山东省济南市2017届高三二模考试(针对性训练)数学试题(文)含答案

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山东省部分名校2023-2024学年高三下学期2月大联考试题数学含答案

2024届高三年级2月份大联考数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21,0,1,e ,{ln 2}A B x x =-=<∣，则()R A B ⋂=ð（）A .{1,0,1}- B.{}20,1,e C.{1}D.{}21,0,e -2.已知2ii 2iz +=+-，则z 的虚部为（）A.95-B.9i5- C.95D.9i 53.若6a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数是15，则=a （）A.2B.1C.1± D.2±4.已知在ABC 中，52,1,cos 6AB AC A ===，则BC =（）A.1B.2C.3 D.35.椭圆22113y C x :+=与双曲线2222:1(0)y C x a a -=>的离心率分别为12,e e ，若121e e =，则双曲线2C 的渐近线方程为（）A.22y x =±B.33y x =±C.y =D.y =6.数列{}n a 的前n 项和n S 满足2nn S a b =+，设甲：数列{}n a 为等比数列；乙：0a b +=，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.圆221:8290C x y x y ++-+=和圆222:64110C x y x y ++-+=的公切线方程是（）A.1y x =-+B.1y x =-+或5y x =+C.5y x =-+ D.1y x =+或25y x =+8.若2tan 3tan ,sin()3θαθα=+=，则cos 2()θα-=（）A.29B.19-C.79D.19二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组样本数据(1,2,3,,30)i x i = 满足123300x x x x <≤≤≤≤ ，下列说法正确的是（）A.样本数据的第80百分位数为24x B.样本数据的方差3022111630i i s x ==-∑，则这组样本数据的总和等于120C.若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变D.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数10.函数()f x 满足：对任意实数x,y 都有()()()2+=+-f x y f x f y ，且当0x >时，()2f x >，则（）A.()02f = B.()f x 关于()0,2对称C.()()202420244f f -+= D.()f x 为减函数11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为平面ABCD 所在平面内一动点，则（）A.若M 在线段AB 上，则1D M MC +的最小值为B.过M 点在平面ABCD 内一定可以作无数条直线与1D M 垂直C.若平面1D M α⊥，则平面α截正方体的截面的形状可能是正六边形D.若1C M 与AB 所成的角为π4，则点M 的轨迹为双曲线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()sin 4cos 4f x x a x =+的图象关于直线π16x =对称，则实数=a ____________．13.已知函数2()12ln 2x f x x x =--与3()y x a a =+∈R 相切，则=a ____________．14.抛物线22(0)x py p =>与椭圆221(0)4x y m m +=>有相同的焦点，12,F F 分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I 是12PF F △的内心，PI 交y 轴于M ，且2PI IM =，点()()*,n n x y n ∈N是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，若28x =，则2024x =____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X 表示，且()~45,225X N ．（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有()020n n ≤≤个人摸到一等奖的概率为()P n ，求当()P n 取得最大值时n 的值．附：若()2~,X N μσ，则{||}0.6827,{||2}0.9545P X P X μσμσ-<=-<=．16.如图，在圆锥SO 中，若轴截面SAB 是正三角形，C 为底面圆周上一点，F 为线段OA 上一点，D （不与S 重合）为母线上一点，过D 作DE 垂直底面于E ，连接,,,,OE EF DF CF CD ，且COF EFO ∠=∠．（1）求证：平面//SCO 平面DEF ；（2）若EFO △为正三角形，且F 为AO 的中点，求平面CDF 与平面DEF 夹角的余弦值．17.已知21()ln (R)2f x x x ax a =+-∈．（1）若211()22f x x x≤-在[1,)+∞恒成立，求a 的范围；（2）若()f x 有两个极值点s ，t ，求()()f t f s +的取值范围．18.已知圆221:140C x y ++-=，与x 轴不重合的直线l 过点2C ，且与圆1C 交于C 、D 两点，过点2C 作1CC 的平行线交线段1C D 于点M ．（1）判断12MC MC +与圆1C 的半径的大小关系，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知点1)P Q -，直线m 过点(0,1)F -，与曲线E 交于两点N 、R （点N 、R 位于直线PQ 异侧），求四边形PRQN 的面积的取值范围．19.在无穷数列{}n a 中，令12n n T a a a =L ，若n *∀∈N ，{}n n T a ∈，则称{}n a 对前n 项之积是封闭的．（1）试判断：任意一个无穷等差数列{}n a 对前n 项之积是否是封闭的？（2）设{}n a 是无穷等比数列，其首项12a =，公比为q ．若{}n a 对前n 项之积是封闭的，求出q 的两个值；（3）证明：对任意的无穷等比数列{}n a ，总存在两个无穷数列{}n b 和{}n c ，使得()*n n n a b c n =⋅∈N ，其中{}n b 和{}n c 对前n 项之积都是封闭的．2024届高三年级2月份大联考数学试题本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21,0,1,e ,{ln 2}A B x x =-=<∣，则()R A B ⋂=ð（）A.{1,0,1}-B.{}20,1,e C.{1}D.{}21,0,e -【答案】D 【解析】【分析】根据对数的单调性化简集合，即可由集合的交并补运算求解.【详解】由题可得{}{2R0e ,0B xx B xx =<<=≤∣∣ð或}2e x ≥因此(){}2R 1,0,e A B ⋂=-ð．故选：D ．