上海青浦区实验中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)
一、选择题
1．设双曲线C ：22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双
曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2
B ．
3
2
C ．
54
D ．
53
2．P 是椭圆22
1169
x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k
的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25
3．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线
()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光
线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为4
3
，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x =
B ．26y x =
C ．24y x =
D ．22y x =
4．已知双曲线221(0,0)x y m n m n
-=>>和椭圆22
1
74x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（ ）
A ．1
2 B ．32 C ．43
D ．9
5．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点
()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）
A ．24480y x y -++=
B ．22220y x y +-+=
C ．2210y x y ---=
D ．24250y x y +-+=
6．已知1F ，2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点
2F 到直线1AF ，则离心率e 的取值范围是（ ）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
C ．⎛ ⎝⎭
D ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫
⎪⎝⎭
．若2QF PF =
，且PQF △的面积为p =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦
点，若0MF NF ⋅=，且3
MNF π
∠=，则该椭圆的离心率为（ ） A ．212
-
B ．
22 C ．
33
D ．31-
9．如图所示，12FF 分别为椭圆22
22x y 1a b
+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为
3的正三角形，则2b 的值为( )
A 3
B ．23
C ．33
D ．4310．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，
1
8
) B ．F (1，－
158
) C ．F (0，－
158
) D ．(1，
18
) 11．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111
AB BC CA
k k k ++= ( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．2p
12．已知椭圆r ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形
ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，
且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线
OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则
123
111
k k k ++=（ ） A ．43
-
B ．-3
C ．1813
-
D ．32
-
二、填空题
13．设12,F F 为双曲线22
212
x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且
123
F PF π
∠=
，若此双曲线的离心率等于
6
2
，则点P 到y 轴的距离等于__________． 14．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线
:(10)l y k x =-过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0
OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.
15．已知双曲线()222
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆
上，则双曲线C 的离心率为_____________．
16．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与直线11:2l y x =，21:2l y x =-，过椭圆上一点P
作12,l l 的平行线，分别交12,l l 于,M N 两点，若||MN 为定值，则
a
b
=__________. 17．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.
18．双曲线22
1916
x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．
19．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于
2C ，有下列四个结论：
①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；
③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内； 其中，所有正确结论的序号是__________．
20．已知双曲线的方程为22
1916
x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4
x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22
22:10x y
C a b a b
+=>>的离心率为12，过点
()03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.
（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长； （2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.
22．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.
（1）求线段AB 的长度.
（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由.
23．已知离心率2
2
e =的椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且42
3
AB =
，求直线l 的方程. 24．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为
23-.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为1
2
的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；
（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.
25．椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线243y x =的焦点重合，短轴的
一个端点与两焦点围成的三角形面积为3. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点(0,4)的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 的斜率.
26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，
2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.
（1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率c
e a
=的值. 【详解】 解：如图所示，
取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，
1F P c a =-；
又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-； 在2Rt NPF △中，2
2
2
22NP PF NF +=， 在2Rt MPF △中，22
2
2
2MP PF MF +=，
得()()()()22
2
24252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦， 化简得223850c ac a -+=， 即()()350c a c a --=， 解得c a =或35c a =； 又1e >， ∴离心率5
3
c e a ==. 故选：D .
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．
2．D
解析：D 【分析】
设(),P x y ，根据标准方程求得2
71616
k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】
因为椭圆方程为椭圆22
1169
x y +=，所以4,7a c =
设(),P x y ， 则(
)
(
)
2
2
2
22
127·
7
7
1616
k PF PF x y x y x ==-+-+-
, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.
3．D
解析：D 【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】
,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设()00,P x y
由题意有02y =
将02y =代入()2
20y px p =>得02x p
=
2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204
232
p p -=-
解得：1p =
故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】
抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2
p
等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
4．C
解析：C 【分析】
本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将
11
m n
+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】
因为双曲线221x y m n
-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，
所以743m n ，
则
()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛
⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 14
2233
m n n m
，当且仅当m n =时取等号， 故
11m n
+的最小值为43，
故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.
5．D
解析：D 【分析】
首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】
由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，
()()2
2
22222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，
所以21
11
a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -
设(),P x y ，由条件可知PC x =
x =，
两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
6．D
解析：D 【分析】
设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0b
k a
<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】
设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a
<<
，
，所以222
222343a b k c a a =<-，即22
47c a >，解得：2e > 故选：D . 【点睛】
本题考查双曲线求离心率，属于中档题.
