第五章引力场方程
它是1个2阶的对称张量，方程的左端应当是1个表示时空弯曲的2阶对称张量，由度规的2阶偏导数组成.
曲率张量表示时空的弯曲，由度规及其1，2阶偏导数组成，然而它是1个4阶张量. 很自然会想到用曲率
张量来构造1个对称的2阶张量. 将曲率张量 Rµναβ 的上下指标缩并1次就可以得到1个2阶张量. 从曲率张量对前2个指标的反对称
附录A中指出方括号内任何1对指标都是反对称指标，而克氏符号的2个下指标是对称指标，唯一的可能 是上式恒等于零. 在§4.4中我们用过同样的逻辑.
Bianchi恒等式需要对曲率张量求协变导数，在LGS中变成求普通偏导数，问题在于这时曲率张量 Rµναβ 是否还能用(5.4)式表示. 注意虽然在LGS中克氏符号的导数不一定为零，克氏符号本身全为零.
显然，性质(5.5)，(5.6)和(5.7)是相互关联的. 例如，只要证明了后2式，第1式就不证自明了. 先来证明性质(5.6). 注意 Rµν(αβ) 是1个张量，为证明它是1个零张量，只需在1个特殊坐标系里证明 就可以了，今后将经常采用这种方法. 在LGS里，根据(5.4)式，有
Rµναβ = ηµρ −Γρνα,β + Γρνβ,α .
性，容易证明
Rµµαβ ≡ 0.
(5.11)
曲率张量对后2个指标的反对称性表明和第3或第4指标的缩并只差1个符号. 定义Ricci张量为曲率张量第1和第3个指标的缩并：
Rαβ = Rραρβ .
(5.12)
有一些广义相对论的书籍和文献中将Ricci张量定义为第1和第4个指标的缩并，结果会和这里差符号. Ricci张量是1个对称张量，证明如下：
果是否与路径有关. 关于这一点在§4.2中已有比较详尽的讨论. (2)由3条测地线组成的三角形的内角和是
否等于 π. 一个明显的例子是球面上由3条大圆弧组成的球面三角形的内角和大于 π. (3)协变导数是否与
次序有关，亦即
T
µ ;αβ
与
T
µ ;βα
是否相等.
如所周知，普通偏导数与次序无关.
当然，判断时空弯曲的方法
5.1 曲率张量和爱因斯坦张量
为什么要引入曲率张量 在牛顿力学中，从物质及其分布决定引力的方程是泊松方程
∇2U = 4πGρ.
(5.1)
方程的右边是质量密度 ρ. 它在广义相对论中的对应体是能量动量张量 T µν. 方程的左边是牛顿引力势 U 的2阶偏导数的组合. 在§3.2中说到克氏符号的物理意义相当于引力或惯性力，克氏符号是度规张量的1阶 偏导数的线性组合，可以猜测度规 gµν 相当于牛顿力学中的引力势. 广义相对论的引力场方程应当是从 物质 T µν 决定度规 gµν 的偏微分方程. 建立引力场方程需要1个由度规的偏导数组成的张量. 等效原理意 味着引力可以局部地去除，所以克氏符号不可能是张量，这就需要1个由度规的2阶偏导数组成的张量.
Rµναβ;ρ + Rµνβρ;α + Rµνρα;β = 0.
(5.21)
上式中将指标 ν 和 ρ 进行缩并，有
Rµναβ;ν + Rµβ;α − Rµα;β = 0.
再将指标 µ 和 α 进行缩并，得到
Rνβ;ν + Rνβ;ν − δβν R;ν = 0.
将指标 β 上升，改记成 µ，并利用Ricci张量的对称性，就得到缩并后的Bianchi恒等式
绝对不止这3条，例如可以测量空间的圆周率，测量2条测地线之间距离随测地线长度的变化等等.
用上面给出的第3条方法容易导出曲率张量的定义公式. 经过比较繁复但并无困难的推导(见习
题5.1)，对1阶张量 Tµ 进行2次协变导数，有
Tµ;αβ − Tµ;βα = Rρµαβ Tρ,
(5.2)
其中
Rρµαβ = −Γρµα,β + Γρµβ,α − ΓνµαΓρνβ + Γνµβ Γρνα.
