数学解题中的变换——反演方法
反演律 解析
反演律解析
摘要：
一、反演律的定义
二、反演律的性质
三、反演律的应用
四、反演律与其他数学概念的关系
正文：
反演律，作为数学领域中一种重要的性质，广泛应用于各种数学分支。
本文将对反演律进行解析，包括其定义、性质、应用以及与其他数学概念的关系。
首先，我们需要了解反演律的定义。
反演律是指，在一个双射函数（即一一映射）f 下，若A 是B 的子集，则f(A) 是f(B) 的子集。
用符号表示即为：若AB，则f(A)f(B)。
接着，我们来看反演律的性质。
反演律具有以下三个性质：
1.自反性：若AA，则f(A)f(A)。
2.对称性：若AB 且BA，则f(A)f(B) 且f(B)f(A)。
3.传递性：若AB 且BC，则f(A)f(C) 且f(B)f(C)。
了解了反演律的定义和性质后，我们来看一下反演律的应用。
反演律在数学领域中有广泛的应用，例如在拓扑学中，反演律可以用于判断连续映射的性质；在函数论中，反演律可以用于研究函数的性质等。
最后，我们来看一下反演律与其他数学概念的关系。
反演律与包含律、笛
卡尔积等概念密切相关。
例如，在集合论中，反演律可以看作是包含律在双射函数下的推广；在拓扑学中，反演律与笛卡尔积可以相互转化。
综上所述，反演律作为一种重要的数学性质，在数学领域中有广泛的应用。
反演律 解析
反演律解析
摘要：
1.反演律的定义和概念
2.反演律的应用领域
3.反演律的解析方法
4.反演律的实际应用案例
5.反演律的意义和价值
正文：
反演律是数学中的一个重要概念，主要用于研究函数的性质和规律。
它是一种将函数的输入和输出进行反转的运算，即如果函数的输出是y，输入是x，那么反演律就是将x 和y 进行交换，得到一个新的函数。
这个新的函数，我们称之为原函数的反函数。
反演律在数学的各个领域都有广泛的应用，包括微积分、概率论、线性代数等。
例如，在微积分中，反演律可以用来求解微分方程的解，或者用来研究函数的性质，如奇偶性、单调性等。
在概率论中，反演律则可以用来求解概率密度函数，或者用来计算事件的概率。
反演律的解析方法主要包括两种，一种是基于函数的解析式进行求解，另一种是基于图形进行求解。
基于函数的解析式进行求解，通常需要利用函数的性质，如奇偶性、周期性等，来推导出反函数的解析式。
而基于图形进行求解，则需要通过作图，观察函数的图像，来推断出反函数的图像，从而得到反函数的解析式。
反演律在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在物理学中，反演律可以用
来求解物体的运动轨迹，或者用来研究物体的力学性质。
在经济学中，反演律可以用来求解经济模型的解，或者用来研究经济现象的规律。
组合数学第四章反演公式
k
ak
证明 取φn(x)=xn，ψn(x)=(x-1)n, 则由二项式定理
n
xn (x 1 1)n Cnk (x 1)k
k 0
n
( x 1)n Cnk (1)nk xk
k 0
(4.1.8)
第四章 反演公式
若设an与bn的指数生成函数为A(x)及B(x)，则由乘法公式
( x n 1)[x]n1 (x 1)[x]n1
n[x]n1
第四章 反演公式
展开多项式φ(x)=［x+y］n，并注意到
k (0) n(n 1)(n k 1)[ y]nk
可得二项式公式：
n n
[ x
y ]n
k 0
k
[x]k [ y]nk
第四章 反演公式 1.