方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系； （2）解出斜率k 与,a b 的关系；
（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围； （4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.
7．B
解析：B 【分析】
根据题意得||4QF p =，||2PF p =，进而根据抛物线的定义得P 点的横坐标为
3
2
P x p =
，设点P 在x 轴上方，故P ，再结合三角形PQF △面积即可得答案.
【详解】 解：由条件知(
,0)2p F ，所以||4QF p =，所以1
||||22
PF QF p ==， 由抛物线的准线为2
p x =-
，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为3
222p p p -=，
不妨设点P 在x 轴上方，则P ，
所以1
42
PQF
S
p =
⨯=2p =． 故选：B 【点睛】
本题解题的关键在于根据抛物线的定义得P 点的横坐标为3
2
P x p =
，进而求出P 的纵坐标并结合三角形PQF △面积求解，考查运算求解能力，是中档题.
8．D
解析：D 【分析】
E 是另一个焦点，由对称性知MEN
F 是平行四边形，从而得MENF 是矩
形．3
MEF MNF π
∠=∠=
，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义
得,a c 的等式，求得离心率． 【详解】
如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．
3
MNF π∠=
，∴3MEF π
∠=，
∴1
cos
232
ME EF c c π==⨯
=，2sin
3
MF c π
==，
∴1)2MF ME c a +==，
∴1
c e a =
==． 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．
9．B
解析：B 【分析】
由2POF 32
33=.c 把(3P 代入椭圆方程可得：
22131a b
+=，与224a b =+联立解得即可得出． 【详解】 解：
2POF 3
2
33= 解得2c =．
(3P ∴代入椭圆方程可得：
22131a b
+=，与224a b =+联立解得：223b = 故选B ． 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．B
解析：B 【分析】
右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解． 【详解】
已知抛物线方程为22(1)2y x =--，即2
1
(1)(2)2x y -=
+，它的图象是由抛物线212
x y =
向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，
抛物线2
12
x y =
中122p =，14p =，焦点坐标为1
(0,)8，011+=，115288-=-，
因此所求焦点坐标为15
(1,)8
-， 故选：B ． 【点睛】
本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．
11．A
解析：A 【解析】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y . ∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ∴(
,0)2
p F ∵0FA FB FC ++
= ∴112233(,)(,)(,)(0,0)222
p p p
x y x y x y -
+-+-= ∴1230y y y ++=
∵2221212121211
()122AB y y x x y y p k y y y y p
--+===--，同理可知3212BC y y k p +=，
311
2CA y y k p +=. ∴
3231123212()111
02222AB BC CA y y y y y y y y y k k k p p p p
+++++++=++== 故选A.
12．A
解析：A 【分析】
根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为1
2
，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】
因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12
， 所以1
1,
2
c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22
143
x y +=，
设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，
则222212121,14343
y x y x +=+=， 两式相减得：()()
1212
121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143
OD AB k k =-， 同理1414
,33
OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，
所以()1231114433
OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
13．【解析】依题意由解得根据双曲线焦点三角形面积公式有解得代入双曲线方程解得
解析：【解析】
依题意，由222
{b c a c a b ==
=+
，解得2,a c =
，根据双曲线焦点三角形面积公式有
212F F 21
b cot
π22tan
6
P S y
∠===⋅
，解得y =
，代入双曲线方程解得x =
14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故
解析：
2
【分析】
取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22
()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则
12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，
122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.
【详解】 如图，
取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=， 因为22
()0OP OF PF +⋅=，
所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.
因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.
由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+， 由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =， 故2||2PF =，122PF a =+.
在12Rt PF F 中，由勾股定理得
2221122||||PF PF F F +=， 即()2
42240a ++=，整理得2280a a +-=， 解得2a =.
