高考数学压轴专题专题备战高考《集合与常用逻辑用语》易错题汇编及答案

【高中数学】数学《集合与常用逻辑用语》高考复习知识点

一、选择题

1．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x

y

<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】D 【解析】 【分析】

x y <，不能得到

1x y <， 1x

y

<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，

当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x

y

=>， 故x y <时，

1x

y

<不成立， 当

1x

y

<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1x

y

<”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】

本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.

2．给出下列说法： ①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；

②“4

x π

=

”是“tan 1x =”的充分不必要条件；

③命题“()00,x ?∈+∞，001

2x x +≥”的否定形式是“()0,x ?∈+∞，12x x

+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D 【解析】 【分析】

根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程

tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于命题①，二次函数()()2

4f x x a x b =-++的对称轴为直线42

a x +=，

该函数为偶函数，则4

02

a +=，得4a =-，且定义域[]4,

b -关于原点对称，则4b =， 所以，()2

4f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确；

对于命题②，解方程tan 1x =得()4

x k k Z π

π=+∈，

所以，tan 14

x x π

=?=，tan 14

x x π

=

?=/，

则“4

x π

=

”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；

对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】

本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．

3．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得2

1q >，然后再根据充分条件和

必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】

由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，

若53a a >，则233a q a >，所以2

1q >，即1q >或1q <-，

所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.

4．已知集合{}

2

230A x x x =-->，(){}

lg 11B x x =+≤，则()

R A B =I e（ ）

A ．{}13x x -≤<

B ．{}19x x -≤≤

C ．{}13x x -<≤

D ．{}19x x -<<

【答案】C 【解析】 【分析】

解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()

R A B ?e. 【详解】

解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；

解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.

{}

13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤e，

因此，(){}

13R A B x x ?=-<≤e，故选：C. 【点睛】

本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

5．已知集合(){}2log 1,0A y y x x ==+≥，{}

0.5,1x

B y y x ==>，则A B =U （ ）

A ．()0.5,+∞

B ．[)0,+∞

C ．()0,0.5

D ．[)0,0.5

【答案】B 【解析】 【分析】

根据指数函数和对数函数的性质，化简集合,A B ，再求并集即可. 【详解】

0x ≥Q ，11x ∴+≥，2log (1)0x ∴+≥，故{|0}A y y =≥

1111,0,|0222x

x B y y ???

?>∴<<∴=<

1{|0}0{|0}2A B y y y y y y ??

∴?=≥?<<=≥???

?

故选B 【点睛】

本题主要考查了集合并集的运算，属于中档题.

6．记全集{1,2,3,4,5,6,7,8},U =集合{1,2,3,5},{2,4,6},A=B =则图中阴影部分所表示的集合是( )

A ．{4,6,7,8}

B ．{2}

C ．{7,8}

D ．{1,2,3,4,5,6}

【答案】C 【解析】 【分析】

根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ?,由此求得正确结论. 【详解】

根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ?,{}1,2,3,4,5,6A B =U ,故

(){}7,8U C A B ?=，故选C.

【点睛】

本小题主要考查集合的并集和补集的概念即运算，考查图像所表示集合的识别，属于基础题.

7．已知集合，则

( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】 【分析】 由题意，集合，

，再根据集合的运算，即可求解.

【详解】 由题意，集合

，

，

所以，故选C.

【点睛】

本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基

础题.

8．“4

sin 25

α=

”是“tan 2α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

直接利用二倍角的正弦公式换化简222sin cos 4

sin 2sin cos 5

ααααα==+，再利用齐次式进行弦切

互化，得出22tan 4

tan 15

αα=+，即可求出tan α，即可判断充分条件和必要条件.

【详解】 解：2242sin cos 4sin 25sin cos 5

ααααα=?=+Q ， 则

2

2tan 4tan 2tan 15ααα=?=+或12

， 所以“4

sin 25

α=”是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】

本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.

9．在ABC ?中，“tan tan 1B C >”是“ABC ?为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要

条件 【答案】C 【解析】

分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出

tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果. 详解：由题意可得，在ABC ?中，因为tan tan 1A B >，

所以

sin sin 1cos cos A B

A B

>，因为0,0A B ππ<<<<， 所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，

结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2

A B π

π<+<，

因此02

C <<

π

，所以ABC ?是锐角三角形，不是钝角三角形，

所以充分性不满足，

反之，若ABC ?是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.

