圆中多解问题的分类讨论
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法知识点导读也是科学研究中最常用、最基本的方法．数学中的分类讨论贯穿知识的各个部分，形式多样、综合性强、逻辑严谨，在解数学题中，分类讨论是一种十分常见和重要的思想方法．那么，什么是数学中的分类讨论呢？一般来说，当一个问题所给的对象不宜进行统一的研究或推理，只有按某一个标准用分组的形式才能方便地表示出来，那么就需要对研究的对象进行分类(即分组)，并对其中的每一类分别进行研究，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用，它将一个数学问题化整为零，把一个复杂的问题转化为单一的问题，从而“各个击破”，最终使整个问题得以顺利解决．高中数学中经常遇到需要进行分类讨论的问题，归纳起来有以下几种常见类型：一、由数学概念引起的分类有许多数学概念本身就是分类定义的，例如数的绝对值的概念：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (当a ≥0时)－a (当a ＜0时)这样，当我们遇到求解与绝对值|a |有关的问题时，就要分a ≥0和a ＜0两种情况讨论．二、由有关数学的性质、运算法则、定理、公式引起的分类如在判断两直线是否相互垂直时，要讨论其斜率是否存在；又如指数、对数函数的性质在应用时，要分别针对它们底数的取值进行讨论等．再如等比数列a, aq, aq 2, …， aq n －1，…的前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－q n )1－q (当q ≠1时)na (当q ＝1时)因此，遇到公比q 是字母或含字母的表达式时，就要讨论公比等于1及公比不等于1的两种情形．三、涉及有关不确定的情况时引起的分类如分段函数、图形、特殊要求等在计算或列式时需要分类讨论，一般是综合的题型．四、由参数变化而引起的分类运用分类讨论的思想解数学题时，一般分为以下四个步骤： (1) 确定讨论的对象和所要讨论对象的范围．(2) 合理分类就是将讨论对象的范围划分子区域，划分子区域时应符合以下三个条件： ① 确定分类的标准一致，不重复、不遗漏； ② 划分子区域只能按同一标准进行； ③ 区域分类应逐级进行．(3) 严格按层次逐级或逐段讨论，不能越级．(4) 归纳总结，综合出结论．其中，确定分类的标准是分类讨论的关键． 范例分类与解题分析【例1】 已知集合A ＝{1, x 2}，集合B ＝{1, 3, x }，且A B ，求x 的值．【解】 ①当x 2＝3，即x ＝±3时，A B .②当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x x ≠1即x ＝0时，A B .所以x ＝±3或x ＝0.【点评】 注意真子集概念中“B 中至少有一个元素不属于A ”，可以认为A 的元素个数至少比B 的元素个数少1个，又集合的元素具有互异性，即同一个元素在集合中只出现一次，故在第2种情形中要求x ≠1.二、根据运算的要求进行分类【例2】 解关于x 的不等式：2(a ＋1)x －2a ＞ax ＋4.【分析】 原不等式可化为(a ＋2)x ＞2(a ＋2)，因为x 的系数中含有字母a (a 称为参数)，所以应分成a ＋2＞0，a ＋2＝0，a ＋2＜0三种情况来解答．【解】 原不等式可化成(a ＋2)x ＞2(a ＋2)． ①当a ＞－2时，不等式解集为{x |x ＞2}； ②当a ＝－2时，原不等式为0·x ＞0，原不等式解集为∅； ③当a ＜－2时，不等式解集为{x |x ＜2}． 【点评】 数学中的某些运算有着严格的运算要求．如实数集中偶次根式的被开方数必须非负，方程或不等式的两边同乘(同除)的一个数不能为零，不等式两边同乘(同除)一个负数不等号要改变方向等．凡涉及到运算要求的问题，求解时应按照运算的要求进行分类讨论．三、根据定理、公式、法则的限制条件进行分类【例3】 设{a n }是以d 为公差的等差数列，求3a 1＋ 3a 2＋3a 3＋…＋3a n .【分析】 当数列为等比数列且其公比不确定时，在求前n 项和时，必须对公比是否为1分成两种情况进行讨论．【解】 设b n ＝3a n ，∵ b n ＋1b n ＝3a n ＋13a n＝3a n ＋1－a n ＝3d∴ {b n }是以b 1＝3a 1为首项，以q ＝3d 为公比的等比数列 当q ＝3d ＝1，即d ＝0时， 3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1·n ，(n ∈N ＋)当q ＝3d≠1，即d ≠0时，3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1(1－3nd )1－3d，(n ∈N ＋)．【点评】 数学中的某些定理、公式、法则等均受到一些条件的限制，如复数的模为非负实数；公式S n ＝a 1(1－q n )1－q中，q ≠1；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有实根的充要条件是b 2－4ac ≥0，无实根的充要条件是b 2－4ac ＜0等，在求解这类问题时，可根据相应的限制条件进行分类讨论．四、根据函数的性质进行分类【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N ＋)在区间(0, ＋∞)内是减函数，且图像关于y 轴对称，求函数解析式．【解】 由于幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，所以可得3m －7＜0.解得m ＜73.又∵ m ∈N ＋， ∴ m ＝1, 2.当m ＝1时，函数的解析式为y ＝x －4，是偶函数，其图象关于y 轴对称．当m ＝2时，函数的解析式为y ＝x －1，是奇函数，其图象关于原点对称，∴ m ＝2(舍去)．因此，所求函数的解析式为y ＝x －4.【点评】 幂函数y ＝x n 当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，据此可定出m 的取值范围，再由m ∈N ＋及该幂函数为偶函数(图象关于y 轴对称)，进一步确定m 的值．五、根据图形相对位置的变化特征进行分类【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿折线B →C →D 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，写出y 与自变量x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出它的图象．