故双曲线C 的离心率为10
2
c a =
. 故答案为：102
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为 解析：
102
【分析】
利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF
和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．
【详解】
由题意可得2c =，则2124F F c ==． 因为直线l 的斜率是3
，则12sin PF F ∠=
，12cos PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，
所以11212cos PF F F PF F =∠=
，21212sin PF F F PF F =∠=，
则212PF PF a -=
=
，故双曲线C
的离心率为c a =
【点睛】
本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．4【解析】当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以所以为定值则所以点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系此类问题的解答中主要特例法的应用
解析：4 【解析】
当点(0,)P b 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11
,22
y x b y x b =
+=-+， 联立1212y x b y x
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得(,)2b M b ，同理可得(,)2b N b -，所以2MN b =,
当点(,0)P a 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,2222
a a
y x y x =
-=-+， 联立12212a y x y x
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得(,)24a a M ，同理可得(,)24a a N -，所以2a MN =,
所以MN 为定值，则22a
b =
，所以4a b
=. 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题的解答中主要特例法的应用，是解答选择题的一种方法，本题的解答中取点P 分别为长轴和短轴的端点，联立方程组，求得
MN ，得出,a b 的关系式是解答关键，平时应注意特殊值等方法在选择题解答中的应用.
17．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案 解析：
12
【分析】
由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】
设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：
则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，
又30COB α∠==︒，则1sin 2
c e a α===. 故答案为：12
【点睛】
本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.
18．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为
解析：4 【分析】
首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】
根据题意，双曲线的方程为22
1916
x y -=，其中3,4a b ==，
所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，
渐近线方程为4
3
y x =±
，即430x y ±=，
则左焦点到其渐近线的距离为20
45
d ==
=， 故答案为：4. 【点睛】
该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.
19．①②【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数设动点坐标为得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】由题意设动点坐标为利用题意及两点间的距离公式的得：对于①分别将方程中的被﹣
解析：①② 【分析】
由题意曲线C 是平面内与两个定点1,0A 和()1,0B -标为(),x y ，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断． 【详解】
由题意，设动点坐标为(),x y ，利用题意及两点间的距离公式的得：
=
对于①，分别将方程中的x 被﹣x 代换y 不变，y 被﹣ y 代换x 不变，方程都不变，故关于y 轴对称和x 轴对称，故曲线C 是轴对称图形，故①正确
对于②，把方程中的x 被﹣x 代换且y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C 是中心对称图形，故②正确；
对于③，令y ＝0=x 21>，此时对应的点不
在单位圆x 2+y 2=1内，故③错误． 故答案为：①② 【点睛】
本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
20．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的
解析：【分析】
设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．
【详解】
解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，
(5,0)，
由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，
又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2， 由图可知，22||||||CM MF CF +≥，
12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=
则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为：4+61 【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．
三、解答题
21．（1433
23 【分析】
（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，
//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22
443
x y =-
，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；
（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则
2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则
()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时
根据()()2
2
2222
121211221434343
x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联
立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】
解：（1）设焦距为2c
，由题意知：222
1
2
b b a
c c a ⎧
⎪=⎪=-⎨⎪⎪=
⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
因此，椭圆C 的方程为：22
143
x y +=；
由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，2
2
443
x y =-
，
222
7·403BM ON x y y =-+=
-=
，解得：y =
， B ，M
不重合，故y =213249x =
，故2MN x ==
（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，
O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，
当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处 由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；
当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 则1212,22x x y y D ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以()1212,A x x y y ++， 所以()()2
2
2222
1
21211221434343
x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=- 也即()()1212346x x kx m kx m +++=-
()
()2
21212434460k
x x mk x x m +++++=
22
3412
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()222
4384120k x mkx m +++-= (
)22
48430k m
∆=+->，
x =
则：122843mk x x k -+=+，2122
412
43
m x x k -=+，代入式子得： 22
2
23286043
m k m k --=+，22443m k =+
设O 到直线MN 的距离为d
，则d =
=
=
0k =时，min 32
d =
； 综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为
32
.
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到
22443m k =+，属于中档题.
22．（1）8；（2）是，定值为2. 【分析】
（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；
（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +
，即可得出定值. 【详解】 （1）可得3,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线的倾斜角为603 则直线方程为332y x ⎫=-⎪⎭
， 设()()1122,,,A x y B x y ，
联立直线与抛物线23326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪
⎭⎨⎪=⎩
可得242090x x -+=， 则121295,4
x x x x +==
， 123538AB x x =++=+=；
（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈， 设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ， 把3x my =+代入26y x =得26180y my --= ∴126y y m +=，1218y y =-，
∴12121312123366
y t y t y t y t
k k x x my my ----+=
+=+++++ ()()()()()()1221126666y t my y t my my my -++-+=++
()()()1212212122612636my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++
()()()221866121866363
m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，
26
t
k =-，132k k k μ+=，
36t t μ⎛⎫
∴-=⨯- ⎪⎝⎭
，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0，
2μ∴=，即μ为定值2.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.
