空间坐标系中的位姿描述
第一章机器人运动学(1)解析
点的齐次坐标（补充）
一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v
ai
bj
ck
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
列矩阵 x
a= x
, b= y
规定，一般情况：41列阵[a b c w]T 中 w 为 零，且满足 a2 + b2 + c2 = 1，则[a b c 0]T 中 的 a、 图1.2 坐标轴的方向表示 b、c 表示某轴的方向； w不为零，则[a b c w]T 表 示空间某点的位置。
图示的矢量 u 的方向用可表达为： u = [a b c 0]T
B A
R
A B
R
1
A B
R
T
坐标变换
2）平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标变换 坐标系{A}和{B}
具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢量满足下式:
A P B P A PB0
Robotics 数学基础
坐标变换
3）.复合变换 一般情况原点既
不重和,方位也不同. 这时有:
A
P
A B
RB
矩阵描述.
二、齐次坐标表示
将一个 n 维空间的点用 n+1 维坐标表示，则该 n+1 维坐标即为 n 维坐标的齐次坐标。记为：
P = [a b c w]T
w 称为该齐次坐标中的比例因子，当取w=1 时， 其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即：
P = [PX PY PZ 1]T
当 w 不为1时，则相当于将该列阵中各元素同时 乘以一个非零的比例因子w，仍表示同一点P，即： a = wPX；b = wPY；c = wPZ。
机器人的位姿描述与坐标变换
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎣− sinθ 0 cosθ ⎥⎦
Zi Zj
θ
θ Xi
Xj
Yi Y j
⎡cosθ − sinθ 0⎤
j i
R(Zi
,θ
)
=
⎢⎢sinθ
cosθ
0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
Zi Zj
θ
Xi Xj
Yj
θ
Yi
⎡1 0
0⎤
j i
R(
X
i
,θ
)
=
⎢⎢0
cosθ
−
sinθ
⎥ ⎥
⎢⎣0 sinθ cosθ ⎥⎦
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
位置矢量
⎡x0 ⎤
P o '
o
=
⎢ ⎢
y0
⎥ ⎥
⎢⎣ z0 ⎥⎦
Z b Z'
O' Y' t n X' O
X Y
姿态矢量
O' O
R
=
[
O' O
X
OO'Y
⎡cos(∠X ' X )
O' O
Z
]3×3
=
⎢ ⎢
cos(∠X
'Y
)
⎢⎣cos(∠X ' Z )
单位主矢量
cos(∠Y ' X ) cos(∠Y 'Y ) cos(∠Z ' Z )
cos(∠Z ' X )⎤
cos(∠Z
'Y
)
⎥ ⎥
cos(∠Z ' Z ) ⎥⎦
姿态矩阵R的特点：
三维空间中六自由度机械臂位姿确定方法
一、概述在工业自动化和机器人领域，机械臂是广泛应用的一种机械设备，它的位姿确定对于机器人的运动控制和任务执行具有至关重要的意义。
六自由度机械臂作为一种自由度相对较高的机械臂，其位姿确定方法是一个复杂而且具有挑战性的问题，但是确切的位姿确定是机器人能否完成各种复杂任务的基础。
在三维空间中六自由度机械臂位姿确定方法的研究具有重要的理论和实际意义。
二、六自由度机械臂的运动特性六自由度机械臂是指在三维空间中具有六个自由度的机械臂，分别是三个平移自由度和三个旋转自由度。
在运动学分析中，通常使用笛卡尔坐标系和关节坐标系来描述机械臂的位置和位姿。
其中，笛卡尔坐标系用来描述机械臂末端执行器的位置和姿态，而关节坐标系则用来描述机械臂各个关节的角度和位置。
机械臂的位姿确定就是要确定机械臂末端执行器在笛卡尔坐标系中的位置和姿态，通常用位置矢量和姿态矩阵来表示。
三、基于解析法的位姿确定方法基于解析法的位姿确定方法是一种最基本的方法，它是通过对机械臂的运动学方程进行求解来确定机械臂的位置和姿态。
在这种方法中，通常需要对机械臂的几何结构和运动学参数进行精确的建模和描述，然后利用正演运动学方程来求解机械臂的位置和姿态。
这种方法的优点是能够精确地求解出机械臂的位置和姿态，但是也存在着计算复杂度高和数学求解困难的缺点。
四、基于迭代法的位姿确定方法基于迭代法的位姿确定方法是一种比较常用的方法，它是通过对机械臂的正逆运动学方程进行迭代求解来确定机械臂的位置和姿态。
在这种方法中，通常首先根据机械臂的末端执行器的目标位置和姿态，利用逆运动学方程求解出机械臂的关节角度，然后再利用正运动学方程求解出机械臂的位置和姿态。
这种方法的优点是计算简单，并且能够通过迭代计算得到精确的结果，但是也存在着迭代次数多和收敛速度慢的缺点。