令y为一常数，考虑多项式φ(x)=(x+y)n，
Pn(x)=xn (P0(x)=1, Pn(0)=0, n≥1) 这时，伴随族Pn(x)的微分算子就是通常的微商：
D(x) d
dx
φ(0)=yn Dφ(0)=nyn-1 D2φ(0)=n·(n-1)yn-2 … Dkφ(0)=n(n-1) …(n-k+1)yn-k
定义2 若算子D把多项式φ(x)映成一个多项式Dφ(x)，且满足
条件：
(1)
DPn
(
x)
nPn1(
x),
0,
若n≠0 若n=0
(2) D(λφ(x)+λφ′(x))=λDφ(x)+λDφ′(x)，λ为常数。 则称D为伴随多项式族Pn(x)(n=0, 1, …)的微分算子。
第四章 反演公式
反演分析法
反演分析法反演分析法(reverse analysis)是基于牛顿万有引力定律的基础上，对某些特殊情况下得到的大量数据进行统计和数学分析后，求出这些特殊情况的几何图形或函数的近似解。
在当代物理学研究中，经常遇到复杂情况或参数的非线性、强耦合等现象。
这时要从随机信号观测到的数据中提取出所研究系统的某些信息就必须采用反演分析法来实现。
一般有以下几种情况：因此在讨论问题之前，首先要充分掌握各种影响因素对系统所造成的结构变化或状态变化，通过有效的方法来提取或加强这些影响因素。
其次要正确估计各种因素的作用程度，即对影响因素给予相应的权重。
最后要通过观察或估计被研究对象在不同状态下的输出数据来分析系统结构的变化。
例如，在讨论牛顿第二定律的验证问题时，如果只是直接从x、 y和z测试结果来看，那么只能看到牛顿第二定律在静止状态下的普遍性，却看不到在运动状态下的相对性，更不可能根据这个结果来说明谁是谁非了。
因此要通过模型和数据来说明，而数据则可以通过牛顿第二定律的某些特殊情况来表示。
由此可见，为了更好地认识系统的特点，在实际工作中应尽可能地掌握这些特殊情况，并根据这些特殊情况来分析和研究系统的结构变化及其内在联系。
我们知道，因为牛顿万有引力定律在初始条件为零时也成立，所以需要在一定假设的前提下建立各种经典理论，而我们最常用的假设是： 1、忽略惯性系统的能量，而假设为“完全牛顿”的； 2、引入质量并假设为“万有”； 3、忽略能量的变化，而假设为“理想”的。
因此，在实际的科学研究中，人们往往通过严格的数学分析，把这些假设中的每一项都推广为质量、能量都不随时间变化的理想或完全的能量的形式，然后再利用质量与能量守恒定律求解牛顿万有引力定律。
3、积极地应用数学反演方法，能大大减少我们求解的工作量，而且还可以使我们更好地研究对象的微分方程组和动力学过程。
今天，在许多领域内，已经广泛应用各种类型的数学反演方法，使科学家能更有效地求解他们所关心的问题。
反演律 解析
反演律解析
【原创版】
目录
1.反演律的概念
2.反演律的应用
3.反演律的解析
4.反演律的实际应用案例
5.反演律的意义和价值
正文
反演律是数学中的一个重要概念，它涉及到对一个数学式子或者方程进行反转或者倒转的操作，使得原本的输入和输出进行互换。
反演律在数学的各个领域中都有着广泛的应用，比如微积分、概率论、线性代数等等。
在微积分中，反演律常常被用来求解微分方程。
通过反演律，我们可以将求解微分方程的问题转化为求解一个积分方程，从而简化问题的求解过程。
在概率论中，反演律则被用来求解条件概率。
通过反演律，我们可以将求解条件概率的问题转化为求解联合概率的问题，从而简化问题的求解过程。
对反演律的解析，可以帮助我们更深入地理解反演律的本质和特性。
反演律的解析，通常需要通过对反演律进行数学推导和证明，来揭示反演律的数学结构和性质。
这对于我们理解和应用反演律，具有重要的意义。
反演律在实际应用中也有着广泛的应用。
比如在物理学中，反演律被用来描述物理系统的时间反演对称性。
这种对称性是物理系统运动的一个基本特性，对于我们理解物理现象的本质，具有重要的意义。