第五章 引力场方程
爱因斯坦等效原理告诉我们引力表现为时空的弯曲，并且告诉我们只要知道表示时空几何的度规， 就能计算物体如何在弯曲的时空中运动. 引力是由物质及其分布决定的，度规也应当由物质及其分布决 定. 等效原理并不能给出如何从物质及其分布来决定度规. 解决这一问题的是爱因斯坦的引力场方程，它 是牛顿力学中的泊松方程在广义相对论中的对应体. 等效原理和引力场方程是广义相对论理论的两个核 心部分.
F;µννµ ≡ 0.
(5.17)
注意(5.17)是恒等于零，这样才能导出电荷守恒定律(5.16). 电磁场张量 F µν是否满足(5.17)，是检验麦克 斯韦方程(5.15)是否正确的试金石之一. 习题5.2告诉我们(5.17) 确实成立.
对于引力场方程，情况完全类似. 如果把引力场方程写成
Gµν = κT µν .
Rρµαβ = −Γρµα,β + Γρµβ,α.
(5.4)
曲率张量的性质 曲率张量是1个4阶张量，共有256个坐标分量. 然而，由于以下一些对称和反对 称的性质，这些分量并不完全是独立的. 下面先列出这些性质，然后再一一给出证明. 这些性质用协变的 曲率张量 Rµναβ 来写出. 下面用的关于指标的圆括号和方括号运算的定义请参见附录A.
(5.10)
式中 ηµρ 和以前一样表示闵可夫斯基度规. 上式对指标 α 和 β 是反对称的，所以对这2个指标加上圆括号 来取其对称部分的结果恒等于零.
再来证明性质(5.7). 同样选取局域测地线坐标系LGS，用(3.11)式将(5.10)中的克氏符号写成度规的 函数. 注意在LGS中度规可写成闵可夫斯基度规，度规的1阶偏导数全为零，所以只需保留度规的2阶偏 导数. 这样，在LGS中有
(5.18)
因为能量动量的局域守恒定律
T;µνν = 0.
一定成立，左边的张量 Gµν 的协变散度必须恒等于零，亦即
(5.19)
Gµ;νν ≡ 0.
(5.20)
现在来检查Ricci张量是否满足这一条件. 可以直接计算Ricci张量的协变散度 R;µνν. 一种简便的方法 是对Bianchi恒等式进行缩并. Bianchi恒常数. 这正是爱因斯坦曾经认为是正确的引力场方程.∗ 然而下面这番讨论可以立即发现这不是正确的 引力场方程.
先来看电动力学的麦克斯韦方程(4.49)和电荷守恒定律(4.37)，重写如下
F;µνν
=
4π c
j
µ,
j;µµ = 0.
(5.15) (5.16)
从物理上看电荷守恒定律一定成立，于是麦克斯韦方程表明电磁场张量 F µν 必须满足
R(µν)αβ ≡ 0, Rµν(αβ) ≡ 0, Rµναβ ≡ Rαβµν , Rµ[ναβ] ≡ 0, Rµν[αβ;ρ] ≡ 0.
(5.5) (5.6) (5.7) (5.8) (5.9)
性质(5.5)表明曲率张量对前2个指标是反对称的，而(5.6)表明它对后2个指标也是反对称的. 如果把 前2个指标看成1对，后2个指标也看成1对，性质(5.7)表明曲率张量对这2对指标是对称的. 性质(5.8)称 为Ricci恒等式而性质(5.9)是著名的Bianchi恒等式.
(5.3)
在书写曲率张量的指标时，需要注意 ρ 是第一指标，而且是逆变指标，其它3个指标 µαβ 是协变指标，
在这3个指标之前要留有空格，以明确各个指标的次序. (5.2)式的两边，除 Rρµαβ 外，都肯定是张量，所以 Rρµαβ 也是1个张量，称为黎曼曲率张量，常简
称为曲率张量. 对于全局的或1个区域内平直的时空，可以选择坐标系使度规在该区域内处处成为闵可夫
Rµναβ
=
1 2
(gµβ,να
+ gνα,µβ
−
gµα,νβ
− gνβ,µα).
