z变换 (2)由z变换方程求出响应 由 变换方程求出响应 变换方程求出响应Y(z) ； (3) 求Y(z) 的反变换，得到 的反变换，得到y(n) 。
3 页
0.9y ( −1) z 0.05z2 Y ( z) = + ( z −1)( z − 0.9) z − 0.9
z −1
Y ( z) A A2 1 = + z z −1 z − 0.9
第 5 页
Y ( z) A A2 1 = + z z −1 z − 0.9
A = 0.5 1
A2 = 0.45
z z Y ( z) = 0.5 + 0.45 z −1 z − 0.9
§8.7 用z变换解差分方程
第
序言
2 页
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法 时域方法 •z变换方法 变换方法 •差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； 可以将时域卷积→ 可以将时域卷积 频域（ 域 乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； 部分分式分解后将求解过程变为查表； 部分分式分解后将求解过程变为查表 •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的 求解过程自动包含了初始状态（ 求解过程自动包含了初始状态 相当于0 条件）。 条件）。
n
( n ≥ 0)
第
例8-7-2
已知系统框图 列出系统的差分方程。 列出系统的差分方程。
n
6 页
x(n)
1 E
+ + +
−3
1 E 1 E
y(n)
(− 2) n ≥ 0 x(n) = , y(0) = y(1) = 0, 0 n<0
求系统的响应 y(n)。 。 解： （1） 列差分方程，从加法器入手 ） 列差分方程，
第
一．应用z变换求解差分方程步骤
一．步骤
(1)对差分方程进行单边 变换（移位性质）； 对差分方程进行单边 变换（移位性质） 对差分方程进行单边z变换 (2)由z变换方程求出响应 由 变换方程求出响应 变换方程求出响应Y(z) ； (3) 求Y(z) 的反变换，得到 的反变换，得到y(n) 。
3 页
0.9y ( −1) z 0.05z2 Y ( z) = + ( z −1)( z − 0.9) z − 0.9
z −1
Y ( z) A A2 1 = + z z −1 z − 0.9
第 5 页
Y ( z) A A2 1 = + z z −1 z − 0.9
A = 0.5 1
A2 = 0.45
z z Y ( z) = 0.5 + 0.45 z −1 z − 0.9
§8.7 用z变换解差分方程
第
序言
2 页
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法 时域方法 •z变换方法 变换方法 •差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； 可以将时域卷积→ 可以将时域卷积 频域（ 域 乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； 部分分式分解后将求解过程变为查表； 部分分式分解后将求解过程变为查表 •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的 求解过程自动包含了初始状态（ 求解过程自动包含了初始状态 相当于0 条件）。 条件）。
z变换求解差分方程步骤
z变换求解差分方程步骤嘿，咱今儿就来讲讲这用 z 变换求解差分方程的步骤哈。
这可就像是解开一道神秘的谜题呢！你想想，差分方程就像是一个调皮的小精灵，藏着好多秘密等我们去发现。
而 z 变换呢，就是那把神奇的钥匙啦。
首先呢，得把差分方程给它表示清楚咯，可不能模模糊糊的。
就像你要找东西，总得先知道要找啥样的不是？然后对这个差分方程进行 z 变换，这就好比给它施了个魔法，一下子就变得不一样啦。
在这个过程中啊，你得细心点儿，可别弄错啦。
这就跟走迷宫似的，一步错步步错呀。
接着呢，就会得到一个关于 z 的表达式，这可就是我们前进的线索呢。
然后呢，咱得把这个表达式给它化简化简，把那些复杂的东西都去掉，就像给苹果削皮一样，让它露出最精华的部分。
这时候可就考验咱的本事啦，得有耐心，还得有那么点儿小技巧。
再接下来呀，就得求解啦！这就像是终于找到了宝藏的位置，要把它挖出来一样。
把 z 的值求出来，这可不容易呢，但咱不能怕呀，要勇往直前！等求出了 z 的值，可别以为就大功告成咯。
