爱因斯坦引力场方程

爱因斯坦引力场方程

根据等效原理和广义协变原理，只要把狭义相对论中的物理规律写成广义协变的形式，就可以得到除引力以外的在引力场中的物理定律。要作到这一点只需要把定律中的普通微分改写为协变微分就可以了。无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程可以这样得到。在狭义相对论中，质量为m 的自由粒子或光子，分别沿闵可夫斯基时空中的类时直线或类光直线运动。将这些运动方程写成协变形式，就分别得到黎曼时空中的类时或类光测地线方程，即无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程。物质场的方程也可以这样得到。例如将狭义相对论中的克莱因—戈登方程（Klein-Gordon equation ）写成广义协变形式，就得到在引力场中的标量场方程。

在狭义相对论中，存在一系列的守恒方程。将这些守恒方程中的普通散度改为协变散度，就得到在引力场中相应的守恒方程。例如，这样可以得到能量动量守恒在引力场中的形式为：0=νμνT 。这里νμν

T 就是能量动量张量。但是，这种方式不可能得到引力定律本身，也不可能得到同曲率有关的效应。例如，不可能得到测地线偏离方程中同曲率有关的项，也不可能得到在引力场中自旋粒子的自旋同曲率的耦合项等等。与曲率有关的物理效应何时出现，只能作具体的分析。

1915年，爱因斯坦几乎和希耳伯特（Hilbert David ，1862～1943）同时在得到了完整的引力场方程：μνμνμνπT c G R g R 4821=-，其中G 是牛顿引力常数G ＝6．670×10-8cm 3/(g ·s 2)。方程左边是描述引力场的时空几何量，右边是作为引力场源的物质能量动量张量。显然，这个方程反映了爱因斯坦的马赫原理的思想。爱因斯坦提出这个场方程的基本思路大致可以这样来概括：考察牛顿引力理论的泊松方程：ρπ22

4c G =Φ∇，它是引力势的二阶偏微分方程，ρ是引力源的质量密度。在相对论中，ρ应该推广为引力源的能量动量张量，则推广为度规张量μνg 。因此，引力场方程应该是度规的二阶偏微分方程。进而，爱因斯坦发现μνμνg R 2

1-同νμνT 满足同样的守恒律。这便导致了他写下具有上述特点的正确的引力场方程。 在真空中，这个方程简化为：0=μνR ．1917年，爱因斯坦在对宇宙进行考察时，引进

了宇宙常数Λ项，将方程修改为：μνμνμνμνπT c

G g R g R 2821=Λ+-

，不久之后，他本人放弃了这一项。但是近年来，不少物理学家认为Λ项的引进是有必要的。 4、广义相对论的实验验证

在建立广义相对论时，爱因斯坦曾提出三种检验：光谱线的引力红移；内行星轨道近日点的进动；以及太阳引起的光线偏折。引力红移事实上只检验了等效原理，光线偏折和近日点进动涉及的是球对称静态引力场，以及其中光线或行星的运动。而厄缶实验则是爱因斯坦等效原理建立的前提条件。

4、1 厄缶实验

引力质量同惯性质量的等价是爱因斯坦提出等效原理的实验基

础，也是整个广义相对论最重要的实验依据。这个等价性早在牛顿时

图9-7为厄缶实验示意图

悬丝

代就有实验证明，19世纪末，厄缶以10－9的精度证明了这一点。近年来，验证这个等价性的实验精度又有提高。在牛顿理论中，牛顿第二定律的惯性质量m i 同引力定律的引力质量m g 是否相等，并没有本质的意义。如果一物体的m i 与m g 不相等，那么在引力作用下，它的加速度g '同当地引力常数g 之间就有下面的关系：g m m g i g

='，比值m g /m i 不同的物体，将

有不同的加速度g '。然而，自伽利略的时代起，人们就发现，对于不同的物体，这个比值都是一样的。惠更斯、牛顿等人都进行过这类实验。

1889年，厄缶精确地证明了，对于各种物质，比值m g /m i 的差别不大于10－9。厄缶在一

横杆的两端各挂木制的A 和铂制的B 两个重量相差不大的重物，杆的中点悬在一细金属丝上。如果g 是地球引力常数，是地球自转引起的离心加速度的垂直分量，l A 和l B 是两个重物的有效杆臂长，那么当平衡时，由于A 、B 的重量相差不大，因而横杆略为倾斜以满足)()(g m g m l g m g m l iB gB B iA gA A '-='-，同时，在厄缶进行实验的纬度上，地球自转引起的离心加速度有一可观的水平分量S g '，会使得横杆受到一个水平转矩：

S iB B S iA A g m l g m l T '-'=，消去l B ，又由于Z g '远小于g 可以略去，因而得到：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-'=gB iB gA iA gA S A m m m m m g l T 这样，只要二者m i /m g 的比值不同，就会扭转悬挂横杆的细金属丝。但是，厄缶在10－9的精

度上没有测出这种扭转。

鉴于这一实验的精确度直接影响广义相对论理论的可靠性，以后几十年来，人们对这一实验的兴趣有增无减。1960～1966年，狄克（Robert Henry ，Dicke ，1916～）等人为提高厄缶实验的精度，把厄缶的扭秤横杆改成三角形水平框架，又把石英悬丝表面蒸镀铝膜以避免静电干扰，并将整个装置置于真空容器中，使实验的精度推进了两个数量级，达到（1.3

±1.0）×10－11。1972年，前苏联的布拉金斯基（Braginsky ）和班诺夫（Panov ）对厄缶实

验又做了重大的改进。他们采用电场中的振荡法，旋转由激光反光光斑记录在胶片上，使实

验结果又在狄克的基础上提高了两个数量级，即9×10－13。

4、2 水星近日点的进动

牛顿力学已经受住了两个世纪的考验，随着时间的推移，牛顿力学的成功事例在不断地增多。1705年哈雷（Edmund Halley ，1656～1742）用牛顿力学计算出在1531年、1607年和1688年看到的大彗星实际上是同一颗，这就是后人所称的哈雷彗星。克雷洛（Alxis Claude Clairaut ，1713～1765）在仔细地研究了哈雷的报告后，又根据牛顿力学考虑了木星与土星对彗星轨道的影响，预言人们将在1758年圣诞节观测到这颗彗星，果然它如期而至。19世纪40年代，法国的勒威耶（Urbain Jean Jeseph Leverrier ，1811～1877）、英国的亚当斯（John Couch Adems ，1819～1892）分别对天王星的轨道摄动进行计算而导致了海王星的发现，这是牛顿力学的又一次辉煌的胜利。

虽然牛顿力学获得了巨大成功，但人们也发现有一个现象它是不能解释的。从1859年起，勒威烈就开始观测众星的微小摄动，他发规水星的近日点每百年的进动大约比牛顿引力