将指标对 µν 和 αβ 互换位置，上式保持不变，性质(5.7) 得证. 在LGS中Ricci恒等式的证明十分简单. 对(5.10)式加上方括号，有
Rµ[ναβ] = ηµρ −Γρ[να,β] + Γρ[νβ,α] .
是独立的坐标分量个数共有
c2n
+
3c3n
+
2c4n
=
1 12
n2(n2
− 1).
对于广义相对论的4维时空，n = 4，在曲率张量256个坐标分量中只有20个是独立的. 对于2维空
间，只有1个独立的分量，情况退化到高斯研究的2维曲面几何.
Ricci张量和曲率标量 我们所寻求的引力方程的右端是表示物质及其分布的能量动量张量 T µν，
曲率张量独立的坐标分量的个数 在研究了曲率张量的前4条性质后，就可以来计算它的独立的
坐标分量的个数. 为了使讨论更具有一般性，假定每个指标从1走到 n，共有 n 种可能的取值. 首先考
虑 Rµναβ 的4个指标都相同的情况，由于反对称性质(5.5)和(5.6)，这样的坐标分量全是零. 再考虑4个指
标中只有2个不同的数 µ 和 α，前3条性质说明只有1种不为零的坐标分量 Rµαµα. 让 µ 和 α 取遍所有可
R = −κT.
(5.25)
这里 T = Tνν 是能量动量张量的迹. 于是场方程可写成
Rµν = κ
Tµν
−
1 2
gµν
T
.
(5.26)
对于弱场的情况时空近于平直，从尘埃的能量动量张量(2.22)式看，在低速的情形，T 0i 和 T ij 分量
都远小于 T 00 = ρc2 而不必考虑. 从另一角度看，在牛顿力学里，压力和速度都不会对引力有贡献. 所以
斯基度规，在其中所有的克氏符号及其偏导数全为零，曲率张量就是1个零张量，而且在任意的坐标系中
所有的坐标分量都是零. 曲率张量可以用来判断时空是否平直.
1
2
第五章 引力场方程
(5.3)式表明，曲率张量是度规及其1，2阶偏导数的函数，而且是度规2阶偏导数的线性函数. 在1个 时空点，如果选取局域测地线坐标系LGS，所有的克氏符号全为零，但它们的1阶偏导数并不一定为零， 在这个特殊的局域坐标系里，曲率张量的表达式简化为
引力场方程和测地线方程
引力场方程和测地线方程
引力场方程是爱因斯坦场方程的一部分，描述了时空如何响应
物质和能量的分布。
它的数学形式是Rμν 1/2gμνR + gμνΛ
= 8πGTμν，其中Rμν是里奇张量，gμν是度规张量，R是标
量曲率，Λ是宇宙学常数，G是牛顿引力常数，Tμν是能动量张量。
这个方程表达了时空的几何性质和能量分布之间的关系，它揭
示了引力是时空弯曲的结果。
测地线方程描述了质点在时空中的运动轨迹。
在广义相对论中，质点沿着测地线运动，其数学描述是在度规张量定义的联络下，使
用测地线方程描述。
测地线方程可以用Christoffel符号和四维速
度的导数来表示。
这些方程揭示了质点受到引力作用时的运动规律，描述了引力如何影响物体在时空中的轨迹。
从物理角度来看，引力场方程和测地线方程是描述引力和运动
规律的基本方程。
引力场方程揭示了引力如何与能量和物质分布相
关联，测地线方程描述了物体在引力场中的运动轨迹。
这些方程为
我们理解引力和宇宙学提供了重要的工具。
从数学角度来看，引力场方程和测地线方程涉及了曲率张量、
度规张量、联络和能动量张量等概念，涉及了微分几何和张量分析等数学工具。
它们是广义相对论的数学描述，展示了时空的几何性质和物质分布之间的关系。
从宇宙学角度来看，引力场方程和测地线方程对于理解宇宙的演化和结构形成起着关键作用。
它们帮助我们理解宇宙中的引力场如何塑造宇宙的结构，以及物体在宇宙中的运动轨迹。
总之，引力场方程和测地线方程是描述引力和运动规律的重要方程，它们从物理、数学和宇宙学角度提供了深刻的理解和洞察。
拉普拉斯(Laplace)方程
1
在静电学里我们知道，真空中的Gauss定律的微分形式是
div−→E
=
1 ε0
ρ(x,
y,
z),
(1.3)