总的来说，反演律是数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域中都有着广泛的应用。
组合计数与反演 —— 反演
【概述】
对于两个数列、，他们之间满足，此时，若已知数组 a 和数列，则可以推出
那么反演过程就是找到一个数组 b，通过使用的值，来反推出，即：
如果只考虑上面两个公式，整个方程组实际上是一个下三角矩阵的形式，因此从本质上来说，反演是一个解线性方程组的过程。
引入克罗内克函数：
由可得
考虑反演的过程：，将代入，有：
对于最后一步，实质上是交换了求和顺序，将第二步按照矩阵形式写出，有：
可以看出，第二步是先对行进行，再将各行相加，那么第三步就是对列进行，然后再将各列相加，考虑每一个的系数，显然只有的系数为 1
那么反演式成立的充要条件是：
同理，将 f 代入 g 的求和式中，可以推出：
也就是说，如果某个数列满足上面两个条件，就可以直接建立起反演公式。
可以发现，快速傅里叶变换与逆变换、第一类斯特林数、第二类斯特林数、二项式定理等满足这个条件，可以视为是一个反演的过程。
反演律 解析
反演律解析
摘要：
1.反演律的定义和概念
2.反演律的应用和实例
3.反演律的重要性和影响
正文：
反演律是数学中的一个重要概念，它指的是将一个函数的自变量和因变量互换，从而得到一个新的函数。
这个新的函数被称为原函数的反函数。
反演律在数学中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以帮助我们在解决实际问题中找到新的思路和方法。
举个例子，假设我们有一个函数y = 2x + 1，我们可以通过反演律得到它的反函数x = (y - 1) / 2。
这个反函数告诉我们，如果已知函数的输出y，我们可以通过这个反函数计算出对应的输入x。
这在解决一些实际问题时非常有用，比如在物理学中，如果我们知道物体的位移，我们可以通过反函数计算出物体的速度。
反演律的重要性和影响也在于它揭示了函数的互逆关系。
也就是说，如果一个函数在某个域内有定义，那么它的反函数就在这个域内。
这个性质在数学的许多分支中都有重要的应用，比如在微积分中，反演律就被用来求解微分方程。
从圆的反演变换到椭圆的反演变换
从圆的反演变换到椭圆的反演变换华南师范大学附属中学(510631)罗碎海摘要平面几何中的反演变换是相当精彩的数学内容,它使得圆与直线互相转化,从而使得一些复杂问题变得简单.这种反演变换可以推广到椭圆中甚至双曲线中,从而发现圆锥曲线极点及极线与它的联系,进一步发现一次、二次、三次与四次曲线可以互相转化.关键词反演变换;椭圆;极点;极线平面几何中的反演变换是相当有趣的数学知识,它实现了圆与直线的转化.学习了椭圆后,自然想到,这种反演变换能否推广到椭圆中.1反演变换及其性质1.1反演变换定义及其几何作图定义1在平面π上,设O 是一个定点,P ,Q 是射线Ox 上的两点,且满足条件OP ·OQ =r 2,我们称P 与Q 互为反演点,这个变换称为平面π的一个反演变换,记做图1I (O,r 2).定点O 称为反演中心(反演极),r 叫做反演半径,以O 为圆心、r 为半径的圆叫反演基圆,r 2叫反演幂.其实,OP ·OQ =r 2⇔OP ·OQ =OR 2(如图1).给出基圆,可作出P 的反演点Q .(1)若P 在基圆⊙O 上,则Q 就是P .(2)若P 在基圆⊙O 外,自P 向反演基圆引切线P A 、P B (以OP 为直径的圆与基圆⊙O 交于A 、B 就是切点),连接切点A 、B 的直线与OP 的交点Q 为所求.