(整理)立体几何证明的向量公式和定理证明11453
立体几何中的向量方法 课件
一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向
量.注意赋值不能为零.
2.用向量方法证明空间中的平行关系
剖析:空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面
平行.
(1)线线平行
设不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证
明a∥b,即a=kb(k∈R).
①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);
②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12).
解:(1)①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),
1
∴a=− 3 , ∴a∥b.∴l1∥l2.
②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
∴a·b=0,∴a⊥b.∴l1⊥l2.
1
(2)①∵u=(1,-1,2),v= 3,2,- ,
平面的法向量的求法
【例2】 四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面
ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.
分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共
线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.
解:∵AD,AB,AS 是三条两两垂直的线段,∴以 A 为原点,以
1
∴y=− 2.
又 n· = (1, , )·(-1,0,2)=-1+2z=0,
1
∴z= 2.
∴n=
1 1
1,- ,
2 2
即为平面SCD 的法向量.
利用向量法证明空间中的平行关系
【例3】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是
棱AA1,BB1,A1B1的中点.
立体几何基本定理与公式
立几基本公式空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[)οο180,0∈θ） （直线与直线所成角(]οο90,0∈θ） （斜线与平面成角()οο90,0∈θ）（直线与平面所成角[]οο90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 一、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面12方向相同12方向不相同POAa垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出α⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上一、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长） ⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. （直棱柱定义）：棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）PαβθM AB Oii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=.②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）六. 空间向量.1（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. （2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使y x +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注： 是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z使 z y x ++=(这里隐含x +y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证.3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=) 232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<ρρρρρρ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，DCBAB则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.。
空间向量与立体几何公式
空间向量与立体几何公式一、空间向量1、空间向量是一种简单的数学表达形式，表示一组相同类型数据成员之间的关系。
它可以描述空间中的每个点与另一个点之间的连接情况，而连接情况是由三个不同的坐标表示的。
换言之，空间向量就是描述空间中一个点到另一个点的方向及距离，作为一种数学实体而存在的。
2、空间向量可以用一个有向箭头来表示，并用数学记号标注出来。
通常来说，它的数学记号是表示坐标系中的另一个点在第一个点的坐标上的偏移量，如a→b表示b点在a点上的偏移量。
3、空间向量形式可以表示一条从原点到某个点的路径，通过它可以确定在x、y和z轴上的平移量，即偏移量，从而避免了我们有时在空间中运行物体时会误解运动方向的困难。
从更宏观的角度来说，空间向量可以用来表示以位置、速度和加速度等。
二、立体几何公式1、立体几何是几何学分支之一，它学习的内容是空间中的点、线、面和体的特性、关系及其变化规律，其中关于立体图形的内容被称为立体几何。
立体几何的定义是关于空间中的点、线、面和体的研究，以及它们之间的关系，其中主要考虑的就是位置、形状、大小以及一般的空间概念。
2、立体几何公式包括：立体几何定义、立体几何变换、立体几何性质、其他立体几何相关概念以及三角几何相关公式。
例如，立体几何定义涉及的公式有：空间中的点的位置关系（a-b=c），线的距离关系（L=1/2×Z1×Z2），面的面积关系（S=1/2×Z1×Z2×cosX），以及球体表面积（S=4×π×R2）等公式。
3、另外，立体几何公式还包括三角几何公式，它主要涉及到角度、正弦、余弦、正切、反正切等相关公式。
这些公式用来解决各种形状三角形以及其他更复杂的立体图形以及相关空间距离关系的问题。
立体几何中的向量方法总结
立体几何中的向量方法基础篇一(几何证明)•求直线方向向量 1•已知A 1,1,2 ,B 2,2,4且a (6,x,y)为直线AB的方向向量，求x,y二.平面的法向量2•在空间中，已知 A 1,0,1 ,B 0,1,1 ,C 1,1,0 ,求平面ABC的一个法向量。
3•如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形,PD 平面ABCD, PD DC 2， E 为 PC 中点(1)分别写出平面PAD, ABCD , PDC的一个法向量；(2)求平面EDB的一个法向量；(3)求平面ADE的一个法向量。
i B三.向量法证明空间平行与垂直1.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, 证：AM//平面BDEB2.如图，正方体 ABCD A'B'C'D'中，E, F 分别为BB',CD 的中点，求证： D'F 平面ADE 。
D fC f3.如图，在四棱锥 E ABCD 中，AB 平面BCE,CD 平面BCEAB BC CE 2CD 2, BCE 1200,求证：平面 ADE巩固练习:平面ABE 。
(1)求证：B'O PAC1.如图，在正方体ABCDA'B'C'D'中, P是DD'的中点, O是底面ABCD的中心,B 2.如图，在直棱柱 ABC A'B'C'中，AC 3, BC 4, AB 5, AA' 4 (1) 求证：AC BC'(2) 在AB 上是否存在点D ,使得AC'//平面CDB',若存在，确定 D 点位置，若不存在，说明理由。
3.如图，已知长方体 ABCD A'B'C'D'中，AB BC 2，AA' 4, E 为CC'的上的点，BE B'C ， 求证：A'C 平面BED4. 在三棱柱 ABC A'B'C'中，AA'平面ABC, AB BC, AB BC 2, AA' 1，E 为 BB'的中点, 求证：平面AEC' 平面AA'C'CB立体几何中的向量方法基础篇二（求空间角）一•利用向量法求异面直线所成角：必背公式：__________________________________________________________________________1.若异面直线∣1,∣2的方向向量分别为a 0, 2, 1 ,b 2,0,4 ,求∣1,∣2所成角。
专题07 立体几何中的向量方法(解析版)
