北京中考数学解析中考数学
2019年北京市初中毕业、升学考试
数学
（满分100分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题
后括号内．
1．（2019北京市，1题，2分）
4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为
A．6
4.3910
0.43910 B．6
C．5
4.3910 D．3
43910
【答案】C
数减1.
∴5
09
01；故选C.
43900
4.3
【知识点】科学记数法——表示较大的数
2．（2019北京市，2题，2分）
下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.
故选C.
【知识点】图形变换——轴对称图形.
3．（2019北京市，3题，2分）
正十边形的外角和为
A．180 B．360 C．720 D．1440
【答案】B
【解析】根据多边形的外角和等于360°易得B正确；故选B.
【知识点】多边形的外角和等于360°.
4．（2019北京市，4题，2分）
在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为
A．-3 B． -2 C． -1 D． 1
【答案】A
【解析】由题意知，点B 表示的数是2，由CO=BO ，可得点C 表示的数为2或-2，
将点C 向左平移1个单位长度可得到点A ，故点A 表示的数为1或-3； 又∵点A ，B 在原点O 的两侧；∴点A 表示的数-3.
【知识点】有理数——数轴、分类讨论. 5．（2019北京市，5题，2分）
已知锐角∠AOB ，如图，
（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作，交射线OB 于
点D ，连接CD ；
（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交
于点M ，N ；
（3）连接OM ，MN ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A ．∠COM=∠COD
B ．若OM=MN ，则∠AOB=20°
C ．MN ∥C
D D ．MN=3CD
【答案】D
【解析】由作图知，CM CD DN == ,OM=OC=OD=ON ；
A ．在⊙中，由CM CD =得∠COM=∠COD ；故选项A 正确.
B ．由OM=MN ，结合OM=ON 知△OMN 为等边三角形；得∠MON=60°.又由
CM CD DN ==得∠COM=∠COD=∠DON ；∴∠AOB=20°.故选项B 正确.
C ．由题意知OC=O
D ，∴1802
COD
OCD ?-∠∠=
. 设OC 与OD 与MN 分别交于R ，S.易得△MOR ≌△NOS （ASA ） ∴OR=OS ∴1802
COD
ORS ?-∠∠=
∴OCD ORS ∠=∠ ∴MN ∥CD. 故选项C 正确.
D ．由CM CD DN ==得CM=CD=DN=3CD ；而由两点之间线段最短得
CM+CD+DN>MN ，即MN<3CD ；∴MN=3CD 是错误的；故选D.
【知识点】全等三角形的性质和判定、圆的有关性质、等边三角形的性质和判定.
6．（2019北京市，6题，2分）
B
如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +??+?- ?-??
的值为
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
【答案】D 【解析】()222
21m n
m n m mn m +??+?- ?-??
= ()()()()2m n m n m n m n m m n m m n ??
+-++-?
?--????
=()
()()2m m
m n m n m m n ++--
=()3m n +
又∵1m n +=
∴原式=313?=.故选D.
【知识点】分式的运算、整体思想.
用三个不等式a b >，0ab >，1
1a b
<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】D
【解析】本题共有3个命题：
命题①，如果a b >，0ab >，那么11a b
<. ∵a b >，∴0a b ->.又∵0ab >；∴
0a b ab ->，化简得11
a b
<，该命题为真命题. 命题②，如果a b >，11a
b
<；那么0ab >. ∵11a
b
<，∴110a
b
-<，
0b a
ab
-<. ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab >.该命题为真命题. 命题③，如果0ab >，11a b
<，那么a b >. ∵11a
b
<，∴110a
b
-<，
0b a
ab
-<. ∵0ab >，∴0b a -<， ∴b a <.该命题为真命题. 选D.
【知识点】真假命题、不等式的性质.
8．（2019北京市，8题，2分）
某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单
位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．①②③④
【答案】C
【解析】①由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为24.5h ，女生为52.5h ，则平均数一定在24.5——25.5之间，故①正确.
②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15，60，51，62，12，则中位数在20——30之间，故②正确.
③由统计表类别栏计算可得，初中学生各时间段人数分别为25，36，44，11；共有116人，∴初中生参加公益劳动时间的中位数在对应人数为36的那一栏；即 中位数在20——30之间；故③正确.
④由统计表类别栏计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为15，35，15，18，1；共有84人，∴中位数在对应人数为35人对应的时间栏，即中位数在10——20之间；故④错误. 【知识点】条形统计图、统计表、统计量——平均数、中位数.
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 9．（2019北京市，9题，2分） 若分式
1
x x
的值为0，则x 的值为_______. 学生类别
51020
【答案】1
【解析】方法一、分式值为0的条件是分子等于0，且分母不为0.即10
0x x -=??≠?
，∴1x =. 方法二、解分式方程
1
0x x
-=，解得1x =；经检验1x =是原分式方程的解. 【知识点】分式的值为0、解分式方程. 10．（2019北京市，10题，2分）
如图，已知ABC ，通过测量、计算得ABC 的面积约为_______cm 2.（结果保留一位小数）
【答案】由测量结果计算. 【解析】如图10-1，
测量三角形的底和高时，长度精确定mm ，测量图中AC 和BD 的长度. 【知识点】三角形的面积、动手测量、求近似数. 11．（2019北京市，11题，2分）
在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是_______.（写出所有正确答案的序号）
【答案】①②.
【解析】长方体的三种视图都是矩形，圆柱的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆；圆锥的主视图、左视图都是三角形；圆锥的俯视图为带圆心的圆.故选①②. 【知识点】三视图、矩形的判定. 12．（2019北京市，12题，2分）
如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝____________°（点A ，B ，
第10题图
C
B
A
第11题图
③圆锥
②圆柱
①长方体
P 是网格线交点）.
【答案】45°
【解析】如图12-1，延长AP 至C ，连结BC.
设图中小正方形的边长为1，由勾股定理得222125PC =+=，222125BC =+=，2221310PB =+=；
∴222,PC BC PB PC BC +==且.即△PBC 为等腰直角三角形，∴∠BPC=45°. 由三角形外角的性质得45PAB PBA MPC ∠∠=∠=?＋. 【知识点】勾股定理及逆定理、三角形外角的性质.
13．（2019北京市，13题，2分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1
k y x
=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2
k y x
=
上，则12k k +的值为_______.
【答案】0
【解析】∵A 、B 两点关于x 轴对称，
∴B 点的坐标为(),a b -.
