人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)

−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理（完整版）第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（二）一元二次方程的一般形式：ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中：二次项为ax 2；二次项系数为 a ；一次项为 bx ，一次项系数为 b ；常数项为 c 。

特殊形式：（三）一元二次方程中“未知数的最高次数是 2，二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。

（四）一元二次方程的解（根）1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。

2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不 相等，则该数不是这个方程的根。

3、关于一元二次方程根的三个重要结论（1）a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。

（2）a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。

（3）c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。

二、解一元二次方程（一）直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。

2、方程x 2 = p 的根（1） 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ，x 2 =− p 。

（2） 当 p=0 时，方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。

（3） 当 p<0 时，因为对任意实数 x ，都有x 2≥0，所以方程x 2 = p 无实数根。

3、用直接开平方法解一元二次方程时，要先将方程左边化成完全平方的形式，右边是非负数 的形式，再用直接开平方解方程。

4、解形如(nx ＋n)2 = p （m≠0，p≥0）的一元二次方程，把nx ＋n 看作一个整体，直接开平方 降次得nx ＋n =± p ，即x =。

5、适用范围：直接开平方法只适用于能转化为x 2 = p 或(mx ＋n)2 = p （m≠0，p≥0）形式的方 程。

（二）配方法解一元二次方程1、配方法：把方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方 法，叫做配方法。

2、可化为(x + n)2 = p 的形式的一元二次方程的根（1） 当 p ＞0 时，方程(x + n)2 = p 有两个不等的实数根x 1 =− n + p ，x 2 =− n − p ； （2） 当 p ＝0 时，方程(x + n)2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =− n ；（3） 当 p ＜0 时，因为对任意实数 x ，都有(x + n)2≥0，所以方程(x + n)2 = p 无实数根。

3、用配方法解一元二次方程的一般步骤（2x 2 − 7x + 3 = 0）依据：完全平方公式的逆用a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b)2和直接开平方法。

2x 2 − 7x =− 3 （1）移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。

x 2− 7 x =− 32 2（2）二次项系数化为 1：左、右两边同时除以二次项系数。

x 2 − 7 x + ( − 7 )2 =− 3 + ( − 7 )2 2 2 2 2即(x − 7 )2= 25216（3）配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平 方。

（4）开平方求根：利用平方根的意义直接开平方。

（三）公式法解一元二次方程1、推导：用配方法解方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)2、一元二次方程根的判别式12 （1）内容：一般地，式子b 2 − 4ac 叫做一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)根的判别式， 通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ = b 2 − 4ac 。

（2）方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)的根的情况Δ＞0⇔方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有两个不相等的实数根。

Δ=0⇔方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有两个相等的实数根。

Δ＜0⇔方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)无实数根。

3、拓展：对于一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)，当 a ，c 异号时，方程一定有两个不相等的实数根；当 c=0 时，方程一定有一个根为 0。

4、一元二次方程的求根公式（1） 内容：当∆ ≥ 0 时，方程a x 2 + bx + c = O(a ≠ O) 的实数根x =的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2 + bx + c = O 的求根公式。

（2）公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，以避免配方过 程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

（3） 用公式法解一元二次方程的步骤①整理方程：一般式ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)。

②计算根的判别式：Δ = b 2 − 4ac 。

③求根：当Δ=④写解b 2− 4ac ＞0 时，将各项系数代入求根公式x =注：当Δ=b 2 − 4ac =0 时，方程有两个相等的实数根，即x= x =− b。

2a（四）因式分解法解一元二次方程1、因式分解法：先对方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

2、用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1） 移项∶将方程化为一般形式。

（2） 分解∶将方程的左边分解为两个一次式的乘积。

（3） 转化∶令每个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程。

（4） 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。

（五）一元二次方程的根与系数的关系 1、推导−b± b 2−4ac2a2、内容（1）文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。

（2）数学语言若ax2 + bx + c = O(a ≠ O)的两个根为x1，x2，则x1 + x2=− b，x1x2 = c。

a a3、重要结论（1）若一元二次方程x2+p x+q=O(a≠O)的两根为x1，x2，则x1 + x2=− p，x1x2 = q。

（2）以实数x1，x2为两根的二次项系数为1 的一元二次方程是x2 − (x1 + x2) + x1x2 = O。

4、重要变形x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2三、实际问题与一元二次方程（一）列一元一次方程解决实际问题的一般步骤1、审题找相等关系2、设未知数3、列方程4、解方程5、检验（1）检验所得结果是不是方程的解。

（2）检验方程的解是否符合实际意义。

6、写出答案（二）常见实际问题1、平均增长率（降低率）问题：a(1 + x)2 = n2、几何图形问题3、存款利息问题4、数字问题5、存款利息问题6、传播、比赛与握手问题1x(x − 1) = n（1）比赛单循环、握手：2（2）比赛双循环、互发短信：x(x − 1) = n （3）传播问题：1 + x + (1 + x)x = n ⇒ (1 + x)² = n第二十二章二次函数一、二次函数概念（一）内容：一般地，形如y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数；其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

（二）二次函数一般式：y = ax2 + bx + c（a，b，c 是常数，a≠0）（三）二次函数成立的条件1、函数解析式是整式；2、化简后自变量的最高次数为2；3、二次项系数不为0。

二、二次函数的图像和性质（一）图像：二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ O)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y = ax2 + bx + c 。

（二）抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。

（三）二次函数y = ax2(a ≠ O)的图像和性质1、用描点法画二次函数y = ax2的图象的一般步骤（1）列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y值，列出表格，一般取原点（0，0），在y 轴的两侧各取2 个或3 个点，注意对称取点。

（2）描点：在平面直角坐标系内，描出相应的点，一般先描出y 轴一侧的几个点，再根据对称性找出y 轴另一侧的几个点。

（3）连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线（顶端不能画成尖的）依次连各点，并向两端无限延伸（注意曲线两端要出头）。

注：①一般来说，取的点越多，图像越精确。

②抛物线是向两端无限延伸的，左右两侧应关于对称轴对称。

2、二次函数y = ax2(a ≠ O)的图像和性质y = ax2(a ≠ O) a > 0 a < 0向上向下注：对于抛物线y = ax，a 的符号决定抛物线的开口方向；|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同。

（四）二次函数y = ax2 + k(a ≠ O)的图象和性质1、二次函数y = ax2 + k与y = ax2图象间的关系二次函数y = ax2 + k的图象可以由二次函数y = ax2沿y 轴向上（k>0）或向下（k<0）平移| k |个单位长度得到（上加下减常数项）。

2k > 0 k < 0 k > 0 k < 0向上向下注：（1）对于二次函数y=a x或y=a x1122上，且|x1| > |x2|，则有y1 > y2。

（2）对于二次函数y = ax2或y = ax2 + k，当a < 0 时，若A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上，且|x1| > |x2|，则有y1 < y2。

（五）二次函数y = a(x − M)2的图象和性质1、二次函数y = a(x − M)2与y = ax 2图象间的关系二次函数y = a(x − M)2的图象可以由二次函数y = ax 2沿 x 轴向右（h>0）或向左（h<0）平移| h |个单位长度得到（左加右减自变量）。