(3)若P 在⊙O 内,则反(2)之道以求之.1.2反演点的坐标关系设P (x,y ),Q (x ′,y ′)分别是关于反演变换I (O,r 2)的一对反演点,P,Q 在过O 的同一射线上,所以设x ′=λx,y ′=λy (λ>0),因为|OP |=√x 2+y 2,|OQ |=√x ′2+y ′2=λ√x 2+y 2,利用|OP |·|OQ |=r 2,可得λ(x 2+y 2)=r 2,所以x ′=r 2x x 2+y 2,y ′=r 2y x 2+y 2,或者x =r 2x ′x ′2+y ′2,y =r 2y ′x ′2+y ′2(∗)这就是互为反演点P (x,y )与Q (x ′,y ′)的坐标之间的关系.如图1,我们知道[1]:若⊙O 的方程为x 2+y 2=r 2,点P 在圆外且坐标为(x 0,y 0),则切点连线AB 的方程为x 0x +y 0y =r 2.所以AB 是点P 关于圆O 的极线,Q 是OP 与极线AB 的交点.1.3反演变换的性质在反演变换I (O,r 2)下,如果平面π的图形F 变为图形F ′,则称图形F ′是图形F 关于反演变换I (O,r 2)的反形.反演变换的不动点称为自反点,而反演变换的不变图形则称为自反图形.对于特殊的直线与圆,可得到其反演性质:性质1.1反演中心不存在反演点.不共线的两对反演点共圆.证明如图2,设O 为反演中心,点A 反演点为C ,点B 的反演点为D .由反演定义得OA ·OC =OB ·OD =k ,故OA OB =ODOC.而∠AOB =∠DOC ,所以∆OAB ∆ODC .由此得∠OAB =∠ODC ,所以,点A 、C 、B 、D 共圆.证毕.图2图3说明证明过程中得到的∆OAB ∆ODC ,∠OBA =∠OCD 也是常用结论.性质1.2反演变换把通过反演中心O 的任一条直线变成自身.即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形.(直线→直线)这是显然的,点、其反演点、反演圆心三点共线.性质1.3反演变换把任一条不通过反演中心O 的直线变成一个通过反演中心O 的一个圆,而且这个圆在点O 的切线平行于该直线.(直线→圆)证明设⊙O 的方程为x 2r 2+y 2r 2=1,直线l 的方程为x m +yn=1.如图3,P (x,y )为l 上一点,连OP ,与圆交于点R ,设点P 关于⊙O 的反演点为Q (x ′,y ′).将反演坐标关系(∗)x =r 2x ′x ′2+y ′2,y =r 2y ′x ′2+y ′2代入xm +y n =1,得x ′2r 2+y ′2r 2=x ′m +y ′n.这个方程就是点Q 的轨迹方程,表示一个圆,该圆过坐标系原点O (0,0),在O 点的切线方程为0·x r 2+0·yr2=0+x 2m +0+y 2n ,即x m +yn=0.这条切线与直线l 平行.评述直线l :x m +y n =1关于⊙O :x 2r 2+y 2r 2=1的反演圆方程为x 2r 2+y 2r 2=x m +yn.相当于已知两方程中“1=1”代换.性质1.4反演变换把任一个通过反演中心O 的圆变成一个不通过反演中心O 的一条直线,而且这条直线平行于该圆的过点O 的切线.(圆→直线)性质1.4与1.3互为逆命题.通过反演坐标关系可证明,也可通过平面几何知识证明,证明略.性质1.5反演变换把任一个不通过反演中心O 的圆变成不能过反演中心O 的圆.(圆→圆)自然两圆的连心线过反演中心O.图4证明如图4,设K 为已给的不过反演中心O 点的圆,建立坐标系,使O 为原点,x 轴过圆心K (a,0),在圆K 上的点P (x,y )满足方程(x −a )2+y 2=b 2或x 2+y 2−2ax =b 2−a 2(b =a ).这里b 是圆K 的半径,设Q 是P 的反演点,(x ′,y ′)是点Q 的坐标,(x ′,y ′)和(x,y )在过O 的同一射线上.将反演坐标x =r 2x ′x ′2+y ′2,y =r 2y ′x ′2+y ′2代入圆K 方程,就得出Q (x ′,y ′)所满足的方程(b 2−a 2)(x ′2+y ′2)+2ar 2x ′=r 4.