23．（1）2
212
x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.
【分析】
（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；
（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +
，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数
m 值得直线方程．
【详解】
（1）由题意知，1c =
，2
c e a =
=
，
∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组
2
21
2
x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，
高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测题A 北师大版选修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 圆锥曲线与方程检测 题A 北师大版选修2-1 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 5 ＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( ) A ．31414 B ．324 C ．32 D ．43 [答案] C [解析] 本题考查了双曲线的标准方程、焦点和离心率问题． 由双曲线的右焦点(3,0)知c ＝3，即c 2 ＝9， 又c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，∴9＝a 2 ＋5，即a 2 ＝4，a ＝2. ∴离心率e ＝c a ＝3 2 . 关于双曲线标准方程的问题，首要的是判定好a 2 和b 2 ，若所给方程为x 2a －y 2 5 ＝1，很多 同学易出现把a 和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误． 2．已知椭圆x 210－m ＋y 2 m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 [答案] D [解析] 由题意，得m －2>10－m ，且10－m >0，于是6 椭圆的性质专题练习 一．选择题（共12小题） 1．已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D． 2．已知椭圆+=1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e=（）A．B．C．D． 3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（） A．（1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（0，1） D．（﹣1，0） 4．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（） A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等 5．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D． 6．设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） A．2 B．2 C．2 D．4 7．椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（） A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，） 8．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（） A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1 9．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（） A．2 B．C．4 D． 10．已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则椭圆的离心率为（）A．B．C．或D． 11．已知点P（x0，y0）（x0≠±a）在椭圆C：（a＞b＞0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO⊥PM（O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（，1）D．（0，） 12．F1、F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，|PF1|=6，过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则|OM|的长为（） A．1 B．2 C．3 D．4 二．解答题（共13小题） 13．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（﹣2，1），且椭圆C的离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点Q（2，0）的直线，l与C相交于A，B两点，且PA⊥PB，求直线1的方程． 圆锥曲线单元测试（理） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点，如果x 1 + x 2 = 6，那么AB 等于 ( ) A.10 B.8 C.7 D.6 2.已知双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线方程为x 43y =，则双曲线的离心率为 ( ) A.35 B.34 C.45 D.23 3.以（-6，0），（6，0）为焦点，且经过点（-5，2）的双曲线的标准方程是（ ） A. 1201622=-y x B.1201622=-x y C.1162022=-y x D.116202 2=-x y 4.方程 22 125-16x y m m +=+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) A.1625m -<< B.9162m -<< C.9252m << D.92 m > 5.过双曲线22149 x y -=的右焦点F 且斜率是32的直线与双曲线的交点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ） A.35 B.5 5 3 C. 552 D.1053 7.抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（ ） A. 15 B.152 C. 2 15 D.15 8.设12,F F 是椭圆16 4942 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则 21F PF ?的面积为（ ） A.4 B.6 C.22 D.24 9.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 一、选择题 1．设双曲线C ：22 221x y a b -=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双 曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ． 3 2 C ． 54 D ． 53 2．P 是椭圆22 1169 x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k 的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25 3．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线 ()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光 线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为4 3 ，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x = B ．26y x = C ．24y x = D ．22y x = 4．已知双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22 1 74x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（ ） A ．1 2 B ．32 C ．43 D ．9 5．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点 ()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．24480y x y -++= B ．22220y x y +-+= C ．2210y x y ---= D ．24250y x y +-+= 6．已知1F ，2F 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点 2F 到直线1AF ，则离心率e 的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎭ B ．⎫ +∞⎪⎪⎝⎭ C ．⎛ ⎝⎭ D ．⎫ +∞⎪⎪⎝⎭ 7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ．若2QF PF = ，且PQF △的面积为p =（ ） 3.1.2 椭圆的简单性质 [A.基础达标] 1．已知椭圆x 216＋y 2 9 ＝1及以下3个函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝sin x ；③f (x )＝cos x ， 其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f (x )＝x ，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝cos x 为偶函数，故①②满足要求． 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点在直线x ＋4 3 y ＝4上，则此椭圆的焦点坐标 是( ) A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±7，0) D ．(0，±7) 解析：选C.