又∵A ()a b ，、B (),a b -两点分别在又曲线1k y x =和2k
y x
=上； ∴12,ab k ab k =-=. ∴120k k +=；故填0.
【知识点】关于x 轴对称的点的坐标特点、双曲线k y x
=上点的坐标与k 的关系.
14．（2019北京市，14题，2分）
第12题图
B
A
把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______．
【答案】12
【解析】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a ，b （a>b ）；则由图2
和图3列得方程组51
a b a b +=??-=?，由加减消元法得
32
a b =??=?，∴菱形的面积11
44321222
S ab =?=???=.故填12.
【知识点】菱形的性质、二元一次方程组的解法.
15．（2019北京市，15题，2分）
小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s _______20s . (填“>”，“=”或“<”)
【答案】=
【解析】数据92，90，94，86，99，85的平均数929094869985
916
x +++++=
=；
新数据2，0，4，-4，9，-5的平均数为()()
204495`16
x +++-++-=
=；
∴()()()()()()222222
201689291909194918691999185916
3
S ??=-+-+-+-+-+-=??
； ()()()()()()222222
211682101414191516
3
S ??=-+-+-+--+-+--=??
； ∴2201S S =.
事实上由“将一组数据中的每个数加上或减去同一个数后，所得的新数据的方差与原数据的方差相同”易得2201S S =.
【知识点】方差的计算和性质、平均数.
16．（2019北京市，16题，2分）
图3
图2图1
在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②③
【思路分析】如图16-1，经矩形ABCD 对角线交点O ，
① 任画两条和矩形对边分别相交的直线，顺次连接交点得到的四边形为平行四边
形，显然有无数个四边形；
②任画两条和矩形对边分别相交且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为矩形，显然有无数个四边形；
③任画两条和矩形对边分别相交且垂直的直线，顺次连接交点得到的四边形为菱形，显然有无数个四边形；
④画两条和矩形对边分别相交，并且垂直且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为正方形，显然只有一个四边形.
【解题过程】如图16-1，O 为矩形ABCD 对角线的交点，
① 图中任过点O 的两条线段PM ，QN ，则四边形MNPQ 是平行四边形；显然有无数
个.本结论正确.
② 图中任过点O 的两条相等的线段PM ，QN ，则四边形MNPQ 是矩形；显然有无数
个.本结论正确.
③ 图中任过点O 的两条垂直的线段PM ，QN ，则四边形MNPQ 是菱形；显然有无数
个.本结论正确.
④ 图中过点O 的两条相等且垂直的线段PM ，QN ，则四边形MNPQ 是正方形；显然
有一个.本结论错误. 故填：①② ③.
【知识点】三角形全等的性质和判定、矩形的性质和判定、平行四边形和菱形、正方形的判定.
三、解答题（本大题共12小题，满分68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2019北京市，17题，5分）
计算：()0
1
1342604
sin π----+?+
（）
【思路分析】根据()0
10a a =≠，()110a a a
-=≠
，sin 60?=代入计算即可解答.
【解题过程】
解：()0
1
142604
sin π---+?+（）
11214
=++
14
=
【知识点】实数的混和运算、绝对值、零指数、负指数、特殊角的函数值. 18．（2019北京市，18题，5分）
解不等式组：4(1)2,
7
.3
x x x x -<+??
+?>?? 【思路分析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.
取公共部分按照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可.
【解题过程】解：4(1)27
3x x x x -<+??
?+>??
①②
由①得442x x -<+ 36x < 2x < 由②得73x x +> 72x >
72
x <
①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为2x <.
【知识点】一元一次不等式组的解法. 19．（2019北京市，19题，5分）
关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．
【思路分析】先由原一元二次方程有实数根得判别式240b ac -≥进而求出m 的范围；结合m 的值为正整数，求出m 的值，进而得到一元二次方程求解即可.
【解题过程】解：∵关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，
∴()()2
2424121484880b ac m m m ?=-=--??-=-+=-≥ ∴1m ≤
又∵m 为正整数，
∴m=1，此时方程为2210x x -+=解得根为121x x ==， ∴m=1，此方程的根为121x x ==
【知识点】一元二次方程根的判别式、
20．（2019北京市，20题，5分）
如图20-1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；
（2）如图20-2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=1
2
，求AO
的长．
【思路分析】）（1）由四边形ABCD为菱形易得AB=AD，AC平分∠BAD，结合BE=DF，根据等腰△AEF 中的三线合一，证得AC⊥EF.
（2）菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF得BD∥EF.进而有
1
tan tan
22
OC OC
ODC G
OD
∠=∠===；得出
OA的值.
【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF
∴AB BE AD DF
-=-
∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形
∵AC平分∠BAD
∴AC⊥EF
（2）解：∵菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF.
∴BD∥EF.
又∵BD=4，tanG=1 2
∴
1
tan tan
22
OC OC ODC G
OD
∠=∠===
∴AO=1
2
AC=OC=1.
【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质、正切的定义.
21．（2019北京市，21题，5分）
国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x ＜40，40≤x ＜50，50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）；
b ．国家创新指数得分在60≤x ＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d ．中国的国家创新指数得分为69.5.
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》） 根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第_______； （2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线1l 的上方．请在图中用“○”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为_______万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是_______．
①相比于点A ，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B ，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
【思路分析】（1）由条形统计图知，创新指数在70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100
国家个数分
/万元
别为12，2，2；共16个，而中国的创新指数为69.5；进而求出中国的国家创新指数的世界排名.
l的上方即可求得．（2）由中国的国家创新指数得分为69.5，结合中国的对应的点位于虚线
1
（3）如图21-1，先画一条过69.5的水平线，该线上方的点都是国家创新指数得分比中国高的国家；然后找除中国以外的，最左边的点进而求出该国的人均国内生产总值.
（4）
【解题过程】（1）解：∵由条形统计图知，创新指数在70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100国家个数分别为12，2，2；共16个，且中国的创新指数为69.5；
∴中国的国家创新指数的世界排名为17.
故填17.
l的上方求得. 如下（2）解：由中国的国家创新指数得分为69.5，结合中国的对应的点位于虚线
1
图，
（3）如图21-1，
易求得在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.7万美元.故填：2.7.