专题07 立体几何中的向量方法【要点提炼】1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则 (1)线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同). (1)线线夹角设l ，m 的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22. (2)线面夹角设直线l 与平面α的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则sin θ＝|cos a ，μ|＝|a ·μ||a ||μ|.(3)面面夹角设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)， 则|cos θ|＝|cosμ，v|＝|μ·v ||μ||v |.考点考向一 利用空间向量证明平行、垂直【典例1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.证明：(1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).(1)向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0. 所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，所以向量AB→＝(1，0，0)为平面P AD 的一个法向量， 而BE →·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ， 又BE ⊄平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1，0，0)，向量PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →. 所以平面P AD ⊥平面PCD .探究提高 1.利用向量法证明平行、垂直，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素). 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的定理，如在(2)中忽略BE ⊄平面P AD 而致误.【拓展练习1】 如图，在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ABFE 和平面ABCD 都是正方形且互相垂直，点M 为AB 的中点，点O 为DF 的中点.证明：(1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD .证明 (1)由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设正方形边长为1，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，F (1，0，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，BA →＝(－1，0，0)， ∴OM →·BA →＝0，∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE －BCF 是直三棱柱，∴AB ⊥平面BCF ，∴BA →是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF .(2)在第(1)问的空间直角坐标系中，设平面MDF 与平面EFCD 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2).∵DF →＝(1，－1，1)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0，DC →＝(1，0，0)，CF →＝(0，－1，1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DF→＝0，n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，令x 1＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－12.同理可得n 2＝(0，1，1).∵n 1·n 2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD . 考向二 线线角、线面角的求解【典例2】 (2020·浙江卷)如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝∠ACD ＝45°，DC ＝2BC .(1)证明：EF ⊥DB ；(2)求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.(1)证明 如图(1)，过点D 作DO ⊥AC ，交直线AC 于点O ，连接OB .图(1)由∠ACD ＝45°，DO ⊥AC ，得 CD ＝2CO .由平面ACFD ⊥平面ABC ，得DO ⊥平面ABC ， 所以DO ⊥BC .由∠ACB ＝45°，BC ＝12CD ＝22CO ，得BO ⊥BC . 所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB .由ABC －DEF 为三棱台，得BC ∥EF ，所以EF ⊥DB .(2)解 法一 如图(1)，过点O 作OH ⊥BD ，交直线BD 于点H ，连接CH .由ABC －DEF 为三棱台，得DF ∥CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角.由BC ⊥平面BDO ，得OH ⊥BC ，故OH ⊥平面DBC ， 所以∠OCH 为直线CO 与平面DBC 所成角. 设CD ＝22，则DO ＝OC ＝2，BO ＝BC ＝2，得BD ＝6，OH ＝233，所以sin ∠OCH ＝OH OC ＝33.因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33.法二 由ABC －DEF 为三棱台，得DF ∥CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图(2)，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .图(2)设CD ＝22，由题意知各点坐标如下：O (0，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，D (0，0，2). 因此OC→＝(0，2，0)，BC →＝(－1，1，0)，CD →＝(0，－2，2). 设平面DBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－2y ＋2z ＝0，可取n ＝(1，1，1)，所以sin θ＝|cos 〈OC →，n 〉|＝|OC →·n ||OC →|·|n |＝33.因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33.探究提高 1.异面直线所成的角θ，可以通过两直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.2.直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|，有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).【拓展练习2】 (2020·全国Ⅱ卷)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心.若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO ＝AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.(1)证明 因为侧面BB 1C 1C 是矩形且M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN . 因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N . 又侧面BB 1C 1C 是矩形，所以B 1C 1⊥MN . 又A 1N ∩MN ＝N ，A 1N ，MN ⊂平面A 1AMN ， 所以B 1C 1⊥平面A 1AMN .又B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ， 所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)解 由已知及(1)得AM ⊥BC ，MN ⊥BC ，AM ⊥MN .以M 为坐标原点，MA →的方向为x 轴正方向，|MB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M －xyz ，则AB ＝2，AM ＝ 3.连接NP ，AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ， 平面A 1AMN ∩平面EB 1C 1F ＝PN ，故AO ∥PN . 又AP ∥ON ，则四边形AONP 为平行四边形，故PM ＝233，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，13，0.由(1)知平面A 1AMN ⊥平面ABC .作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC . 设Q (a ，0，0)，则 NQ ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a2， B 1⎝⎛⎭⎪⎫a ，1，4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a2. 