九年级圆的最值和证明经典例题

圆、定理

1、垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧；

2、推论：平分（非直径的弦）的直径垂直与弦；常考常错

3、直径所对的圆周角是90度；（常用与做辅助线，千万不要忘记）

4、内接四边形对角互补；弦所对的圆周角有2个，并且互补；

重要考题：

2、（9分）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，

点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，链接PC。

（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C 不重合）。问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。

2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．

（1）求⊙O的半径r的长度；

（2）求sin∠CMD；

（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．

圆中的最值问题

圆外一点到圆上最短距离是与圆心的连线；最长距离是与圆心连线的延长线。 1.(2016四川省乐山市第10题)如图，已知直线3

34

y x =

-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ）

A ．8

B ．12

C ．21

2 D ．17

2

2.（轨迹是圆）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ．

3.如图，在矩形ABCD 中，AC=6，BC=8，点F 是边AC 的中点，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到点D 的距离的最小值是 ．

4.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．

5、（2013年湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．

5、（相似）如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于

点Q，已知：圆O半径为5

2，tan∠ABC＝3

4

，则CQ的最大值是（）

A．5 B．15

4C．25

3

D．20

3

切线的判定

基本方法：1、找全等；2、找K字形证明90度；3、找角平分线和平行关系；4、坐标轴，斜率相乘等于-1.

2、（2014）22．如图，在平面直角坐标系中，圆M过原点o，与x轴交于A（4.0），与y轴交于B（0,3），点C 为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA,连接BD.

（1）圆M的半径;（2）证明：BD为圆M的切线；（3）在直线MC上找一点p，使｜DP-AP｜最大。

5．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD垂直AB于D，把△ACD沿直线AC折叠得到△ACE，AE交⊙O于F点，EC、AB的延长线交于G

（1）求证：CE与⊙O相切；

（2）如果AB＝4，∠BAC＝30°，求CG、BG的长．

弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个,请写出来）

证明：角APC 等于角CDP ；

弦切角定理（重在理解）：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

例1.①如图5，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点,B DC 的延长线交AB 于点0

,20A A ∠=，则DBE ∠=_______.

②如图6, ABC ∆是圆内接三角形，BC 是圆的直径，0

35,B MN ∠=是过A 点的切线，那么C ∠=________；

CAM ∠=________；BAM ∠=________．

③如图7，ABC ∆内接于⊙O ，0

,100,AB AC BOC MN =∠=是过B 点而垂直OB 的直线，

则ABM ∠=________，CBN ∠=________；

A

B E

D

O

C

图5

定理

图形

已知

结论 证法

相交弦定理

⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P.

PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB .

相交弦定理的推论

⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P.

PC 2

＝PA·PB .

（特殊情况）

用相交弦定理.

切割线定理

⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A

PT 2

＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT

切割线定理推论

PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C

PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理

例题：

1、如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PAB 是⊙O 的割线，5,4PA cm AB cm ==则PT =___________cm .

2.如图，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________cm 。

3..圆内两弦相交，一弦长4cm ，且被交点平分，另一弦被交点分成两线段的比是1:4，那么另一弦的长是 （ ） A.8cm B.5cm C.4cm D.1cm