八年级数学上册导学案：14.1.3 积的乘方(含答案)
新人教版八年数学上导学案(14.1.3积的乘方)
班 姓名 成绩： 优 良 差 学习目标⒈探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质.⒉探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力.⒊小组合作与交流，培养学生团结协作精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难的勇气和信心.学习重点：积的乘方的运算.学习难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.学习过程：一．自主学习：⑴阅读教材P 97-98页⑵ 填空：①幂的乘方，底数 ，指数①计算： ② ；⑶ 计算: （请观察比较）① 和 ； ② 和 ； ③ 和 ④ 样计算 ？说出根据是什么？ ⑤请想一想：二．合作探究：1.下列计算正确的是（ ）.A. B. C. D. 2.计算：① ②()35b - ③ ④三．随堂练习：课本P 98页练习四.盘点提升： ()=3210()=55b ()=-m x 2)()(5315==x )()(n m mn x ==()332⨯3332⨯()253⨯2253⨯()22ab ()222b a ⨯()432a ()=n ab ()422ab ab =()42222a a -=-()333y x xy =-()333273y x xy =()232a ()324y x ⋅()43x -()=nab1.计算：① ； ② ； ③ ; 2.下列各式中错误的是（ ）A. B. C. D.3.与的值相等的是（ ）A. B. C. D.以上结果都不对 4.计算：① ② ③ ④5.一个正方体的棱长为毫米，①它的表面积是多少？②它的体积是多少？6.已知： 求：的值（提示：，）六．总结反思，归纳升华知识梳理：1.积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积.即（ab ）n ＝ a n b n （是正整数）.2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质.如（abc ）n ＝ a n b n c n （是正整数）3．积的乘方法则可以进行逆运算.即a n b n ＝（ab ）n （为正整数）方法与规律：____________________________________________________； 反思与困惑：____________________________________________________.325353⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-()42xy -()n a 3()123422=()33273a a -=-()844813y x xy =()3382a a -=-()[]2323a -1218a 12243a 12243a -()2243b a 33221⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ()33n -()a a a 234-+-2102⨯823=+n m n m 48⋅823=422=n n n。
人教版-数学-八年级上册-14-1-3 积的乘方 导学案1
14.1.3 积的乘方学习目标1.探索积的乘方的的运算法则.2.正确应用积的乘方的运算法则进行运算学习重点：积的乘方运算学习难点：积的乘方的逆运算【学前准备】【导入】1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘， 不变，指数 . 公式：m n a a ⋅= （m,n 都是正整数）2.幂的乘方的运算法则：幂的乘方， 不变， 相乘.公式：()n m a = （m,n 都是正整数）【自主学习，合作交流】1. ()()()()()()()2ab ab ab a a b b ab =⋅=⋅⋅⋅= 2. ()3ab =（ ）·（ ）·（ ）=（ ）·（ ）=a（ ）b （ ） 3.(2a )2= = = .（二）观察上述三个例子，你能发现什么规律？对于任意底数a b 与任意正整数n ，()()()()n abn ab ab ab ab =⋅⋅⋅个 n a n b n n a a a b b b a b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=个个 一般地，我们有即积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂 .1.计算：（1）()32;a （2）()35;a -（3）()22;xy（4）()432x -【尝试练习】1．计算：（1）()42abc； （2）()32xy -； （3）()32310-⨯； （4）()322ab ; （5）8840.25⨯.2.下面的计算对不对？如果不对，说明理由并改正。
336a a a ⋅= （ ）； 3515a a a ⋅= （ ）； 4442b b b ⋅= （ ）； 5510x x x += （ ）； 78y y y ⋅= （ ）； ()538a a = （ ）； ()3249a a a ⋅= （ ）； ()236xy xy = （ ）【精讲点拔】【小结本节】【当堂测试】1．计算：(1) 223x x x x ⋅+⋅ (2)( -pq )3(3)-(-2a 2b)4 (4) 244243)2()(a a a a a -++⋅⋅2．计算： （1）200920089910010099⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）0.12515×(23)15【课后作业】 Ⅰ必做题（1）33213a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭= （2）()4ab = （3）()32xy -= （4）()32310-⨯= （5）()322ab = （6）()3pq -= （7）()422a b --= （8）()32a b = （9）()22a -= （10）()333xy-= Ⅱ选做题化简:1. (-2ab 3c 2 )4 2. (2x) 2 +(-3x) 2-(-2x) 4 3.(3a) 2·b 4-3(ab 2) ·a 4【评价】【课后反思】。
14.1.3积的乘方(教案)2023-2024学年人教版数学八年级上学期