故B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a ，－23，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a 2， |B 1E →|＝2103.又n ＝(0，－1，0)是平面A 1AMN 的一个法向量， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－〈n ，B 1E →〉＝cos 〈n ，B 1E →〉＝n ·B 1E →|n |·|B 1E →|＝1010.所以直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为1010. 考向三 利用向量求二面角【典例3】 (2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A －EF －A 1的正弦值.解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c .如图，以C 1为坐标原点，C 1D 1→的方向为x 轴正方向， 建立空间直角坐标系C 1－xyz .(1)证明 连接C 1F ，C 1(0，0，0)，A (a ，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，23c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b ，13c ，EA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b ，13c ，C 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b ，13c ，得EA →＝C 1F →， 因此EA ∥C 1F ，即A ，E ，F ，C 1四点共面， 所以点C 1在平面AEF 内.(2)由已知得A (2，1，3)，E (2，0，2)，F (0，1，1)，A 1(2，1，0)，AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2，0，－2)，A 1E →＝(0，－1，2)，A 1F →＝(－2，0，1). 设n 1＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，－2x －2z ＝0，可取n 1＝(－1，－1，1).设n 2为平面A 1EF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1E →＝0，n 2·A 1F →＝0，同理可取n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，1.设二面角A －EF －A 1的平面角为α，所以cos α＝cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－77，则sin α＝1－cos2α＝42 7，所以二面角A－EF－A1的正弦值为42 7.探究提高 1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.2.利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的.【拓展练习3】(2020·沈阳一监)如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.点F为AD的中点，连接EF.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求二面角C－AE－D的余弦值.(1)证明取AB的中点为O，连接OC，OF，如图.∵O，F分别为AB，AD的中点，∴OF∥BD且BD＝2OF.又CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴OF綊EC，则四边形OCEF为平行四边形，∴EF∥OC.又OC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)解∵△ABC为等边三角形，O为AB的中点，∴OC⊥AB.∵平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，BD ⊥AB ，BD ⊂平面ABD ，∴BD ⊥平面ABC .又OF ∥BD ，∴OF ⊥平面ABC .以O 为坐标原点，分别以OA ，OC ，OF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正三角形ABC 的边长为2，则O (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，3，0)，E (0，3，1)，D (－1，0，2)，∴AC→＝(－1，3，0)，AE →＝(－1，3，1)，AD →＝(－2，0，2). 设平面AEC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝－x 1＋3y 1＝0，AE →·m ＝－x 1＋3y 1＋z 1＝0. 不妨令y 1＝3，则m ＝(3，3，0). 设平面AED 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝－2x 2＋2z 2＝0，AE →·n ＝－x 2＋3y 2＋z 2＝0. 令z 2＝1，得n ＝(1，0，1). ∴cos 〈m ，n 〉＝323×2＝64.由图易知二面角C －AE －D 为钝角， ∴二面角C －AE －D 的余弦值为－64. 考向四 利用空间向量求解探索性问题【典例4】 (2020·武汉调研)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 是AC 与BD 的交点，点E 是线段OD 1上的一点.(1)若点E 为OD 1的中点，求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值；(2)是否存在点E ，使得平面CDE ⊥平面CD 1O ？若存在，请指出点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 解 (1)不妨设正方体的棱长为2.以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，D 1(0，0，2)，C (0，2，0)，O (1，1，0). 因为E 为OD 1的中点， 所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.则OD 1→＝(－1，－1，2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，DC →＝(0，2，0).设p ＝(x 0，y 0，z 0)是平面CDE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧p ·DE→＝0，p ·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 0＋12y 0＋z 0＝0，2y 0＝0，取x 0＝2，则y 0＝0，z 0＝－1，所以p ＝(2，0，－1)为平面CDE 的一个法向量. 设直线OD 1与平面CDE 所成角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈OD 1→，p 〉|＝|OD 1→·p ||OD 1→||p |＝|－1×2＋（－1）×0＋2×（－1）|（－1）2＋（－1）2＋22×22＋（－1）2＝23015， 即直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值为23015.(2)存在，且点E 为线段OD 1上靠近点O 的三等分点.理由如下. 假设存在点E ，使得平面CDE ⊥平面CD 1O .同第(1)问建立空间直角坐标系，易知点E 不与点O 重合，设D 1E →＝λEO →，λ∈[0，＋∞)，OC →＝(－1，1，0)，OD 1→＝(－1，－1，2). 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面CD 1O 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OC →＝0，m ·OD 1→＝0，即⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，－x 1－y 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝1，所以m ＝(1，1，1)为平面CD 1O 的一个法向量.因为D 1E →＝λEO →，所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ， 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ. 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面CDE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE→＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋λx 2＋λ1＋λy 2＋21＋λz 2＝0，2y 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝0，z 2＝－λ2，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－λ2为平面CDE 的一个法向量. 