其中−→E (x, y, z)是静电场的电场强度，ε0是真空中的介电常数，ρ(x, y, z)是电荷密度。注
意到静电场是无旋的，即
∇ × −→E = 0 (等价地，curl−→E = 0),
(1.4)
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。 类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情况下，就得到Laplace方程。
实例四：复变函数论中的解析函数 由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
程(1.1)(或(1.2))， 在Ω上 连 续 ， 并 且 在Γ上 的 任 一 点 沿 着Γ的 单 位 外 法 向 量n的 方 向 导
数
∂u ∂n
存在，并且满足
∂u ∂n
Γ
=
g.
(1.17)
边界条件(1.17)通常称为第:::二::类:::边:::界::条:::件::，也称为:N::e:u:m:::a:n:n::边::界:::条:::件::。
可得三维空间中的:L:a:p::l:a:c:e:方:::程::
u = 0.
(1.7)
实例二：静态引力场的引力势
导 出Laplace方 程 的 另 一 个 著 名 实 例 来 自 牛 顿 的 万 有 引 力 理 论 。 由 牛 顿 的 万 有 引
引力场方程推导
引力场方程推导引言引力场方程是描述引力作用的基本方程，它是爱因斯坦广义相对论的核心之一。
通过引力场方程，我们可以推导出物质对时空的影响以及时空对物质的影响，从而得到引力场的行为规律。
在本文中，我们将详细介绍引力场方程的推导过程，并解释其中涉及到的数学概念和物理原理。
物质能量动量张量在广义相对论中，物质和能量不仅仅是质点或者粒子，还可以是连续的分布。
为了描述这种连续性，我们引入了物质能量动量张量（energy-momentum tensor）Tμν。
物质能量动量张量包含了物质和能量在时空中分布的信息。
它是一个二阶张量，共有16个分量。
其中μ和ν取值范围为0到3，分别表示时空坐标轴。
时空度规张量在广义相对论中，时空被看作一个四维流形。
为了描述这个流形上的度量关系，我们引入了时空度规张量（metric tensor）gμν。
时空度规张量用来衡量时空中的距离和时间间隔。
它也是一个二阶张量，共有16个分量。
时空度规张量的逆矩阵表示为gμν。
爱因斯坦场方程引力场方程是爱因斯坦广义相对论的核心方程，它将物质能量动量张量和时空度规张量联系起来。
爱因斯坦场方程可以写作：Rμν−12Rgμν=8πGc4Tμν其中，Rμν是里奇曲率张量（Ricci curvature tensor），R是标量曲率（scalar curvature），G是引力常数，c是光速。
里奇曲率张量和标量曲率为了推导引力场方程，我们首先需要计算里奇曲率张量和标量曲率。
里奇曲率张量定义为：Rμν=Rαμαν其中，Rαμβν是黎曼曲率张量（Riemann curvature tensor）。
标量曲率定义为：R=gμνRμν黎曼曲率张量黎曼曲率张量是描述时空弯曲程度的重要量。
它由黎曼联络（Riemannian connection）的导数定义。
黎曼联络是一种用来描述时空流形上的平行移动的概念。
它包含了伽利略平行移动和克里斯托费尔-施密特平行移动等特殊情况。
引力场方程的新标架形式及定域化的引力场能量动量张量
∂ ∂ 1 ∂ (α ) (α ) = σ ( λλ λ(α ) ρ ) + ρ ( λλ(α ) λ(α )σ ) − λ ( λρ λ(α )σ ) ∂x ∂x 2 ∂x
∂λ (α ) 1 ∂λ (α ) = λσ λ(α ) ρ + λρ λ(α )σ 2 ∂x ∂x 1 ∂λ(α ) ρ ∂λ(α )σ + + σ ∂x ρ 2 ∂x