还得把它变回原来的世界，也就是反变换回去。
这就像是把变了形的东西再变回来，可神奇啦。
哎呀，你说这过程是不是挺有意思的？就好像是一场冒险，每一步都充满了挑战和惊喜。
你要是能熟练掌握这 z 变换求解差分方程的步骤，那可就厉害咯，就像是拥有了超能力一样！你想想，以后遇到那些复杂的差分方程，别人都抓耳挠腮不知道咋办的时候，你就能轻松搞定，那多牛呀！这就好比别人还在走路，你都开上小汽车啦，一下子就把他们甩在后面啦。
所以呀，可得好好学这 z 变换求解差分方程的步骤哦，别偷懒，多练练，肯定能掌握得牢牢的。
到时候，不管啥样的难题都难不倒你啦！这多棒呀，是不是？。
Z变换及差分方程的求解
Z变换及差分⽅程的求解第⼆讲离散时间动态经济系统运动分析及稳定性分析2.1离散时间函数与Z变换⽬的要求：通过本节的学习使学⽣掌握离散时间函数及Z变换的概念，会使⽤Z变换的性质解决问题，掌握差分⽅程及离散时间系统的运动分析⽅法。
教学内容：我们经常会遇到利⽤离散时间函数表⽰的差分⽅程或差分⽅程组，这在经济管理中经常遇到。
现介绍离散时间函数，差分⽅程后⾯介绍。
⼀、离散时间函数例1 ⼈⼝离散时间函数设全国⼈⼝普查每年进⾏⼀次。
每年的7⽉1⽇凌晨零点的⼈⼝数代表该年的⼈⼝数。
我们以t=0 代表1990年7⽉1⽇凌晨的这个时刻，那么t=1,2,3,……分别表⽰1991年、1992年、1993年等各年度7⽉1⽇凌晨零点。
各年度普查的实际⼈⼝数如下表所⽰中国实际⼈⼝数据（亿⼈）x(0)=11.4333, x(1)=11.5823, x(2)=11.7171,x(3)=11.8517, x(4)=11.9850, x(5)=12.1121,x(6)=12.2389, x(7)=12.3626,……由于在离散时间离取值，故称之为离散时间函数例2 国民⽣产总值GNP(gross national product)离散时间函数。
则，GNP(t)表⽰第t年的GNP数值。
GNP(O)=33560.5, GNP(1)=46670.0, GNP(2)=57494.9,……例3 企业⽉产量离散时间函数。
表为电视机⼯⼚⽣产⽉报表（万台）则，Y(0)=1.5, Y(1)=2, Y(2)=1.8,……可以看出，经济管理实践中基本上采⽤离散时间函数来表达各种变量的变化，并该函数没有解析表达式，只有图象、列表表达式。
其⾃变量为离散时间。
⼆、Z 变换及其逆变换导⾔：Z 变换是怎么发明出来的？⽜顿、莱布尼兹等发明了微积分，之后发明了常系数微分⽅程及⽅程组。
在求解⽅程时总结经验，简化计算，如⽤符号s 表⽰微分运算s=d/dt,即s 〃f(t)=df(t)/dt 。
差分方程及其Z变换法求解
依此类推，可得n阶差分方程： y[(k + n)T ] + a1 y[(k + n − 1)T ] + .......an −1 y[(k + 1)T ] + an y[kT ]
= b0 r[(k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm−1r[(k + 1)T ] + bm r (kT )
zX 1 ( z ) − zx1 (0) = X 2 ( z )
x2(kT)
z −1
x1(kT) z −1 x2(z) y[(k+1)T] KT
-
x1(0) 1 x1(z)
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k + 1)T ] = -( KT -1) y (kT ) + KTr (kT ) r(kT)+ 1)T ] + ( KT -1) y (kT ) = KTr (kT ) y (k + 1) + ( K -1) y (k ) = Kr (k )
KT-1
三、差分方程的解
差分方程的求解：迭代法、z变换法。 迭代法：将原系统的差分方程化为如下形式：
y[(k + n)T ] = −a1 y[(k + n − 1)T ] − ...... − an −1 y[(k + 1)T ] − an y[kT ] + b0 r[( k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm −1r[( k + 1)T ] + bm r (kT )
y (kT ) = 0.446 + 1.429(-0.4) k -1.875(-0.6) k
= b0 r[(k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm−1r[(k + 1)T ] + bm r (kT )
