六年级奥数图形变换讲座

六年级奥数图形变换讲座
图形变换
内容概述
本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换,下面
我们就汶些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．
1三角形AB与 ,如果它们的对应边成比例,即 ,我们就称它们相似，
记作△AB～△
这个比值叫做两个三角形的相似系数(注意三角形的先后顺序),如果
相似系数为1，就称这两个三角形全等,记作△AB≌△
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这
两个三角形相似；
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并
且夹角相等,那么这两个三角形相似；
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么
这两个三角形相似．
(以上3条判定定理中,如果含有边的比例的关系,而其中的比例系数为
l,则这两个三角形全等．)
2两条直线平行,则：
反之,如果知道上面某种情况的成立,则那两条直线平行．
3两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．

典型问题
2四边形ABD中,AB=30,AD=48,B=14,D=40又已知∠ABD+∠
BD=900,求四边形ABD的面积．

【分析与解】 如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于
L的对称图形△ BD连接 ．

因为∠ABD+∠BD=9000而∠ABD=∠ DB=900,所以有∠ DB+∠
BD=900．
那么 D为直角三角形,由勾股定理知 =200,所以
而在△ B中,有 B=AD=48,有482+142=200,即 B2+B2= 2,即△ B为直
角三角形．
有
而|
评注:Ⅰ本题以∠AB+∠BD=900突破口,通过对称变换构造出与原图
形相关的角三角形这样面积就很好解决了．
Ⅱ对于这道题我们还可以将△BD作L的对称图形如下：
4如图,在三角形ABD中,当AB和D的长度相等时,请求出“?”所示的
角是多少度,给出过程．

【分析与解】 因为AB=D,于是可以将三角形AB的边BA边与D对
齐,如下图． 在下图中有∠BA=1100,所以∠AD=700

于是∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =700+400=1100；
即∠ =1100=∠ ；又因为 只是 移动的变化,所以 = ；则 是一等腰
梯形．
于是,∠ =1800-1100=700；
又∠ =300,所以∠ =700-300=400

6如下图,△AB是边长为1的等边三角形,△BD是等腰三角形BD=D，
顶角∠BD=1200,∠DN=600,求△AN的周长．

【分析与解】 如下图,延长A至P,使P=B,连接DP

则有∠BD=600+ ∠PD；P=B；BD=D,所以有△BD≌△PD
于是∠D=∠PD；又因为∠DB+∠ND=600,所以∠PD+∠ND=∠
NDP=600；D=PD
在△DN、△PND中,∠ND=∠NDP,ND=ND,D=PD,于是△ND≌△PND
有N=PN．
因为NP=NP=N+P,而A=AB-B=AB-P,所以
A+AN+N=(AB-P)+AN+(N+P)=AB+AN+N=2
即△AN的周长为2

8下图为半径20厘米、圆心角为1440的扇形图点、D、E、F、G、H、
是将扇形的B、弧线分为8等份的点求阴影部分面积之和．

【分析与解】 如下图,做出辅助线
△A与△ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△A≌
△ANG, ,而△LA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面
积相等．

所以,GN与扇形GA的面积相等,那么GEB的面积为2倍扇形GA的
面积．
扇形GA的圆心角为 ×3=40,所以扇形面积为 平方厘米．
那么GEB的面积为60 =120 平方厘米．
如下图,做出另一组辅助线． △QA与△ARH形状相同(对应角相等),
大小相等(对应边相等),有△QA≌△ARH, =△A,而△PQA是两个三角
形的公共部分,所以右图中的阴影部分面积相等．
所以,HRQ与扇形HA的面积相等,那么HD的面积为2倍扇形HA的
面积．
扇形HA的圆心角为 ,所以扇形面积为 平方厘米．
那么HD的面积为 平方厘米．
所以,原题图中阴影部分面积为
≈80×314=212平方厘米．