直线x ＋43y ＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a ＝4，b ＝3，所以c ＝42－3 2 ＝7，故椭圆的焦点坐标为(±7，0)． 3.如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭 圆的离心率为( ) A.－1＋5 2 B.5－1 C. 2－1 2 D.2－1 解析：选A.因为Rt △AOB ∽Rt △BOC ，所以a b ＝b c ，即b 2 ＝ac ， 又b 2 ＝a 2 －c 2 ，所以a 2 －c 2 ＝ac ， 即c 2＋ac －a 2 ＝0， 所以e 2 ＋e －1＝0，又e ∈(0，1)， 所以e ＝－1＋5 2 . 4．如图，已知ABCDEF 是边长为2的正六边形，A 、D 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的 两个端点，BC 、EF 分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是( ) [基础达标] 1.过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x 轴平行． 2.方程（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|表示的曲线是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．线段 解析：选B.∵（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|， ∴（x －1）2＋（y －1）2|x ＋y ＋2| 2 ＝2>1. ∴由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线． 3.曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋ 2 公共点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：选C.y ＝1－x 2可化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切． 4.若椭圆上的点P 到一个焦点的距离最小，则点P 是( ) A ．椭圆短轴的端点 B ．椭圆长轴的一个端点 C ．不是椭圆的顶点 D ．以上都不对 解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点P 到右焦点的距离 |PF 2|＝de ＝(a 2 c －x 0)e ＝a －ex 0. 当x 0＝a 时，|PF 2|最小． 5.直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x | 4＝1交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D.当x ≤0时，曲线方程可化为x 24＋y 2 9＝1，即椭圆y 轴左侧部分；当x ＞0时， 曲线方程可化为y 29－x 2 4＝1，即双曲线y 轴右侧部分，如图可知直线y ＝x ＋3与曲线有三个交 点． 第三章 圆锥曲线的方程（单元测试卷） (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a(a>0)，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C ．双曲线的一支和一条直线 D ．双曲线的一支和一条射线 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标 准方程为( ) A.x 236＋y 2 32＝1 B ．x 29＋y 2 8＝1 C.x 29＋y 2 5 ＝1 D ．x 216＋y 2 12 ＝1 3.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF ―→ ＝－4，则点A 的坐标为( ) A ．(2，±2 2) B ．(1，±2) C ．(1,2) D ．(2,22) 4.若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( ) A. 5 B ．52 C ．3 D ． 3 5.方程为mx 2＋ny ＝0和mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)的两条曲线在同一坐标系中可以是( ) 6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的离心率为( ) A.1 2 B ．3 3 C.32 D ． 22 7.若双曲线x 23－y 2b 2＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1 4，则该双曲线的虚轴长 是( ) A ．2 B ．1 C. 55 D ．25 5 数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题 一、 选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。 1曲线 与曲线 <0 一、填空题 1．直线l ：240x y +-=与椭圆C ：22416+=x y 交于A ，B 两点，则弦长 AB =___________. 2．若,A B 是曲线x =O 为坐标原点，则OA OB ⋅的取值范围是 __________. 3．已知ABC 的周长为20，且顶点()0,3B -，()0,3C ，则顶点A 的轨迹方程是___________. 4．若椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点 12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122 F PF π ∠= ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心 率为2e ，12 2e e ，则22 12e e +=__________. 5．已知A B 、为椭圆22 14 x y +=和双曲线2214x y -=的公共顶点， P Q 、分别为双曲线和 椭圆上不同于两点A B 、的动点，且有()(),||1PA PB QA QB R λλλ+=+∈>，设直线 AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ，则1234 k k k k +++=______． 6．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆222 2:,C x y b +=若在椭圆1C 上存在点P ，过 P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得,3 BPA π ∠=则椭圆1C 的离心率的取值范围是 _____. 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，定点()1,1A ，当PAF △周长最小时，PF 所在直线的斜率为______. 8．在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上第一象限内的一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若1FR =，则直线PF 的斜率为______. 9．如图所示，已知A ､B ､C 是椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>上的三点，BC 过椭圆的中心 O ，且, 2AC BC BC AC ⊥=.则椭圆的离心率为_______. 一、选择题 1．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(][),10,1-∞- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]()1,01,-+∞ 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为 A B C D 3．已知直线2y kx =+与椭圆22 19x y m +=总有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥ B ．09m << C ．49m ≤< D ．4m ≥且9m ≠ 4．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ． 2 3 B ．2 C ． 34 D ．3 5．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线 ()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光 线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为4 3 ，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x = B ．26y x = C ．24y x = D ．22y x = 6．已知1F 、2F 是椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于 P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PF F △与12QF F 的面积之比为（ ） A ．2 B 1 C 1 D ．2+7．椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦 点，若0MF NF ⋅=，且3 MNF π ∠=，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12 - B ． 2 C ． 3 D 1 一、选择题 1．如图，已知1F 、2F 双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 6 D 423 2．已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．2) C ．(3,)+∞ D ．3) 3．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △内切圆的半径大于312 ，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．3⎛ ⎝⎦ B ．110,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31112⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（ ） A ．3) B ．(3,)+∞ C ．333⎛- ⎝ D ．(2,3) 5．