（4）①②
【知识点】
22．（2019北京市，22题，6分）
在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a 为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G， ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，
CD ．
（1）求证：AD=CD ；
（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．
【思路分析】 【解题过程】（1） ∵BD 平分ABC ∠ ∴ABD CBD ∠=∠
∴AD=CD
（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1. 【知识点】 23．（2019北京市，23题，6分）
小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有i x 首，i =1，2，3，4；
②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i ）天背诵第二遍，第（3i ）天背诵第三遍，三
遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4； 第1天
第2天
第3天 第4天
第5天 第6天 第7天 第1组 1x
1x
1x
第2组 2x
2x
2x
第3组
第4组
4x
4x
4x
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题： （1）填入3x 补全上表；
（2）若14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为_______；
C
B
A
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为_______首．
【思路分析】 【解题过程】（1）如下图
（2）4，5，6 （3）23
【知识点】 24．（2019
北京市，24题，6分） 如图，P 是
与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，
PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度的几组值，如下
表：
在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定_______的长度是自变量，_______的长度和_______的长度都是这个自变量的函数；
A
B
（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD 时，AD 的长度约为_______cm ．
【思路分析】（1）三个变量中，分析哪两个变量均随某个变量的变化而变化，哪两个量就是函数.观察表格中的数据，当AD 的长度发生变化时，PC ，PD 也随之变化. （2）以AD 为自变量，分别以PC ，PD 为函数，画函数图像即可. （3）找到图象中满足PC=2PD 时，对应点的横坐标即可解答. 【解题过程】（1）观察表格中的数据可知：PC ，PD 都随AD 的变化而变化.故AD 为自变量，PC ，PD 均为AD 的函数. 故填：AD ， PC ，PD ；
（2）以AD 为自变量，分别以PC ，PD 为函数，画出的函数图像如下图，
（3）观察图象可得，当AD=2.29或者3.98时，有PC=2PD.故填：2.29或者3.98. 【知识点】函数与自变量、画函数图形及应用函数图象. 25．（2019北京市，25题，5分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，B ，直线
x k =与直线y k =-交于点C ．
（1）求直线l 与y 轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ． ①当2k =时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．
【思路分析】（1）当0x =时，由()10y kx k =+≠求得y 的值，即得直线 与 轴的交点坐标. （2）①当2k =时画出图象分析有关区域中整点个数. ②由图象分析解答即可.
【解题过程】（1）当0x =时，由()101y kx k =+≠=；∴直线l 与y 轴的交点坐标为()0,1. （2）①如下图，当k=2时，直线l ：21y x =+，把2x =代入直线l ，则5y =.∴()2,5A ；
把2y =-代入直线l ， 221x -=+ ∴3
2x =-， ∴3,22B ??
-- ???
. ()2,2C -.
画出函数21y x =+的图象及直线 2x =，直线2y =-组成的区域，
显然区域中整数点有（0，-1）、（0，0）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）；显然区域W 内的整点个数有6个.
② 由类似①分析图象知区域W 内没有整点时有10k -≤<或2k =-.
【知识点】一次函数的图象与性质 26．（2019北京市，26题，6分） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21
y ax bx a
与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．
（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点11
(,)2P a
，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．
【思路分析】（1）先求出A 点的坐标为10,a
??
- ??
?，由平移规律求得点B 的坐标.
（2）由A 、B 两点的纵坐标相同，得A 、B 为对称点进而求出抛物线对称轴方程. （3）根据a 的符号分类讨论分析解答即可.
【解题过程】（1）∵当x=0时，抛物线21
1
y ax bx
a a
；
∴抛物线与y 轴交点A 点的坐标为10,a ??- ??
?， ∴由点A 向右平移2个单位长度得点B 的坐标为12,a
??
- ??
?
；即1(2,
)B a
. （2）∵由A 10,a ??- ??
?
、B 12,a
??- ??
?
两点的纵坐标相同，得A 、B 为对称点.∴抛物线对称轴方程为02
12
x +=
=；即直线1x .
（3）①当0a >时，1
0a
-<. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和
点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以线段PQ 和抛物线没有交点.
②当0a <时，10a
->. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点，此时12a
-≤，即12
a ≤-.
综上所述：当12
a ≤-时，抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点. 【知识点】二次函数图象及性质、点的坐标平移规律、 27．（2019北京市，27题，7分）
已知30AOB ∠=?，H 为射线OA
上一定点，1OH =，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150?，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；
（2）求证：OMP OPN ∠=∠；
（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP ，并证明．
【思路分析】（1）作∠MPN=180°-∠AOB,用圆规截得PM=PN ；可补全图形. （2）借助△OPM 的内角和为180°及∠AOB=30°和∠MPN=150°即可得证， （3）
【解题过程】（1）见下图
备用图
图1
B
A
O
B
（2）证明：∵30AOB ∠=?
∴在△OPM 中，=180150OMP POM OPM OPM ?-∠-∠=?-∠∠ 又∵150MPN ∠=?，
∴150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=?-∠ ∴OMP OPN ∠=∠. （3）如下图，过点P 作PK ⊥OA 于K ，过点N 作NF ⊥OB 于F
∵∠OMP=∠OPN ∴∠PMK=∠NPF
在△NPF 和△PMK 中，90NPF PMK NFO PKM PN PM ∠=∠??
∠=∠=???=?
∴△NPF ≌△PMK （AAS ） ∴PF=MK ，∠PNF=∠MPK ，NF=PK 又∵ON=PQ
在Rt △NOF 和Rt △PKQ 中，ON PQ
NF PK =??
=?
∴Rt △NOF ≌Rt △PKQ （HL ）
∴KQ=OF
设,MK y PK x ==
∵∠POA=30°，PK ⊥OQ ∴2OP x =
∴,OK OM y ==- ∴2OF OP PF x y =+=+，
)
1
MH OH OM y
=-=--，
1
KH OH OK
=-.
∵M与Q关于H对称
∴MH=HQ
∴KQ=KH+HQ
11y
++
=2y
-+
又∵KQ=OF
∴22
y x y
-+=+
∴(
22
x
=+
∴1
x=，即PK=1
又∵30
POA
∠=?
∴OP=2.
【知识点】尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30°锐角的性质、中心对称的性质.
在△ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的
内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．
（1）如图，在Rt△ABC中，22
AB AC D E
==，，分别是AB AC
，的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()
0,20,04,00
A B C t t>
，，，在△ABC中，
D E
，分别是AB AC
，的中点．
①若
1
2
t=，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
A
B C
D E
A
E
D
C
B
②若在△ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边
上，直接写出t 的取值范围．
【思路分析】（1）当与BC 相切时，△ABC 的中内弧最长，结合勾股定理进而求得结果.
（2）①分以下两种情况讨论，Ⅰ、当P 为DE 的中点时； Ⅱ、当⊙P 与AC 相切时. ②分以下两种情况讨论，Ⅰ、PE ⊥AC 时，△EFC ∽△PEF ；Ⅱ、PFC ABC ??∽时.