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与积的乘方相关的实际问题，如计算一个长方体的体积并将其表示为积的乘方。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解积的乘方的基本概念。积的乘方是指将几个相同因数的乘积进行乘方。它在整式的乘法与因式分解中具有重要地位，可以帮助我们简化计算过程。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算(x^2y)^3，我们将其转化为x^6y^3，展示了积的乘方在实际计算中的应用。
（3）将整式乘法转化为积的乘方：学生可能不知道何时以及如何将整式乘法转化为积的乘方。
举例：将(x+1)(x+1)(x+1)转化为(x+1)^3。
突破方法：通过讲解和练习，指导学生识别可转化为积的乘方的整式乘法形式。
（4）解决实际问题中的积的乘方：学生在将实际问题抽象为积的乘方模型时可能遇到困难。
突破方法：结合实际情境，引导学生如何将问题中的数据进行整理，并运用积的乘方进行建模。
最后，我意识到在教学过程中，及时反馈和个别指导是非常重要的。在课后，我会关注那些课堂上表现出困惑的学生，确保他们能够跟上课程的进度。同时，我也会反思自己的教学方法，看看是否有更生动、更直观的方式来讲解积的乘方，让每一个学生都能够真正理解并掌握这一数学工具。
2.教学难点
（1）理解积的乘方的概念：学生可能难以理解将几个相同因数的乘积进行乘方的意义。
突破方法：通过直观的图形或实际例子，帮助学生形象地理解积的乘方。
（2）运用积的乘方性质进行计算：学生在运用性质进行计算时，可能会出现混淆或错误。
人教版八年级上册数学学案：14.1.3 积的乘方
14.1.3 积的乘方 导学案学习目标:1.会进行积的乘方运算，2.会进行混合运算.学习重点：积的乘方运算法则及其应用.学习难点：积的乘方运算法则及其应用.学习过程：一、温故知新1.计算：（1）= （2）a·a 5 = （3）x 7·x 9（x 2）3=二、自主学习，获取新知自学指导：1.仔细阅读课本并完成97页探究2.总结法则：积的乘方公式：(ab)n ＝ （n 为正整数）积的乘方，等于把积的每个因式分别 ，再把所得的幂 .3.如果是三个或三个以上几个数的积的乘方，这个运算性质还适用吗？ 如：（abc ）n ＝ . 法则可以逆用吗？2．在运用积的乘方运算时，应注意的问题有什么？三、当堂检测，巩固提高1.计算：（1）（2b ）3 （2）（－5a ）3 （3）（xy 3）2 （4）（－3x ）42.计算：（1） （2） （3）3.数学医院：（1）(x 3)5=x 8( )； （2） y 7y=y 8( )； （3）（xy 2）2=x 2y 4 ( )； （4）(x 2)3 x 4 = x 9( )；（5）(xy 3)2=xy 6( )；（6）（－2x ）5 = －2x 3( )；四、反馈检测、活学活用1．下列计算正确的是（ ）A ．(xy)3=x 3yB ．(2xy)3=6x 3y 3C 、(-3x 2)3=27x 5D ．(a 2b)n =a 2n b n2．若(a m b n )3=a 9b 12，那么m ，n 的值等于（ ）.A ．m=9，n=4B ．m=3，n=4C ．m=4，n=3D ．m=9，n=63．下列各式中错误的是( )A.［(x-y)3］2=(x-y)6B.(-2a 2)4=16a 8C.〔-m 2n 〕3=-m 6n 3D.(-ab 3)3=-a 3b 64、 计算(x 4)3 · x 7的结果是 ( )A. x 12B. x 14C. x 19D.x 845. 下列运算中与a 4· a 4结果相同的是 ( ) )125.0()(2012201281⨯52.055⨯4)25.0(20112011⨯-131931271A.a 2· a 8B.(a 2)4C.(a 4)4D.(a 2)4·(a 2)46.(-a 2bc 3)2=7． 42×8n = 2( )×2( ) =2( )8.计算:(1) （2）9.已知，求x 的值.五、总结反思 31)(2b a ()22b a ⋅20122012)712()127(⋅-212842=⋅⋅x x。
八年级数学上册14.1.3积的乘方导学案新版新人教版2
14.1.3积的乘方【学习目标】 1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义。
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题。
【学习重点】积的乘方运算法则及其应用。
【学习难点】幂的运算法则的灵活运用。
学习过程;一.自主学习计算：（1）（x4）3 = （2）a·a5 =(3) 22·32=二.合作交流探究与展示活动：参考（2a3）2的计算，说出每一步的根据，再计算（ab）n（1）（2a3）2= 2a3·2a3 = 2·2·a3·2a3 =2( ) a( )（2）（ab）2= = =a( ) b( )（3）（ab）3= = =a( ) b( )(4) 归纳总结得出结论：（ab）n== a×a×a×a×a…b×b×b×b×b…=a( )b( )（n是正整数）用语言叙积的乘方法则：同理得到：（abc）n = （n是正整数）．三、当堂检测：（1、2、题为必做题；3、4、5题为选做题）1.计算：（1）（2a）3；（2）（－5b）3（3）（xy2）2；（4）（－2 x3）4．解: (1) (2a)3=23×a 3= 8 a3(2)(3)(4)2、判断（错误的予以改正）①a5+a5=a10( ) ②(x3)5=x8( ) ③a3×a3= a6 ( )④y7y=y8 ( ) ⑤a3×a5= a15( ) ⑥(x2)3 x4 = x9( )⑦b4×b4= 2b4 ( ) ⑧(xy3)2=xy6( ) ⑨（－2x）5 = －2x3( )3、计算（1）（x2y3）4; == （2）（2×103）2+==4、已知x n=5，y n=3，求（xy）3n的值．5、已知：a m=2，b n=3，求a2m+b3n的值．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A ．50° B ．80°C ．50°或80°D ．40°或65°【答案】C【解析】试题分析：若50°是底角，则顶角的度数是180°-50°×2=80°，同时50°也可以作为顶角，故这个等腰三角形的顶角的度数是50°或80°，本题选C ． 考点：等腰三角形2．如图为某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月平均用水量（单位：t ）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（ ）．A ．6.5，7B ．6.5，6.5C ．7，7D ．7，6.5【答案】B【解析】根据统计图可得众数为6.5，将10个数据从小到大排列：6，6，6.5，6.5，6.5，6.5，7，7.5，7.5，8． ∴中位数为6.5， 故选B ．3．函数111y k x b =+与222y k x b =+的部分自变量和对应函数值如下： x -4 -3 -2 -1 y -1 -2 -3 -4 x -4 -3 -2 -1 y-9-6-3当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x >-B ．