因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m ⊥n . 则m ·n ＝0，所以1－λ2＝0，解得λ＝2.所以当D 1E →EO →＝2，即点E 为线段OD 1上靠近点O 的三等分点时，平面CDE ⊥平面CD 1O .探究提高 1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.但注意空间坐标系建立的规范性及计算的准确性，否则容易出现错误.2.空间向量求解探索性问题：(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论；(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.【拓展练习4】 (2019·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，P A ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC ＝13.(1)求证：CD ⊥平面P AD ； (2)求二面角F －AE －P 的余弦值；(3)设点G 在PB 上，且PG PB ＝23.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由. (1)证明 因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD . 又因为AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD .(2)解 过点A 作AD 的垂线交BC 于点M . 因为P A ⊥平面ABCD ，AM ，AD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AM ，P A ⊥AD .建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，－1，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).因为E 为PD 的中点， 所以E (0，1，1).所以AE→＝(0，1，1)，PC →＝(2，2，－2)，AP →＝(0，0，2). 所以PF→＝13PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，－23， 所以AF→＝AP →＋PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43. 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1，x ＝－1. 于是n ＝(－1，－1，1).又因为平面P AD 的一个法向量为p ＝(1，0，0)， 所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝－33.由题知，二面角F －AE －P 为锐角，所以其余弦值为33. (3)解 直线AG 在平面AEF 内，理由如下： 因为点G 在PB 上，且PG PB ＝23，PB →＝(2，－1，－2)， 所以PG→＝23PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，－43， 所以AG→＝AP →＋PG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，23. 由(2)知，平面AEF 的一个法向量n ＝(－1，－1，1)， 所以AG →·n ＝－43＋23＋23＝0.又点A ∈平面AEF ，所以直线AG 在平面AEF 内.【专题拓展练习】一、单选题1．已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且,,OA a OB b OC c ===，用,,a b c 表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12b c a +- B ．()12a b c ++ C ．()12a b c -+D ．()12c a b --【答案】D 【详解】MN MA AO ON =++1122BA OA OC =-+ ()1122OA OB OA OC =--+ 111222OA OB OC =--+()12c a b =--. 故选：D2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段MP 3C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+5【答案】D 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为111,BD B C 的中点， 则()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ， 所以1,0,12CN ⎛⎫=⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为MP CN ⊥， 所以1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，2430x z +-=，当1x =时，14z =；当0x =时，34z =； 取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥， 又EFEH E =，且EF ⊂平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，所以CN ⊥平面EFGH ， 又111,,224EM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以M 为EG 中点，则M ∈平面EFGH ， 所以，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体的表面上运动，所以点P 的轨迹为四边形EFGH ， 因此点P 不可能是棱1BB 的中点，即A 错； 又1EF GH ==，52EH FG ==，所以EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形； 且矩形EFGH 的周长为522252+⨯=+，故C 错，D 正确； 因为点M 为EG 中点，则点M 为矩形EFGH 的对角线交点，所以点M 到点E 和点G 的距离相等，且最大，所以线段MP 的最大值为52，故B 错. 3．在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅＝（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．不确定【答案】B 【详解】 如图，令,,AB a AC b AD c ===， 则AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅，()()()a cb b ac c b a =⋅-+⋅-+⋅-，0a c a b b a b c c b c a =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=.故选：B4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形.PA ⊥底面,2,4ABCD PA AB AD ===.E 为PC 的中点，则异面直线PD 与BE 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．3010C ．1010D ．31010【答案】B 【详解】以A 点为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：则()2,0,0B ，()1,2,1E ，()002P ,,，()0,4,0D ， ()1,2,1BE =-∴，()0,4,2PD =-，设异面直线PD 与BE 所成角为θ，则630cos 10625PD BE PD BEθ⋅===⨯⋅. 5．已知四棱锥,-P ABCD 底面是边长为2的正方形，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥平面PAD ，点E 是线段PD 上的动点(不含端点)，若线 AB 段上存在点F (不含端点)，使得异面直线PA 与 EF 成30的角，则线段PE 长的取值范围是（ ）A ．202⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B ．603⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， C ．222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， D ．