【分析】 △ ABP 的面积由于点P 的运动，函数关系式共分两个部分来求解，分别为点P 在BC 上和点P 在CD 上．【解】 当点P 由B →C 运动时，PB ＝x ，则S △ABP ＝12×AB ×PB ＝2x ，且x ∈；当点P 由C →D 运动时，S △ABP ＝12×AB ×BC ＝124×2＝4，且x ∈(2,4]．∴综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，4，x ∈x ∈(2，4]，且该函数关系式的图像如图所示．【点评】 此例的求解是根据图形的位置特征进行分类讨论的，对于这类与图形的位置特征有关的数学问题，求解时可根据图形的位置特征进行分类讨论．六、根据参数的取值进行分类【例6】 试根据k 的不同取值，讨论方程kx 2＋y 2＝1所表示的曲线形状．【分析】 根据不同曲线方程对参数的要求，可对方程中参数m 的取值进行分类，求得曲线的标准方程，从而确定出方程所表示的不同曲线．【解】 当k ＝0时，方程为y 2＝1，即y ＝±1表示两条垂直于y 轴的直线；当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示以原点为圆心，以1为半径的圆；当k ≠0且k ≠1时，方程为x21k＋y 2＝1；当1k＞1，即0＜k ＜1时，表示焦点在x 轴上的椭圆； 当0＜1k 1，即k ＞1时，表示焦点在y 轴上的椭圆；当1k＜0，即k ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线． 【点评】 在讨论曲线方程时，一定要掌握不同曲线方程的特征，并按照不同曲线方程的要求进行讨论，然后从一般到特殊，进行分类讨论，可先讨论直线、圆，然后再讨论抛物线、椭圆、双曲线．【例7】 不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．【分析】 因x 2的系数a 2－1可以等于0也可以不等于0，因此对a 2－1是否等于0应分类讨论．【解】 (1)若a 2－1＝0，则a ＝－1或a ＝1 因a ＝1符合题意，而a ＝－1不符合题意 ∴a ＝1；(2)若a 2－1≠0则由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0(a －1)2＋4(a 2－1)<0∴－35<a<1 综合(1)(2)得，a 的取值范围是(－35，1]．【点评】 由于参数的取值不同，问题的表述也不相同．因此只有对参数进行分类才能根据问题的不同表述分别列式求解．【举一反三】 对任意实数x ，不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)<0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 当a ＝0时，由题意得－2<0.符合题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎨⎧a <0(2a )2＋4a (a ＋2)<0，解之得－1<a <0. 综上所述，a 的取值范围(－1,0]．【例8】 已知函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【分析】 因a 的不同取值，对数函数y ＝log a x 在[1, 2]上的单调性不同，因此必须对a 进行分类讨论．【解】 (1)若a>1由已知得log a 2－log a 1＝2∴log a 2＝2 ∴a 2＝2 ∴a ＝2； (2)若0<a<1由已知得log a 1－log a 2＝2∴log a 12＝2 ∴a 2＝12 ∴a ＝22综合(1)(2)得a ＝2或a ＝22.【点评】 由于参数的取值不同，对数函数y ＝log a x 的单调性也不相同，因此只有对a 进行分类，才能利用函数的单调性列式求解．七、根据求解数学问题结论的多样性进行分类【例9】 根据a 的不同取值，求函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的单调区间．【分析】 f (x )可能为一次函数，也有可能为二次函数，而当f (x )为二次函数时，可根据抛物线的开口方向及对称轴的位置，讨论其单调区间．【解】 当a ＝0时，f (x )＝x ＋1，∴ f (x )的递增区间为(－∞，＋∞)．当a ≠0时，f (x )为二次函数，对称轴为x ＝－12a，当a ＞0时，f (x )的递增区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ， 当a ＜0时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ，递减区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞. 【点评】 一次函数、指数函数、对数函数等在其定义域内的单调性都有两种可能性，二次函数的单调性不仅要考虑抛物线的开口方向，还要考虑对称轴的位置．综合训练1．A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，B A ，则a 的值是( )A ．－1,0, 13B ．－1, 13C ．－13，0,1D ．－13，1【分析】 A ＝{－1,3}当B ＝∅时，方程ax －1＝0无解，a ＝0 当B ＝{－1}时，－a －1＝0，a ＝－1当B ＝{3}时，3a －1＝0，a ＝13 a 的值是－1, 0, 13.2．在同一坐标中，y ＝x a和y ＝ax ＋1a的图象可能是( )A B C D3．已知m ∈R ，且(m 2－8m ＋7)＋(m 2－1)i ＝|(2－23i)2|，则m ＝( ) A ．－1或1 B ．－1 C ．1或7 D ．7【分析】 |(2－23i)2|＝|8＋83i|＝16 故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋7＝16m 2－1＝0解得m ＝－1.4．顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±12x 的双曲线的标准方程是( )A.x 29－4y 29＝1或y 29－x 236＝1B.y 29－4x 291或x 29－y 236＝1C.x 29－4y 29 1D.y 29－x236＝1【分析】 2a ＝6，a ＝3当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a ＝±12x, b a ＝12 b ＝32双曲线的标准方程是x 29－4y29＝1.