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（ ） A ．4 B ．2 C ．42 D ．2 6．已知1F 、2F 是双曲线C ：2 214 y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ． 13 B ．12 C ．2 D ．3 7．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A ．24480y x y -++= B ．22220y x y +-+= C ．2210y x y ---= D ．24250y x y +-+= 8．无论θ为何值，方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线不可能为（ ） A ．双曲线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．圆 9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线 交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则 ①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ； ③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线； 一、填空题 1．已知F 是双曲线C ：2 2 18y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，点A 的坐标为()0,4，则APF 周长的最小值为_____________. 2．设直线l :1y x =+与椭圆:C 222 21(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________ 3．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________. 4．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为25.π记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD .已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为_______. 5．设1F ､2F 分别是椭圆2214 x y +=的左､右焦点，若椭圆上存在一点P ，使2()OP OF +⋅20PF =(O 为坐标原点)，则△12F PF 的面积是___________ 6．椭圆22 12516 x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为_____. 7．椭圆2 214 x y +=的右焦点为F ，以点F 为焦点的抛物线的标准方程是___________. 8．已知1F ，2F 分别为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P 是椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为_______. 一、选择题 1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0 B ． 12 C ．1 D ．2 2．已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ． 25 B ． 45 C ． 15 D ． 23 3．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于 ,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 4．已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ， 使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)+∞ B ． C ．)+∞ D ． 5．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知双曲线22 21(0)x y a a -=>与椭圆22183 x y +=有相同的焦点，则a =（ ） A B ．C ．2 D ．4 7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22 143 x y +=上，设它的三条边AB ，BC ， AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ， 2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则 123 111 k k k ++=（ ） A ．43 - B ．3- C ．1813 - D ．32 - 8．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且 一、选择题 1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ． B C ．13 - D ． 13 2．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(][),10,1-∞- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[] ()1,01,-+∞ 3．已知离心率为2的双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲 线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且 124d d +=，则双曲线的方程为（ ） A ．22 3144 x y -= B ．22 4134x y -= C ．22 1124 x y -= D ．221412 x y -= 4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为 A B C D 5．已知点F 是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点 且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆 222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由点P 位置决定 6．圆2 2 : ()4M x m y -+=与双曲线22 22:1(0,0 ) y x C a b a b -=>>的两条渐近线相切 于A B 、两点，若||1AB =，则 C 的离心率为（ ） A ． 4 B ． 15 C ． 14 D ．4 7．已知双曲线22 22:1(0,0),,x y C a b A B a b -=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P 是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积 为定值2，则双曲线的离心率是（ ） A B C ．2 D 一、选择题 1．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(033)F ，，直线43130x y +-=与其相交于 M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ） A ．221325 y x += B ．22 1325 x y += C ．221369y x += D ．221369 x y += 2．如图，已知1F 、2F 双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上 关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112 ABF π ∠= ，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 6 D 4 23 3．已知抛物线E ：()2 20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于 A ， B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为 C ， D 两点，直线AB 交l 于G 点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CF DF ②直线AB 的倾斜角为π4 或3π4 ③F 是AG 的中点 ④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 4．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点 D ．PA 与PB 垂直 5．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线 2 219 x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线 ()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光 线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为4 3 ，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x = B ．26y x = C ．24y x = D ．22y x = 7．已知双曲线221(0,0)x y m n m n -=>>和椭圆22 174x y +=有相同的焦点，则11m n +的 最小值为（ ） A ． 12 B ． 32 C ． 43 D ．9 8．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（ ） A ．4 B C ．D ．2 9．已知双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22 182 x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．7 y x =± B ．y = C ．5 y x =± D ．y = 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足 6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．6 11．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x M 在C 上，且12MF MF ⊥，M C 的方程为（ ） A ．