【解题过程】（1）如下图：当与BC 相切时，中内弧最长.
1801
180180
n r l πππ?=
== （2）解：①当12
t =时，C （2，0），D （0，1），E （1，1）
Ⅰ、如下图， 当P 为DE 的中点时，DE 是中内弧，∴1,12P ??
???
Ⅱ、 如下图，当⊙P 与AC 相切时，2,AC BE y x y x =-+=. 当1
2x =时，1
2y =，∴11,22P ??
???
.
2018年山西省中考数学卷--解析版
2018年山西省普通高中招生考试 数学卷 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下面有理数比较大小，正确的是（ B ） A.20< B.35<- C.32-<- D.41-< 考点：有理数比较大小 解析：两个有理数比较大小，正数比0大，负数比0小，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故选B 2. “算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（ B ） A. 九章算术 B.几何原本 C.海岛算经 D.周髀算经 考点：数学文化 解析：《几何原本》（希腊语：Στοιχε?α）又称《原本》。是古希腊数学家 欧几里得所著的一部数学著作。它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。故选B 3. 下列运算正确的是（ D ） A.() 6 2 3a a -=- B.222632a a a =+ C.63222a a a =? D.363 282a b a b -=??? ? ??- 考点：整式的运算 解析：选项A 负数的偶次幂是正数，所以错误 ；选项B 合并同类项，是将它们的系数相加减，答案应为2 5a ，所以错误 ；选项C 为单项式乘单项式，同底数幂相乘时，底数不变指数相加，所以错误，故选D 4. 下列一元二次方程中没有实数根的是（ C ） A.022 =-x x B.0142 =-+x x C.03422 =+-x x D.2532 -=x x 考点：一元二次方程根与系数的关系 解析：选项A 运用因式分解法可得两个实数根()02=-x x ，01=x ，22=x ； 选项B 为()020114442 2 >=-??-=-ac b ，有两个不相等的实数根； 选项C 为()08324442 2<-=??--=-ac b 项没有实数根； 选项D 为()01234542 2>=??--=-ac b ，有两个不相等的实数根；故选C ， 5. 近年来快递业发展迅速，下表是2018年1～3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件）
2019年北京市初三一模数学-几何综合专题(教师版)
2019一模几何综合专题 一、旋转变换 1.（等边三角形+对称＋旋转）(2019通州一模27)如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射 线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并延长，交射线AD （1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数； （2）用等式表示线段AF 、CF 、 EF 之间的数量关系，并证明. 解：（1）连接AE . ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ， ∴ AE =AB ，BAF EAF α∠=∠=∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ACB ∠=∠=?. ∴602EAC α∠=?-，AE AC =. 1分 ∴()1 180602602 ACE αα∠=?-?-=?+????. ∴6060BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=?+-?=. ……………… 2分 另解：借助圆. （2）AF EF CF -= 证明：如图，作60FCG ∠=?交AD 于点G ，连接BF . ……………… 3分 ∵BAF BCF α∠=∠=，ADB CDF ∠=∠， ∴60ABC AFC ∠=∠=?. ∴△FCG 是等边三角形. ∴GF = FC . ……………… 4分 ∵ABC △是等边三角形， ∴BC AC =，60ACB ∠=?. ∴ACG BCF α∠=∠=. 在△ACG 和△BCF 中， CA CB ACG BCF CG CF =?? ∠=∠??=? ，， ， ∴△ACG ≌△BCF . ∴AG BF =. ……………… 5分 ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ， ∴BF EF =. ……………… 6分 ∴AF AG GF -=. ∴AF EF CF -=. ……………… 7分
2020届北京市中考数学学科试题分析(加精)
北京市中考数学学科试题分析 北京市中考数学试题的命制依据教育部制定的《义务教育数学课程标准（2011 年版）》和北京教育考试院编写的《2016年北京市高级中等学学校招生考试考试说明》. 中考数学试题将学科理念与时代发展需求相融合，通过对学科素养的考查，体现立德树人、育人为本的教育目标和社会发展对人才培养的需求.试卷的整体设计，以“四基”、“核心概念”、“四能”、为主线，注重考查学生的思维，将学生在学校、家庭和社会所学融入其中，贴近学生的实际与生活. 一、“四基”的考查 1.基础知识的考查 对于基础知识的考查，不仅仅局限于对知识应用的考查，还将知识的形成过程、知识之间的联系作为考查的一部分.如第12题（代数式几何意义）.认识不同的代数式表示方法之间的关系：ma+mb+mc=m(a+b+c)表示提公因式， m(a+b+c)=ma+mb+m c表示乘法分配率，(ma+mb)+mc=ma+(mb+mc)表示加法结合律，……，进一步理解整式乘法、因式分解、乘法关于加法的分配率等知识的内在联系.又如第13题（频率估计概率）.虽然学生对概率刻画随机事件发生可能性的大小有了一定的体会，但是对概率意义的理解容易停留在“比值”层面，而对其反映的随机性的内涵认识不足.让学生经历大量重复试验的过程，在具体的试验过程中，发现频率呈现出一定的稳定性和规律性，对频率与概率之间的关系进行体会，估计事件发生的概率，进一步理解概率的意义.