2.已知2ii 2iz +=+-，则z 的虚部为（）A.95-B.9i5- C.95D.9i 5【答案】A 【解析】【分析】先化简复数，再求出共轭复数，最后求出虚部.【详解】由2(2i)(2i)39i i i 2(2i)(2i)55i z i +++=+=+=+--+，所以39i 55z =-，即虚部为95-．故选：A ．3.若6a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数是15，则=a （）A.2B.1C.1± D.2±【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项化简整理再赋值即可得到关于a 的方程，解出即可.【详解】二项展开式通项为3632166CC ()kkk kk kk a T a x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭则2k =时常数项为226C ()15,1a a -=∴=±．故选：C ．4.已知在ABC 中，52,1,cos 6AB AC A ===，则BC =（）A.1B.2C.53 D.3【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理运算求解.【详解】由余弦定理得222552122163BC =+-⨯⨯⨯=，所以3BC =．故选：D ．5.椭圆22113y C x :+=与双曲线2222:1(0)y C x a a -=>的离心率分别为12,e e ，若121e e =，则双曲线2C 的渐近线方程为（）A.22y x =± B.33y x =±C.y =D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，借助离心率的求法求出a ，再求出渐近线方程即得.【详解】依题意，222221212221,,13a e e e e a+===，解得a =所以双曲线2C的渐近线方程为y =．故选：C6.数列{}n a 的前n 项和n S 满足2nn S a b =+，设甲：数列{}n a 为等比数列；乙：0a b +=，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到2n ≥时，12n n a b -=，12a a b =+，可以推出充分性成立，再举例得到必要性不成立.【详解】当2n ≥时，()111222nn n n n n a S S a b a b b ---=-=+-+=，当1n =时，112a S a b ==+，因为数列{}n a 为等比数列，所以3221a a a a =，即4222b b b a b=+，解得2b a b =+且0b ≠，即0a b +=且0b ≠．因此充分性成立；若0a b +=，当0a =且0b =时，10a =，甲不成立，故必要性不成立．故选：A ．7.圆221:8290C x y x y ++-+=和圆222:64110C x y x y ++-+=的公切线方程是（）A.1y x =-+B.1y x =-+或5y x =+C.5y x =-+D.1y x =+或25y x =+【答案】A 【解析】【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.【详解】解：221:(4)(1)8C x y ++-=，圆心1(4,1)C -，半径1r =222:(3)(2)2C x y ++-=，圆心2(3,2)C -，半径2r =因为1212C C r r ==-，所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，121C C k =，所以切线斜率为1-，由方程组2222829064110x y x y x y x y ⎧++-+=⎨++-+=⎩解得23x y =-⎧⎨=⎩，故圆1C 与圆2C 的切点坐标为(2,3)-，故公切线方程为3(2)y x -=-+，即1y x =-+．故选：A.8.若2tan 3tan ,sin()3θαθα=+=，则cos 2()θα-=（）A.29B.19-C.79D.19【答案】C 【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】由sin 3sin tan 3tan sin cos 3sin cos cos cos θαθαθααθθα=⇒=⇒=，由2sin()3θα+=211sin cos sin cos sin cos ,sin cos 362θααθαθθα⇒+=⇒==，217sin()sin cos sin cos ,cos 2()12sin ()39θαθααθθαθα∴-=-=∴-=--=．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组样本数据(1,2,3,,30)i x i = 满足123300x x x x <≤≤≤≤ ，下列说法正确的是（）A.样本数据的第80百分位数为24x B.样本数据的方差3022111630i i s x ==-∑，则这组样本数据的总和等于120C.若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变D.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合百分位数、数据方差，以及平均数与方差的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由3080%24⨯=，可得第80百分位数为24252x x +，所以A 错误；对于B 中，由()30302221111163030i i i i s x x x ===-=-∑∑，则30302221148030i i i i x x x ==-=-∑∑，所以4x =,故这组样本数据的总和等于30120x =，所以B 正确；对于C 中，去掉等平均数的数据，n 变为1n -，平方和不变，分母变小，所以方差变大，所以C 错误；对于D 中，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，所以D 正确．故选：BD．10.函数()f x 满足：对任意实数x,y 都有()()()2+=+-f x y f x f y ，且当0x >时，()2f x >，则（）A.()02f =B.()f x 关于()0,2对称C.()()202420244f f -+= D.()f x 为减函数【答案】ABC 【解析】【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.【详解】由对于任意实数,,()()()2x y f x y f x f y +=+-，令0x y ==，则(0)(0)(0)2f f f =+-，即(0)2f =,故A 正确；令y x =-，则(0)()()2f f x f x =+--，即()()4f x f x +-=，故B 正确；令2024x =，2024y =-，则(0)(2024)(2024)2f f f =+--，即(2024)(2024)4f f +-=，故C 正确；对于任意,0y x ∈>R ，则设z x y y =+>，当0x >时，()2f x >，则()()()20f z f y f x -=->，即()()f z f y >，所以()f x 单调递增，故D 错误．