当b 2−a 2=0时,可变形为x ′2+y ′2+2ar2b 2−a2x ′=r 4b 2−a 2.它的轨迹确实是一个不过反演中心的圆.要将圆的反演变换推广到椭圆中,我们将椭圆看成圆经过伸缩变换而得到,先了解伸缩变换.2伸缩变化及其性质2.1伸缩变化高中《数学》选修4-4,1.2中有曲线的伸缩变换.定义2设点P (x,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: x ′=λx (λ>0)y ′=µy (µ>0)的作用下,点P (x,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.显然,椭圆x 2a 2+y 2b2=1在伸缩变换x ′=1a xy ′=1by 下,变成圆x ′2+y ′2=1.反之,圆可变成椭圆.2.2伸缩变换的性质对于伸缩变换很容易得到以下性质:同素性:在经过伸缩变换之后,点仍然是点,线仍然是线(直线变直线).结合性:在经过伸缩变换之后,在直线上的点仍然在直线上.具体还可得到以下不变关系:(1)直线与圆锥曲线的位置关系不变(相切变相切,相交变相交).(2)对应图形的面积比不变.(3)对应直线的斜率比不变.(4)两平行线段或共线线段的比不变(三点共线的比不变),具体如:线段的中点变换后是新线段的中点.证明较易,略.3椭圆的反演变换3.1椭圆中的反演变换图1经伸缩变换变为图5可得到椭圆中的反演变换.图1图5把椭圆理解为在伸缩变换下的圆,由伸缩变化的的位置关系、线段比例不变性可自然得到椭圆的反演变换.定义3在平面π上,椭圆中心为O ,线段OP (或延长线)与椭圆相交于点R ,在线段OP 上有一点Q 满足条件OP ·OQ =OR 2,我们称P 与Q 关于该椭圆互为反演点.图6(如图6)与圆的反演不同,在圆中OP ·OQ =OR 2,OR 2=r 2是常量.在椭圆中OP ·OQ =OR 2,OR 2是变量.由伸缩变换将图1变为图5,或由圆锥曲线的极点与极线知识可知[1],给定椭圆O 与不在椭圆上的一点P (如图6),过点P 作椭圆两条切线,连两切点A,B ,连OP ,OP 与AB 的交点是Q .进一步可得以下定理:定理对于椭圆O :x 2a 2+y 2b 2=1与椭圆外一点P (x 0,y 0),若直线OP 与椭圆交于S,R (R 在P,Q 之间),P A,P B是椭圆两切线.则(1)两切点连线AB方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)Q是线段AB中点.(3)1P A+1P B=2P Q.(4)P RRQ=−P SSQ或P RQR/P SQS=−1(调和比).(以上P A等都是有向线段数量表示)方程x0xa2+y0yb2=1是点P(x0,y0)关于椭圆x2a2+y2b2=1的极线,所以此定理对点P在椭圆内仍然成立.证明(3)如图6,1P R+1P S=2P Q,即P Q·(P R+P S)=2P R·P S,即(OP−OQ)·(OR−OP+OS−OP)= 2(OR−OP)·(OS−OP),即(OP−OQ)·(−2OP)= 2(OR−OP)·(−OR−OP),即−2(OP2−OQ·OP=−2(OR2−OP2),所以OP·OQ=OR2⇔|OP|·|OQ|= |OR|2.证明(4)1 P R +1P S=2P Q⇔2=P QP R+P QP S=P R+RQP R+P S+SQP S=2+RQP R+SQP S即P RRQ=−P SSQ或P RQR/P SQS=−1(调和比).3.2椭圆反演变换的性质设椭圆方程x2a2+y2b2=1,中心O为反演中心,射线OP与椭圆交于点R,设P关于椭圆的反演点为Q,且P,Q,R 的坐标分别为(x p,y p),(x,y),(x R,y R),设∠P OX=θ, |OQ|·|OP|=|OR|2,则x p=|OP|cosθ,y p=|OP|sinθ;x R=|OR|cosθ,y R=|OR|sinθ;x=|OQ|cosθ,y=|OQ|sinθ.