2x <-C ．1x >-D ．1x <-【答案】B【分析】根据表格可确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．【详解】解：根据表格可得y 1=k 1x+b 1中y 随x 的增大而减小，y 1=k 1x+b 1中y 随x 的增大而增大． 且两个函数的交点坐标是（-1，-3）． 则当x ＜-1时，y 1＞y 1． 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的性质，正确确定增减性以及两函数交点坐标是关键．4．如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形，若新多边形的内角和是其外角和的2.5倍，则对应的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据新多边形的内角和为360 2.5︒⨯，n 边形的内角和公式为()2180n -︒，由此列方程求解即可．【详解】设这个新多边形的边数是n ， 则()2180360 2.5n -︒=︒⨯， 解得：7n =， 故选：A ． 【点睛】本题考查了多边形外角和与内角和．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．5．如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称，且∠A ＝78°，∠C′＝48°，则∠B 的度数为( )A．48°B．54°C．74°D．78°【答案】B【解析】由对称得到∠C=∠C′=48°，由三角形内角和定理得∠B=54°，由轴对称的性质知∠B=∠B′=54°．解：∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，∴∠B=180°﹣78°﹣48°=54°∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B=∠B′=54°．故选B．6．4的平方根是（）A．2 B．±2 C．2D．2【答案】B【分析】根据平方根的定义即可求得答案．【详解】解：∵（±1）1=4，∴4的平方根是±1．故选：B．【点睛】本题考查平方根．题目比较简单，解题的关键是熟记定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．7．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．85°【答案】A【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，再根据三角形内角和定理即可求出∠EAD的度数．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝40°，∠C＝75°，∴∠B ＝∠D ＝40°，∠E ＝∠C ＝75°， ∴∠EAD ＝180°﹣∠D ﹣∠E ＝65°， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质及三角形内角和，掌握全等三角形的性质是解题的关键. 8．若x ，y 的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（ ）A ．11x y +-B ．23x yC ．24x yD ．xy x y+【答案】B【分析】根据分式的基本性质逐项分析即可．【详解】解：A 、变化为2121x y ++，分式的值改变，故此选项不符合题意；B 、46x y ＝23x y，分式的值保持不变，故此选项符合题意； C 、284xy ＝22x y，分式的值改变，故此选项不符合题意；D 、422xy x y +＝2xyx y+，分式的值改变，故此选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．9．若a m ＝8，a n ＝16，则a m+n 的值为( ) A ．32 B ．64C ．128D ．256【答案】C【分析】逆用同底数幂的乘法公式可得，再整体代入求值即可.【详解】当a m ＝8，a n ＝16时，816128m n m n a a a +=⋅=⨯=， 故选C. 【点睛】计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分. 10．下列六个数：0、5、39、π、－13、0.6中，无理数出现的频数是（ ）． A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据无理数的概念即可作答.【详解】解：∵其中无理数有：5，39，π；∴无理数出现的频数是3， 故选：A. 【点睛】本题考查无理数的概念，是中考的常考题，掌握无理数的内涵是基础. 二、填空题11．如图，ABC ∠，ACB ∠的平分线相交于点F ，过点F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ∆，CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长为+AB AC ；④BD CE =．其中正确的是________．【答案】①②③【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB ，即△BDF 是等腰三角形，同理CEF ∆也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC,然后等量代换即可判定；③根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC ，然后再判定即可；④无法判断． 【详解】解：①∵BF 是∠ABC 的角平分线 ∴∠ABF=∠CBF 又∵DE//BC ∴∠CBF=∠DFB ∴∠ABF=∠DFB∴DB=DF ，即△BDF 是等腰三角形，同理可得CEF ∆是等腰三角形，故①正确； ②∵△BDF 是等腰三角形， ∴DB=DF同理：EF=EC∴DE=DF+EF=BD+CE,故②正确； ③∵DF=BD,EF=EC∴ADE ∆的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC ，故③正确； ④无法判断BD=CE ，故④错误． 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，涉及面较广，因此灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 12．规定11a b a b⊕=+，若232(1)(1)1x x x x ++⊕-=-，则x 的值是_____．