故选：ABC11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为平面ABCD 所在平面内一动点，则（）A.若M 在线段AB 上，则1D M MC +的最小值为B.过M 点在平面ABCD 内一定可以作无数条直线与1D M 垂直C.若平面1D M α⊥，则平面α截正方体的截面的形状可能是正六边形D.若1C M 与AB 所成的角为π4，则点M 的轨迹为双曲线【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，将平面11ABC D 展开到与ABCD 同一平面，由两点间线段最短得解；对B ，当M 点在A 处时，过M 点只能作一条直线1AB D M ⊥，可判断；对C ，当M 与B 重合时，1D M ⊥平面11AC D ，分别取111111,,,,,B C A B A A AD DC C C 的中点E ，F ，G ，H ，P ，Q ，可得到正六边形符合题意；对D ，建立空间直角坐标系，设出点M 坐标，根据条件求出点M 坐标满足的方程，依此判断.【详解】选项A ：将平面11ABC D 展开到与ABCD 同一平面如图所示，连接1D C 交AB 于M ,此时1D M MC +为最小值，计算可得1D M MC +=，故A 正确；选项B ：当M 点在D 处时，因为1D D ⊥平面ABCD ，所以过M 点可作无数条直线与1D M 垂直，当M 点在A 处时，过M 点只能作一条直线1AB D M ⊥,故B 不正确；选项C ：当M 与B 重合时，1D M ⊥平面11AC D ，分别取111111,,,,,B C A B A A AD DC C C 的中点E ，F ，G ，H ，P ，Q ，则六边形EFGHPQ 是正六边形，且此正六边形EFGHPQ 所在平面与平面11A DC 平行，所以当平面α为平面EFGHPQ 时满足题意，故C正确；选项D ：以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(,,0)D C A B M x y ,得1(,1,1),(0,1,0)C M x y AB =-=，1221πcos 4||(1)1C M AB C M AB x y ⋅∴==⋅+-+ 整理得22(1)1y x --=为双曲线方程，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】思路点睛：A 选项，沿AB 将平面11ABC D 展开到与ABCD 同一平面，转化为平面上问题求解；B 选项，举反例，当M 点在A 处时，过M 点只能作一条直线1AB D M ⊥；C 选项，当M 与B 重合时，易证1D M ⊥平面11AC D ，分别取111111,,,,,B C A B A A AD DC C C 的中点E ，F ，G ，H ，P ，Q ，则六边形EFGHPQ 是正六边形，即为所求的；D 选项，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点M 坐标，依据条件求出点M 的轨迹方程，由此判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()sin 4cos 4f x x a x =+的图象关于直线π16x =对称，则实数=a ____________．【答案】1【解析】【分析】由于函数()f x 的图象关于直线π16x =对称，由特殊值π(0)8f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】由于函数()sin 4cos 4f x x a x =+的图象关于直线π16x =对称，且π0π8216+=，得：π(0)8f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中(0)sin 0cos 0f a a =+=，πππsin cos 1822f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得：1a =．故答案为：1．13.已知函数2()12ln 2x f x x x =--与3()y x a a =+∈R 相切，则=a ____________．【答案】612ln 6--【解析】【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】显然该函数的定义域为全体正实数，设切点为()()00,x f x ，则12()1f x x x'=--，由题知()03f x '=，解得06x =，020x =-<舍去，所以切点为(6,1212ln 6)-，代入直线方程得1212ln 636a -=⨯+⇒612ln 6a =--．故答案为：612ln 6--．14.抛物线22(0)x py p =>与椭圆221(0)4x y m m +=>有相同的焦点，12,F F 分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I 是12PF F △的内心，PI 交y 轴于M ，且2PI IM = ，点()()*,n n x y n ∈N 是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，若28x =，则2024x =____________．【答案】201912⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】作出辅助线，由正弦定理得到12122PI PF PF IMF MMF ===，根据椭圆定义得到24a c =，从而求出焦点坐标为()0,1±，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到24x y =在点(),n n x y 的切线为：22n n x x y y =+，求出12n n x x +=，结合28x =，得到{}n x 是首项16，公比12的等比数列，利用等比数列的通项公式求出答案.【详解】22(0)x py p =>焦点在y 轴上，故椭圆221(0)4x ym m +=>的焦点在y 轴上，故4m >，I 是12PF F △的内心，连接2F I ，则2F I 平分12F F P ∠，在2PF I △中，由正弦定理得222sin sin PI PF PF I PIF =∠∠①，在2MF I ，由正弦定理得222sin sin MIMF MF I MIF =∠∠②，其中22πMIF PIF ∠+∠=，故22sin sin MIF PIF ∠=∠，又22sin sin PF I MF I ∠=∠，式子①与②相除得22PI PF MIMF =，故222PF MF =，同理可得112PI PF IMF M==，121222PF PF F M F M ∴+=+，由椭圆定义可知1224PF PF a +==，122F M F M c +=，24,1a c c ∴=∴=，即焦点坐标为()0,1±，所以抛物线方程为24x y =，12y x '=，故24x y =在(),n n x y 处的切线方程为()12n n n y y x x x -=-，即21122n n n y y x x x -=-，又214n n y x =，故12n n y x x y =-，所以24x y =在点(),n n x y 的切线为：22n n x x y y =+，令212240,2n n n n n n x y x y x x x +⨯====，又1282x x ==，即116x =，所以{}n x 是首项16，公比12的等比数列，202320192024111622x ⎛⎫⎛⎫∴=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：201912⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】当已知切点坐标为()00,x y 时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用()()()000y f x f x x x '-=-求出切线方程；当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X 表示，且()~45,225X N ．