2.基本技能的考查 对于基本技能的考查，既考查了对于数学工具的直接使用，又考查利用数学共解决问题过程当中所蕴含的数学原理.例如第1题（度量∠AOB的大小）.量角器是数学基本工具之一，度量角也是基本技能操作之一，但在操作之余，还需要了解角度单位的产生过程，理解量角器的构成要件和工作原理，为在使用量角器时，更好掌握操作方法提供帮助.又如第16题（尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线）.考查的落脚点不是在尺规作图的操作层面，而是落脚于“为什么这么作”，考查的是技能操作里面蕴含的数学原理. 3.基本思想与基本活动经验的考查 第26题（根据函数图、表反映的规律探究函数的性质）体现了对抽象、模型两大数学基本思想和基本数学活动经验的考查.函数的学习不能只注重背记定义而不关注它的实质，要理解定义的真正含义，即函数是反映运动变化与联系对应的数学模型.从另一个角度讲，在现实生活中，很多客观事物必须从运动变化的角度进行数量化研究，许多问题中的各种变量是相互联系的，变量之间存在对应关系，而刻画这种关系的数学模型就是函数.通过函数的学习，学生不断地形成、积累对函数的正确认识，即认识函数可以有不同的表示方法，研究函数需要研究自变量的取值范围、对应关系和因变量取值，通过图象反映的规律研究函数的性质，也就是说，学生积累的对函数的最根本的认识就是函数是刻画同一变化过程中两个变量之间的对应关系的模型. 2016年的第26题是对2015年第26题（研究函数的基本过程）的继承与发展.学生根据学习函数所积累的经验，利用所给图、表反映出的y与x的对应关系，画出“自己的”函数图象.进一步地，对“自己的”函数进行性质的分析与研究. 二、核心概念的考查
2018年北京市中考数学试卷及详细答案解析
2018年北京市中考数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的 选项只有一个． 1．（2分）下列几何体中，是圆柱的为（） A．B． C．D． 2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（） A．|a|＞4B．c﹣b＞0C．ac＞0D．a+c＞0 3．（2分）方程组的解为（） A．B．C．D． 4．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（） A．7.14×103m2B．7.14×104m2C．2.5×105m2D．2.5×106m2 5．（2分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900° 6．（2分）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）?的值为（）A．B．2C．3D．4 7．（2分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起
跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（） A．10m B．15m C．20m D．22.5m 8．（2分）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3） 时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）； ②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6） 时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）； ③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5） 时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）； ④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5， ﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）． 上述结论中，所有正确结论的序号是（）
2019北京市中考数学专题突破一：填空压轴题型(含答案)
专题突破(一) 填空压轴题型 规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求． 新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景，提升类比迁移等综合素质． 因此，这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点． 1．[2019·北京] 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB. 图Z1－1 求作：线段AB 的垂直平分线． 小芸的作法如下： 如图， 图Z1－2 (1)分别以点A 和点B 为圆心，大于1 2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； (2)作直线CD . 所以直线CD 就是的所求作的垂直平分线． 老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作图依据是______________________． 2．[2019·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋1)叫做点P 的伴随点，已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，这样依次得到点A 1，A 2，A 3…，A 4…，若点A 1的坐标为(3，1)，则点A 3的坐标为________，点A 2019的坐标为________；若点A 1的坐标为(a ，b )，对于任意正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为__________________． 3．[2019·北京] 如图Z1－3，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：t ＝－x －1，双曲线y ＝1 x .在l 上 取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2，请继续操作并探究：
2019年北京中考数学考查内容及分值分布
2019年北京中考数学考查内容及分值分布 一、考试范围与考试要求 数学学科考试以教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的”课程目标”与”内容标准”的规定为考试范围，参考《义务教育数学课程标准(2011年版)》的理念和精神，适当兼顾北京市现行不同版本教材和教学实际情况。 数学学科注重考查初中数学的基础知识、基本技能和基本思想方法;考查数感、符号感、空间观念、统计观念、运算能力、推理能力、发现问题和分析解决问题的能力，以及应用意识等。 二、试题的基本结构 整个试卷五道大题，25个题目，考试时间120分钟，总分120分，其中选择题共8道，共32分，填空题共4道，共16分，解答题(包括计算题，证明题，应用题和综合题)共13道，共72分。 1.题型与题量 2.考查的内容及分布 从试卷考查的内容来看，几乎涵盖了数学《课程标准》所列的主要知识点， 并对初中数学的主要内容都作了重点考查。 3.每道题目所考查的知识点 题型题号考查知识点选择题1科学记数法2有理数的概念（倒数）3概率4平行四边形5相似三角形6轴对称，中心对称7平均数8圆中的动点的函数图像填空题9因式分解（提公因式法，公式法）10抛物线的解析式11矩形，中位线12函数综合找规律（循环规律）解答题一13三角形全等证明14实数运算（0次幂，-1次幂，绝对值，特殊三角形）15解一元一次不等式组16代数式化简求值（整体代入）17列分式方程解应用题18一元二次方程（判别式，整数根）解答题二19梯形中的计算20圆中的证明与计算（三角形相似，三角函数，切线的性质）21统计图表（折线统计图，扇形统计图，统计表）22操作与探究（旋转，从正方形到等边三角形的变式，全等三角形）解答题三23代数综合（二次函数的性质，一次函数的图像对称，数形结合思想，二次函数解析式的确定）24几何综合（等边三角形，等腰指教==直角三角形，旋转全等，对称全等，倒角）25三、重难点易错点点评 易错题目 易错题号错误原因8易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像12前两年均为对称规律，形成思维定势，不太容易抓住本质规律（循环规律）17分式方程应用题忘记检验难题 难题题号不得分原因22没看懂题，不理解图2的作用是什么23利用对称进行数形结合练得比较少，抓不住第（3）问的关键24对重要全等模型“手拉手”不熟悉，很难发现如何构造全等三角形，倒角证明三角形全等也是本体的难点25题目没读懂，没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的2倍
2018年北京市中考数学试题(含答案解析版)
2018年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。 1. 下列几何体中，是圆柱的为 2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 （A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a + 3. 方程式? ? ?=-=-14833 y x y x 的解为 （A ）?? ?=-=21y x （B ）???-==21y x （C ）???=-=12y x （D ）???-==1 2 y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为 （A ）231014.7m ? （B ）241014.7m ? （C ）25105.2m ? （D ）2 6105.2m ? 5. 若正多边形的一个外角是o 60，则该正多边形的内角和为 （A ）o 360 （B ）o 540 （C ）o 720 （D ）o 900 6. 如果32=-b a ，那么代数式b a a b a b a -???? ? ??-+222的值为 （A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系 ()02≠=+=a c bx ax y 。下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型 和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