于是x p=|OP||OQ|x,y p=|OP||OQ|y.x2R=|OP||OQ|x2,y2R=|OP||OQ|y2.代入椭圆方程得:(x2a2+y2b2)|OP||OQ|=1,从而x P=xx2a2+y2b2,y P=yx2a2+y2b2(∗∗)或x P=xF(x,y),y P=yF(x,y),(x2+y2=0),其中F(x,y)=x2a2+y2b2.这就是P关于F(x,y)=1的反演公式.这种反演变换有如下性质:性质3.1不过反演中心的直线,经反演后,其反形为过反演中心的椭圆(或圆).证明设直线方程为mx+ny=1(m2+n2=0),反演椭圆为F(x,y)=1,由反演变换公式得mxF(x,y)+ nyF(x,y)=1,变形为mx+ny=F(x,y),(x2+y2=0),即x2a2+y2b2−mx−ny=0.性质3.2过反演中心的直线,经反演后,其反形为仍为过反演中心的直线.证明设直线方程为mx+ny=1(m2+n2= 0),反演椭圆为F(x,y)=1,由反演变换公式(∗∗)得mxF(x,y)+nyF(x,y)=0,即mx+ny=0,(m2+n2=0).所以,结论成立.性质3.3过反演中心的二次曲线f(x,y)=0,经反演后,其反形为经过反演中心三次曲线.特别地,若f(x,y)的二次项可表示为kF(x,y),则其反形为一条直线.(F(x,y)=1为反演椭圆)证明设反演椭圆为F(x,y)=1,若二次曲线为f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=0,以反演变换公式(∗∗)代入得Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)F(x,y)=0.此为三次曲线.特别地,若Ax2+Bxy=kF(x,y),约去F(x,y),得Dx+Ey+k=0.这是不过反演中心的一条直线.性质3.4不过反演中心的二次曲线f(x,y)=0,经反演后,其反形为四次曲线.特别地,如f(x,y)=0的二次项可表示为kF(x,y),则其象为二次曲线.(F(x,y)=1为反演椭圆)证明设反演椭圆为F(x,y)=1,若二次曲线为f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+G=0,以反演变换公式(∗∗)代入得Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+ Ey)F(x,y)+G·F2(x,y)=0.一般的,此为四次曲线.特别地,若Ax2+Bxy+Cy2=kF(x,y),约去F(x,y),上式可化为二次曲线.可得一般结论:结论一般地,若点P的轨迹方程为f(x,y)=0,则反演之后的方程为fxx2a2+y2b2,yx2a2+y2b2=0,其中x2+y2=0.反演变换也可以推广到双曲线中,即可推广到有心二次曲线中.4反演变换的应用例1∆ABC的内切圆与边BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,设L,M,N分别是EF,F D,DE的中点.求证:∆ABC的外心、内心与∆LMN的外心三点共线.利用轨迹思想解三角形广东省佛山市罗定邦中学(528300)龙宇广东省佛山市顺德区教师发展中心(528300)王常斌在高中阶段解三角形问题,主要利用正弦定理与余弦定理.其数学思想是将几何问题代数化,通过两个定理将几何关系转化为一系列的方程,通过求解方程的解,再对所获得的解进行几何解释,这与解析几何的思路是一致的.虽然利用正、余弦定理求解思维量较小,但运算量较大,且放弃了三角形的几何性质.本文利用轨迹的思想,从“形”的角度来求解三角形问题.