（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有()020n n ≤≤个人摸到一等奖的概率为()P n ，求当()P n 取得最大值时n 的值．附：若()2~,X N μσ，则{||}0.6827,{||2}0.9545P X P X μσμσ-<=-<=．【答案】（1）159（2）()P n 取得最大值时n 的值为8【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性可求(60)P X ≥，故可估算年龄不低于60岁的人数.（2）利用不等式组()(1)()(1)P n P n P n P n ≥+⎧⎨≥-⎩可求()P n 取得最大值时n 的值.【小问1详解】因为~(45,225)X N ，所以15σ=，则10.6827(60)()0.158652P X P X μσ-≥=≥+==，所以现场年龄不低于60岁的人数大约为10000.15865159⨯≈(人)．【小问2详解】依题意可得，2020()C 0.40.6nnnP n -=⨯，设()(1)()(1)P n P n P n P n ≥+⎧⎨≥-⎩，所以20111920202011212020C 0.40.6C 0.40.6C 0.40.6C 0.40.6n n n n n n n n n n n n -++-----⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩，所以200.41,10.6210.41,0.6n n n n-⎧⋅≤⎪⎪+⎨-⎪⋅≥⎪⎩所以374255n ≤≤，因n 为整数，所以8n =，所以当()P n 取得最大值时n 的值为8．16.如图，在圆锥SO 中，若轴截面SAB 是正三角形，C 为底面圆周上一点，F 为线段OA 上一点，D （不与S 重合）为母线上一点，过D 作DE 垂直底面于E ，连接,,,,OE EF DF CF CD ，且COF EFO ∠=∠．（1）求证：平面//SCO 平面DEF ；（2）若EFO △为正三角形，且F 为AO 的中点，求平面CDF 与平面DEF 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据面面平行的判定方法，证明面面平行.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求二面角的余弦.【小问1详解】因为COF EFO ∠∠＝，所以EF CO ∥，因为EF ⊄平面SCO ，CO ⊂平面SCO ，所以//EF 平面SCO ，因为DE 垂直底面于,E SO 垂直底面于O ，所以DE SO ∥，同理//DE 平面SCO ，因为DE EF E ⋂＝，且//EF 平面SCO ，//DE 平面SCO ，所以平面//SCO 平面DEF ．【小问2详解】不妨设圆锥的底面半径为2，因为轴截面SAB是正三角形，所以SO =如图，设平面SDEO 与底面圆周交于G ，因为EFO △为正三角形，且F 为AO 的中点，所以1OF FE EO ===，所以E 为OG 的中点，所以DE 为SOG △的中位线，所以12DE SO ==，如图，在底面圆周上取一点H ，使得OH OB ⊥，以直线,,OH OB OS 为x ，y ，z轴建立空间坐标系，由已知得，31(1,0),,22C D ⎛-- ⎝，31,,0,(0,1,0)22E F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设EF 的中点为M ，则平面DEF的法向量为13,,044n OM ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，所以)CF =，1,22CD ⎛= ⎝ 设平面CDF 的一个法向量为()2,,n x y z =，所以22n CF n CD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒22·0·0n CF n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒0,1022x y =⎨++=⎪⎩，0x =，令2y =，则3z =-，则20,2,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以平面CDF 与平面DEF夹角的余弦值为121233132·132n n n n ⋅==．17.已知21()ln (R)2f x x x ax a =+-∈．（1）若211()22f x x x≤-在[1,)+∞恒成立，求a 的范围；（2）若()f x 有两个极值点s ，t ，求()()f t f s +的取值范围．【答案】（1）1[,)2+∞（2）(,3)-∞-【解析】【分析】（1）根据题意转化为2ln 12x a x x ≥+恒成立，令2ln 1()2x h x x x =+，求得3ln 1()x x x h x x--'=，再令()ln 1t x x x x =--，利用导数求得()(1)0t x t ≤=，得到()h x 在[1,)+∞单调递减，即可求解；（2）根据题意，转化为,s t 是()0f x '=的两不等正根，即,s t 是210x ax -+=的两不等正根，结合二次函数的性质，求得2a >，进而求得()()f t f s +的取值范围．【小问1详解】解：由函数21()ln 2f x x x ax =+-，因为21()22x f x x ≤-在[1,)∞上恒成立，即2ln 12x a x x ≥+在[1,)+∞恒成立，令2ln 1()2x h x x x =+，可得3ln 1()x x x h x x --'=，令()ln 1t x x x x =--，可得()ln 0t x x '=-≤，所以()t x 在[1,)+∞单调递减，所以()(1)0t x t ≤=，所以()0h x '≤恒成立，所以()h x 在[1,)+∞单调递减，所以max 1()(1)2h x h ==，所以12a ≥，所以实数a 的取值范围为1[,)2+∞.【小问2详解】解：因为()f x 有两个极值点,s t ，可得,s t 是211()0x ax f x x a x x-+'=+-==的两不等正根，即,s t 是210x ax -+=的两不等正根，则满足2Δ4001a s t a st ⎧=->⎪+=>⎨⎪=⎩，解得2a >，则222111()()ln ln ()ln()()()222f t f s t s t s a t s st t s ts a t s +=+++-+=++--+222111ln()()()1213222st t s ts a t s a =++--+=--<-⨯-=-，所以()()f t f s +的取值范围为(,3)-∞-．