当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±a b ＝±12x ，a b ＝12， b ＝6双曲线的标准方程是y 29－x236＝1.二、填空题5．设A ＝{1,2,3}，B ＝{3, lg a }，若B ⊆A ，则a ＝__10或100________. 【分析】 由题得lg a ＝1或lg a ＝2，∴ a ＝10或a ＝100.6．已知π2＜α＜3π2，则|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝_____0___.【分析】 π2＜α＜π时，|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝0；π＜α＜3π2|tan α|tan α＋|sin α|sin α0.7．若log a 45＜1，则a 的取值范围是___(0，45)∪(1，＋∞)_______．【分析】 由题意，得log a 45＜1＝log a a ，则当a ＞1时，y ＝log a x 是单调增的，∴a ＞45，即a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是单调减的，∴a ＜45，即0＜a ＜45.综上所述，a 的取值范围为(0，45)∪(1，＋∞)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞03－x ，x ≤0，则xf (x )＞0的解集是___⎝⎛⎭⎫12，＋∞_______．【分析】 当x ＞0时，x (2x －1)＞0，即x ＞12或x ＜0 ∴x ＞12.当x ≤0时，x (3－x )＞0，解为∅.9．在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝2，∠C ＝30°，则b ＝____2或4____.【分析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，32＝12＋b 2－443b，b 2－6b ＋8＝0，b ＝2或4.10．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴为8，短轴为4，则椭圆方程是___x 216＋y 24＝1或y 216＋x24＝1_____． 【分析】 若焦点在x 轴上，则椭圆方程为x 216＋y 24＝1，若焦点在y 轴上则椭圆方程为y 216＋x241.11．平行于直线3x －4y －20＝0，且和它相距3个单位的直线方程是__3x －4y －5＝0或3x －4y －35＝0______．【分析】 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意知两直线间的距离d ＝|－20－m |5＝3，则m ＝－5或－35.三、解答题12．已知集合A ＝{1, p, p 2}，集合B ＝{1, 1－q, 1－2q }，且A ＝B ，求p 的值．【解】 因为A ＝B .所以有⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1－q p 2＝1－2q ①或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q p 2＝1－q ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＝2－2qp 2＝1－2q ⇒p 2－2p ＝－1⇒p ＝1(舍去)．由②得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q 2p 2＝2－2q ⇒2p 2－p ＝1⇒p ＝－12或p ＝1(舍去)．所以p ＝－12.(舍去p ＝1是因为集合中的元素是互异的)13．求与双曲线x 22y 2＝1有两个公共焦点，且过点(3，2)的圆锥曲线的方程．【解】 双曲线x 22y 2＝1的两个焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)当圆锥曲线为椭圆时，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 2＋4b 2＝1a 2－b 2＝3 得： a 2＝9，b 2＝6，椭圆的方程为x 29＋y 26＝1.当圆锥曲线为双曲线时，设其方程为x 2a 2y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝3得： a 2＝1, b 2＝2，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.14.函数y ＝a －b cos3x 的最大值是6，最小值是－2，求函数y ＝cos πxa＋b 的最小正周期与最小值．【解】 当b ≥0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝6a －b ＝－2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是3；当b ＜0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝6a ＋b ＝－2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4，函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是－5.15．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 为BC 或DC 上一动点，设AP 与矩形ABCD 所围成的三角形面积是S ，从点A 沿矩形周界且经过B (或再经过点C )到P 的距离是x ，试用解析式将S 表示为x 的函数．图(1) 图(2) 第15题图【解】 如P 在BC 间，AB ＋BP ＝x ，PB ＝x －4，S ＝12AB ·BP ＝12×4(x －4)＝2x －8，此时，x ∈(4,7]；如P 在DC 间，AB ＋BC＋CP ＝x ，CP ＝x －7，DP ＝DC －CP ＝4－(x －7)＝11－x ，S ＝12AD ·DP ＝12×3×(11－x )＝－32x ＋332此时x ∈(7,11)，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8 x ∈(4，7]－32x ＋332x ∈(7，11)。