2020北京市中考数学专题复习：一次函数、反比例函数综合题(含答案)
一、简单专题集训 一次函数、反比例函数综合题(连续5年考查) 类型一 根据线段关系确定参数取值范围 (8年2考：2017.23、2016.21) 1. (2019海淀区二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋b 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线y ＝2 x 的交点为M ，N . (1)当点M 的横坐标为1时，求b 的值； (2)若MN ≤3AB ，结合函数图象，直接写出b 的取值范围. 第1题图 2. (2019通州区一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x 与函数y ＝m x (x >0)的图象交于点A (1， 2). (1)求m 的值； (2)过点A 作x 轴的平行线l ，直线y ＝2x ＋b 与直线l 交于点B ，与函数y ＝m x (x >0)的图象交于点C ，与 x 轴交于点D. ①当点C 是线段BD 的中点时，求b 的值； ②当BC >BD 时，直接写出b 的取值范围. 第2题图
3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)、点B(3，0)，一次函数y＝－2x的图象与直线AB交于点P. (1)求点P的坐标； (2)若点Q是x轴上一点，且△PQB的面积为6，求点Q的坐标； (3)若直线y＝－2x＋m与△AOB三条边只有两个公共点，求m的取值范围. 第3题图
类型二 根据区域内整点个数确定参数取值范围 (8年2考：2019.25、2018.23) 1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)与直线y ＝kx (k ≠0)平行，与直线y ＝3相交于点A (3，3). (1)求k 和b 的关系式； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线l ∶y ＝kx ＋b 、y ＝kx 、y ＝3与x 轴构成的封闭区域(不含边界)为W . ①当k ＝2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内恰有2个整点，直接写出k 的取值范围. 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，B (3，－3)，C (5，0)，以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点A. (1)求k 的值； (2)若过点A 的直线l 平行于直线OB ，且与函数y ＝k x (x ＜0)图象的另一个交点为D. ①求直线l 的表达式； ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数y ＝k x (x ＜0)的图象在点A ，D 之间的部分与线段AD 围成的 区域(含边界)为W .结合函数图象，直接写出区域W 内(含边界)的整点个数. 第2题图
2019名师解析北京中考数学试卷分析精品教育.doc
名师解析2019北京中考数学试卷分析 ?2019年数学试题严格遵循普通中考考试说明，重视基础，不断拔高，选拔性强，在考查基本知识的同时也保证了区分度。 ①基础知识考察依然为全卷重点 2019年北京卷较2019年北京中考数学整体内容和基本问题变化均不大，试题出题规律比较稳定，依然侧重于基础知识考核。比如对于选择题：重点考察实数、一次函数、反比例函数、四边形、一元二次方程等知识点。填空题主要考察不等式组等概念。大题与往常相似，依然是全等、四边形、方程、二次函数、圆等知识 ②侧重基础的同时考察了思维能力 2019年北京卷数学试题，部分题目考察了综合能力，乍一看此题与我们平时所学题目类似，可是仔细看又有细微的变化，做到了稳中有变，对于思维能力和临场应变能力是一个比较好的考察，比如综合题目代数几何综合，既考查了二次函数又考察了几何综合，就属于此类问题。 ③重点突出，创新新颖 2019年北京卷的数学试题，部分题目设计非常新颖，比如选择题第八题，填空题12题都属于此类题型，回顾近几年北京试题，往往都会在重视基础的同事保证创新，这样才会使孩子们的思维更加发散，而此类问题又往往和生活实际相结
合，比如之前考核过推箱子问题，电脑程序设计问题，数字规律问题等等。 整体分析今年试卷，重难点突出，符合考试说明侧重的基本问题，在考核基本问题的基础上，适当拔高，增加部分综合性题目，保证了学生们在重视基础的前提下，开拓思维能力，发散知识，是一套比较成功的试题。 一、试题的基本结构 整套数学试卷共设25个题目，120分。选择题部分，共8个题目，32分。非选择题（包括填空题和解答题）部分，其中填空题共4个题目，16分，解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题）共13个题目，72分。这些与往年没有什么变化。 1、题型与题量 全卷共25个小题，包括三种题型，其中选择题8个32分，填空题4个16分，解答题13个72分。 2、考查的内容及分布 从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容：数与代数、函数、三角形、四边形、圆、统计与概率都作了重点考查。 内容分布数与代数空间与几何统计与概率 分值 60 46 14
北京市海淀区2018届中考复习《分式及其运算》专题练习含解析
北京市海淀区普通中学2018届初三数学中考复习 分式及其运算 专题练习 一、选择题 1．在函数y ＝x －3 x －4 中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x ＞3 B ．x ≥3 C ．x ＞4 D ．x ≥3且x≠4 2．计算a 3 ·(1a )2的结果是( ) A ．a B ．a 5 C ．a 6 D ．a 9 3．下列各式与x ＋y x －y (x≠±y)相等的是( ) A.（x ＋y ）＋5（x －y ）＋5 B.2x ＋y 2x －y C.（x ＋y ）2x 2－y 2 D.x 2＋y 2x 2－y 2 4．下列运算结果为x －1的是( ) A ．1－1x B.x 2－1x ·x x ＋1 C.x ＋1x ÷1x －1 D.x 2＋2x ＋1x ＋1 5．已知14m 2＋14n 2＝n －m －2，则1m －1 n 的值等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1 4 6．如图，设k ＝甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a ＞b ＞0)，则有( ) A ．k ＞2 B ．1＜k ＜2 C.12＜k ＜1 D ．0＜k ＜1 2 二、填空题 7．计算：5c 26ab ·3b a 2c ＝____． 8．要使代数式x ＋1 x 有意义，则x 的取值范围是__ __．
9．若当x ＝1时，分式x ＋a a －b 的值为0；当x ＝3时，分式x ＋a x －b 无意义，则a ＋b 的值等于___． 10．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 2x ＋2－x －6x 2－4＝2（x －2）（x ＋2）（x －2）－x －6（x ＋2）（x －2） 第一步 ＝2(x －2)－x ＋6第二步 ＝2x －4－x ＋6第三步 ＝x ＋2第四步 小明的解法从第____步开始出现错误，正确的化简结果是_ __． 11．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，若设甲商品的单价为x 元，则购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多__ __件． 12．若分式1 x 2－2x ＋m 无论x 取何值都有意义，则m 的取值范围是__ __． 三、解答题 13. 化简：x ＋3x 2－2x ＋1÷x 2＋3x （x －1）2 . 14. 先化简，再求值：x ＋3x －2÷(x ＋2－5 x －2 )，其中x ＝3＋ 3. 15．从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．
北京市中考数学专题突破九：几何综合(含答案)
北京市中考数学专题突破九：几何综合(含答案)
专题突破(九)几何综合 在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算． 2011－2015年北京几何综合题考点对比
年份20112012201320142015 考点平行四 边形的 性质、 从特殊 到一 般、构 造图形 (全等 三角形 或等边 三角形 或特殊 平行四 边形) 旋转变 换、对 称变 换、构 造全等 三角形 全等三 角形的 判定与 性质、 等边三 角形的 性质， 等腰直 角三角 形旋转 的性质 以轴对 称和正 方形为 载体， 考查了 等腰三 角形、 全等三 角形、 勾股定 理、圆 及圆周 角定理 以正方 形为载 体，考 查了平 移作 图，利 用轴对 称图形 的性质 证明线 段相等 及写出 求线段 长的过 程