【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知圆221:140C x y ++-=，与x 轴不重合的直线l 过点2C ，且与圆1C 交于C 、D 两点，过点2C 作1CC 的平行线交线段1C D 于点M ．（1）判断12MC MC +与圆1C 的半径的大小关系，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知点1)P Q -，直线m 过点(0,1)F -，与曲线E 交于两点N 、R （点N 、R 位于直线PQ 异侧），求四边形PRQN 的面积的取值范围．【答案】（1）121MC MC C D +=，221(0)42x yy +=≠（2）625S <<，且83S ≠【解析】【分析】（1）根据平面几何可得121MC MC C D +=，故点M 的轨迹为椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹E 的方程；（2）设直线RN ：:1RN y kx =-，()()1122,,,R x y N x y ，直线与曲线联立方程组，根据k 的范围得125x x <-<且1283x x -≠，再根据四边形PRQN 的面积为12S x x =-，代入即可求解.【小问1详解】圆2211:(16,(C x y C ++=∴，21122//,C M C C C CC MC D ∴∠=∠ ，11121,C C C D C CC C DC =∴∠=∠ ，12C DC MC D ∴∠=∠，2DM C M ∴=，1121124MC MD MC MC C D C C ∴+=+==>=，∴点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，其方程为221(0)42x y y +=≠．【小问2详解】设直线:1RN y kx =-，由题意知0k <<且12k ≠，设()()1122,,,R x y N x y，121212S PQ x x x x ∴=-=-，由()22222112420,Δ3280142y kx k x kx k x y =-⎧⎪⇒+--==+>⎨+=⎪⎩，则12122242,1212k x x x x k k-+==++，所以()()()()()2222121212222222161232884121212k k x x x x x x k k k ++--=+-==++++()2228161212k k -=+++，令2112t k=+1(15t <<且2)3t ≠，()22212828(1)8x x t t t ∴-=-+=--+，当1t =时，2128x x -=；当15t =，21297282525x x -=⨯=；当23t =时，212649x x -=；125x x ∴<-<，且1283x x -≠，625S ∴<<83S ≠．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.在无穷数列{}n a 中，令12n n T a a a =L ，若n *∀∈N ，{}n n T a ∈，则称{}n a 对前n 项之积是封闭的．（1）试判断：任意一个无穷等差数列{}n a 对前n 项之积是否是封闭的？（2）设{}n a 是无穷等比数列，其首项12a =，公比为q ．若{}n a 对前n 项之积是封闭的，求出q 的两个值；（3）证明：对任意的无穷等比数列{}n a ，总存在两个无穷数列{}n b 和{}n c ，使得()*n n n a b c n =⋅∈N ，其中{}n b 和{}n c 对前n 项之积都是封闭的．【答案】（1）不是（2）2q =或12（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取数列13,1,,2,22⎧⎫----⎨⎬⎩⎭，结合题中定义验证可得出结论；（2）由()1112n n n a a qq n --*=⋅=∈N ，得()122n nn nT q-=，进而()()11122n n m nq----=，讨论①当()12n nm +=时和②当()()122n n m n -=+-，分别求得q ；（3）设11111n n n n q a a q a a --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令1nn b a =，11n n q c a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()n n n a b c n *=⋅∈N，再利用定义证明{}nb 、{}nc 对前n 项之积都是封闭的．【小问1详解】解：不是的，理由如下：如等差数列13,1,,2,22⎧⎫----⎨⎬⎩⎭ ，212113,1,,2,222T a a ⎧⎫==∉----⎨⎬⎩⎭所以不是任意一个无穷等差数列对前n 项之积是封闭的．【小问2详解】解：{}n a 是等比数列，其首项12a =，公比q ，所以()11*12n n n a a qq n --=⋅=∈N ，所以()()112121222n n n nnn nT a a a qq-+++-=== ，由已知得，对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m T a =成立，即对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得(1)1222n nnm qq --=成立，即对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得()()11122n n m n q ----=成立，①当()112n n m +=≥时，得()()1112n n m n ---=-，所以2q =；②当()()21342122n nn n m n --+=+-=≥时，得()()()11102n n m n -⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦，且12q =，综上，2q =或12.【小问3详解】解：对任意的无穷等比数列{}n a ，11111n n n n q a a q a a --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令1nn b a =，11n n q c a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()*n n n a b c n =⋅∈N，下面证明：{}n b 是对前n 项之积是封闭的．因为1nn b a=，所以()112211n n n n T a a ++++== ，取正整数()12n n m +=得，n m T b =，所以{}n b 对前n 项之积是封闭的，同理证明：{}n c 也对前n 项之积是封闭的，所以对任意的无穷等比数列{}n a ，总存在两个无穷数列{}n b 和{}n c ，使得()*n n n a b c n =⋅∈N，其中{}nb 和{}nc 对前n 项之积都是封闭的．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题含答案