人教版七年级数学（上）常见的分类讨论
2014-03教学研究《义务教育数学课程标准》明确提出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。
把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分，在《义务教育数学课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。
由于初一学生刚升入初中，受小学数学思维定式的影响，往往对分类讨论的问题容易出错，得出的答案不全，这就需要我们教师逐步渗透分类讨论思想。
所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。
应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。
分类的过程，可培养学生思考的周密性和条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题、探索规律的能力。
分类讨论一般应遵循同一性原则、相称性原则、互斥性原则、层次性原则。
下面就七年级数学上册中引起分类讨论的一些常见情况作一归纳。
一、在定义中渗透分类思想有些数学概念是分类定义的，例如，对有理数进行分类。
将有理数按性质分为正有理数、零、负有理数，将有理数按定义分为整数、分数，让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复，不遗漏，标准不同则分类不同的基本原则，所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。
再如，“-a一定是负数吗？”启发学生分a>0，a=0，a<0三种情况考虑。
在学习绝对值的定义时，要有意识地启发学生从有理数分类进行认知的迁移，帮助学生概括a>0，a=0，a<0时应如何表示，并要求学生能做一些简单的化简题。
化简式子|4x-4|，就要考虑x>14、x=14、x<14三种情况来讨论。
中考热点：（一）构造三角形外接圆解四类难题；（二）圆+三角函数综合题型
中考热点：构造三角形外接圆解四类难题一、问题导读在解证几何题时，四点共圆已经被一些学生所了解或重视，然而作三角形的外接圆还没有被学生重视，使对许多几何题的证明难于入手．下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法，以期待对你的学习有所帮助。
二、典例精析类型1 作三角形外接圆，求含有乘积式问题例1．已知AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝AD+BDCD．【分析】作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出ADED＝BDDC，即可得出答案．【解答】证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB/AE=AD/AC，∴ABAC＝ADAE＝AD（AD+DE）＝AD2+ADED，∵∠B＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△BAD∽△ECD，∴AD/CD=BD/ED，∴ADED＝BDDC，∴ABAC＝ADAE＝AD+BDDC．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC 和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．例2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：EP+FQ＝EF．【分析】作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP2＝ECED，FQ2＝FCFB，得出结论．【解答】证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FDC＝∠ABC，∵B、C、G、E四点共圆，∴∠ABC＝∠CGE，∴∠FDC＝∠ABC＝∠CGE，∴F、D、C、G四点共圆，由切割线定理得：EP＝ECED，FQ＝FCFB，EF＝（EG+GF）EF＝EGEF+GFEF＝ECED+FCFB，∴EP+FQ＝EF．【点评】本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质，本题运用了圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）；反之也成立；在证明线段的平方和时，一方面考虑利用勾股定理来求，另一方面考虑利用切割线定理列式得出．类型2 作三角形外接圆，利用圆中的角证明线段的和差倍半问题例3．四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切，求证：AD+BC＝AB．【分析】先画图，设AB上的圆心为P，由等腰三角形的性质得，∠CMB＝∠PDC，则M，P，C，D四点共圆，从而得出∠AMD＝∠ADM，最后证得AD+BC＝AB．【解答】证明：设AB上的圆心为P，在AB上取一点M，使MB＝BC，连接MC，MD，PD，PC 等腰△CMB中，∠CMB＝∠MCB，∴∠CMB＝1/2（∠MCB+∠CMB）＝1/2（180°﹣∠B），＝1/2∠ADC （圆内接四边形ABCD的对角相加为180°），＝∠PDC （设圆P切AD于E，切DC于F，有PE＝PF，Rt△PDE和Rt△PDF中，一对儿直角边相等，且斜边是公共的，∴两Rt△全等，可得PD平分∠CDA），∴M，P，C，D四点共圆，∴∠AMD＝∠DCP＝1/2∠DCB （同理，可证PC平分∠DCB），＝1/2（180°﹣∠A）（ABCD的另一对儿对角和为180°，＝1/2（∠ADM+∠AMD），∴∠AMD＝∠ADM∴AD＝AM，∴AD+BC＝AM+MB＝AB．例4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．【分析】首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE，即可得出△ADO∽△BAE，即可得出BD＝2CD．