zX 1 ( z ) − zx1 (0) = X 2 ( z )
x2(kT)
z −1
x1(kT) z −1 x2(z) y[(k+1)T] KT
-
x1(0) 1 x1(z)
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k + 1)T ] = -( KT -1) y (kT ) + KTr (kT ) r(kT)+ 1)T ] + ( KT -1) y (kT ) = KTr (kT ) y (k + 1) + ( K -1) y (k ) = Kr (k )
KT-1
三、差分方程的解
差分方程的求解：迭代法、z变换法。 迭代法：将原系统的差分方程化为如下形式：
y[(k + n)T ] = −a1 y[(k + n − 1)T ] − ...... − an −1 y[(k + 1)T ] − an y[kT ] + b0 r[( k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm −1r[( k + 1)T ] + bm r (kT )
y (kT ) = 0.446 + 1.429(-0.4) k -1.875(-0.6) k
利用z变换解差分方程
于是
Y(z) =
br z−r ∑ ak z−k ∑
k＝ 0 M r＝ 0 N
M
X(z)
令
H(z) =
∑b z
r r＝ 0 N k＝ 0
−r
ak z−k ∑
则
Y(z) = X (z)H(z)
−1
此时对应的序列为 y(n) = F [X(z)H(z)]
差分方程为 例：若描述离散系统的 1 1 y(n) + y(n −1) − y(n − 2) = x(n) 2 2 x(n) = 2n u(n) , y( 已知激励 初始状态 −1) =1, y(−2) = 0, 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r [X(z) + ∑x(m)z−m] ∑
k＝ 0 r＝ 0 m=−r N M −1
如果激励x(n)为因果序列， 如果激励x(n)为因果序列，上式可以写成 x(n)为因果序列
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r X(z) ∑
k＝ 0 r＝ 0 N M
8.5节已经给出利用 节已经给出利用z 在8.5节已经给出利用z变换解差分方程的简 单实例，本节给出一般规律。 单实例，本节给出一般规律。这种方法的原 理是基于z变换的线性和位移性， 理是基于z变换的线性和位移性，把差分方程 转化为代数方程，从而使求解过程简化。 转化为代数方程，从而使求解过程简化。
k＝ 0 l =−k r＝ 0 m=−r −1
若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态，此时 若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态， x(n)=0,即系统处于零输入状态 差分方程（ 差分方程（1）成为齐次方程∑a y(n −源自) =0k=0 kN
差分方程及其Z变换法求解
例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)
y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。 例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
高等数学课件-复变函数与积分变换 第九章 Z变换
n0
¢ (n k) (n k)zn zk
n0
( z 0)
2020/7/2
23
例 2.4
求单位阶跃序列u(n)
1 0
[解] ¢ u(n) u(n)zn
z
n0
z 1
n 0的 Z 变换。 n0 ( z 1)
例 2.5 求指数序列 f (n) an的 Z 变换。
[解] F (z) ¢ [an ] anzn
f (n) f (n 1) f (n)
(1.1)
2020/7/2
5
称 f (n) f (n 1)为序列 f (n)的一阶向后差分，记为
▽ f (n),即
▽ f (n) f (n) f (n 1)
(1.2)
若定义左移算子l 和右移算子r ，即
lf (n) f (n 1),L ,lk f (n) f (n k),，
f (n 1) f (n) 2n 1
(3.5)
设¢ f (n) F (z)，对(3.5)式两边求 Z 变换，得