【答案】2-【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出x 的值．【详解】∵11(1)(1)11x x x x +⊕-=++-， 根据题意得到分式方程：21132111x x x x ++=+--， 整理，得：232x x =+， 解得：2x =-，经检验，2x =-是分式方程的解， 故答案是：2-． 【点睛】本题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．注意解分式方程需检验． 13．如图，在△ABC 中，AD 是中线，则△ABD 的面积 △ACD 的 面积（填“＞”“＜”“＝”）．【答案】＝【解析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线的概念，知：三角形的中线可以把三角形的面积分成相等的两部分．解：根据等底同高可得△ABD 的面积=△ACD 的面积．注意：三角形的中线可以把三角形的面积分成相等的两部分．此结论是在图形中找面积相等的三角形的常用方法．14．如图，已知//AE BD ，1130∠=︒，230∠=︒，则C ∠=__________．【答案】20°【分析】由//AE BD ，得∠AEC =230∠=︒，结合1130∠=︒，即可得到答案． 【详解】∵//AE BD ，230∠=︒， ∴∠AEC =230∠=︒， ∵∠1+∠AEC+∠C=180°， ∴∠C=180°-130°-30°=20°． 故答案是：20°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和三角形内角和定理，掌握平行线的性质定理和三角形内角和定理是解题的关键． 15．1258-的立方根是____． 【答案】52-． 【分析】利用立方根的定义即可得出结论 【详解】1258-的立方根是52-． 故答案为：52- 【点睛】此题主要考查了 立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．一个正数有两个平方根，并且它们是一对相反数．16．如图,四边形ABCD 沿直线l 对折后互相重合,如果AD ∥BC,有下列结论:①AB ∥CD ②AB=CD ③AB ⊥BC ④AO=OC 其中正确的结论是_______________. (把你认为正确的结论的序号都填上)【答案】①②④【分析】四边形ABCD 沿直线l 对折后互相重合，即△ABC 与△ADC 关于L 对称，又有AD ∥BC ，则有四边形ABCD 为平行四边形．根据轴对称的性质可知．【详解】解：∵直线l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ； ∴△AOD ≌△BOC ；∴AD=BC=CD ，OC=AO ，且四边形ABCD 为平行四边形．故②④正确； 又∵AD 四边形ABCD 是平行四边形； ∴AB ∥CD ．故①正确． 173_____． 【答案】3333三、解答题18．先化简，再求值．()()()()225x y x y x y x x y ++-+--，其中2,3x y ==-．【答案】9xy ，-54【分析】先去括号，再合并同类项化简原式，代入x ，y 的值求解即可． 【详解】原式222224455x xy y x y x xy =+++--+ 9xy =当x ＝2，y ＝－3时， 原式＝9xy ＝9×2×(－3)＝－54【点睛】本题考查了整式的化简运算，先通过合并同类项化简再代入求值是解题的关键．19．定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”． （1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB=3，AC=7．求证：ABC ∆是“好玩三角形”； （2）如图2，若等腰三角形DEF ∆是“好玩三角形”，DE=DF=20，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）106EF 或85．【分析】（1）根据勾股定理求得BC ，作BC 边上的中线AD ，利用勾股定理求得AD 的长度，得出AD=BC ，从而可证得ABC ∆是“好玩三角形”；（2）分EF 边上的中线等于和以DF 边上的中线等于DF 两种情况讨论，画出图形，利用勾股定理即可解得EF ；【详解】解：（1）∵在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB=3，AC=7，∴22BC AC AB 2=-=,如下图，作BC 边上的中线AD ，根据勾股定理，22132ADBD AB .∴AD=BC ， ∴ABC ∆是“好玩三角形”；（2）如下图，若20EM DF DE ，则10DM MF ,作EN DF ⊥, ∴152DN NM DM （三线合一），在Rt △DNE 中，根据勾股定理22240025375EN DE DN ,在Rt △ENF 中，根据勾股定理， 22375225106EF EN NF ,如下图，若DH=EF ，∵DH 为中线，DE=DF ， ∴1122EH EF DH ,在Rt △DEH 中，根据勾股定理，222EH DH DE +=, 即2214004DH DH ， 解得85,DH 即85,EF 综上所述，106EF 或85．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质．能熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题关键．（2）中注意分类讨论．20．因雾霾天引发的汽车尾气污染备受关注，由此汽车限号行驶也成为人们关注的焦点，限行期间为方便市民出行，某路公交车每天比原来的运行增加15车次．经调研得知，原来这路公交车平均每天共运送乘客5600人，限行期间这路公交车平均每天共运送乘客8000人，且平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，问限行期间这路公交车每天运行多少车次？【答案】限行期间这路公交车每天运行50车次．【分析】设限行期间这路公交车每天运行x 车次，则原来运行()15x -车次，根据“平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同”列出分式方程，求解即可．【详解】解：设限行期间这路公交车每天运行x 车次，则原来运行()15x -车次，根据题意可得： 5600800015x x=-， 解得：50x =，经检验得50x =是该分式方程的解，答：限行期间这路公交车每天运行50车次．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题意列出分式方程并求解是解题的关键，需要注意的是求出分式方程的解之后一定要验根．21．