Chapter03第三章 空间平滑和空间插值

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第三章空间平滑和空间插值

本章介绍基于GIS的空间分析中两个常用操作：空间平滑和空间插值。空间平滑和空间插

值关系密切，它们都可以用于显示空间分布态式及空间分布趋势，二者还共享某些算法（如核

密度估计法Find/Replace All）。空间平滑和空间插值的方法有很多种，本章只介绍其中最常用

的几种。

空间平滑与移动平均在概念上类似（移动平均是求一个时间段内的均值），而空间平滑术

是一个空间窗口内计算平均值。第 3.1节介绍空间平滑的概念和方法，第3.2节是案例分析

3A，用空间平滑法研究中国南方/泰语地名(Find/Replace all)分布。空间插值是用某些点的已知

数值来估算其他点的未知数值。第3.3节介绍了基于点的空间插值，第3.4节为案例3B，演示

了一些常用的点插值法。案例3B所用数据与3A相同，是案例3A工作的延伸。第3.5节介绍

基于面的空间插值，用一套面域数值（一般面单元较小）来估算另一个面域的数值（范围较大）。面插值可用于数据融合以及不同面域单元的数据整合。第3.6节为案例3C，介绍两种

简单的面插值法。第3.7节为小结。

3.1空间平滑

与移动平均法计算一个时间段的平均值（例如：五日平均温度）相似，空间平滑是将某点

周围地区（定义为一个空间窗口）的平均值作为该点的平滑值，以此减少空间变异。空间平滑

适用面很广。其中一种应用是处理小样本问题，我们在第八章会详细讨论。对于那些人口较少

的地区，由于小样本事件中随机误差的影响，癌症或谋杀等稀有事件发生率的估算不够可靠。

对于某些地区，这样的事情发生一次就可导致一个高发生率，而对于另外许多地区，没有发生

这种事情的结果是零发生率。另外一种应用是将离散的点数据转化为连续的密度图，从而考察

点数据的空间分布模式，可参见下面的第3.2节。本节介绍两种空间平滑方法（移动搜索法及

核密度估计法），附录3介绍经验贝叶斯估计。

3.1.1移动搜索法

移动搜索法（FCA）是以某点为中心画一个圆或正方形作为滤波窗口，用窗口内的平均值（或数值密度）作为该点的值。将窗口在研究区内移动，直到得到所有位置的平均值。平均值的变动性较小，从而实现空间上的平滑效果。FCA也可以用于可达性测量（见第五章第5.2节）等其他研究中。

图3.1是由72个网格单元组成的研究区。以网格53为中心的圆定义了一个包含33个网格的窗口（如果网格的中心在圆内，则它属于这个圆），从而这33个网格的平均值为网格33的空间平滑值。将圆心在研究区内不同网格中心之间移动，就得到所有网格的空间平滑值。例如，以网格56为中心的等半径的圆包含的33个网格定义了网格56的滤波窗口。值得注意的是，研究区边界附近的滤波窗口包含网格较少，从而平滑度较低。这种效果称为边缘效应。

窗口的大小很重要，需要仔细确定。较大的窗口得到较强的空间平滑效果，从而更好地反映了区域全局分布态势，而不是局部差异；较小窗口则得到相反的结果。我们可以通过试验不同大小的窗口来寻求一个合适的窗口。

案例3A详细介绍了FCA法在ArcGIS中的应用。我们先计算所有点之间的距离（例如欧式距离），然后提取那些小于或等于阈值的距离。在计算距离时，我们可以选用阈值距离作为搜索半径，从而直接得到阈值范围内的距离。这里我们先计算所有点之间的距离，然后通过属性值(距离)大小提取不同窗口内的观察值, 比较灵活些。在ArcGIS中，我们可以基于提取的距离表通过汇总起始点计算属性值的均值来计算在起始总周边范围内观察点的平均值。因为距离表只包含那些阈值范围内的距离，只有在窗口之内的观察值才参与了汇总操作，实现了搜索的效果。这样，我们可以省掉逐个画圆并查询圆内点的反复计算过程。

3.1.2核估计

核估计与FCA的方法类似。两种方法都要用一个滤波窗口来定义近邻对象。所不同的是，在FCA法中，所有对象的权重相同，而在核估计法中，距离较近的对象，权重较大。这36

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种方法在分析和显示点数据时尤其有用。离散点的数据直接用图表示, 空间趋势往往不明显。核估计可以得到研究对象的一个连续密度图示，即以“波峰”和“波谷”的方式强化的空间分布模式。这种方法也可以用于空间插值。

核密度方程的几何意义为：密度分布在每个x i 点中心处最高，向外不断降低，当距离中心达到一定阈值范围（窗口的边缘）处密度为0，参见图3.2。网格中心x 处的核密度为窗口范围内的密度和：

)(

1)(ˆ1∑=-=n

i i

d h x x K nh x f

这里K( )为核密度方程，h 为阈值，n 为阈值范围内的点数，d 为数据的维数。参见相关文献中 (Silverman, 1986: 43)常用的核密度方程。例如，当d = 2时，一个常用的核密度方程可以定义为 ∑=-+--=n i i i h

y y x x nh x f 12

22

22])()(1[1)(ˆπ 这里，2

2)()(i i y y x x -+-为点(x i , y i )和(x , y )之间的离差。

与FCA 法中窗口的作用类似，这里较大的阈值揭示一种区域分布态势，而较小的阈值则强调局部分布差异(Fotheringham et al., 2000: 46)。

ArcGIS 内置有核估计工具。在调用之前，我们先要打开空间分析扩展模块，可以通过主工具条的扩展键来实现，即点击空间分析下拉箭头，点击Density ，对于对话框中的Density Type ，选择Kernel 。

3.2案例3A ：用空间平滑法分析华南地区的傣族姓氏分布

本例研究华南地区傣族姓氏的分布模式，它是一个研究华南地区傣族历史起源研究项目之一部分。本项目的合作者包括北伊利诺伊大学的约翰·哈特曼（John Hartmann ）和罗卫。在中国，少数民族（例如傣族）的汉化是一个长期持续的过程。历史变迁的痕迹可以在地名上反映38