1．[2015·北京]在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH. (1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)． ①依题意补全图(a)； ②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明． (2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果 ．．．．．．．．．)
北京市中考数学知识点分布与试卷分析
北京市初中数学专题知识点 I、数与代数部分: 一、数与式： 1、实数：1）实数的有关概念；常考点：倒数、相反数、绝对值(选择第1题，必考题4分) 2）科学记数法表示一个数(选择题第二题，必考4分) 3）实数的运算法则：混合运算（解答题13题，必考4分） 4）实数非负性应用： 3、整式： 1）整式的概念和简单运算、化简求值（解答题5分） 2）利用提公因式法、公式法进行因式分解（选择填空必考题4分） 4、分式：化简求值、计算（解答题）、分式求取值范围（一般为填空题）（易错点：分母 不为0） 5、二次根式：求取值范围、化简运算（填空、解答题4分） 二、方程与不等式： 1、解分式方程（易错点：注意验根）、一元二次方程（常考解答题） 2、解不等式、解集的数轴表示、解不等式组解集（常考解答题） 3、解方程组、列方程（组）解应用题（若为分式方程仍勿忘检验）（必考解答题） 4、一元二次方程根的判别式 三、函数及其图像 1、平面直角坐标系与函数 1）函数自变量取值范围，并会求函数值； 2）坐标系内点的特征； 3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析 （选择8题） 2、一次函数（通常与反比例函数相结合，以解答题形式出现。） 3、反比例函数 4、二次函数（必考解答题，基本在24题出现，通常是求解析式以及与特殊几何图形综 合，动态探究等，有时也在选择题第八题中出现。）
II、空间与图形 一、图形的认识 1、立体图形、视图和展开图（不是常考题型，但是如果出现则以选择题形式出现） 2、线段、射线、直线（其中垂直平分线、线段中点性质及应用常在解答题中出现，两 点间线段最短常用于解决路径最短的问题） 3、角与角分线（解答题） 4、相交线与平行线 5、三角形（三角形的内角和、外角和、三边关系常以选择题形式出现，而三角形中位 线的性质应用又是解答题中常用的添加辅助线的方法，其中有关三角形全等的性质、判定是必考解答题，三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换）、拼接等又是探究问题中的重要考点之一） 6、等腰三角形与直角三角形（该考点常与四边形与圆相结合在解答题中出现，而与函 数综合形成代数几何综合题，也是必考的解答题） 7、多边形：内角和公式、外角和定理（选择题） 8、四边形（特殊的平行四边形：性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结 合应用以动点问题、面积问题及相关函数解析式问题出现，同时，梯形问题是中考中的必考解答题，而与四边形有关的图形探究题又是最后一道解答题25题的通常考察形式。） 9、圆（必考解答题，通常以2问的形式出现，第一问考察切线有关的证明，第二问是 与圆有关的计算题） 二、图形与变换 1、轴对称： 2、平移： 3、旋转： 4、相似：（在各个题型中均有结合此考点出现的可能） 三、统计与概率（解答题题，填空题均有涉及，每年考察约14分左右，难度不大）
初三数学-2018北京市中考试卷分析(数学) 最新
2018年北京市中考试卷分析（数学） 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个 ．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．6-的绝对值等于（） A．6B．1 6 C． 1 6 -D．6- 【解析】A 【点评】本题考核的是绝对值，难度较小，属送分题， 本题考点：绝对值. 难度系数为0.95. 2．截止到2018年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（） A．5 0.21610 ?B．3 21.610 ?C．3 2.1610 ?D．4 2.1610 ? 【解析】D 【点评】本题是以奥运会为背景的一道题，考核了科学记数法的同时让学生了解我国今年奥运会的进展及相关情况，此类与时事政治相关的考题是全国各地的总体命题趋势. 本题考点：科学记数法. 难度系数为：0.9 3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离 【解析】C 【点评】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，只要学生记得两圆半径和差与圆心距的大小关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案. 本题考点：两圆的位置关系的判定. 难度系数：0.9 4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）A．50，20 B．50，30 C．50，50 D．135，50 【解析】C 【点评】本题以给地震灾区捐款为背景，考核了统计概率的相关知识。本题在考核数学知识的基础上向学生渗透爱心教育，是一道很不错的题目. 本题考点：众数、中位数. 难度系数：0.85 5．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）
2019北京中考数学试卷评析
2019年北京市中考数学试卷评析 出品人：爱智康8人班初中数学团队2019年北京中考数学考试已经结束，很多关注中考的家长、学员们想要了解今年的试卷情况，下面由爱智康8人班初中数学团队给大家带来2019年北京中考数学的试卷解析。 （一）试卷整体结构、难度分析 2019年北京中考数学试卷延续了2018年的选择题（8道题）、填空题（8道题）、解答题（12道题）的出题形式，试题分值和题目数量和去年考查的一致。但今年很多中考数学题目特点都发生了新的变化，整体难度与2018年相比更加注重考查学生独立思考、运用所学知识分析问题和解决问题的能力，同时重视了学科素养和思维方法的培养。在试卷中体现出对中档题目的考查难度及灵活性明显增加，题型特点变化较大。 （二）重点知识点分析及分值占比
（三）重点题型解读 1、选择题第5题考查了尺规作图，不同于以往基础尺规作图，今年主要通过尺规作图总结出相应几何条件，转化成与圆有关的几何问题，对学生们的识图与阅读能力有较高的要求。 2、选择题第8题考查了中位数、平均数及可能性问题，考查了对统计图表的理解及分析数据的能力。特点是通过最不利原则总结出中位数可能在的范围，而不能直接计算出中位数的值。 3、第10题一改往年填空题考查范围题型，让学生们自己通过测量、计算得出三角形的面积，体现自主探究的学习理念。 4、第16题通过动手画图及平行四边形相关判定来解决问题，同时考查了对任意、存在、至少存在的理解。 47%44%8% 44%41%15%
5、第21题散点图与去年中考第16题考查知识点有相似之处。散点图是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点的分布形态反映变量统计关系。整道题考查学生理解数据、分析数据的能力。 6、第22题圆综合问题，2019年北京中考的圆综合与往年最大的不同就是第一问的圆需要我们自己做出，涉及三角形外接圆的尺规作图。第二问是一个比较常规的切线证明，梳理清楚条件，证明难度不大。但因为出题的角度较新，所以很多孩子会比较不适应，从而出现失误。 7、第23题不同于往年的统计题型，需要孩子们对于题目有一个准确的理解和把握，题目本身难度不大，但因为题目条件的表述有一定新意，在获取信息时会有一定难度，所以孩子们在题意理解方面可能会出现问题。 8、第24题是函数探究题，与往年不同的是，没有直接给出自变量与因变量是那条线段，需要我们自己判断谁是自变量，谁是因变量，很多同学容易在这个问题上就会不知道如何分析，导致后面的描绘函数图象错误，从而无法解决第3问。 9、第25题是小函数综合题的位置，今年重点考查的一次函数与整点问题，第1问很简单，第2问的第一小问难度也不是很大，只要能准确确定A、B、C 的位置，正确画出图形即可解决，但最后一问难度远高于往年，能达到代数综合最后一问的难度。 10、第26题是代数综合题，跟往年出题的特点变化不是很大，第1问和第2问考查二次函数的图象和性质，考查角度较常规，难度不是很大。最后一问是已知抛物线与交点个数，求参数取值范围问题，也属于比较常见的考查方式，但
2017年北京中考数学试卷及答案
2017年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1.如图所示，点P 到直线l 的距离是 A.线段P A 的长度 B. A 线段PB 的长度 C.线段PC 的长度 D.线段PD 的长度 2.若代数式 4 x x -有意义，则实数x 的取值范围是 A. x =0 B. x =4 C. 0x ≠ D. 4x ≠ 3.右图是某几何体的展开图，该几何体是 A.三棱柱 B.圆锥 C.四棱柱 D.圆柱 4. 实数a,b,c,d 在数轴上的点的位置如图所示，则正确的结论是 A.4a >- B. 0ab > C. a d > D. 0a c +> 5.下列图形中，是轴对称图形不是中心．． 对称图形的是 6.若正多边形的一个内角是150°，则该正方形的边数是 A.6 B. 12 C. 16 D.18
7.如果2 210a a +-=，那么代数式242a a a a ? ?-? ?-? ?的值是 A.-3 B. -1 C. 1 D.3 8.下面统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况. 根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．． 的是 A.与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长 B.2016—2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长 C. 2016—2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4 200亿美元 D.2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多 9.小苏和小林在右图的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中， 跑步者距起跑线的距离y (单位：m )与跑步时间t （单位：s ）的 对应关系如下图所示。下列叙述正确的是 A. 两个人起跑线同时出发，同时到达终点 B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C.小苏前15s 跑过的路程大于小林15s 跑过的路程 D.小林在跑最后100m 的过程中，与小苏相遇2次