已知：如图，点E C ，在线段BF 上，//AC DF AC DF BE CF ==，，．求证：//AB DE ．【答案】见解析.【分析】根据题意先证明△ABC ≌△DEF ，据此求得∠ABC=∠DEF ，再利用平行线的判定进一步证明即可.【详解】∵//AC DF ，∴∠ACB=∠DFE ，∵BE=CF ，∴BE+EC=CF+EC ，即：BC=EF ，在△ABC 与△DEF 中，∵AC=DF ，∠ACB=∠DFE ，BC=EF ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠ABC=∠DEF ，∴AB ∥DE.【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关概念是解题关键. 22．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，这批书包进人市场后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，且所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？【答案】1700【分析】根据题意，由“数量是第一批购进数量的1倍”得等量关系为：6100元购买的数量=2000元购买的数量×1．然后，由“盈利=总售价-总进价”进行解答．【详解】解：设第一批购进书包x 个，则第二批购进书包1x 个 2000630043x x=-， 解得：x=25，经检验：x=25是原分式方程的解；∴第一批购进25个，第二批购进75个，120×（25+75）-2000-6100=1700 （元）；答：商店共盈利1700元.【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 23．如图，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在边AB 上，满足2CDB B ∠=∠，（1）求证：2AB CD =；（2）若:DB 1:5AD =，且ABC ∆的面积为2，试求边AB 的长度． 【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）取边AB 的中点E ，连接CE ，得到12==CE BE AB ，再证明CDB CEA ∠=∠，得到CD CE =，问题得证；（2）设AD=x ，DB=5x ，用含x 式子表示出各线段长度，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．用含x 式子表示出CH ，根据△ABC 的面积为2，求出x ，问题得解．【详解】解：（1）取边AB 的中点E ，连接CE ．在Rt ABC ∆中，∴12==CE BE AB ，∴ECB B ∠=∠，∴2CEA ECB B B ∠=∠+∠=∠，∵2CDB B ∠=∠，∴CDB CEA ∠=∠，∴CD CE =，∴12CD AB =，即=2AB CD ．（2）由已知，设AD=x ，DB=5x ，∴6AB x =，132CD AB x ==，∴2DE AE AD x =-=，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．∵CD=CE ，∴DH HE x ==，在Rt CDH ∆中，222CH DH CD +=，∴2222922CH CD DH x x x --=，∴△ABC 的面积为21622AB CH x ⨯=， 由题意2622x =， ∴66x =， ∴66AB x ==．【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质与判定，熟知相关定理，添加辅助线构造等腰三角形是解题关键．24．先化简，再求代数式2121212x x x x x x +÷---++的值，其中32x =-． 【答案】12x -+，36- 【分析】利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】2121212x x x x x x +÷---++ 21(1)122x x x x x -=⋅--++ 122x x x x -=-++ 12x =-+， 当32x =时，原式32322==-+ 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．已知8a -的平方根是3是b 的算术平方根，求ab 的立方根．【答案】1【分析】利用平方根，算术平方根定义求出a 与b 的值，进而求出ab 的值，利用立方根定义计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：85a -=，23b =，解得：3a =，9b =，即27ab =，27的立方根是1，即ab 的立方根是1．【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列判断两个三角形全等的条件中，正确的是( )A．一条边对应相等B．两条边对应相等C．三个角对应相等D．三条边对应相等【答案】D【详解】解：A．一条边对应相等，不能判断三角形全等．B.两条边对应相等，也不能判断三角形全等．C.三个角对应相等，也不能判断三角形全等，只能相似． D.三条边对应相等，符合判断定理．故选D．【点睛】本题考查三角形全等的判定．三角形全等的判定定理有：边角边、角边角、角角边、边边边定理，直角三角形还有HL定理．2．一个三角形三个内角的度数的比是2:3:5．则其最大内角的度数为（）A．60︒B．90︒C．120︒D．150︒【答案】B【分析】先将每份的角度算出来,再乘以5即可得出最大内角的角度．【详解】180°÷(2+3+5)＝180°÷10=18°．5×18°=90°．故选B．【点睛】本题考查三角形内角的计算,关键在于利用内角和算出平分的每份角度．3．点P(3，﹣2)关于x轴的对称点P′的坐标是( )A．(﹣3，2) B．(3，﹣2) C．(﹣3，﹣2) D．(3，2)【答案】D【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【详解】解：点P(3，﹣2)关于x轴的对称点P′的坐标是(3，2)．故选D．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．下列各式从左到右的变形正确的是( )A ．2b a b += 12a +B ．b a =1y =C ． a b c -+=-a b c+ D ．22a a +-=224(2)a a -- 【答案】D 【解析】解：A. 根据分式的基本性质应该分子和分母都除以b ，故本选项错误；B. 根据分式的基本性质，分子和分母都加上2不相等，故本选项错误；C. a b a b c c-+-=-，故本选项错误； D. ∵a−2≠0，∴22242(2)a a a a +-=--，故本选项正确； 故选D.5．