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得OD/AE=AD/AB=AF/AE.故AF＝OD＝OC＝1/2CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．类型3 作三角形的外接圆，利用圆中的角判断三角形的形状例5.已知：AD是△ABC的中线，若∠ABC+∠CAD＝90．试判断△ABC的形状．分析：作△ABC的外接圆．使分散的∠ABC．∠CAD集中在一起，从而知道中线AD在外接圆的直径上．根据圆中弦的定理，可判断△ABC的形状．解：作△ABC的外接圆．延长AD交外接圆于E．连结BE．∵∠EBC＝∠CAD，又∠ABC＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＋∠EBC＝90°，即∠ABE＝90°．AE是△ABC的外接圆的直径．又AD是BC边上的中线．(1)当BC不是外接圆的直径时，即BC为弦，则 AD⊥BC，AD是BC边的中垂线．△ABC为等腰三角形．(2)当BC是外接圆的直径时，∠CAB＝90°，△ABC为直角三角形．例6. 设P、Q为线段BC 上两定点，且BP＝CQ．A为BC外一动点．当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形？分析：作△ABC的外接圆，能把角等转化为弦等，构造全等三角形．证明：作△ABC的外接圆，延长AP、AQ分别交外接圆于E、F．连结BE、CF．∵∠BAP＝∠CAQ，即∠BAE＝∠CAF，∴BE=FC, 弧BE=弧CF,∴弧BF=弧CE, ∴∠EBP＝∠FCQ，又BP＝CQ，∴△BEP≌△CFQ．∠E＝∠F，在△ABE和△ACF中,∠E＝∠F，∠BAE＝∠CAF，BE＝CF．∴△ABE≌△ACF,AB＝AC, ∴△ABC是等腰三角形．类型4 作三角形的外接圆，解几何综合题例7.已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝BC/2R；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，利用sinA＝sinE＝BC/2R，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°＝BC/AP，得出AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值）．【解答】（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，∵OB＝OC＝1，∴BC＝√2，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°∴sinA＝sinE＝BC/2R，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A＝1/2∠BOC＝∠BOH，BH＝1/2BC∴sinA＝sin∠BOH＝BH/OB=1/2BC/R=BC/2R，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝1/2AP＝AK＝PK，同理得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°＝BC/AP∴AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C 都在⊙K上以及sin60°＝BC/AP是解题关键．中考热点：圆+三角函数综合题型一、问题导读“圆”这一部分知识，多年来都是中考的重点，锐角三角函数大家也不算陌生，那么当圆遇上三角函数又会出现什么呢？下面就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔，通过下面问题的探讨，不难发现它们携手并进暗号呢。
《圆》说课标、说教材、说建议
《圆》说课标、说教材、说建议我今天说课的内容是人教版《义务教育课程标准实验教科书》数学九年级上册第二十四章《圆》接下来，我将从说课标，说教材，说建议三个方面进行具体阐述：第一方面从课程目标，课程内容进行分说；第二方面从编写体例及特点，内容结构，立体整合三个小点去说明；第三方面从教学建议，评价建议，课程资源开发和利用建议三个角度去分析。
课程目标的总目标有三层意思：第一、获得“四基”，第二增强能力，第三培养科学态度。
四基是在02年实验稿双基的基础上扩展的，增加了基本思想，和基本活动经验，体现了育人为本的核心理念；增强能力，由二能转化为四能，新增加了发现问题和提出问题的能力，为培养具有创新意识的人才奠定了一定的基础。
由此可见总目标的各部分是一个有机整体，各部分是不可割裂的。
第三学段的课程目标，从知识与技能，数学思考，问题解决，情感与态度四个方面做了进一步的描述。
知识与技能方面就是掌握数与代数，图形与几何，统计与概率，综合与实践的基础知识、和基本技能；数学思考就是发展形象思维，抽象思维，发展合情推理，演绎推理的能力；问题解决就是学会从数学的角度发现问题和提出问题，学会与他人合作交流，学会评价与反思。
情感与态度就是对数学有好奇心和求知欲，能养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯。
初中数学课程内容有四大领域：第一领域数与代数，第二领域图形与几何，第三领域统计与概率，第四领域综合与实践。
旧课标的第二领域叫空间与图形，第四领域称之为实践与综合应用，从名称的修改上我们不难发现，新课标将更加科学更加符合内容实际。
图形与几何领域的主要内容有图形的性质，图形的变化，图形与坐标，其中图形的性质介绍的前五个，它们分别编排在七八年级的第4、第5、第7、第11、第19章；第6个介绍圆，它被编排在九年级上册的第二十四章；圆的内容标准：圆的基本性质里课标要求：了解、理解、知道探索相关内容；点与圆的位置关系课标要求：会、探索、作一些重要图形；直线与圆的位置关系课标要求：了解、掌握、探索、会画圆的切线。
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用【摘要】本文讨论了分类讨论思想在解初中数学题中的应用。
在整数、几何、代数、概率和数列问题中，通过分类讨论不同情况，能够有效解决复杂的数学难题。
通过分类讨论思想，学生可以更清晰地理解问题，准确分类，有针对性地解决问题，提高解题效率。
文章强调了分类讨论思想对学生解题能力的提升作用，希望学生能够加强练习，掌握分类讨论思想的运用技巧，提高自身解题水平。