623，⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】由PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥平面PAD ，取AD 中点G ，建立如图空间直角坐标系，依题意(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,0,1)G A D B P -，设(1,,0)F y ，，设()()1,0,1,0,DE xDP x x x ===，01x <<，故()1,0,E x x -，()2,,EF x y x =--又()1,0,1PA =-，异面直线PA 与 EF 成30的角，故cos30PA EF PA EF ⋅=⋅︒，即()2223222x y x =-++即()222213y x =--+，01x <<，故220,3y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又02y <<，故60y ⎛∈ ⎝⎭，. 故选：B.6．已知二面角l αβ--，其中平面的一个法向量()1,0,1m =-，平面β的一个法向量()0,1,1n =-，则二面角l αβ--的大小可能为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．30【答案】C 【详解】11cos ,222m n m n m n ⋅-<>===-⨯，所以,120m n <>=，又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补， 所以二面角的大小可能是60或120. 故选：C7．已知向量(,,)x y z a a a a =，(,,)x y z b b b b =，{},,i j k 是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：()()(),,yz xy xz y z z y z x x z x y y x xy z yz xyxz xyz ij ka a a a a a ab a b a b i a b a b j a b a b k a a a b b b b b b b b b ⎛⎫⨯=-+-+-==-⎪ ⎪⎝⎭其中行列式计算表示为a b ad bc c d=-，若向量(2,1,4),(3,1,2),AB AC ==则AB AC ⨯=（ ）A ．(4,8,1)---B ．(1,4,8)--C ．(2,8,1)--D ．(1,4,8)---【答案】C 【详解】由题意得()()()()1241+4322+21132,8,1AB AC i j k ⨯=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=--， 故选：C.8．长方体1111ABCD A B C D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1A C 垂直的长方体截面的形状为（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形【答案】B 【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()125,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()20,0,5Q PQ x =-，()12520500Q AC PQ x ∴⋅=---=，解得18Qx =，即()18,0,10Q ， 设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22Mx =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5Ny =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--，则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，综上，可得过点P 且与1A C 垂直的长方体截面为五边形QMNEF . 故选：B.9．在四面体ABCD 中，6AB =，3BC =，4BD =，若ABD ∠与ABC ∠互余，则()BA BC BD ⋅+的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】B 【详解】设ABD α∠=，可得2ABC πα∠=-，则α为锐角，在四面体ABCD 中，6AB =，3BC =，4BD =， 则()cos cos 2BA BC BD BA BC BA BD BA BC BA BD παα⎛⎫⋅+=⋅+⋅=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭()18sin 24cos 30sin αααϕ=+=+，其中ϕ为锐角，且4tan 3ϕ=. 02πα<<，则2πϕαϕϕ<+<+，所以，当2παϕ+=时，()BA BC BD ⋅+取得最大值30.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是底面ABCD 上的动点，则()111CE CA D B -⋅的最大值为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．6【答案】B 【详解】以点D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111(0,0,1),(1,1,1),(1,0,1),D B A设(,,0)E x y ，其中[],0,1x y ∈，则()()11111,,1,1,1,0CE CA A E x y D B -==--=， 所以111()11CE CA D B x y -⋅=+-≤，等号成立的条件是(1,1,0)E ，故其最大值为1， 故选：B ．11．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB ．若点M 为PD 中点，则直线CM 与PB 所成角的大小为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°【答案】C 【详解】如图所示：以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 为单位向量建立空间直角坐标系A xyz -，设1PA =，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()1,0,0B ， 故()1,0,1PB =-，111,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1132cos ,21111144PB MC PB MC PB MC+⋅===⋅+⋅++， 由异面直线夹角的范围是(]0,90︒︒，故直线CM 与PB 所成角的大小为30. 故选：C.12．如图，在正四面体ABCD 中，,,2BE EC CF FD DG GA ===，记平面EFG 与平面BCD ､平面ACD ､平面ABD ，所成的锐二面角分别为α､β､γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>【答案】A【详解】 解：(空间向量法)因为,,2BE EC CF FD DG GA ===，所以E ､F 分别为BC ､CD 的中点，G 为AD 上靠近A 的三等分点，取BD 的中点M ，连接CM ，过A 作AO ⊥平面BCD ，交CM 于点O ，在平面BCD 中过O 作//ON BD ，交CD 于N ，设正四面体ABCD 的棱长为2，则33OM =，233CO =，22222326233OA AC OC ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 以O 为原点，OC 为x 轴，ON 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，26A ⎛ ⎝⎭，31,0B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，23C ⎫⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,02E ⎫-⎪⎝⎭，31,062F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3146,939G ⎛- ⎝⎭，(0,1,0)EF =，53546,8691EG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，232633AC ⎛=- ⎝⎭，32633AD ⎛=-- ⎝⎭，3261,33AB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，设平面EFG 的一个法向量为()1,,n x y z =，则110n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即05354606y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，不妨令1z =，则18,0,125n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，同理可计算出平面BCD ､平面ACD ､平面ABD 的一个法向量分别为2(0,0,1)n =，()32,6,1n =，4(22,0,1)n =-，则可得1212517co 1s 5n n n n α⋅==⋅，1313717co 1s 5n n n n β⋅==⋅，14149cos 1751n n n n γ⋅==⋅，所以cos cos cos αβγ<<，又cos y x =在()0.x π∈上递减，所以αβγ>>， 故选：A.13．在正四棱锥P ABCD -中，1PA PB PC PD AB =====，点Q ，R 分别在棱AB ，PC 上运动，当||QR 达到最小值时，||||PQ CQ 的值为（ ） A ．7010B ．