2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。

人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题【答案】C3．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷【答案】B20．-300° 化为弧度是（） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为（） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________．【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______．【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），则该容器盛满水时的体积是．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________．【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求：（1）扇形的弧长；（2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料专题十五任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。

山东省济南市2020届高三针对性训练(三模)历史试题 PDF版

2020届山东省济南市高三针对性训练（三模）历史试题注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名考生号和座号,并将条形码粘贴在指定位置上。

2.选择题答案必须使用2B铅笔(按填涂样例)正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

保持卡面清洁，不折叠、不破损。

一、选择题：本题共15小题，每小题3分,共45分。

每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。

1.周太王(文王祖父)舍长子太伯而立少子季历，文王舍长子伯邑考而立次子姬发；武王生前欲传位周公,因周公辞让加之管叔、蔡叔(皆武王弟)等人反对,不得已而立孺子诵(是为成王)。

这说明当时A.分封制度需进一步完善B.王位继承制度尚未成熟C.贤能成为选择继承人的主要标准D.兄终弟及继承方式退出历史舞台2.魏晋南北朝时期，许多政治家儒玄双修,以儒学治国，以玄学自修；道教称“求仙者，要当以忠孝和顺仁信为本”，而不少高僧又有高深的玄学造诣。

这反映了当时A.儒家思想主导地位动摇B.玄学逐渐成为统治思想C.佛道思想社会影响扩大D.思想文化领域碰撞交融3.《大医精诚》出自《千金方》，是历代医者的必读文献。

其中提到：“凡大医治病……无欲无求,先发大慈恻隐之心，誓愿普救含灵之苦，不得问其贵贱贫富……饥渴疲劳，一心赴救，无作功夫形迹之心，如此可为苍生大医。

”这言论A.反映了理学思想影响加深B.强调医者崇高的社会责任感C.标志着中医学理论的成熟D.体现了实事求是的实证精神4.《明夷待访录》中写道“天下不能一人而治,则设官以治之，是官者,分身之君也……天子之子不皆贤,尚赖宰相传贤,足相补救，则天子亦不失传贤之意。

”由此可知黄宗羲主张A.君臣关系平等B.恢复官僚政治C.限制君主权力D.改革选官制度5.从司马迁“网罗天下放失旧闻，考之行事，稽其成败兴坏之理”，到刘知己“史之为用，其利甚博，乃生人急务，为国家之要道”,再到龚自珍的“出乎史，人乎道，欲知大道，必先为史”。

山东省济南市2021届高三5月针对性训练物理试题 (word 含答案)

绝密★启用并使用完毕前2021年5月高考针对性训练物理试题注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。