最终目的是培养学生综合运用分类讨论思想的能力，让他们在数学学习中拥有更广阔的视野和更灵活的思维方式。
通过分类讨论思想，学生可以更好地理解并解决复杂问题，从而在数学学科中取得更好的成绩。
【关键词】分类讨论思想、初中数学题、整数问题、几何问题、代数问题、概率问题、数列问题、解题思路、解题能力、综合运用、学生、应用、提升、培养、展望、结论1. 引言1.1 介绍分类讨论思想分类讨论思想是一种解决问题的思维方法，通过将一个大问题分解成若干个小问题，然后逐一进行讨论和分类，最终得出整体的解决方案。
在数学领域，分类讨论思想常常被应用于解决复杂的问题，尤其在初中数学题中发挥着重要作用。
分类讨论思想能够帮助学生将复杂的问题简化，并将其分解成易于处理的部分，从而更好地理解问题的本质和特点。
通过分类讨论，学生可以更清晰地认识到问题的不同情况和条件，有利于他们找出解决问题的方法和思路。
分类讨论思想还能激发学生的思维活力和创造力，培养他们解决问题的能力和技巧。
1.2 说明初中数学题的解题思路在解初中数学题时，正确的解题思路是非常重要的。
通常情况下，初中数学题可以通过分类讨论思想来进行解答。
分类讨论思想是指将问题分为若干种情况进行讨论，然后再将各种情况的结果合并，得到最终的解答。
通过分类讨论思想，我们可以更清晰地理清问题，找到其中的规律，从而更好地解决数学题。
分类讨论思想在解初中数学题中的应用非常广泛，涉及整数问题、几何问题、代数问题、概率问题和数列问题等多个方面。
完整)初一数学分类讨论思想例题分析及练习
完整)初一数学分类讨论思想例题分析及练习分类讨论思想是一种解题方法，在数学中常用于处理条件或结论不唯一确定、有多种可能情况的问题。
在数学研究中，分类讨论思想是一种重要的思想方法之一，常见于中高档次题。
本文将介绍初一一年常见的分类讨论问题，并强调分类讨论中的三个注意事项：确定何时使用分类讨论思想、注意分类标准的统一性、并检验分类结果是否合题意。
在分类讨论的问题中，需要注意以下三个重要事项：首先，要确定何时使用分类讨论思想，通常是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”。
其次，分类讨论需要注意分类标准的统一性，避免出现重复或遗漏的情况。
最后，分类讨论中最容易出错的是“讨论有重漏”和“讨论之后不检验是否合题意”。
举例来说，解绝对值问题通常有三种情况：化简、类似于“解方程”和使用绝对值的几何意义解题。
在解方程|x-1|=2时，需要注意解往往不止一个，需关注绝对值为正数的数有两个。
另外，比较大小的问题可以通过作差法来解决，如比较1+a和1-a的大小，需要分类讨论a的正负情况，得出结论1+a>1-a 或1+a<1-a。
总之，分类讨论思想是数学研究中的一种重要思想方法，能够帮助我们处理复杂的问题，但需要注意分类标准的统一性和结果的合题意。
当a大于0时，1+a大于1-a；当a等于0时，1+a等于1-a；当a小于0时，1+a小于1-a。
已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC等于2cm，求BC的长度。
因为点C的位置不能确定，所以需要画一个示意图来帮助理解。
根据示意图，有两种情况：当点C 在AB之间时，BC等于AB减去AC，即4cm；当点C在BA 的延长线上时，BC等于AB加上AC，即8cm。
一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩下4个角、5个角或3个角。
已知△ABC的周长为20cm，AB等于AC，其中一边的长度是另一边的长度的2倍。
要求求出BC的长度。
设AB等于AC等于x。
根据题意，列出x+x+0.5x=20的方程，解得x等于8cm，因此BC等于0.5x，即4cm。
分类讨论思想在解答一次函数多解问题中的应用
数学篇数苑纵横有些与一次函数有关的数学问题，在题目给定的条件下，其答案有两种或两种以上的结果，常常需要进行分类讨论.引起分类讨论的原因主要有：（1）涉及的数学概念是分类阐述的；（2）涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的；（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论；（4）题目存在某些不确定的数量、不确定的图形形状或位置、不确定的结论等.所以在解答有关一次函数问题时，一定要缜密思考，避危以偏概全，漏掉特殊情况.下面就分类讨论思想在解答一次函数问题中的应用方法举例分析.一、根据函数的概念分类一般地，如果y =kx +b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫作x 的一次函数.当k 、b 是变化的量时，会影响函数的性质，解答此类问题往往需要对变量进行分类讨论.解题的关键是把握一次函数定义的特征:①k 不为0；②x 的指数为1；③b 可取任意实数.例1当m =时，函数y =(m +3)x 2m +1+4x -5(x ≠0)是一次函数.分析：由一次函数解析式y =kx +b (k ≠0)，可知本题应分三种情况：①当m +3=0，即m =-3时，函数y =4x -5是一次函数；②当2m +1=1，即m =0时，函数y =7x -5是一次函数；③当2m +1=0，即m =-12时，函数y =4x -52是一次函数.综合①②③得m =-3或0或-12.点评：本题考查一次函数的定义.有些一次函数的系数含有变量或参数，它们取不同的值时会得到不同的结果，因此需要对变量或参数进行分类讨论.二、根据函数的性质分类一次函数y =kx +b (k ≠0)的性质：当k >0时，直线y =kx +b 从左向右上升，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；当k <0时，直线y =kx +b 从左向右下降，函数y 的值随自变量x 的增大而减小.一次函数性质的核心是其增减性与系数k 的符号的关系.若系数含有参数，或k 这个常数量正负不确定时，就需要分类讨论，这样才可以避免漏解.例2已知一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则k -b 的值是．分析：一次函数的增减性与k 的符号有关，而一次函数中自变量的取值范围及相应的函数值没有明确是增函数还是减函数，所以应分k >0或k <0两种情况进行解答．