355C ．3510D ．705【答案】A 【详解】以P 在底面的投影O 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设1(,,0)2Q a ，(,,)R m n q因为211(0(,0),22P C -，，112(,22PC =-， 又因为R 在PC 上，PR PC λ=所以(,m m q -=，11(,),22λλ-， 所以R 11(,2222λλ=--+，所以2222111222QR a λλ⎛⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221324a a λλλ=+-++ 因为[]11,,0,122a λ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦设2213()24f a a a λλλ=+-++，2213()24g a a λλλλ=+-++ 对其求导()2f a a λ'=-，1()22g a λλ'=-+当二个导数同时为0时，取最小值，即20a λ-=，1202a λ-+=所以11,36a λ==时取最小值，所以1121,,,1,,02623PQ CQ ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以PQCQ==10，所以当||QR 达到最小值时，||||PQ CQ 的值为10. 14．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为1D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】B 【详解】以D 点为坐标原点，DA 、DC 、1DD 为x ，y ，z 轴建系，则(000)D ，，、(100)A ，，、()010C ，，、1(101)A ，，、1(001)D ，，、 1(10)2E ，，、1(01)2F ，，，1(11)2G ，，， 则()1001DD =，，、1112AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，则112DD AF ⋅=， ∴直线1D D 与直线AF 不垂直，A 错误;则11012A G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，1102AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，1112AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，， 设平面AEF 的法向量为()n x y z =，，，则10021002x y AE n AF n x y z ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-++=⎪⎩，令2x =，则1y =，2z =，则(212)n =，，，10AG n ⋅=，∴直线1A G 与平面AEF 平行，B 正确; 易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面，且1D F 、DC 、AE 共点于H ，15D H AH ==，12AD =，∴121232(5)()222AD H S ∆=⨯⨯-=，则113948AD HAEFD S S =⋅=四边形，C 错误; (110)AC =-，，，点C 到平面AEF 的距离113AC n d n⋅==， 1012AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，点G 到平面AEF 的距离223AG n d n ⋅==，则12d d ≠，D 错误;故选:B ．15．如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF =.当1A 、E 、F 、1C 共面时，平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角的余弦值为（ ）A ．15B ．12C ．32D ．65【答案】B 【详解】以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1(606)A ，，、(000)D ，，、1(066)C ，，，由题意知：当(630)E ，，、(360)F ，，时，1A 、E 、F 、1C 共面， 设平面1A DE 的法向量为1111()n x y z =，，，1(606)DA =，，，(630)DE =，，， 则1111111660{630n DA x z n DE x y ⋅=+=⋅=+=，取11x =，解得1(121)n =--，，，设平面1C DF 的法向量为2222()n x y z =，，，1(066)DC =，，，(360)DF =，，， 则2122222660{360n DC y z n DF x y ⋅=+=⋅=+=，取22x =，解得2(211)n =-，，，设平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角为θ，则1212121cos cos 266n n n n n n θ⋅====⋅⋅，， ∴平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角的余弦值为12， 故选：B.二、解答题16．在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，13AA =AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 是1B C 的中点.（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值. 【详解】（1）由1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，得1AB B C ⊥，又AB AC ⊥，1CB AC C =，故AB ⊥平面1AB C ，AB 平面11ABB A ，故平面11ABB A ⊥平面1AB C .（2）以C 为原点，CA 为x 轴，1CB 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B 又2BC =113BB AA ==故11CB =，()10,0,1B ，10,0,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,0CA = ()111,1,1AA BB ==--，11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =， ()0,1,1n =， 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ，故1102sin 1214n AE n AEθ⋅===⨯+，即直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值为1010.17．如图1，矩形ABCD 中，3AB BC =，将矩形ABCD 折起，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，连接AF 、CE ，以AF 和EF 为折痕，将四边形ABFE 折起，使点B 落在线段FC 上，将CDE △向上折起，使平面DEC ⊥平面FEC ，如图2.（1）证明：平面ABE ⊥平面EFC ；（2）连接BE 、BD ，求锐二面角A BE D --的正弦值. 【详解】（1）证明：在平面ABCD 中，AF =FC ，BF +FC 3AB ， 设3AB a =，则3BC a =，设BF =x ，在BAF △中，()22233x a a x +=-，解得x a =，则2AF FC a ==， 因为点B 落在线段FC 上，所以BC DE a ==，所以BE FC ⊥， 又AB BF ⊥即AB CF ⊥，AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以CF ⊥平面ABE ，由CF ⊂平面EFC 可得平面ABE ⊥平面EFC ；（2）以F 为原点,FC 为x 轴，过点F 平行BE 的方向作为作y 轴，过点F 垂直于平面EFC 的方向作为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,0,0,3,0,,0,0C a F E a a B a ，()0,3,0BE a =， 易得平面ABE 的一个法向量为()2,0,0FC a =，作DG EC ⊥于G ， 因为平面DEC ⊥平面FEC ，所以DG ⊥平面EFC ，则5334a G a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，53334a a D a ⎛ ⎝⎭，13334a a BD a ⎛= ⎝⎭，设平面DBE 的一个法向量为(),,n x y z =，则3013330442n BE ay a an BD ax y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令3z =(3n =-， 因为12239cos ,13239n FC n FC a n FC⋅--===⋅⋅，所以锐二面角A -BE -D 223913113⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭. 18．