北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题08 函数之填空题(25道题)(原卷版)
专题08 函数之填空题 一．填空题（共21小题） 1．（2019?北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y，则k1+k2的值为． 2．（2019?昌平区二模）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升． 3．（2019?通州区三模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象的对称轴在y轴的左侧，请写出满足条件的一组a，b的值，这组值可以是a＝，b＝． 4．（2019?朝阳区二模）世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉），两种计量之间有如下的对应表： 由上表可以推断出，华氏0度对应的摄氏温度是℃，若某一温度时华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等，则此温度为℃． 5．（2019?东城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P （1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集是． 6．（2019?门头沟区二模）如图是利用平面直角坐标系画出的老北京一些地点的分别示意图，这个坐标系分别以正东和正北方向为x轴和y轴的正方向，如果表示右安门的点的坐标为（﹣2，﹣3），表示朝阳门的
点的坐标为（3，2），那么表示西便门的点的坐标为． 7．（2019?怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3（x+1）2﹣2平移后得到抛物线y＝3x2+1．请你写出一种平移方法． 8．（2019?平谷区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+1交y轴于点A1，点A2，A3，…， A n在直线l上，点B1，B2，B3，…， B n在x轴的正半轴上，若△OA1B1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，△ A n B n﹣1B n依次均为等腰直角三角形，则点B1的坐标是；点B n的坐标是． 9．（2019?西城区二模）已知y是x的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足上述条件的函数表达式：． 10．（2019?平谷区二模）2019年4月29日中国北京世界园艺博览会在北京延庆开幕，大会以“绿色生活，美丽家园”为主题．如图，是北京世界园艺博览会部分导游图，若国际馆的坐标为（4，2），植物馆的坐标为（﹣4，﹣1），则中国馆的坐标为．
2018北京中考数学一模——7、24题数据分析、统计、概率专题
1 / 24 1.概率 【2018东城一模】 7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是 A ． 15 B ．25 C ．12 D ．35 【2018西城一模】 8．将 ，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下： 下面有三个推断： ① 投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767． ② 随着投篮次数的增加，A 运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计A 运动员投中的概率是0.750． ③ 投篮达到200次时，B 运动员投中次数一定为160次． 其中合理的是（ ）． A ．① B ．② C ．①③ D ．②③ 【2018海淀一模】 9． 从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全 相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是 ． 【2018朝阳一模】 15. 下列随机事件的概率： ①投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率； ②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率； ③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率； ④某作物的种子在一定条件下的发芽率. 既可以用列举法求得又可以用频率估计获得的是 （只填写序号）.
2017年北京中考数学一模26题 “探索型”专题
2017年北京中考数学一模26题“探索型”专题 西城26．阅读下列材料： 某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源以后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环. 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源后的时间. 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况 m的值为； （2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式； 当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式； ②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤
B A C A A 图1D C B A （3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源min. 东城26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质. 定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）. （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）； D
○ 1 ○ 2 ○ 3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）. 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形. 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整： （2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想 加以证明； （3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6，BC =DC =4，∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）. 朝阳26. 有这样一个问题：探究函数() 2 6 2y x = -的图象与性质． 小华根据学习函数的经验，对函数() 2 6 2y x = -的图象与性质进行了探究. 下面是小华的探究过程,请补充完整: (1)函数() 2 6 2y x = -的自变量x 的取值范围是 ； (2)下表是y 与x 的几组对应值.
2016年北京市中考数学试卷(解析版)
2016年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 学校： 姓名： 准考证号： 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回。 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．． 一个。 1．如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为（ ） A ．45° B ．55° C ．125° D ．135° 2．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（ ） A ． 2.8×103 B ．28×103 C ． 2.8×104 D ．0.28×105 3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A ．a ＞-2 B ．a ＜-3 C ．a ＞-b D ．a ＜-b 4．内角和为540°的多边形是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A ．圆锥 B ．三棱锥 C ．圆柱 D ．三棱柱 6．如果a+b=2，那么代数b -a a ?)a b -(a 2 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．2 1 D ．-2 1 7．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（ ） A ．3月份 B ．4月份 C ．5月份 D ．6月份