解：当k >0时，此函数是增函数，∵当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，∴当x =1时，y =3；当x =4时，y =6，∴ìíîk +b =3,4k +b =6,解得ìíîk =1,b =2;当k <0时，此函数是减函数，∵当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，∴当x =1时，y =6；当x =4时，y =3，∴ìíîk +b =6,4k +b =3,解得：{k =-1,b =7，∴k -b 的值是-1或-8．故答案为-1或-8．点评：本题主要考查运用待定系数法求函数解析式及一次函数的性质.结合一次函数的增减性，可得到关于k 、b 的方程组，求解分类讨论思想在解答一次函数多解问题中的应用安徽宣城顾燕妮24数学篇即可.解答此题时要注意分类讨论思想的应用.三、根据函数图象的位置特征分类一次函数y =kx +b 的图象是一条直线，这条直线与x 轴的交点是(-bk ,0)，与y 轴的交点是(0,b ).①当k >0，b >0时，图象在第一、二、三象限内；②当k >0，b <0时，图象在第一、三、四象限内；③当k <0，b >0时，图象在第一、二、四象限内；④当k <0，b <0时，图象在第二、三、四象限内.如果一次函数y =kx +b 中的k 或b 不明确，那么一次函数图象在平面直角坐标系中的位置也将不明确，这就要求我们根据题意对问题进行分类讨论来解答.例3已知正比例函数和一次函数的图象都过点M （2，4），且正比例函数的图象，一次函数的图象与y 轴围成的三角形的面积为6，求正比例函数和一次函数的解析式．分析：设正比例函数关系式为：y =kx ，将M （2，4）代入即可求出正比例函数关系式为：y =2x ；设一次函数关系式为：y =kx +b ，分两种情况：①k >0，②k <0．然后结合图象解答．解：设正比例函数关系式为：y =kx ，将M （2，4）代入y =kx ，得：2k =4，所以k =2，所以正比例函数关系式为：y =2x ；设一次函数关系式为：y =kx +b ，①当k >0时，画出图象，如图所示.此时，正比例函数的图象，一次函数的图象与y 轴围成△MOP ，∵△MOP 的面积为6，∴12OP ⋅MH =6，即12OP ⋅2=6，∴OP =6，∵点P 在y 轴的负半轴上，∴点P （0，-6），将M （2，4），P （0，-6），分别代入y =kx +b 得：ìíî2k +b =4,①b =-6,②解得ìíîk =5,b =-6,∴一次函数关系式为：y =5x -6；②当k <0时，画出图象，如图所示.此时，正比例函数的图象，一次函数的图象与y 轴围成△MON ，∵△MON 的面积为6，∴12ON ⋅MH =6，即12ON ⋅2=6，∴ON =6，∵点P 在y 轴的正半轴上，∴点P （0，6），将M （2，4），P （0，6），分别代入y =kx +b 得：ìíî2k +b =4,①b =6,②解得：ìíîk =-1,b =6,∴一次函数关系式为：y =-x +6；综合上述结果，正比例函数的解析式为：y =2x ；一次函数的解析式为y =5x -6或y =-x +6．点评：一般地，若题目没有提供图形，而根据题意，图形的位置又有多种可能性，就要仔细分析题意，全面考虑，运用分类讨论思想来解答.分类讨论思想是指当数学对象无法统一研究时，需要按照一定标准，对其进行分类讨论，逐一求解，最后再综合归纳，得出最终答案.在求解一次函数问题时，若碰到多种情况，同学们要审清题意，认真分析可能产生的不同情形，巧用分类讨论思想解答问题.数苑纵横25。
运用分类讨论思想解题的三个步骤
知识导航分类讨论思想是指对问题中所包含的每一种情况分门别类进行讨论，再将讨论的结果进行整合，从而得到问题的答案的一种思想.在解答高中数学问题时应用分类讨论思想，可以“化繁为简”“化整为零”，有效地降低解题的难度，提升解题的效率.运用分类讨论思想解题，主要有以下三个步骤.第一步，合理分类高中数学问题中通常包含着多种情况，解答时需要将其中所包含的每一种情况罗列出来，合理进行分类.在分类时，要做到既不重复也不遗漏.例1.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数．求证：对任意x1，x2∈[-1,1]，有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0.解析：由[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0可知f(x1)+f(x2)、x1+x2的取值直接决定[f(x1)+f(x2)](x1+x2)的符号，而f(x1)+f(x2)的正负也是由x1、x2来决定的，所以我们需要对x1+x2的符号进行讨论.需运用分类讨论思想，分x1+x2=0、x1+x2<0、x1+x2>0三种情况讨论.证明：若x1+x2=0，显然原不等式成立．若x1+x2<0，则-1≤x1<-x2≤1，因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)>0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立．若x1+x2>0，则-1≤x2<-x1≤1，同理可证f(x1)+f(x2)<0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立．综上所述，对任意x1，x2∈[-1,1]，有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0恒成立．只有对问题进行合理的分类，才能避免出现重复分类或者遗漏分类的情况.常见的分类有对含参不等式中的参数分大于、等于、小于0等三种情况进行讨论；对含有绝对值的代数式中的绝对值，分大于或等于0、小于0两种情况进行讨论；对一元二次函数的二次项系数分大于、等于、小于0三种情况讨论；对直线与圆椎曲线的位置，分相交、相切、相离三种情况讨论，等等.第二步，分类讨论在完成分类之后，我们要对不同的类别分别进行讨论，完成相应的计算或推理，得到每一个类别的讨论结果.在分类讨论的过程中，要注意逐类、逐级进行讨论，不能将各层级、类别弄混淆.在讨论完后，还要用该类、级的标准检验、筛选结果.例2.已知函数f(x)=1-ln x+a2x2-ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=-1x+2a2x-a=(2ax+1)(ax-1)x.①若a=0，则f′(x)<0，f(x)在(0，+∞)上单调递减．②若a>0，则当x=1a时，f′(x)=0，当0<x<1a时，f′(x)<0；当x>1a时，f′(x)>0.故f(x)在æèöøa,1a上单调递减，在æèöø1a,+∞上单调递增.