五、基于视觉传感器的位姿确定方法随着计算机视觉和图像处理技术的不断发展，基于视觉传感器的位姿确定方法也越来越受到关注。
这种方法是利用摄像头或者其他视觉传感器来获取机械臂末端执行器的图像信息，然后通过图像处理和计算机视觉技术来确定机械臂的位置和姿态。
位姿描述和齐次变换
z'θ z
z' θ z
z z'
y' θy
y' y
y' θy
x x’
x θ x’
x θ x’
x’ y’ z’ x
y
z
x’ y’ z’ x y z
x’ y’ z’ x y z
例3.1 若从基坐标系 ({B})到手爪坐标系 ({E})的旋转变换 矩阵为 。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的 原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢 量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系；（3）求a，b， c的值。
二、直角坐标系
若基矢量相互正交，即它们在原点o处两 两相交成直角，则它们构成直角坐标系或笛卡 儿坐标系。
若按右手法则绕oz轴转900可以使ox轴转向 oy轴，则称为右手坐标系；按左手法则形成的 坐标系称左手坐标系。
斜角坐标系
（a）右手坐标系
本课程使用右手ห้องสมุดไป่ตู้标系。
（b）左手坐标系
三、矢量的点积（内乘积或标量积）
最后得： AP BAR BP APBO
9.098 12.562
0
3.3 齐次坐标与齐次变换
复合变换式
可以表示成等价的齐次变换式。
AP
1
A B
R
0
A
PBO 1
B P
1
A
P
A B
R
BP
xA
OB
30o xB
yA yB 30o
所以有：
坐标系及其关系描述
图2-7 空间点P在直角坐标系中的坐标
2．空间向量的表示
有向线段可以由起始和终止的坐标来表示。如果一个向量起始于点 A，终止于点 B， 则 Ax ， Ay 和 Az 是点 A 在直角坐标系中的三个坐标分量， Bx ， By 和 Bz 是点 B 在直角坐 标系中的三个坐标分量，则该向量可以表示为
从正 Z 轴来看，自 X 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角，这里 M 为点 P 在 XOY 面上的
投影。我们称 r， ， 这三个数为点 P 的球面坐标。
图2-4 球面坐标系
4．其他形式的坐标系 1）参考坐标系
参考坐标系的位置和方向不随工业机器人各关节的运动而变化，对机器人其他坐标系 起参考定位的作用，通常采用三维空间中的固定坐标系 O-XYZ 来描述，如图 2-5 所示。
图2-1 直角坐标系
图2-2 右手坐标系
2．柱面坐标系 如图 2-3 所示，设 M (x ，y ，z) 为空间内一点，并设点 M 在 XOY 面上的投影 P 的极
坐标为 (r ， ) ，则 r， ，z 这三个数便称为点 M 的柱面坐标。
图2-3 柱面坐标系
3．球面坐标系 如图 2-4 所示，假设 P (x ，y ，z) 为空间内一点，则点 P 也可用三个有次序的数 (r ， ，) 来确定。其中，r 为原点 O 与点 P 间的距离； 为有向线段 OP 与 Z 轴正向的夹角； 为
Omz
则矩阵 M 可简化为
A M
OmO
0 1
也就是说，方向余弦阵 A 表示两坐标系的姿态关系，位置向量 OmO 表示 运动坐标系{m} 的原点 Om 在固定坐标系{O} 中的位置。
2、机器人的位姿描述与坐标变换
机器人学第二章机器人的位姿描述与坐标变换战强北京航空航天大学机器人研究所第二章 机器人的位姿描述与坐标变换 机器人的位姿连杆I 的位姿YX ZYi XiZi YwXwZw2-1、基本概念1) 自由度(Degree of Freedom, DOF)：指一个点或一个物体运动的方式，或一个动态系统的变化方式。
每个自由度可表示一个独立的变量，而利用所有的自由度，就可完全规定所研究的一个物体或一个系统的位置和姿态。
也指描述物体运动所需的独立坐标数，3维空间需要6个自由度。
2) 操作臂(Manipulator)：具有和人手臂(Arm)相似的功能、可在空间抓放物体或进行其它操作的机电装置。
----Arm3) 末端执行器(End-Effector)：位于机器人腕部的末端，直接执行工作要求的装置。
如灵巧手、夹持器。
----Hand/Gripper4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。
操作臂的组成部分之一。
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作手的动力关节和连杆等组成的组件。
能支撑手腕和末端执行器，并具有调整末端执行器位置的功能。
操作臂的组成部分。
Outdated！6) 世界坐标系(World Coordinate System)：参照地球的直角坐标系。
7)机座坐标系、基坐标系(Base reference coordinate system)：参照机器人基座的坐标系，即机器人末端位姿的参考坐标系。
8)坐标变换(Coordinate Transformation)：将一个点的坐标描述从一个坐标系转换到另一个坐标系下描述的过程。