若分式2x y xy+中的,x y 变为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．变为原来的2倍B ．变为原来的4倍C ．变为原来的12D ．不变【答案】C 【分析】直接将题目中的x 、y 根据要求，乘以2计算再整理即可．【详解】解：依题意可得2222(2)122242x y x y x y x y xy xy⋅+⋅++==⋅⋅⋅⋅ 所以分式的值变为原来的12 故选：C ．【点睛】本题考查的是分式的值的变化，这里依据题意给到的条件，代入认真计算即可． 6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，若6AC =，8BC =，则:ABD ACD S S ∆∆为（ ）A ．5:3B ．5:4C ．4:3D ．3:5【答案】A【分析】作DE ⊥AB ，根据角平分线的性质得到DE=CD ，再根据勾股定理及三角形的面积公式即可求解．【详解】如图，作DE ⊥AB ，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE=CD∵在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 6AC =，8BC =，∴AB= 226810+=∵12ABD S AB DE ∆=⨯,12ACD S AC DC ∆=⨯∴:ABD ACD S S ∆∆=AB:AC=10：6=5:3故选A ．【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质及面积的公式． 7．已知ABC 中，A ∠比它相邻的外角小10，则B C ∠∠+为( )A ．85B ．95C ．100D ．110【答案】B【解析】设A x .∠=构建方程求出x ，再利用三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：设A x ∠=．由题意：180x x 10--=，解得x 85=，A 85∠∴=，B C 1808595∠∠∴+=-=，故选：B ．【点睛】考查三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．计算23a a ⋅的结果是（ ）A ．5aB ．6aC ．6aD ．5a 【答案】A【解析】根据同底数幂的乘法公式进行计算即可得解.【详解】根据同底数幂的乘法公式m nm n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）可知23235a a a a +⋅==，故选：A.【点睛】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法公式是解决本题的关键.9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．1，2，3B ．2，2，4C ．2，3，4D ．2，4，8 【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】根据三角形任意两边的和大于第三边，得A 中，1+2＝3，不能组成三角形；B 中，2+2＜4，不能组成三角形；C 中，3+2＞4，能够组成三角形；D 中，2+4＜8，不能组成三角形．故选：C ．【点睛】此题主要考查三角形的构成条件，解题的关键是熟知三角形任意两边的和大于第三边．10．下列变形从左到右一定正确的是( )． A ．22a ab b -=- B ．a ac b bc = C ．ax a bx b = D ．22a a b b= 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．【详解】选项A ，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A 错误；选项B ，当c ≠0时，等式才成立，即()0a ac c b bc =≠，选项B 错误； 选项C ，ax bx 隐含着x ≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x ，根据分式的基本性质得出ax a bx b =，选项C 正确；选项D ，当a=2，b=-3时，左边≠右边，选项D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的基本性质是解决问题的关键．二、填空题11．如图，已知在1APB ∆中已知11BP AP ⊥，12AP =，30A ∠=︒，且11PQ AB ⊥，121Q P AP ⊥，22P Q AB ⊥，231Q P AP ⊥，…n n Q P AB ⊥，+⊥n 1n 1P Q AP ，则20202020P Q 的值为__________．【答案】201934⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，由30°直角三角形的性质得到11=1PQ ，223=4P Q ，339=16PQ ……，然后找出题目的规律，得到13=()4n n n Q P -，即可得到答案.【详解】解：∵11BP AP ⊥，30A ∠=︒，∴60B ∠=︒，∵11PQ AB ⊥，∴11230PQ P ∠=︒， ∴11111=2122PQ AP =⨯=， ∴1212PP =， ∴2132=22AP =-，∴2221133=2224P Q AP =⨯=； 同理可得：339=16PQ ； …… ∴13=()4n n n Q P -；当2020n =时，有2020120192020202033=()=()44Q P -； 故答案为：20193()4.【点睛】本题考查了30°直角三角形的性质，解题的关键是观察图形找出图形中线段之间的关系，得到13=()4n n n Q P -，从而进行解题. 12．如果关于x 的不等式1532223x x x x a +⎧-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩＞＜只有4个整数解，那么a 的取值范围是________________________。
初二八年级上册数学人教版《14.1.3 积的乘方》 导学案
