圆锥曲线中离心率的相关问题(求值、取值范围) 精品教案

圆锥曲线中离心率的相关问题
——求值、取值范围(或最值)
授课时间：2018年5月4日
一.近五年高考考查概况
年份，类型，题号
考查曲线
考查题型
分值
2013全国1卷，理科，4 双曲线 求离心率 5分 2014全国1卷，理科，20
2014全国2卷，理科，20，(1) 椭圆 椭圆 根据离心率求方程
求离心率 12分 5分 2015全国2卷，理科，11 双曲线 求离心率
5分 2016全国2卷，理科，11 2016全国3卷，理科，11 双曲线 椭圆 求离心率 求离心率 5分 5分 2017全国1卷，理科，15 2017全国2卷，理科，9 2017全国3卷，理科，10
双曲线与圆 双曲线 椭圆
求离心率 求离心率 求离心率
5分 5分 5分
二.问题分析与策略
求圆锥曲线的离心率的值、取值范围(或最值)，是解析几何中的重点、难点，它也是历年高考中考查的热点之一. 在圆锥曲线的诸多性质中，离心率也同时会渗透于各类题型中。

这类问题通常有以下两类：一是根据条件利用定义直接求椭圆、双曲线的离心率；二是根据一定条件求椭圆、双曲线离心率的取值范围(或最值). 无论是哪类问题，一般都要采用以下方法与策略：
一个关键：寻求建立,,a b c 之间(或其中两者)的一个等式或不等式；
二个切入：从“形”入手、从“数”下手；
三个方向：从圆锥曲线的定义思考、从几何图形的性质出发、从方程(或不等式)的角度落笔；
四种工具：平面几何基础知识、平面向量知识、三角函数、基本(重要)不等式； 五种思想：数形结合思想、方程思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想.
三.题型分类与讲解
1.利用定义求离心率
例1.(宁夏银川一模)已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是21F F 、，
点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若212
1F F OP =，且2
21a PF PF =∙，则该椭圆的离心率为（ ）
43.A 23.B 22.C 2
1
.D
【变式练习1-1】已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 左、右焦点分别是21F F 、，
点P 在双曲线上，且b PF PF 321=+，ab PF PF
4
9
21=∙，则该双曲线的离心率为（ ）
34.A 35.B 49
.C 3.D
例2.已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别是21F F 、，过点2F 的直
线与椭圆交于B A 、两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） 2
2
.A 32.-B 25.-C 36.-D
【变式练习2-1】已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别是21F F 、，
过点2F 的直线与双曲线的右支交于B A 、两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则2e =（ ）
221.+A 224.-B 225.-C 223.+D
【变式练习2-2】如右图所示，点C B A ,,是双曲线
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x 上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，且BFC ∆是以F 为直角顶点的等腰三角形，则该双曲线的离心率是（ ） 10.A 210.B 2
3
.C 3.D
例 3.旧题新解(2016全国3卷，11题，5分)已知O 为坐标原点，F 是椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左焦点，B A ,分别为C 的左，右顶点. P 为C 上的一点，且x PF ⊥轴. 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线
BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） 31.A 21.B 32.C 43.D
2. 求离心率的取值范围
例4.（1）【显性不等关系】已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，若
过点F 且倾斜角为o 45的直线与双曲线的左支没有公共点，则此双曲线离心率的取值范围为 .
（2）【隐性不等关系】(2014湖北七市联考)已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的
左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线存在一点P 使c
a
F PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该
双曲线的离心率的取值范围为 .
例 5.设点P 是椭圆上)0(1:
22
22>>=+b a b
y a x C 的一点，21F F 、分别是其左、右焦点，若
o 2190=∠PF F ，则该椭圆的离心率的取值范围
为 .
思路1：利用图形的几何特性
思路2：利用基本(重要)不等式
思路3：利用三角函数的有界性
思路4：利用一元二次方程
B 2
B 1
F 1
y x
O F 2
P
课后巩固练习
1.21,F F 为双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的左右焦点，O 为原点，点P 为双曲
线上一点，且a OP 3=，2211PF F F PF 、、
成等比数列，则双曲线的离心率（ ） 321.
A 3
7
.B 372.C 337.D 2.改编：(2015江西八校联考，9)已知圆,02:221=++y cx x C 圆,
02:222=+-y cx x C 椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，0>c ，且222b a c -=. 若圆21C C ，都在椭圆内，
则椭圆离心率的最大值是（ ）
21.A 22.B 3
1
.C 33.D 3.(2016湖南十校联考，11)设双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b y a x C 的两条渐近线与直
线c
a x 2
=分别交于B A ,两点，F 为该双曲线的右焦点. 若009060<∠<AFB ，则
该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
)2,1.(A )2,2.(B )2,1.（C ),2.[+∞D
4.(2017全国卷1，15)已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b
y a x C 的右顶点为A ，以A 为
圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于N M ,两点. 若
o 60=∠MAN ，则C 的离心率为 .
5.(1)已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的两个焦点，P 为椭圆
上一点，且221c PF PF =∙→
→，则椭圆的离心率的取值范围为 .
(2)已知)0,(),0,(21c F c F -为双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的左右焦点，若P 为
双曲线上一点，且2212
1
c PF PF -=∙→→，则双曲线的离心率的取值范围
为 .。