③若a<0，则当x=-12a时，f′(x)=0，当0<x<-12a时，f′(x)<0；当x>-12a时，f′(x)>0，故f(x)在æèöø0,-12a上单调递减，在æèöø-12a,+∞上单调递增．综上所述，当a=0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在æèöøa,1a上单调递减，在æèöø1a,+∞上单调递增；当a<0时，f(x)在æèöø0,-12a上单调递减，在æèöø-12a,+∞上单调递增．解答本题需灵活运用分类讨论思想.由于函数式中含有参数，所以需要对参数a进行分类讨论，分a=0、a>0、a<0三种情况，讨论每种情形下导函数f′(x)与0之间的关系，判断出函数的单调性.而为了明确f′(x)与0之间的关系，又需要再对x的取值进行讨论，分0<x<-12a、x>-12a两种情况讨论.最后用该类、级的标准检验、筛选结果.第三步，归纳得出结论在完成分类讨论之后，需要将分级、分类得到的阶段性结果进行汇总，得到最终的答案.分类讨论思想在解答高中数学问题中应用广泛，在解答函数、概率、不等式等问题中经常要用到.同学们要熟练掌握应用分类讨论思想解题的步骤和方法，对问题进行合理的分类、讨论并归纳，这样才能得出正确的答案.（作者单位：江苏省启东中学）39。
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圆中多解问题的分类讨论
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。
解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。
这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。
本文就近年中考题举例说明如下。
一、点和圆的位置
凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。
例1. 过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O 的半径R为___________。
解：依题意，点A与⊙O的位置关系有两种：
（1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，则
由相交弦定理得：
所以（负值已舍去）
（2）点A在⊙O外，如图2，此时
由割线定理得：
所以（负值已舍去）
故⊙O的半径R为或6。
二、点与弦的相对位置
例2. ⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。
解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得∠BAC＝∠BOD＝48°
（2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得∠BAC＝132°
三、弦所对的圆周角
例3. 半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于
___________。
解：弦所对的圆周角有两种情况：
（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°；
（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。
故应填60°或120°。
四、平行弦与圆心的位置
例4. 在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。
分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。
解：过O作AB、CD的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连接OA、OC
在Rt△OAE中，
在Rt△OCF中，
（1）当AB、CD在圆心O的同侧时，如图5，AB和CD之间的距离为
（2）当AB、CD在圆心O的异侧时，如图6，AB和CD之间的距离为
所以AB和CD之间的距离为1cm或7cm。
五、圆心与角的位置
例5. 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数是____________。
解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E
图8
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
所以∠BAE＝30°
同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，所以
∠EAC＝45°，
当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC”），由轴对称性可知：
所以∠BAC为75°或15°
六、点在弧上的位置
例6. 如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。
解：依题意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°
当动点P在上时，∠OPB＝∠OAB＝45°
当动点P在上时，∠OPB＝180°－45°＝135°
故∠OPB为45°或135°。
七、相交两圆的圆心与公共弦的位置
例7. 已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。
分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。
解：如图9、图10，
在中，
在中，
（1）当圆心在公共弦AB的同侧时，如图9
（2）当圆心在公共弦AB的异侧时，如图10
八、直线与圆的位置
例8. 两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。
分析：两圆的公切线有内公切线和外公切线两种，公切线互相垂直，有三种情况。
解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB切⊙于A，切⊙于B，EF切⊙于E，切⊙于F，AB⊥EF于D。
由切线定理，得：
所以
故有
（2）当内公切线垂直时，如图12，作，交点为E，则
（3）当外公切线垂直时，如图13，作于G，则。