22148x y -= B ．22148y x -= C ．2 2 12 y x -= D ．2 2 12 x y -= 12．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的 章末复习 一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含 x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量． (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程． (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养． 例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2 ＋y 2 ＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对 答案 C 解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5. ∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等． ∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线． (2)在圆x 2 ＋y 2 ＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点 M 满足PD →＝2MD → ,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程． 解 方法一 由PD →＝2MD → ,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )． 因为点P 在圆x 2 ＋y 2 ＝4上, 所以x 2 ＋(2y )2＝4, 所以曲线C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. 方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD → ,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2 ＋y 2 ＝4上, 所以x 2 0＋y 2 0＝4,(*) 把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2 ＋4y 2 ＝4, 所以曲线C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. 反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件． (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决． (3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决． 跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2 ＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲 线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2 －y 2 3 ＝1 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪ ⎧ c ＝2，c a ＝2，解得⎩⎪⎨ ⎪⎧ a ＝1，c ＝2， 则b 2＝c 2－a 2 ＝3, 因此双曲线方程为x 2 －y 2 3 ＝1. (2)点P 是抛物线y 2 ＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标． 解 抛物线y 2 ＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |. 高中数学选修2--1圆锥曲线 基本知识点与典型题举例 一、椭圆 1.椭圆的定义： 第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2 的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0 例 2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A) 116 252 2=+y x (B))0(116 252 2≠=+y y x (C) 125 162 2=+y x (D))0(125 162 2≠=+y y x 例3. 若F (c ，0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大 值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于 2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ，2 b a ±) 2()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在 例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦点，P 是以 F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( ) (A)2 (B)32 (D)3 例5. P 点在椭圆120 452 2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点 的坐标是 . 一、填空题 1．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：232y x =上，其中A (2，8)，ABC 的重心G 是抛物 线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为_________． 2．若,A B 是曲线x =O 为坐标原点，则OA OB ⋅的取值范围是 __________. 3．已知F 是双曲线22 1412 x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则 PF PA +的最小值为________． 4．设点P 为椭圆22 :14924x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且 12PF F △的重心为G ，如果1212||,||,||PF PF F F 成等差数列，那么12GF F △的面积为___. 5．若椭圆C ：22 184 x y +=的右焦点为F ，且与直线l ：20x +=交于P ，Q 两点， 则PQF △的周长为_______________. 6．与双曲线22 142 x y -=有相同的渐近线，且过点(2,1)P 的双曲线标准方程为__________. 7．若椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点 12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122 F PF π ∠= ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心 率为2e ，12 2e e ，则22 12e e +=__________. 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 22:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点为F ，定点 111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和动点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫ > ⎪⎝ ⎭满足：2POF QOF ∠=∠，且POF 是 底边长为C 的标准方程为__________. 9．椭圆22 12516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点 P 到x 轴的距离为_____. 10．若点(,)x y 在双曲线2214 x y -=上，则232x y -的最小值是____________． 11．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>于A ，B 两点，过点A 分 别作x 轴、AB 的垂线AP ．AQ 交椭圆C 于点P ．Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若 一、选择题 1．设F 为双曲线()22 2 2:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4+ 2．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，直线43130x y +-=与其相交于 M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ） A ．221325 y x += B ．22 1325 x y += C ．221369y x += D ．221369 x y += 3．若点) 0到双曲线C :22 221x y a b -=(0a >,0b >)的离心率为（ ） A B ． 2 C 2 D 4．(),0F c 是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直 线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 1 2 B 1 C D 5．已知双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、 B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．( B ．(1,1 C ． ) +∞ D ．() 1++∞ 6．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点 D ．PA 与PB 垂直 7．过原点O 的直线交双曲线E ：22 221x y a b -=（0,0a b >>）于A ，C 两点，A 在第一 象限，12,F F 分别为E 的左、右焦点，连接2AF 交双曲线E 右支于点B ，若 222,23OA OF CF BF ==，则双曲线E 的离心率为（ ） A B C D高中数学选修圆锥曲线与方程椭圆的性质专题练习(附详解答案)
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