¢ f (n 1) f (n) zF (z) f (0) F(z) (z 1)F (z)
ⅱ2n 1 2 r(n) ? u(n)
z
12
z
z 1
z(z 1) (z 1)2
z
(z a)
n0
za
2020/7/2
24
例 2.6 分别求正弦序列 f1(n) sin0n和余弦序 列 f2(n) cos0n的 Z 变换。
[解] F1(z) ⅱsin0n
ei0n ei0n
2i
z2
z sin0 2z cos0
1
( z 1)
F 2(z) ⅱcos0n
¢ (n k) (n k)zn zk
n0
( z 0)
2020/7/2
23
例 2.4
求单位阶跃序列u(n)
1 0
[解] ¢ u(n) u(n)zn
z
n0
z 1
n 0的 Z 变换。 n0 ( z 1)
例 2.5 求指数序列 f (n) an的 Z 变换。
[解] F (z) ¢ [an ] anzn
f (n) f (n 1) f (n)
(1.1)
2020/7/2
5
称 f (n) f (n 1)为序列 f (n)的一阶向后差分，记为
▽ f (n),即
▽ f (n) f (n) f (n 1)
(1.2)
若定义左移算子l 和右移算子r ，即
lf (n) f (n 1),L ,lk f (n) f (n k),，
f (n 1) f (n) 2n 1
(3.5)
设¢ f (n) F (z)，对(3.5)式两边求 Z 变换，得
¢ f (n 1) f (n) zF (z) f (0) F(z) (z 1)F (z)
ⅱ2n 1 2 r(n) ? u(n)
z
12
z
z 1
z(z 1) (z 1)2
z
(z a)
n0
za
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24
例 2.6 分别求正弦序列 f1(n) sin0n和余弦序 列 f2(n) cos0n的 Z 变换。
[解] F1(z) ⅱsin0n
ei0n ei0n
2i
z2
z sin0 2z cos0
1
( z 1)
F 2(z) ⅱcos0n
matlab用z变换求解差分方程
matlab用z变换求解差分方程
在matlab中，可以使用z变换来求解差分方程。
z变换是一种将离散信号转换为复变量函数的方法，其在数字信号处理中有着广泛应用。
通过将差分方程转换为z域的方程，可以方便地求解。
在matlab中，可以使用ztrans函数来进行z变换的计算。
该函数需要输入一个差分方程，返回其在z域中的表示。
然后，可以使用iztrans函数来进行逆z变换，将z域的结果转换为时间域的结果。
在使用z变换求解差分方程时，需要注意选择合适的初始条件，以及确保差分方程是稳定的。
此外，还需要注意处理z变换中的极点和零点，以避免求解出现错误。
总之，使用matlab求解差分方程可以借助z变换的方法，通过简单的函数调用来实现。
需要注意的是，在实际应用中需要考虑各种因素，以保证求解的准确性和可靠性。
- 1 -。
6.5 用Z变换解差分方程
上述结论可由s平面与z平面的关系以及H(s)极点 分布与h(t)形状的关系直接得来
（五）由H(z)判定离散系统的稳定性
稳定系统： H z 的全部极点落在单位圆之内。
临界稳定系统：单位圆上有一阶极点，其余极点均位 于单位圆内。
不稳定系统：单位圆外有极点或单位圆上有高阶极点。
第六章 z变换、 离散系统的z域分析 小结
解：
零状态响应，初值为0
(1) Y z 3z 1Y z 2z 2Y z X z 1 z 1
Y z 1 z 1 z ( 2) H z 1 2 X z 1 3z 2z z2
综合
例：书：87页，例8-19
§6.5
用 z 变 换 解 差 分 方 程
§6利用Z变换解差分方程的一般规律； 方法的原理： 基于Z变换的线性和位移性 将差分方程转化为代数方程 使求解过程简化
线性时不变离散系统的差分方程一般形式：
a
k 0
N
k
y( n k ) br x ( n r )
N N A z n 1 k hn ZT Ak zk un k 0 z zk k 0
H z 的极点 zk ，可以是不同的实数或共轭复数， 决定了 hn 的特性。
zk在单位圆内，h(n)为衰减序列
zk在单位圆外， h(n)为发散序列 zk在单位圆上且为一阶： h(n)不衰减也不发散 zk在单位圆上且为高阶： h(n)为发散序列
2） A1 2 ，B1 2,
3) Y z 2
B2 2
z z z 2 2 2 z 1 z2 z 2
n n n
4) yn 2 1 2 2 2n 2 un