Pg(α ) µ = C4 1 λµσ λ mσ µ (α ) ρ g hp − Fλρσ Q + Fλ mσ Q δ ρ λ 16π G 4
l ¡¢£¤¥ (α ) §¨©ª «¬ Pg(α ) = ∫ Pg(α ) µ dS µ = ∫ Pg(α )t dSt j λµ ¦
ÄÅ F
ρσλ
∂λ (α ) ∂λ (α ) Dλ (α ) Dλ (α ) = λ(α ) ρ λσ − σλ = λ(α ) ρ λσ − σλ ∂x Dx ∂x Dx
ρλσ
ÆÇÈÉÊ
F = −F Ë ÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖ×Ø
ρσλ
(α ) λρ
Dλ(α )ν Dx
µ
∂λ(α )ν (α ) = λρ − Γλ µν λ(α ) λ µ ∂x
− Γ ρµν
(α ) = λρ
∂λ(α )ν ∂x µ ∂λ(α )ν ∂x
µ
(α ) = λρ
1 (α ) ∂λ(α )ν ∂λ(α ) µ − λρ + µ ∂xν 2 ∂x
1 − ( Fµνρ + Fνµρ ) 2
=
1 ( Fρµν + Fµρν + Fνρµ ) . 2
引力场方程
引力场方程1915年，爱因斯坦在黎曼几何的基础上，写出了描述物质能量分布以及空间曲率的方程式。
改变和影响了我们对时空，及其宇宙的认识。
首先狭义相对论告诉了我们，时间和空间是一个统一的整体，现在广义相对论告诉了我们，时空和物质之间会发生相互作用。
这就是经过爱因斯坦改造后的引力场方程。
方程左边表示了时空曲率，右边表示物质分布，所以就有了我们常会听到的一句话：物质决定了时空的弯曲，而弯曲的时空又告诉物质怎样运动。
在我们普通人看来这个方程好像也没啥，看起来并不复杂，其实这个方程在很多问题上根本无法求解，就算是一些简单的问题，也只能给出近似解。
因为这个方程是由十个未知函数组成的二阶非线性偏微分方程组，你没看错，这是个变量超级多的方程组。
求解起来非常非常困难。
所以我们常会听说广义相对论方程组没有一般的解法，只有暴力求解，就是把出现的所有变量都考虑进去，依靠超强的算力去算。
即使是这样也无法得出很多的解。
爱因斯坦写出这个方程到现在已经一百多年了，我们算出来的不同情况的解，也就十几个而已。
最早出来的一个解，就是史瓦西给出的，他这个解是最基本的一个情况，排除了所有的变量因素以后，也就是假设宇宙中只有一个质点，且这个质点还静止不动，如果密度增加会怎样样？就算出来一个黑洞。
如果现在我们让这个质点转动起来，就增加这一个因素，对解爱因斯坦的方程来说，又变成了一个新的难题。
再比如说，现在在宇宙中有两个质点，它们在互相环绕，这不就是两个天体之间的运动嘛，看似简单的情况，其实直到现在都没人能够用广义相对论的场方程给出两个天体相互运动的精确数学解。
只能得出一些近似解，比如一阶近似、二阶近似等等。
那么这个一阶近似怎么理解？假设太阳和水星这个系统，当我们假设太阳不自转，太阳在空间中不运动，水星的质量和体积小到忽略不计，在太阳造成的弯曲时空中运动，那么牛顿力学给出的数学解就可以看作是对这个问题的一阶近似。
但是我们知道，太阳在自转，也在公转，水星的质量和体积不能忽略不计，所以牛顿力学只能给出和真实情况偏差最大的近似解。
爱因斯坦引力场方程
爱因斯坦引力场方程根据等效原理和广义协变原理，只要把狭义相对论中的物理规律写成广义协变的形式，就可以得到除引力以外的在引力场中的物理定律。
要作到这一点只需要把定律中的普通微分改写为协变微分就可以了。
无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程可以这样得到。
在狭义相对论中，质量为m 的自由粒子或光子，分别沿闵可夫斯基时空中的类时直线或类光直线运动。
将这些运动方程写成协变形式，就分别得到黎曼时空中的类时或类光测地线方程，即无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程。