如图，在三梭柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ，11AAC C 均为菱形，12AA =，1160ABB ACC ∠=∠=︒，D 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）若60BAC ∠=︒，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值. 【详解】解：（Ⅰ）连结1BC ，与1B C 交于点O ，连结OD ， 四边形11BB C C 是平行四边形，O 为1B C 中点，D 为AB 中点，得1//AC OD ，又OD ⊂平面1CDB ，故1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）方法一：由12AB AC ==，12AC AB ==，且O 为1B C ，1BC 的中点， 得1AO BC ⊥，1AO B C ⊥，11B C BC =， 又1BC ，1CB 为平面11BB C C 内两条相交直线，得AO ⊥平面11BB C C ，故1AC B ∠即为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角； 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，2BC =，得四边形11BB C C 为菱形，又11B C BC =，故四边形11BB C C 为正方形，122BC =则1ABC 为等腰直角三角形，且12BAC π∠=，故14AC B π∠=，12sin 2AC B ∠=， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22.方法二：以D 为原点，分别以射线DB ，1DB ，CD 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()13,0A -，()13,0B ， 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，ABC 为正三角形， 故CD AB ⊥，又1B D AB ⊥，所以AB ⊥平面1CDB ， 设()0,,C y z ，由2CA =，123CA =，得(22223,38,y z y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即36,3y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3260,33C ⎛- ⎝⎭， 由11B C BC ，得12326C ⎛- ⎝⎭，所以12326AC ⎛= ⎝⎭，()11,3,0BB =-，3261,,33BC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭； 设平面11BB C C 的一个法向量为()111,,n x y z =，由10,0,n BB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111130,33260,x y x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩可取()3,1,2n =，设直线1AC 与平面11BB C C 所成角为θ， 则1112sin cos ,2AC n AC n AC nθ⋅===， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 和11BCC B 都是正方形，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，,D E 分别为1BB ，AC 的中点．（1）求证：//BE 平面1A CD ．（2）求直线1B E 与平面1A CD 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：取1A C 中点F ，连接DF ，EF ， ∵,E F 分别为1,AC A C 的中点，∴1//EF AA ，且112EF AA =，又四边形11ABB A 是正方形，∴11//BB AA 且11BB AA =， 即1//EF BB 且112EF BB =，又∵D 为1BB 中点，∴//EF BD 且EF BD =，所以四边形EFDB 为平行四边形，所以//BE DF ，又BE ⊄平面1A CD ，DF ⊂平面1A CD ，所以//BE 平面1A CD .（2）由题意，1,,BA BC BB 两两垂直，所以以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设12BA BC BB ===，则11(0,2,0),(1,0,1),(2,0,0),(0,1,0),(0,2,2)B E C D A . ，11(1,2,1),(2,1,0),(2,2,2)B E CD AC =-=-=-，设平面 1A CD 的法向量为(),,m x y z =， 则100AC m CD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，得()1,2,1m =- 设直线1B E 与平面1A CD 所成角为θ，1111412sin cos ,366B E m B E mB E mθ， 所以直线1B E 与平面1A CD 所成角的正弦值为23.。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
高中数学：向量法解立体几何总结
高中数学：向量法解立体几何总结向量法解立体几何1.直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若a、b是直线l上的任意两点，则ab为直线l的一个方向向量；与ab平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.（2）平面法向量：如果向量n的直线垂直于平面？，那么把这个向量称为垂直于平面的向量？，记录为n??，如果n??，那么向量n叫做平面?的法向量.（3）平面法向量的计算方法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．② 设定飞机？的法向量是n？（x，y，z）。
③求出平面内两个不共线向量的坐标a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)．?? NA.0④ 根据法向量的定义建立方程??n?b?0⑤解方程组，取其中一组解，即得平面?的法向量.2.使用向量法确定空间中的平行关系⑴线线平行。
设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即A.kb（k？r）。
⑵线面平行。
设直线l的方向向量是a，平面?的法向量是u，则要证明l∥?，只需证明A.u、 A？U0⑶面面平行。
若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要证?∥?，只需证u∥v，即证u??v.3.用矢量法确定空间的垂直关系⑴线线垂直。
设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1?l2，只需证明a?b，即A.B0⑵线面垂直① （方法1）让线l的方向向量为平面？如果法向量是u，那么l？？，只要证明你是个“u”，即a？？U②（法二）设直线l的方向向量是a，平面?内的两个相交向量分别为m、n，若A.M0，那么我A.N（3）面对面垂直。
如果是飞机？的法向量是u，平面？的法向量是V，需要证明吗，只是一张证书？v、即时证明你？五、04、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知a和B是两条不同的平面直线，a，C和B，D分别是a和B上的任意两点，a和B 形成的角度是？，则cos??ac?bdacbd.（2）求出直线和平面之间的角度求法：设直线l的方向向量为a，平面?的法向量为u，直线与平面所成的角为?，a与u的夹角为?，则?为?的余角或?的补角剩下的就是：罪？？余弦？？（3）求二面角a?uau.二面角的平面角是指二面角的平面角？？L在任意边上取一个点o，分别在两个半平面上做射线Ao？l、波？l、然后呢？AOB是二面角？？L平面角如图：Abolboa解决方案：设置二面角？？L两个半平面的法向量分别为m和N，然后让m和N的夹角为？，二面角？？L平面角是？，二面角？是M和N的夹角吗？还是根据具体图形确定其辅助角度？锐角或钝角：如果?是锐角，则cos??cos??m?nmn，即??arccosm?nmn；MN如果是钝角，那么cos余弦，那是？？阿卡斯mn？锰？？MN5。
立体几何证明定理及性质总结
立体几何证明定理及性质总结立体几何是研究空间内物体形态、结构和性质的一门数学学科。
其研究对象一般为立体物体，如点、线、平面等的延伸形成的三维空间中的实体。
立体几何的核心是几何定理和性质的证明，这些定理和性质为我们理解和应用立体几何提供了重要的基础。
1.直线与平面之间的关系(1)平面穿过一条直线，分割直线成两段，这两段相互垂直。
(2)平面与两条垂直直线的交线是水平的。
(3)平面的两条相交线分别与直线的其中一直线相交，则这两条直线在该平面上相交。
(4)平面的两条交线都与直线的其中一直线相交，则两交线在该平面上相交。
(5)平面的两个不同交线都与直线的其中一直线相交，则交线的交点在该平面上。
2.平面之间的关系(1)平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则它也与另一个平面相交。
(2)两平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则另一平面上的相交线平行于两给定平面。