点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.

10．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设(

)*

n k k N

=∈时该命题成立，则1

n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立

【答案】C 【解析】 【分析】

写出命题“假设(

)*

n k k N

=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，

结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】

由逆否命题可知，命题“假设(

)*

n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”

的逆否命题为“假设当(

)1n k k N *

=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成

立”，

由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】

本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.

11．已知集合1|,42k M x x k Z ??==+∈????，1|,24k N x x k Z ??

==+∈????

，则（ ） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ?=?

【答案】C 【解析】 【分析】

化简集合2|,4k M x x k Z +?

?==

∈????，21|,4k N x x k Z +??

==∈????

，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】

由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +????

==+∈==∈???

?????， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +????

==+∈==∈????????

，

因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数， 所以集合,M N 的关系为N M .

故选：C . 【点睛】

本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

12．下面说法正确的是（ ）

A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题

B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件

C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ?∧?”也为假命题

D ．命题“0x R ?∈，使得2

0010x x ++≥”的否定是“x R ?∈，使得210x x ++≥”

【答案】A 【解析】 【分析】

对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】

A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；

B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；

C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ?∧?”为真命题，所以该选项错误；

D. 命题“0x R ?∈，使得2

0010x x ++≥”的否定是“x R ?∈，使得210x x ++<”，所以该

选项错误. 故选：A 【点睛】

本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

13．已知命题2

000:,10p x R x x ?∈-+≥；命题:q 若a b <，则

11

a b

>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧? C ．p q ?∧

D ．p q ?∧?

【答案】B 【解析】

因为22

213133

1()44244

x x x x x -+=-+

+=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--∴Q

命题q 为假，所以p q ∧?为真，选B.

14．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到

；，

，∴

和

没有公共点，∴

，即

能得到

；∴“

”是“

”的必要不充分条件．故选B ．

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于

，而

，

并且

，显然能得到

，这样即可找出正确选项.

15．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项. 【详解】

由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A. 【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

16．已知命题p ：?x ∈R ，x+1

x

≥2；命题q ：?x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=2，则下列命

题中为真命题的是 ( ) A ．p ∨(?q ) B ．p ∧(?q )

C ．(?p )∧(?q )

D ．(?p )∧q

【答案】D 【解析】 【分析】

先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假.

【详解】

对于命题p ：当x ≤0时，x+

1

x

≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则?p 是真命题；

对于命题q ：当x 0=

4

π

时，sin x 0+cos x 0，则q 是真命题． 结合选项只有(?p )∧q 是真命题． 故答案为D. 【点睛】

(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.

17．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3

C π

<”，则p 是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】

充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，

整理得，22

12cos a b C ab

++>，

由基本不等式，222a b ab +≥=，

当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1

cos 2C >，解得3

C π<， 充分性得证；

必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291

cos 247562

C +-==>??，

故3

C π

<

，但228ab c =<，故3

C π

<

推不出2ab c >.

故必要性不成立；

故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】

本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.

18．下列四个结论中正确的个数是

（1）对于命题0:p x R ?∈使得2

010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->；

（2）已知2

(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=

（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为

?23y

x =-； （4）“1x ≥”是“1

2x x

+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ?∈使得

2010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->，是错误的；

（2）中，已知(

)2

2,X N σ

~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所

以 (2)0.5P X >=是正确的；

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质

和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为?23y

x =-是正确；

（4）中，当1x ≥时，可得12

x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“1

2x x

+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

19．设命题p:n ?>1,n 2>2n ,则?p 为（ ）

A ．21,2n n n ?>>

B ．21,2n n n ?≤≤

C ．21,2n n n ?>≤

D ．21,2n n n ?>≤

【答案】C 【解析】

根据命题的否定，可以写出p ?：2

1,2n

n n ?>≤，所以选C.

20．命题“x R ?∈，2230x x -+≤”的否定为（ ） A ．x R ?∈，2230x x -+≥ B ．x R ??，2230x x -+> C ．x R ?∈，2230x x -+> D ．x R ??，2230x x -+≤

【答案】C 【解析】

分析：根据全称命题的否定得结果.

详解：因为x R ?∈，2230x x -+≤，所以否定为x R ?∈，2230x x -+>, 选C.

点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.