物质场的方程也可以这样得到。
例如将狭义相对论中的克莱因—戈登方程（Klein-Gordon equation ）写成广义协变形式，就得到在引力场中的标量场方程。
在狭义相对论中，存在一系列的守恒方程。
将这些守恒方程中的普通散度改为协变散度，就得到在引力场中相应的守恒方程。
例如，这样可以得到能量动量守恒在引力场中的形式为：0=νμνT 。
这里νμνT 就是能量动量张量。
但是，这种方式不可能得到引力定律本身，也不可能得到同曲率有关的效应。
例如，不可能得到测地线偏离方程中同曲率有关的项，也不可能得到在引力场中自旋粒子的自旋同曲率的耦合项等等。
与曲率有关的物理效应何时出现，只能作具体的分析。
1915年，爱因斯坦几乎和希耳伯特（Hilbert David ，1862～1943）同时在得到了完整的引力场方程：μνμνμνπT c G R g R 4821=-，其中G 是牛顿引力常数G ＝6．670×10-8cm 3/(g ·s 2)。
方程左边是描述引力场的时空几何量，右边是作为引力场源的物质能量动量张量。
显然，这个方程反映了爱因斯坦的马赫原理的思想。
爱因斯坦提出这个场方程的基本思路大致可以这样来概括：考察牛顿引力理论的泊松方程：ρπ224c G =Φ∇，它是引力势的二阶偏微分方程，ρ是引力源的质量密度。
在相对论中，ρ应该推广为引力源的能量动量张量，则推广为度规张量μνg 。
(完整版)第五章有心力场中的运动
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分 的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质 点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏 心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的 发射过程设计为先进入近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转 移轨道)，然后在远地点施加冲量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
引力场公式
引力场公式
引力场公式：
根据万有引力定律得到的引力场的公式是：
F=GMm/R^2 （R为两者质心的距离）
由于引力势能是指物体(特别指天体)在引力场中具有的能，而物理学中经常把无穷远处定为引力势能的零势能点。
常用的的重力势能是引力势能在特殊情况下的表达形式。
势能等于将其中一个物体拉到无穷远处克服引力所作的功。
因此，令无穷远处为势能零点，则有：Ep=∑F×dr r~[R,∞]
F=GMm/R^2)令R为自变量x 即有:
Ep=∑F×dr=∫GMm/x^2 dx (将该函数在[R~∞]上积分)
解得:Ep=-GMm/x 当x=R时，就是该物体在该点的引力势能
Ep=-GMm/R
引力场，是描述物体延伸到空间中对另一物体产生吸引效应的理论模型。
现代观点认为引力场是物质在空间中产生的空间弯曲效应，物体在该弯曲空间内运动时表现出在直角空间中的运动状态改变，从而体现出引力效应。
在牛顿力学的经典理论框架下和爱因斯坦的广义相对论理论框架下均有对引力场的定量描述。
然而，通过现代观测手段发现宇宙中星际物质的运动与现有理论存在不相符的现象，因此引入了“暗物质”和“暗能量”的概念，来弥补原有理论和实际观测的差距。
尽管学术界针对暗物质和暗能量的可能的量、分布和属性已经着手研究，但它们仍然是未知大于已知，且尚未完全证实的概念。
鲁科版_必修2_第5章万有引力定律及其应用_第2节万有引力定律的应用课件
3
(2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T:
由G
Mm r2
m
42 T2
r可得出M
42r3 GT2
