高考培优课程数学讲义：一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系【学生版】

高考培优 数学
“一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系”
讲义编号：
本讲义从以下两方面展开：
1. 一元二次方程与一元二次不等式的基本解法
有关一元二次方程与一元二次不等式的求解，是高考与会考考察内容的基础之一。

该部分内容或许不会独立形成题目，却是求解其他问题的基本工具。

这一部分内容，相对来说比较简单，却是最基本与最基础的，需要熟练掌握。

2. 利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题
一元二次函数是在高考以及会考当中是十分常考的一种函数，原因在于其性质比较容易研究，也相对简单。

因此，这部分内容也是基础的内容。

其主要问题大多在于一些含参数不等式（等式）恒成立（有解）条件的研究。

1. （★★★☆）已知函数2
()f x x bx c =++，,b c R ∈，对于任意的x R ∈，不等式2()x b f x +≤恒成立，
证明当0x ≥时，2()()f x x c ≤+
2. （★★☆☆）已知不等式()22454(1)30m m x m x +---+>恒成立，求实数m 的取值范围。

知识点一：一元二次方程与一元二次不等式的基本解法
✧ 子知识点一：一元二次不等式的基本解法。

一般地，对于一元二次不等式2
0(0)ax bx c a ++>≠，
其解集有如下形式：
这个表格是求解一元二次不等式问题的基础，是需要学生牢牢掌握的。

✧ 子知识点二：注意有关含参数的一元二次方程与一元二次不等式求解时的讨论。

知识点二：利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题
✧ 子知识点一：要学会利用一元二次方程的解与相应的一元二次不等式的解集之间的内在联系。

具体可以参见知识点一中的表格。

✧ 子知识点二：一元二次方不等式（方程）的恒成立问题。

一元二次不等式恒大于0，那么可知对
应的二次函数开口向上且无实数零点；类似地，一元二次不等式恒小于0，那么可知对应的二次函数开口向下且无实数零点。

不过这道题需要注意的是，该不等式虽然形如一元二次不等式，但是不一定就是一元二次不等式。

我们需要先对二次项系数进行讨论。

这一点是非常重要的，往往学生会想当然地认为是一元二次不等式，而导致漏解。

1. 一元二次方程与一元二次不等式的基本解法 例1 （★★☆☆）解关于x 的不等式： （1）2220x ax a --< （2）(1)x x a a -+<
例2（★★☆☆）解关于x 的不等式：2
30x mx m -->
2. 利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题
例3 （★★★☆）已知220ax x c ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，求解不等式 2
20cx x a -+->
例4 （★★★☆）已知2
()f x ax c =-，4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，试求(3)f 的取值范围。

例5（★★★★）设二次函数2
()f x x bx c =++，已知1x 和2x 是二次方程()0f x x -=的两个实根，求：
（1） 求证：1x 和2x 也是四次方程(())0f f x x -=的两根； （2） 令(())(())()f f x x f x x g x -=-，求()g x 的解析式；
（3） 假定四次方程(())0f f x x -=的另外两根为3x 和4x 且34x x <，122x x <-，试比较1x ，2x ，3x ，
4x 的大小关系。

1．（★☆☆☆）不等式94330x x -⋅+<的解集是
（ ） A ．(0,1) B ．(0,1] C ．1
(0,)2
D ．1(0,]2
2．（★★☆☆）若关于x 的方程2
(3)0x a x a +-+=的两根均为正数，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．(0,3]
B ．(0,1]
C ．(9,)+∞
D ．(9,)(,1)+∞⋃-∞
3．（★★☆☆）若关于x 的不等式220ax bx +->的解集是11(,)(,)3
2
+∞⋃-∞-，则ab 等于 （ ） A ．24-
B ．24
C ．14
D ．14-
4．（★★☆☆）若关于x 的不等式2
(2)2(2)40a x a x -+--<对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为：
（ ）
A ．(,2]-∞
B ．(,2)-∞-
C ．(2,2]-
D ．(2,2)-
5．（★★☆☆）对实数
a
和b 定义运算“⊕ ”：1
,,1
b a a a b b a b ≤--=>⎧⊕⎨⎩,设函数
22()(2)(),f x x x x x =-⊕-∈R ．若函数()y f x c =
-的图像与x 轴恰好有两个共公点，则实数c 的取值
范围是（ ）
A ．(
)3,21,2⎛⎫
-∞⋃- ⎪⎝⎭
B ．(
)3,21,4⎛⎫
-∞⋃- ⎪⎝⎭ C ．53,1,44⎛⎫⎛⎫+∞⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．13,1,44⎛⎫⎛
⎫+∞⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
6．（★★★☆）设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[－6,2]，则m n +的取值所组成的集
合为( ) A ．[0,3]
B ．[0,4]
C ．[－1,3]
D ．[1,4]
7．（★★☆☆）不等式组22
23404210540x x x x x x ⎧+->⎪+-<⎨⎪-+>⎩的解集是 ．
8．（★★★☆）已知a b ≠，解关于x 的不等式222(1)[(1)]a x b x ax b x +-≥+-
9．已知函数2|54|,0
()2|2|,0
x x x f x x x ⎧++≤=⎨
->⎩,若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______ 10．（★★★☆）若不等式组 2220
2(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的整数解只有2-，求k 的取值范围。

11．（★★★☆）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3]x ∈时，21
()22
f x x x =-+.若函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有10个零点(互不相同)，求实数a 的取值范围。

12．（★★★☆）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}|,0x x αβα<<>，求不等式20cx bx a ++>的解集
13．（★★★☆）已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]m x m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m
的取值范围是 ．
14.（★★★☆）已知不等式22(1)(1)0x a x a a ++--<的解集为A ，求使得(0,1)A ⊆的实数a （0a >）的取值范围。

15．（★★★☆）已知2()0)f x ax bx a =+≠（，1(1)2f ≤-≤，3(1)4f ≤≤，试求(2)f -的取值范围。

16．（★★★★）已知0a >，函数2()f x ax bx =-
17.（★★★★）已知函数222,0
()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪
==⎨⎪+<⎩
是奇函数.
(1)求实数m 的值；
(2)若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.
18.（★★★★）已知,,a b c 为实数，函数2()f x ax bx c =++，()g x ax b =+，当11x -≤≤ 时，|()|1f x ≤
(1)求证：||1c ≤；
(2)求证：当11x -≤≤时，|()|2g x ≤；
(3)设0a >，当11x -≤≤时，()g x 最大值为2，求()f x ．
19.（★★★★）已知二次函数2()3f x x bx c =++ ，不等式()0f x > 的解集为,2)(0,)(∞-⋃+∞-
（1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()()2g x f x mx =+- 在(2,3) 上单调，求实数m 的取值范围； （3）若对于任意的[2,2]x ∈-，()3f x n +≤都成立，求实数n 的最大值．
20.（★★★★）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++= 和点111222(,),(,)P x y P x y 记
1122()()ax by c ax by c η=++++ 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. （1） 求证：点 (1,2),(1,0)B A - 被直线10x y +-=分隔；
（2）若直线y kx = 是曲线2241x y -= 的分隔线，求实数k 的取值范围；
（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.
讲师评价。