8年级上册数学人教版《14.1.3 积的乘方》教案备课时间： 授课时间： 授课班级：学习目标：1．知识与技能:理解和掌握积的乘方的运算性质，发展推理能力和有条理的表达能力，培养综合能力．2．过程与方法:经历探索积的乘方的过程，进一步体会和巩固幂的意义．3．情感态度与价值观：培养团结协作的精神和探索精神．学习重点：积的乘方的运算．学习难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用．学习过程：一、自主学习：1．阅读教材P 97-98页2．填空：幂的乘方，底数 ，指数（1）计算：()=55b ()=-m x 2 （2）)()(5315==x ；)()(n m mn x ==3．计算：（请观察比较）① ()332⨯和3332⨯ ； ② ()253⨯和2253⨯ ； ③ ()22ab 和()222b a ⨯⑤请想一想：()=nab 二、合作探究、交流展示：1．下列计算正确的是（ ）．A ．()422ab ab =B ．()42222a a -=- C ．()333y x xy =- D ．()333273y x xy = 2．计算：①()232a ②()35b - ③ ()324y x ⋅ ④()43x -三、拓展延伸：1．计算： ①325353⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- ； ②()42xy - ； ③()n a 3 ;④ ()323ab - ； ⑤20082008818⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯A ．()123422=B ．()33273a a -=-C ．()844813y x xy =D ．()3382a a -=- 3．与()[]2323a -的值相等的是（ ）A ．1218aB ．12243aC ．12243a -D ．以上结果都不对4．计算：①()2243b a ②33221⎪⎭⎫ ⎝⎛y x③()33n - ④()a a a 234-+-⑤ ()()20092008425.0-⨯- ⑥()()1032222x x x x --⋅-⋅-5．一个正方体的棱长为2102⨯毫米，①它的表面积是多少？②它的体积是多少？6．已知：823=+n m 求：n m 48⋅的值（提示：823=，422=）四、课堂检测：1．计算：（1）)125.0()(2012201281⨯ （2）52.055⨯（3）4)25.0(20112011⨯- （4）)()()(23751514909090⨯⨯（5）)1()()7(20092011201071--⨯⨯2．下列计算是否有错，错在那里？请改正．（1）()22xy xy = （2）()442123y x xy = （3）()623497x x =-（4） （5）2045x x x =⋅ （6）()523x x =3．计算： ①33+⋅n x x ②3254⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ③ ()n c ab 233- 33234327x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-④()()[]322223x x -- ⑤()()323223y x y x ⋅4．下列各式中错误的是（ ）A ．32x x x =⋅-B ．()623x x =- C ．1055m m m =⋅ D ．()32p p p =⋅- 5．3221⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 的计算结果是（ ） A ．3621y x - B ．3661y x - C ．3681y x - D ．3681y x 6．若811x x x m m =+-则m 的值为（ ）A ．4B ．2C ．8D ．107．计算：⑴432a a a a ⋅⋅ ⑵()()()256x x x -⋅-⋅- ⑶()[]32a --⑷()[]3223xy- （5）()[]3241x x -⋅-- （6）()()431212+⋅+x x8．一个正方形的边长增加了3厘米，它的面积就增加39平方厘米，求这个正方形的边长？9．阅读题：已知:52=m 求：m 32和m +32解：()125522333===m m405822233=⨯=⨯=+m m10．已知：73=n 求：n 43和n +4311．找简便方法计算：⑴()1011005.02⨯ ⑵22532⨯⨯⑶424532⨯⨯12．已知：2=m a ，3=n b 求：n m b a 32+的值五、学（教）后反思：收获：不足：一、自主学习：（1）略（2）不变；相乘①m x b 2256;;10- ②35,x x ；m n x x ,（3）计算: （请观察比较）①()332⨯=216 和3332⨯=216 ；②()253⨯=225和2253⨯ =225；③()22ab =42b a 和()222b a ⨯=42b a④计算()432a =1242a ；根据：幂的乘方法则⑤请想一想：()=n ab n n b a二、合作探究、交流展示：1．D2．①()232a =64a ②()35b - =-1253b ③ ()324y x ⋅=612y x④()43x -= 481x 三、拓展延伸：1．计算： ①5)53(- ②4416y x ③n n a 3 ④ 6327b a - ⑤12. C3. D915．解：（1）)(2.0)(20010021022m mm ==⨯=⨯ )(24.062.02.02m =⨯⨯ 答：它的表面积是0．24平方米。
14.1.3 积的乘方(导学案)-2022-2023学年八年级数学上册同步备课系列(人教版)
14.1.3 积的乘方（导学案）-2022-2023学年八年级数学上册同步备课系列（人教版）1. 引言本文档是关于《数学》科目的导学案，主题为14.1.3 积的乘方。
本导学案针对的是2022-2023学年八年级数学上册，采用人教版教材。
2. 目的和意义本导学案的目的是引导学生理解和掌握积的乘方的概念与性质，培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
通过本节课的学习，学生将能够灵活运用积的乘方进行数学计算和问题求解。
3. 教学目标•理解积的乘方的定义和性质；•能够利用积的乘方进行简单的数学计算；•能够运用积的乘方解决实际问题。
4. 教学重难点•教学重点：积的乘方的定义和性质；•教学难点：能够运用积的乘方解决实际问题。
5. 教学准备•教材：人教版《数学》八年级上册；•课件：包含积的乘方的定义和性质的课件；•学生教学用具：纸和笔。
6.1 导入与激发兴趣（5分钟）在本节课开始前，教师可以通过提问或展示一些有关积的乘方的实例，引导学生思考积的乘方的概念和应用场景，激发学生的兴趣和好奇心。
6.2 概念阐释与讲解（10分钟）教师通过课件或写在板书上的方式，对积的乘方的定义进行阐释和讲解。
重点解释积的乘方是指以相同的因数连乘多次，以及积的乘方与乘法的关系。
6.3 探究与讨论（15分钟）教师组织学生在小组内进行讨论，探究积的乘方的性质。
可以引导学生发现积的乘方的性质有：乘方的幂等性、乘方的交换律和乘方的结合律。
6.4 知识巩固与练习（15分钟）教师提供一些练习题，让学生运用所学的知识进行练习和巩固。
可以包括填空题、计算题和应用题等不同类型的练习题。
6.5 拓展与应用（15分钟）教师提出一些拓展和应用题，让学生通过实际问题的解决，运用积的乘方进行推理和计算。