一、构造圆(一)构造外接圆在初中阶段,我们便熟悉定理:在圆中,直径所对的圆周角为直角.逆向运用该定理,可发现在直角三角形中,当斜边长固定时,斜边所对的顶点的轨迹为一个圆(去掉两个点).命题在∆ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若边a及角A为定值,则点A的轨迹为一段圆弧,特别地,当A=90◦时,对应的轨迹为圆(去掉两个点).证明如图1,设A为钝角,以BC的中点O为原点,以BC为x轴,过点O作BC的垂线为y轴建立直角坐标系.利用正弦定理:asin A=2R,即可知∆ABC的外接圆的半径R为定值,根据三角形外接圆的性质,三角形的外接圆的圆心为三角形各边的中垂线的焦点.由此可设∆ABC的外接图1圆的圆心为P(0,y).考虑∆P BO,利用勾股定理可得:y=−√R2−a24,即可得∆ABC的外接圆的圆心顶点,半径为定值,即∆ABC 的外接圆为一个定圆,故可得点A的轨迹为劣弧BC.当A为锐角时,则对应的轨迹为优弧BC,特别地,当A=90◦时,对应的轨迹为圆(去掉两个点).证毕在高考中,也常常以该定理为背景进行命题.证明如图7,设∆ABC的内心为I,内切圆半径为r.以内心I为反演中心,内切圆为反演圆作反演变换I(I,r2),则A,B,C的反演点分别为L,M,N,因而∆ABC的外接圆反形是∆LMN的外接圆,这两圆的圆心互为一对反演点,连线必过反演中心I.故∆ABC的外心、内心和∆LMN的外心三点共线.图7图8例2已知椭圆x224+y216=1,直线l:x12+y8=1,P是l上的点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上,且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上运动时,求点Q的轨迹.分析看到|OQ|·|OP|=|OR|2,由性质3.1可知,点Q的轨迹为x224+y216=x12+y8.[2]任何问题,只要向前走一步,回头就看得更清楚,所谓“不识庐山真面目,只缘身在此山中.”由圆的反演变换走向椭圆的反演变换,才能对这个知识体系有深刻的认识.参考文献[1]罗碎海.圆锥曲线的极点与极线的重要结论[J].中学数学研究.2014.10[2]罗碎海.95年高考理科第26题的两种简捷解法及规律[J].江苏《中学数学》.1995.9。
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不 等 式 二 ≥
、
要广 泛得 多 ， 能 是算 子 ， 可 能 是 各 种替 换 等 ． 可 也 下 面我 们 通 过 例 子 来 更 好 地 理 解 这 一 方法 ．
例 １ 求 定 椭 圆 内接 三 角 形 的 最 大 面积 ． 解 设 椭 圆 长 轴 为 ２ ， 轴 为 ２ ． 长 轴 方 向 进 行 长 ｏ短 ６对
Ｉ ∑ ｃ ≥∑ （ｌｉ ｎ （ ） ｃｎ ） ｘ ．
其 中 ， 表 示 原 问 题 关 系 结 构 或 原 像 关 系结 构 ， 表 示 Ｍ Ⅳ
其中， 与 ｃ 都大于 且 ∑ Ｃ １ 。 零， ｉ． ＝
映像 关 系结 构 ， 表 示 到 Ⅳ 的变 换 或 映 射 ，
表示 的 映 像 ， 即
０
■＿ ＿ （。 都大于零） ．
本例 所确 定 的 未知 目标 是 大 小 关 系 ， 序 ． 现 了 未 知 即 体 目标 的 抽 象性 ， 不 限 于 我 们 通 常 了 解 的 数量 ． 并 例 ３ 已知 ａ ＋ ａ ａ ｌ 其 中 ａ ＝ａ ：１ 求 数 列 的 ＝ ＋ ， ｏ ．
表 示 的
逆变 换 或 的反 演 ， 表示 原像 关 系 结 构 中 的 未 知 目标 ， ＝ （ ． 比上 述 变 换 必 须 有 所 要 ） 对
而 ∑ （ｌ ） ｃ ＝∑ （ ） ｌ ｎ ‘ ｎ Ｉ； ＝ （ ：， ｎ‘ ｎ ）