2.选择题答案必须用2B铅笔正确填涂，非选择题答案必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在给定题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸试题卷上答题无效。

保持卡面清洁、不折叠、不破损。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的1.泉城济南，以泉闻名。

小张同学在济南七十二名泉之一的珍珠泉游览时，发现清澈幽深的泉池底部，不断有气泡生成，上升至水面破裂。

气泡在泉水中上升过程中，以下判断正确的是A.气泡对泉水做正功，气泡吸收热量B.气泡对泉水做正功，气泡放出热量C.泉水对气泡做正功，气泡吸收热量D.泉水对气泡做正功，气泡放出热量2.蹦床运动有益于人的身心，成人和儿童都可以参与，在社会上迅速流行起来。

一人在蹦床上运动时，某段时间内的v~t图像如图所示，其中0~t1段和t3~t4段是直线，且0~t1时间大于t3~t4的时间，不计空气阻力。

由此图像可知A.0~t1时间内人向上运动B.t1~t3时间内人一直向下运动C.t2时刻的加速度大于重力加速度gD.t3时刻的加速度大于重力加速度g3.如图所示为远距离输电的示意图，已知交流电源电压为U,升压变压器的原副线圈匝数比为1:m,降压变压器的原副线圈匝数比为n:1,负载R正常工作。

现输电距离增大，输电线电阻随之增大，若要保证负载仍能正常工作，只改变选项中的一个量，下列做法可行的是A.增大mB.减小mC.减小nD.减小U4.如图所示，在光滑的水平面上有一半径r=10cm、电阻R=1Ω的金属圆环，以某一速度进入有界匀强磁场。

匀强磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B=0.5T,从圆环刚进入磁场开始，到刚好有一半进入磁场时，圆环一共产生了32J的热量，此时圆环速度为6m/s,下列说法正确的是A.此时圆环中的电流方向为顺时针B.圆环进入磁场的全过程产生的热量为64JC.此时圆环中的电动势为0.6VD.圆环进入磁场的全过程通过圆环某截面的电量为0.01C5.处于基态的一群氢原子被一束单色光照射后，最多能发出6种频率的光，氢原子的能级图如图所示。