若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时,轨道半径r=
R,则ρ= M 3 。 4 R3 GT2 3
【变式训练】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗
行星的体积是地球的4.7倍,质量是地球的25倍。已知某一近
太阳质量分别为M1、M2,恒星“Gliese581”与行星“Gl-581c”
太阳与地球的距离分别为r1、r2,行星“Gl-581c”、地球的公转
周期分别为T1、T2,根据G
M1m1 r12
m1r1
(
2 T1
)
2
、G
M2m2 r22
m
2r2
(
2 T2
)
2
、
T1=31635T2,解得:
r1
3
GM1T12 42
①物理规律: a._牛__顿__第__二__定__律__。 b._万__有__引__力__定__律__。
②方程式:
a.对卫星:_G__R__MM_月_m_H__2___m__4__2 _R_T_MM2___H___。
b.对月球:_G__M_地R_M_02_月___M__月__4_T_2E2R__0 _。
581c”、地球上发射卫星的第一宇宙速度分别为v1、v2,根据
G
m1m R12
m
v12 R1
、G
mmR21m22=6 mm 2Rv、222 、R1=1.5R2,解得:v1=
2v2,故选项A错误;根据
G
m1m R12
mg1、G
mmR2m221=6mmg22、
长安大学地球物理学原理-第5章 地球的形状及重力场
第五章 地球的形状及重力场
卫星重力探测技术的发展，突破了人们过去获 取重力场信息的局限性，使得物理大地测量的研 究从局部或区域性扩展到全球，从测定静态地球 重力场发展到测定时变重力场。
第五章 地球的形状及重力场
在基础理论方面，重力学的研究内容包括 地球重力场的空间分布特征与规律，重力场 变化所反映的物质质量分布、密度分布的状 态、性质、特征与规律，以及重力场因天体 运动和地球内部物质运动引起的周期性变化 规律与非周期变化的性质、机理。 在应用方面，重力学的研究内容主要为重 力测量技术和观测数据解译技术以及相关的 理论，即“重力勘探”。 重力变化与地震预测。
20世纪初，由于厄特沃什（R. von Eötvös）研制成 适用于野外作业的扭秤，在匈牙利进行了持续的扭秤 观测，结果表明扭秤可以反映地下区域的密度变化。 在应用地球物理方法勘探石油之初就是使用扭秤。 1934 年 拉 科 斯 特 研 制 出 了 高 精度的金属弹簧重力 仪，沃登研制了石英弹簧重力仪，这类仪器的测量精 度约达0.05-0.2mGal，到1939年，这类重力仪完全取 代了扭秤。 从此，重力测量迅速发展，应用于大地测量、地球 内部构造、地球动力学、资源勘探、工程建设、灾害 预防等基础性科学和应用基础性科学的各个方面。
第五章 地球的形状及重力场
地球深部结构及海洋洋流变化 固体地球均衡响应及冰后回弹 地幔和岩石圈密度变化 地球物理勘探 地球重力场与国防、军事
大地测量学
重力测量学
重力测量仪
重力（位场）数据计算与分析处理
计算地球物理学
地球重力学 固体潮与地壳形变 重力勘探 卫星重力学
地球动力学 引力波 微重力测量学 行星重力学
第五章第五章地球的形状及重力场地球的形状及重力场1957年第一颗人造地球卫星发射成功开创了卫星重力探测时代根据卫星轨道摄动理论观测卫星轨道摄动确定低阶位系数利用卫星海洋雷达测高确定高精度高分辨率海洋重力场模型和大地水准面模型gps技术结合水准测量直接测定大陆大地水准面本世纪初利用卫星跟踪卫星和卫星重力梯度测量技术可以确定全球更高精度和分辨率的静态重力场模型和时变重力场模型第五章第五章地球的形状及重力场地球的形状及重力场卫星重力探测技术的发展突破了人们过去获取重力场信息的局限性使得物理大地测量的研究从局部或区域性扩展到全球从测定静态地球重力场发展到测定时变重力场