所以 ∑ Ｃｉ ｉ≥Ⅱ ； ． Ｘ ‘ 得证
Ｉ ｌ ｌ ｌ ：
求， 即 在 ｐ下 的 映像 Ⅳ能 通 过 较 简 便 的 数 学 手 段 确 定 出 映像 目标 ， 且 的反 演 切 实 可 行 ， ＝妒 （ ） 易 求 即 容
解． 里 要 强 调 的是 ： 换 有 别 于 通 常 的 函数 ， 的 意 义 这 变 它
例２ 证明 等 ∑ ｃ。 不 式 ≥Ｈ ‘ ； ， ｉ 都大 其中Ｃ 与
于 且 ∑ Ｃ＝． 零， ｉ１
便 易求 ， 将 变 换 后 问 题 的解 通 过 逻 辑 反 演 （ 逆 变 换 ） 再 或 以
求 出原 问题 的解 ． 就是 数 学 中 的 变 换 反 演 方 法 ， 的 结 构 这 它 模 式 如 下 图所 示 ：
通 项 ａ．
∞
．
度压 缩变 换 ： 缩 系数 ｋ＝ ， 此 变 换 下 ， 圆 变 成 半 径 压 在 椭 为 ｂ的圆 ， 圆 内接 三 角 形 对 应 地 变 成 圆 内接 三 角 形 ； 于 椭 由
解 这里引 级数变换 ｛ ｝１ ∑ ａ ‘ 入幂 ，。 ＿ ＿ ｉ． 显然呆知目 标为｛ ｝在变 下，（） ｎ， 换 Ｆ ＝∑ ａ‘ ｉ为
而Ｆ ） （ ＝∑ ｔｔ １ ￣ ＝ ＋ ＋∑ ａ ｉ Ｘ 。
ｉ＝ ｏ ｉ＝ ２
＝＋ １ ＋∑ （。 一 、一 … 口 ‘ 。 ）
ｉ ２ ＝
６ ｓ ‘ ＝ ２ …： ÷ 扣 ，内接三角形
Ｆ（ ）＝＿ —
”
＝
一
伸 缩 变换 是仿 射 变 换 的 特 例 ， 用 仿 射 变 换 下 的 最 简 利
图 形 的性 质 ， 获 得 与 之 仿 射 等 价 的 图形 结 论 ， 是 变 换 反 去 正 演 方 法 的 具 体 应用 ． 似 地 ， 求 得 椭 球 面 内接 长 方 体 的最 类 可
证 现 要 的 ∑ ｃ ｎ ‘ 的 小 明 在 导出 是 与 之间 大
关 系 ， 关 系 就 是 我 们 的 未 知 目标 ， 这 里 我 们 引 入 对 数 变 此 在
换 ｌ， ｎ 因为 它 是 增 函 数 ， 会 改 变 原 有 问 题 的 大 小 关 系 ； 不 同 时 自然对 数 又 是 凸 函数 ， 有 不 等式 故
ｉ＝ ０
比较 系 数 ， ａ 得
／ ｚ＝０， ２， １，
＝
（ ” （
”
一
。 】 ，
２１ ．９ ００ １
大 积 ： ６． 体 ｆ 学。１ Ｖ …
数 学 学 习与 研 究
解 题 技 巧 与方 法
麝 ●
．
●
．
．．Ｉ ． ＿． ， ．
用‘ ‘ 类似＂ 巧解推理题
＝ ＋ ∑ 。 １ ＋
１
＋ ∑ｎ
＝１＋ｘ ）＋ Ｆ（ ， Ｆ（ ）
所以Ｆ ＝ ＿ ． （ ） ＿—ｌ
利 用 分 项 分 式 法 ， 易 求 得 ， ）＝－—ｌ 的 幂 级 数 容 （ 一
展 开 式 为
本 例 虽然 可 以用 《 等数 学》 拉 格 朗 日乘 数 法 进 行 最 高 中 值的求解 ， 不如变换反演方法来得简明 、 观． 但 直
●
解 题 技 巧 与 方 法
． 。
● 尊
．Ｉ ． －， ．
●
数学解题中的变换
◎ 沈 荣 泸 （ 州 职 业技 术 学 院 泸
反演方法
６６ ０ ４ ０ ５）
为 了确 定 某 些 关 系 结 构 比 较 复 杂 的 数 学 问 题 ， 以 通 可 过数 学 对 象 之 间 的 对 应 来 引 入 变 换 ， 得 变 换 后 的 问 题 简 使
其 映 像．
经过 长度 压 缩 变 换 后 ， 图形 与 变 换 后 图形 的 面 积 比不 变 ， 原
，
所以有÷ ＝， ｂ ． 仃ａｏ ｌ ｒ
其中 ， ｓ为椭 圆 内 接 三 角 形 面 积 （ 知 目标 ） ａ ｂ为 椭 未 ，ａ ｘ
圆 面 积 ； 变换 后 对 应 圆 内接 三 角 形 面 积 ，ｒ Ｓ为 ， 为 对 应 圆 ｒ ｂ 面 积． 证 ： 圆 内 接 三 角 形 中 以 内 接 正 三 角 形 面 积 最 大 ， 易 在