(3)平面与两个平行平面相交，交点的连线垂直于两个平行平面。
(4)平面分割直线，则直线在平面上的两个截点在直线的同一侧。
3.空间图形的性质(1)圆柱的轴线与底面圆的圆心在同一直线上，底面平行，生成的侧面平行四边形的对角线相等。
(2)圆锥的轴线垂直于底面，底面与轴线连线的斜率相等，生成的侧面是一个等腰三角形。
(3)球的所有直径相等且是最长的，球面上任意两点相连的线段都在球内。
4.空间多面体的性质(1)正方体的近似球半径与边长之比约为1：1.633(2)正四面体的顶点到底面边心的距离与底面边长之比约为1：1.5(3)正八面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.707(4)正十二面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.612以上只是立体几何中的一部分重要定理和性质，我们通过对这些定理和性质的研究和证明，可以更好地理解和应用立体几何的知识。
在解决实际问题时，我们可以利用这些定理和性质快速推导出结论，同时也可以通过反证法等方法，从不同的角度来理解和证明这些定理和性质。
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这条直线垂直于这个平面。 平面互相垂直。
这个平面内的任意一条直线。
判 定 图形 定 语言 理a ,b 符号语言ab P
c
c a, c b
a a
b a
a
b
文字 语言
如果两个平面互相垂直，
如果两条平行线中的一
如果两条直线同垂直于一 那么在一个平面内垂直于他
a
//
b
b
// a a // b b
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其他 重要 结论
如果两个平面平行，则其中一 个平面内的任意一条直线平行于另 外一个平面。
a
//
a
//
垂直的证明
线面垂直
面面垂直
定义
文字 语言
（2）平面 内两相交直线 m CD =0 m ⊥CD m ⊥
的方向向量 AB , CD
AB,CD 且 AB CD=P
（1）平面 的法向量 m （2）平面 的法向量 n
mn 0 mn 平面 ⊥平面
计算
分类
两异 面直 线所 成角
（0， 】 2
两条相交直线分别平行 条相交直线分别平行于另
于另外一个平面，那么这 外一个平面内的两条直线，
两个平面平行。
那么这两个平面平行。
判
图
形
定
语
定
言
理
符 号 语 言
a
b
a
//
a // b
a ,b a
ab P
//
a // ,b //
a ,b a
示意图
线面角
角 【0， 】
θ
的
2
计
算
所需条件
（1）直线 m 方向向量 m （2）直线 n 方向向量 n
（1）直线 OA 的方向向量
OA ； （2）平面 的法向量 n
证明原理
mn cos cos m, n
mn
mn 简化： cos
mn
OA n sin cos OA, n
条垂直于一个平面，那么另一
个平面，那么这两条直线平行。 们交线的直线垂直于另外一 条也垂直于这个平面。
个平面。
性
质
定 理 图形
语言
符号 语言
文字语言
a
b
a
//
b
,a b, a
b
a
a a
// b
b
三垂线定理
三垂线逆定理
立体几何证明的向量公式和定理证明
PO , A ,a
PO O , a PA
a
OA
附表 2
线线平行
平 （1）向量法
行 的 （2）线面平行性质定理
证
明
（线面平行 线线平行）
（3）面面平行性质定理
（4）线面垂直性质定理
线线垂直
垂 （1）向量法
直 （2）线面垂直 线线垂直
一、基本定理梳理
平行的证明
线面平行
面面平行
定义
文字 语言
一条直线与一个平面没有公共 点，叫做直线与平面平行。
如果不在平面内的一条直线和平面 内的一条直线平行，那么这条直线和 这个平面平行。
如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平
行，也叫做平行平面。
如 果 一 个 平 面 内 有 推论：如果一个平面内有两
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高考数学专题——立体几何
综合近几年的高考题可知，本章高考命题的形式比较稳定，难易适中。主要考线线、线面及面
面的平行与垂直，三垂线定理及逆定理的应用，以及空间角和距离的计算。从解答题来看，一般
遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法，平移法等数学方法。注重考查转化
与化归的思想。（即立体几何平面化：面面问题 线面问题 线线问题；几何问题代数化）
如果一条直线和一个平面相交，
并且和这个平面内的任意一条直线
相交成直二面角的两个
都垂直，我们就说这条直线和这个平 平面叫做相互垂直的平面。
其他重要结论
面互相垂直。
如果一条直线和一个平面
如果一个平面过另一个
如果一条直线和一个平
内的两条相交直线都垂直，那么 平面的一条垂线，那么这两个 面垂直，那么这条直线垂直于
（3）面面垂直性质定理
（面面垂直 线面垂直）
（1）向量法 （2）面面垂直判定定理
（线面垂直 面面垂直）
两异面直线所成角（0， 】 2
线面角【0， 】 2
二面角【0， 】
（1）向量法
（1）向量法
角 （1）向量法
度
（2）定义法：直接找到斜
垂线法(定义法)
的 （2）直接法：平行移动一条或两 线和射影所成角。
距
离
的
计
点面距离
算 点
线面距离 转化为 点面距离 面
距
离
面面距离 转化为 点面距离
点 A 到平面 的距离
（1）直线 a 和直线 b 的公
垂线的方向向量 n ；
（2）a 上任意一点 A，b d | AB n |
上任意一点 B，构成向量
|n|
AB
（1）点 A 和平面 内任
意一点 B 构成一个向量
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点面距离 线面距离 面面距离
距 （1）向量法： 离
的
1、转化为平面的平行线上
计 （2）转化法 另外一点到平面的距离
算
2、转化到平面另外一侧的点来求，
这两点的线段的中点是与平面的交点
（3）等体积法：
（四）利用向量方法证明和计算的原理（非常重要）
证明 分类
示意图
所需条件
两异面直线间的距离 （1）向量法 （2）定义法：找出异面直线的公垂线段。 （3）转化法：转化为线面距离或面面距 离来求。
证明原理
线线 平行
平 行 线面 的 平行 证 明
面面 平行
（1）直线 m 方向向量 m ； （2）直线 n 方向向量 n
m n m ∥n m ∥n
（1）直线 m 方向向量 m ； （2）平面 的法向量 n
（1）平面 的法向量 m （2）平面 的法向量 n
mn 0 mn 直线 m ∥平面 m n m ∥n 平面 ∥平面
ab P a // a' ,b // b'
//
a' ,b'
文字 语言
如果一条直线和一个平面平行，
经过这条直线的平面和这个平面相
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么他
们的交线平行。
交，那么这条直线和交线平行。
性
图
质
形
定
语
理
言
符
a //
号 语 言
a
（3）三垂线定理 的 （4）三垂线逆定理
证 明
线面平行
面面平行
（1）向量法 （2）线面平行判定定理
（线线平行 线面平行）
（1）向量法 （2）面面平行判定定理
（线面平行 面面平行）
（3）面面平行判定定理推论
（3）面面平行 线面平行
线面垂直
面面垂直
（1）向量法 （2）线面垂直判定定理
（线线垂直 线面垂直）
线线 垂直 垂 直 的 证 明 线面 垂直
（1）直线 m 方向向量 m ； （2）直线 n 方向向量 n
mn 0 m n m ⊥n
（1）直线 m 方向向量 m ； （2）平面 的法向量 n
m n
m ∥n 直线 m ⊥平面
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面面 垂直
（1）直线 m 方向向量 m ； m AB =0 m ⊥AB
AB ； （2）平面 的法向量 n
d | AB n | |n|
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OA n
OA n 简化：sin =
OA n
二面角
同进同出为互补
【0， 】
（1）平面 的法向量 n （2）平面 的法向量 m
mn cos m, n
mn
（1 二面角平面角是锐角余弦就取正值 （2 二面角平面角是钝角余弦就取负值
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一进一出为相等
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两异面直线间的距离
在平面内的一条直线，如果它和这个平 在平面内的一条直线，如果它和这个平面内的
面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这 一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的
条斜线垂直。
射影垂直。
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符号语言
PO , A ,a
PO O , a OA
a
PA
计 算
条直线，直到他们相交。这时所 成的角（或其补角）为所求角。
（3） sin h l
2 找平面角 三垂线法（斜线射影） 垂面法（平行于公共棱 的面）
技巧：多找中点，中位线，平 （4）三角余弦定理：
（3）射影面积法
行四边形等，或实行拓展补图等。
cos cos1 cos2
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