可以设置一些开放性的问题，鼓励学生进行探究和思考。
6.6 总结与归纳（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结和归纳，确保学生对积的乘方的定义和性质有清晰的理解和掌握。
7. 课后作业布置一些针对积的乘方的练习题作为课后作业，要求学生独立完成，并检查作业的正确性。
2019-2020学年八年级数学上册 14.1.3 积的乘方导学案 新人教版.doc
2019-2020学年八年级数学上册 14.1.3 积的乘方导学案 新人教版【学习目标】1． 掌握积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算。
2． 发展分析推理能力及多角度的思维表达能力 3． 会逆用积的乘方解决相关问题【学习重点】掌握积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算 【学习难点】会逆用积的乘方解决相关问题 【知识准备】 1．同底数乘法法则：2．幂的乘法法则： 3.同底数幂乘法法则的逆用),(为正整数n m a a a n m n m =+4. 幂的乘方法则的逆用：),()()(为正整数n m a a a m n n m mn==5．计算： ①a 3·a 5+(a 2)4②-2(x 3)4+2x 4·(x 4)2【自习自疑文】一、阅读教材P97-P98内容，并思考回答下列问题1.运用积的乘方法则时，需要注意 2．积的乘方法则： 二、预习评估 1．计算①（ab ）4②（-2xy ）3③（-3×102）3④（2ab 2）3三．我想问：请你将预习中遇见的问题和疑问写下来，等待课堂上与同学、老师共同探究解决。
等级 组长签字【自主探究文】【探究一】1．请同学们通过计算探索规律. ①(2×3)3= = 2 ( ) ·3( )②(2×3)m = =2( ) ·3( )③(ab)4= = =a( )b ( )④(ab)n = = =a( ) b( )以上几个式子的计算，你能总结出以上式子的特点吗？字母表达式：。
【探究二】积的乘方与幂的乘方综合应用 计算（1）（ab 2）3=ab 6（2） (2a 2b 3)4（3）(-2a)2（4）-(-2a 2b 3)3（5）（3xy ）3（6）（3×102）3×(-103)4（7）(-x 3y n )2·(x n-1y 2)3（8）(-3a 3)2-3a 5·a-(-2a 2)3小结：幂的乘方和积的乘方法则不同点：幂的乘方是指数相 ，积的乘方是将每一个因式分别【探究三】积的乘方的逆应用于。
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14.1.3 积乘方
1.理解积乘方法则.
2.运用积乘方法则计算.
阅读教材P97～98“探究及例3”，理解积乘方法则，完成预习内容.
知识探究
1.(1)x5·x2＝________，(x3)2＝________，(a3)2·a4＝________.
(2)下列各式正确是( )
A.(a5)3＝a8
B.a2·a3＝a6
C.x2＋x3＝x5
D.x2·x2＝x4
2.(1)填空：(2×3)3＝________，23×33＝________.
(－2×3)3＝________，(－2)3×33＝________.
(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)________个
＝(a·a·…·a)________个·(b·b·…·b)________个
＝________.
(2)总结法则：(ab)n＝________(n是正整数)，
即积乘方等于积__________分别________，再把所得幂________.
推广：(abc)n＝________.(n是正整数)
积乘方法则推导实质是按从整体到部分顺序去思考.
自学反馈
计算：(1)(ab)4; (2)(－2xy)3；
(3)(－3×102)3; (4)(2ab2)3.
对于第(2).(3)小题中符号可以先取号再乘方，也可以－2.－3作为整体看作一个因式.
活动1 小组讨论
例1 一个正方体棱长为2×102毫米.
(1)它表面积是多少？(2)它体积是多少？
解：(1)6×(2×102)2＝6×(4×104)＝2.4×105.
(2)(2×102)3＝8×106.
结果用科学记数法表示时a ×10n 中a 是整数位只有一位数. 例2 计算：(1)(x 4·y 2)3；(2)(a n b 3n )2＋(a 2b 6)n ；
(3)[(3a 2)3＋(3a 3)2]2.
解：(1)原式＝x 12y 6.
(2)原式＝a 2n b 6n ＋a 2n b 6n ＝2a 2n b 6n .
(3)原式＝(27a 6＋9a 6)2＝(36a 6)2＝1 296a 12.
先乘方再乘除后加减运算顺序.
例3 计算： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫99100 2 017×⎝ ⎛⎭
⎪⎫10099 2 018； (2)0.12515×(215)3.
解：(1)原式＝(99100×10099)2017×10099＝1×10099＝10099
. (2)原式＝(18)15×(23)15＝(18
×8)15＝1. 反用(ab)n ＝a n b n 可使计算简便.
活动2 跟踪训练
1.计算：(1)－(－3a 2b 3)4；
(2)－(y 2)3·(x 3y 5)3·(－y)6；
(3)(－b 2)3[(－ab 3)3]2；
(4)(2a 2b)3－3(a 3)2b 3.
可从里向外乘方也可从外向内乘方，但要注意符号问题.
2.计算：(1)(－0.25)2017×(－4)2019；
(2)－2100×0.5100×(－1)2017－12. 3.计算：(x 2y n )2·(xy)n －1＝________________，
(4a 2b 3)n ＝________.
在计算中如遇底数互为相反数指数相同，可反用积乘方法则使计算简便.
活动3 课堂小结
1.审题时，在研究问题结构时，可按整体到部分顺序去思考和把握.
2.公式(ab)n ＝a n b n (n 为正整数)逆用：a n b n ＝(ab)n
(n 为正整数).
【预习导学】
知识探究
1.(1)x 7 x 6 a 10 (2)D
2.(1)216 216 －216 －216 n n n a n b n (2)a n b n 每一个因式 乘方 相乘 a n b n c n
自学反馈
(1)a 4b 4.(2)－8x 3y 3.(3)－2.7×107.(4)8a 3b 6.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.(1)－81a 8b 1
2.(2)－x 9y 27.(3)－a 6b 24.(4)5a 6b
3.
2.(1)16.(2)12
. 3.x n ＋3y 3n －1 4n a 2n b 3n。