手腕机座手臂Yw XwZw9)位姿(Position&Pose)：机器人末端执行器在指定坐标系中的位置和姿态。
10)工作空间(Working Space)：机器人在执行任务时，其腕轴交点能在空间活动的范围。
由连杆尺寸和构形决定。
[课件](工业机器人)位姿描述与齐次变换PPT
位姿描述与齐次变换PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/711ba841caaedd3383c4d3c4.png)
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s cs b a
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(An a,A sb,A0)Ro(zA t,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B在
A 中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
aacbs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs cb
坐 标 值
b 1 0b 1 0B A 0R
Ap 1OBB 1pA BTB 1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
机器人的位姿描述课件
通过位姿描述，可以确定机器人 在空间中的位置、朝向和姿态， 对于机器人运动学、导航、遥控 等领域具有重要意义。
机器人位姿的表示方法
欧拉角表示法
以绕三个轴（横滚、俯仰、偏 航）的旋转角度为基础，描述
机器人的姿态和朝向。
方向余弦矩阵表示法
通过三个方向的单位向量和三 个方向的旋转角度，构建一个 方向余弦矩阵，描述机器人的 姿态和朝向。
总结词
精准、稳定、高效
详细描述
工业机器人通常需要高精度、稳定性和效率来提高生产效率、产品质量和降低生产成本。位姿控制策 略是实现这些目标的关键技术。通过对工业机器人的运动学和动力学模型进行分析和优化，可以实现 对机器人位姿的高精度控制。
全
详细描述
手术导航
医疗机器人在手术导航中通过位姿描述， 实现精确的手术定位和操作。
康复治疗
医疗机器人在康复治疗中，通过位姿描述 评估患者的运动功能和康复进展。
辅助行走
医疗机器人在辅助行走中，通过位姿描述 实现稳定、安全的行走辅助。
航空航天机器人
空间探索
航空航天机器人在空间探索中通过位姿描 述，实现精确的物体抓取和运输。
无人机配送
航空航天机器人在无人机配送中，通过位 姿描述实现准确、高效的配送服务。
机场跑道清扫
航空航天机器人在机场跑道清扫中，通过 位姿描述实现高效、安全的清扫作业。
04
机器人位姿描述的挑战与解决方案
传感器误差与位姿估计
传感器误差
机器人的传感器在获取自身及环境信息时存在误差，包括安装偏差、测量不准确 等问题，对位姿估计造成影响。
平移向量
平移向量是用于描述物体在空间中沿 某三个方向移动的向量，通常用三个 连续的数值表示。通过平移向量，可 以确定机器人在空间中的位置。
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空间坐标系中的位姿描述
位姿描述是空间坐标系中的一种表示方法，用于描述物体或者机器人在空间中的位置和姿态。
位姿描述通常包括三个主要部分：位置、姿态和参考坐标系。
位置是指物体或机器人在坐标系中的三维空间坐标。
通常使用三个坐标值表示，分别对应于坐标系中的X、Y和Z轴。
例如，一个点的位置可以表示为（x，y，z），其中x、y和z分别代表点在X、Y 和Z轴上的坐标值。
姿态是指物体或机器人在空间中的方向或朝向。
通常使用欧拉角或四元数来表示姿态。
欧拉角是一种常用的姿态表示方法，它通过三个角度来描述物体或机器人相对于参考坐标系的旋转。
常见的欧拉角表示方法包括俯仰角、偏航角和滚转角。
四元数是一种数学工具，可以用来表示物体或机器人的旋转姿态，它具有较好的数学性质和计算效率。
参考坐标系是用来定义和描述位姿的坐标系。
在位姿描述中，参考坐标系通常是一个固定的坐标系，例如世界坐标系或基准坐标系。
物体或机器人的位姿是相对于参考坐标系的，它描述了物体或机器人在参考坐标系中的位置和姿态。
参考坐标系可以是笛卡尔坐标系、极坐标系或其他自定义的坐标系。
在实际应用中，位姿描述在机器人导航、物体识别和姿态控制等领
域起着重要的作用。
例如，在机器人导航中，位姿描述可以用来表示机器人在地图中的位置和朝向，从而实现路径规划和运动控制。
在物体识别中，位姿描述可以用来描述物体在图像中的位置和姿态，从而实现物体的检测和定位。
在姿态控制中，位姿描述可以用来描述目标姿态和当前姿态之间的差异，从而实现姿态调整和控制。
位姿描述是空间坐标系中的一种重要表示方法，它可以用来描述物体或机器人在空间中的位置和姿态。
位姿描述包括位置、姿态和参考坐标系三个主要部分，它在机器人导航、物体识别和姿态控制等应用中发挥着重要的作用。
通过准确描述位姿，可以实现对物体或机器人的定位、导航和控制，从而满足实际应用的需求。