七年级数学下册 9.1分式及其基本性质教案 沪科版

9.1分式及其基本性质
一、教学目的
1．使学生理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。

2．使学生掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。

二、教学重点、难点
重点：分式的意义及其基本性质。

难点：分式的变号法则。

三、教学过程
引言：我们已经学过了整式，知道可用整式表示某些数量关系；学习了整式四则运算，在此基础上学习了一元一次方程的解法和列方程解应用题，但是有些数量关系，只用整式表示是不够的。

例题：甲、乙两人做某种机器零件。

已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。

求甲、乙每小时各做多少个？
分析：设甲每小时做x 个零件，那么乙每小时做（x-6）个。

甲做90个所用的时间是90÷x （或
x
90）小时，乙做60个的用的时间是［60÷（x-6）］（或660-x ）小时，根据题意列方程
x 90=6
60-x 可以看出x 90、660-x 都不是整式。

列出的方程也不是已学过的方程。

学习本章内容就可以正确认识这样的式子及方程，从而解决问题。

1．分式
在算术里，两个数相除可以表示在分数的形式。

分数中的分子相当于被除数，分数中的分母相当于除数。

因为零不能做除数，所以分数中的分母不能是零。

在代数里，整式的除法也有类似的表示。

如前面的例题中，（90÷x ）小时可表示成x 90小时，［60÷（x-6）］小时可表示成6
60-x 小时。

又如n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷产量（m ÷n ）吨，可用式子
n m 吨表示。

再如轮船的静水速度为a 千米/小时。

水流速度为b 千米/小时，轮船在逆流中航行s 千米所需时间［s ÷（a-b ）］小时，可用式子b
a s -小时表示。

x
90、660-x 、n m 、b a s -的分母中都含有字母。

一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成
B A 的形式。

如果B 中含有字母，式子B
A 叫做分式。

基中A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母。

可见，上列各工都是分式。

由分子的意义可以知道：
（1）分式是两个整式的商。

其中分子是被除式，分母是除式。

在这里分数线可理解为除号，还含有括号的作用。

（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含字母。

式子90
x 、606-x 、4
y x -都不是分式，因为它们的分母都没有字母。

（3）在分式里，分母代数式的值随式中字字母取值的不同而变化。

字母所取的值有可能使分母为零。

因为分式的分母相当于整式除法的除式，所以分母如果是零，则分式没有意义。

因此在分式中，分母的值不能是零，例如在x
90里，x ≠0；在b a s -里，a ≠b 。

例1 当x 取什么值时，下列分式有意义？
（1）2-x x ； （2）1
41+-x x 。

解：（1）由x-2≠0得x ≠2，即当x ≠2时，分式
2-x x 有意义。

（2）由4x+1≠0得x ≠4
1-时，分式141+-x x 有意义。

例2 当x 是什么数时，分式5
22-+x x 的值是零？ 解：由分子x+2=0，得x=-2。

而当x=-2时，分母2x-5=-4-5≠0，所以当x=-2时，分式5
22-+x x 的值是零。

问题：
（1）分式的值为零就是分式没有意义吗？
（2）只要分子的值是零，分式的值就是零吗？以
5102--x x 为例回答此题。

2．分式的基本性质
我们知道，分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。

分数的基本性质是约分、通分和化简繁分数的理论根据。

分式也有类似的性质，就是
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：
分式的基本性质是分式变号法则。

通分，约分及化简繁分式的理论依据。

就是说，分式的基本性质是分式恒等变形的理论依据。

例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）)0(22≠=c bc
ac b a ； （2）y x xy x 23=. 解：（1）∵c ≠0， ∵x ≠0， ∴bc
ac c b c a b a 222=⨯⨯=， ∴y x x xy x x xy x 233=÷÷=. 例2 填空：
（1）()b a ab b a 2=+； （2）()y x x
xy x +=+22. 解：（1）∵a ≠0， ∴()b
a a
b a a ab a b a ab b a 22+=⨯⨯+=+，即填a 2+ab 。

（2）∵x ≠0， ∴()
x y x x
x x xy x x xy x +=÷÷+=+2222，即填x 。

例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

（1）y x y x 3
221322
1-+； （2）b a b a -+2.05.03.0.
解：（1）y x y x y x y x y x y x 43436322
16322132213221-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+. （2）()()b a b a b a b a b
a b a 10253102.0105.03.02.05.03.0-+=⨯-⨯+=-+. 例4 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：
（1）a b 65--； （2）y x 3-； （3）n
m -2. 解：（1）
a b a b a b 65)1(6)1(565=-⨯--⨯-=--. （2）y
x y x y x 33)(3-=÷-=-. （3）n
m n m n m 2)(22-=-÷=-. 注意：根据分式的意义和基本性质可以归纳得：分子的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式值不变。

例5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
（1）21x x -； （2）212---a a ； （3）3
22+--x x . 解：（1）
1)1(1222--=--=-x x x x x x . （2）1
-1-2-)1(-2-1--222a a a a a a +=+=. （3）
32)3()2(32222--=----=+--x x x x x x . 注意：
（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。

（2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。

四、需要注意的几个问题
1．要特别注意分式中作为分母的代数式的值不得为零的教学。

在分数里，分数的分母
是一个具体的数，是否为零一目了然；而在分式里，要明确其是否有意义，就必须分析，讨论分母中所含字弱不能取哪些值，以避免分母的代数式的值为零。

2．从回忆算术里分数的基本性质再用类比的方法得出分式的基本性质：
)0(,≠÷÷=⨯⨯=M M
B M A B A M B M A B A . 从形式上看，分数的基本性质和分式的基本性质同乎是一样的，学生接受起来不会有什么困难，但是要学生真正理解和掌握，还需要进行更深入的分析和各种基本的训练。

首先应引导学生认识到分式的基本性质中的A 、B 、M 表示整式。

随着知识的扩充，A 、
B 、M 还可代表任何代数式。

其次要强调M ≠0。

在算术中讲到分数基本性质时，虽然也强调M ≠0，但实际上不可能用零去乘（或除）分数的分子与分母，所以这个条件常常被子忽略了，而在代数中，M 是一个含字母的代数式。

由于字母的取值可以是任意的，所以就有M=0的可能性。

因此，当我们应用这个性质时，都应考查M 这个代数式的值是否为零，养成随时注意是在怎样的条件下应用这个性质的习惯。

3．分式的变号规律是由两条法则概括而成的。

第一条：分子和分母同时改变符号，分式的值不变。

这一条是根据分式的基本性质推导出来的。

第二条：只改变分子（分母）的符号，分式本身的符号也要改变，分式的值才不变。

这一条用分式的基本性质是推导不出来的。

根据分式的意义，分式表示两个整式相除，所以教科书写道：有理数除法的符号法则“同号得正，异号得负”，在分式（两式相除）中同样适用。

分式的变号规律在分式变形中经常用到，学生对此又极容易出现错误，所以要给予足够的重视。