【高考领航】高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑

【高考领航】高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算课时规范训练文北师大版
[A级基础演练]
1．(2015·高考天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩(∁U B)＝( )
A．{3} B．{2,5}
C．{1,4,6} D．{2,3,5}
∁U B＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．
解析：∁U B＝{2,5}，A∩()
答案：B
2．(2015·高考课标卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( ) A．(－1,3) B．(－1,0)
C．(0,2) D．(2,3)
解析：将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.
答案：A
3．(2016·天津河西区训练)设集合P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是( )
A．P∩Q＝P B．P∩Q Q
C．P∪Q＝Q D．P∩Q P
解析：根据集合的定义可知P∩Q＝{2,3,4,5,6}，所以只有D选项正确．
答案：D
4．(2015·高考江苏卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.
答案：5
5．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．
解析：M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}．
答案：2
6．已知集合M ＝{}1，m ，N ＝{}n ，log 2n ，若M ＝N ，则(m －n )
2 016
＝__________.
解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨
⎪⎧ n ＝1，
log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧
n ＝m ，log 2n ＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝0，
n ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，
n ＝2.
即(m －n )2 016
＝1或0.
答案：1或0
7．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2
}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B . 解：(1)∵9∈(A ∩B )， ∴9∈B 且9∈A ， ∴2a －1＝9或a 2
＝9， ∴a ＝5或a ＝±3. 检验知：a ＝5或a ＝－3. (2)∵{9}＝A ∩B ， ∴9∈(A ∩B )， ∴a ＝5或a ＝－3.
a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，
此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，所以a ＝－3.
8．已知集合A ＝{x |x 2
－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2
－2mx ＋m 2
－4≤0，x ∈R }． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －2＝1，
m ＋2≥3，得m ＝3.
(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1. ∴m ＞5或m ＜－3.
[B 级 能力突破]
1．(2016·辽宁沈阳期中)已知集合M ＝{x |x >x 2
}，N ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫y ⎪⎪⎪
y ＝4
x 2，x ∈M
，则M ∩N ＝
( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
0<x <
1
2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
2
<x <1
C.{}x | 0<x <1
D.{}x | 1<x <2
解析：对于集合M ，由x >x 2
，解得0<x <1， ∴M ＝{x |0<x <1}．∵0<x <1，
∴1<4x
<4.∴12<4
x 2<2.∴N ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫y ⎪⎪⎪
12<y <2
. ∴M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
2
<x <1
，故选B. 答案：B
2．(2016·广州模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪
(N －M )，设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≥－
9
4，B ＝{x |x <0}，则A ⊕B ＝( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－94，0 C.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：∵A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x <－
94， ∴A ⊕B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x <－
9
4或x ≥0.
答案：C
3．(2016·合肥模拟)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 1
2
(x －1)>0}，B ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ．(0,1)
D ．(0,1]
解析：图中阴影部分表示集合B ∩(∁R A )，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
0<x <
3
2，∴∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}．
答案：D
4．设集合A ＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ，y ⎪⎪⎪
x 24＋y 2
16
＝1
，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：∵集合A ＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪
x 24＋y 2
16
＝1
. ∴A 中的元素为椭圆x 2
4＋y 2
16＝1上的点，A ∩B 中的元素为椭圆和指数函数y ＝3x
图像的
交点，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1，A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，
A 2}，共4个，故选A.
答案：A
5．(2016·宁夏银川一中模拟)已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,
2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________.
解析：因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2a ，
b ＝b 2
，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝
b 2
，
b ＝2a .解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝1.，或
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
4，b ＝12.
所以a 的值为0或1
4
.
答案：0或1
4
6．(2016·河南郑州质检)已知集合A ，B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示：
A {1,2,3,4} {－1,1} {－4,8} {－1,0,1} B
{2,3,6} {－1,1} {－4，－2,0,2} {－2，－1,0,1}
A ⊕B
{1,4,6}
∅
{－2,0,2,8}
{－2}
解析：由给出的定义知，集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于
集合B但不属于集合A的元素构成的，即A⊕B＝{x|x∈A且x∉B，或x∈B且x∉A}．故M⊕N ＝{－2 014,2 015，－2 015,2 016}．
答案：{－2 014,2 015，－2 015,2 016}
7．设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝3x－2，集合M＝{x∈R|f(g(x))＞0}，N＝{x∈R|g(x)＜2}，则M∩N为______．
解析：函数f(g(x))＝(3x－2)2－4(3x－2)＋3
＝(3x)2－8·3x＋15＝(3x－3)(3x－5)．
由f(g(x))＞0得(3x－3)(3x－5)＞0，所以3x＞5或3x＜3，
所以x＞log35或x＜1，所以M＝{x|x＞log35或x＜1}．
由g(x)＜2得3x－2＜2，即3x＜4，解得x＜log34，
所以N＝{x|x＜log34}．
所以M∩N＝{x|x＞log35或x＜1}∩(x|x＜log34)＝{x|x＜1}．
答案：{x|x＜1}。