山东省高中名校2024届高三上学期统一调研考试数学试题含答案解析

绝密★启用并使用完毕前山东高中名校2024届高三上学期统一调研考试数学试题2023.12注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}21,20A x xB x x x =<=-<，则A B ⋃=（）A.{}01x x << B.{}10x x -<<C.{}12x x -<< D.{}02x x <<2.已知直线,m n 和平面α，满足n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.复数z 满足i 1z z -=-，则1z +的最小值为（）A.2B.1C.D.124.已知A P Q 、、是半径为2的圆上的三个动点，弦PQ 所对的圆心角为120 ，则AP AQ ⋅的最大值为（）A.6B.3C.D.5.已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图象，则π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A.1- B.2- C.3- D.2-6.已知()()lg sin cos f x x x =-，则下列结论错误的是（）A.()f x 是周期函数B.()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()y f x =的图象关于π4x =-对称D.方程()0f x =在[]0,2π有2个相异实根7.已知()0.20.21.2ln 1.2e ,e ,e a b c ===，则有（）A.a b c <<B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=，当()0,2x ∈时，()ln f x x =，则()f x 在[]10,10-上的零点个数为（）A.10B.15C.20D.21二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a b >，下列结论正确的是（）A.对任意实数22,c ac bc >B.若11a b>，则0ab <C.若0b >，则112a b a b++-的最小值是42D.若22a b >，则0ab >10.已知函数()32391f x x x x =--+，则下列结论正确的是（）A.()f x 在[]2,1-上的最小值为10-B.()y f x =的图象与x 轴有3个公共点C.()y f x =的图象关于点()0,1对称D.()y f x =的图象过点()2,0-的切线有3条11.如图，长方形ABCD 中，1,2,AB BC E ==为BC 的中点，现将BAE 沿AE 向上翻折到PAE △的位置，连接,PC PD ，在翻折的过程中，以下结论正确的是（）A.存在点P ，使得PA ED ⊥B.四棱锥P AECD -体积的最大值为24C.PD 的中点F 的轨迹长度为34D.,EP CD 与平面PAD 所成的角相等12.设12,,,n P P P ⋯为平面α内的n 个点，平面α内到点12,,,n P P P ⋯的距离之和最小的点，称为点12,,,n P P P ⋯的“优点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的优点.则有下列命题为真命题的有：（）A.若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的优点B.若四个点,,,A B C D 共线，则它们的优点存在且唯一C.若四个点,,,A B C D 能构成四边形，则它们的优点存在且唯一D.直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是______.14.已知π3ππsin ,4322αα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=______.15.已知圆锥的母线长为l （定值），当圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角大小为______.16.已知ABC 内角分别为,,A B C ，且满足cos2sin 022B A C-+=，则59sin sin A C +的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2224cos b c aA+-=.（1）求bc ：（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c-=++，求ABC 面积.18.已知函数()()22ln m f x x m x x=-+-.（1）若()f x 在()()1,1f 处的切线l 垂直于直线210x y -+=，求l 的方程；（2）讨论()f x 的单调性.19.已知数列{}{},n n a b 是公比不相等的两个等比数列，令n n n c a b =+.（1）证明：数列{}n c 不是等比数列；（2）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc ++为等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.20.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，120BAD ∠=︒，侧棱1AA⊥底面,ABCD M 为棱CD 上的点.1112,1AD A A A B DM ====.（1）求证：1AM A B ⊥；（2）若M 为CD 的中点，N 为棱1DD 上的点，且2DN =，求平面1A MN 与平面1A BD 所成角的余弦值.21.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且对任意的正整数,n n 与n S 的等差中项为n a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：()*122311232n n n a a a nn a a a +-<++⋯+<∈N .22.已知函数()()e 1ln xf x a x x x=--+，其导函数为()f x '.（1）若()f x 在()1,+∞不是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若()0f x ≥在()1,+∞恒成立，求实数a 的最小整数值.()2e 7.39≈绝密★启用并使用完毕前山东高中名校2024届高三上学期统一调研考试数学试题2023.12注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}21,20A x xB x x x =<=-<，则A B ⋃=（）A.{}01x x <<B.{}10x x -<<C.{}12x x -<< D.{}02x x <<【答案】C 【解析】【分析】分别求出集合,A B ，再运用并集运算求解.【详解】{}{}11,02A x x B x x =-<<=<<，则{}12A B x x ⋃=-<<.故选：C2.已知直线,m n 和平面α，满足n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据线面关系，结合必要条件以及充分条件的定义，可得答案.【详解】充分性：当且仅当m α⊄时，由//m n ，则//m α，故“//m n ”是“//m α”的不充分条件；必要性：由题意可知：m 与n 无公共点，则//m n 或者m 与n 异面，故“//m n ”是“//m α”的不必要条件.故选：D.3.复数z 满足i 1z z -=-，则1z +的最小值为（）A.22B.1C.D.12【答案】A 【解析】【分析】根据复数的几何意义，作图，利用点到直线距离公式，可得答案.【详解】设复数z 在复平面上的对应点为(),P a b ，则i z -可表示为复平面上点(),P a b 到()0,1A 的距离，1z -可表示为复平面上点(),P a b 到()10B ,的距离，由题意可知：点P 在线段AB 的中垂线上，如下图：线段AB 的中点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的斜率1AB k =-，则P 的轨迹方程为1122y x -=-，整理可得0x y -=，由1z +可表示为点(),P a b 到()1,0C -的距离d ，min 102211d --==+.故选：A.4.已知A P Q 、、是半径为2的圆上的三个动点，弦PQ 所对的圆心角为120 ，则AP AQ ⋅的最大值为（）A.6B.3C.6D.3【答案】A 【解析】【分析】将AP AQ ⋅中向量进行分解，即：()()AP AQ AB BP AB BQ ×=+×+ ，由B 是PQ 的中点，可将上式进行化简整理为23AP AQ AB ×=- ，所以只需求AB 最大，即BO 的长加圆的半径即可，然后代入即可求得AP AQ ⋅的最大值.【详解】因为弦PQ 所对的圆心角为120 ，且圆的半径为2，所以23PQ =取PQ 的中点B ，所以3BP BQ ==1BO =，如图所示：因为()()()2AP AQ AB BP AB BQ AB AB BP BQ BP BQ ×=+×+=+×++× ,因为B 是PQ 的中点，所以0BP BQ += ，BP BQ BP BQ ×=-223AP AQ AB BP BQ AB ×=-=- ，所以若AP AQ ⋅最大，所以只需AB 最大，所以max123ABBO r =+=+=，所以()2max336AP AQ ×=-=.故选：A5.已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图象，则π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A.1- B. C. D.2-【答案】B 【解析】【分析】由图象求得函数解析式，可求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】函数()()sin f x A x ωϕ=+，由图象可知，2A =，函数最小正周期为T ，有πππ412126T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则32π2πT ==ω，3ω=，得()()2sin 3f x x ϕ=+，由πππ2sin 32sin 212124f ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，取3π4ϕ=，则()3π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，π3ππ3π7π2sin 32sin 32sin34344f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B6.已知()()lg sin cos f x x x =-，则下列结论错误的是（）A.()f x 是周期函数B.()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()y f x =的图象关于π4x =-对称D.方程()0f x =在[]0,2π有2个相异实根【答案】B 【解析】【分析】根据函数周期性定义可判断A ；根据特殊值，即π4x =时，函数无意义判断B ；结合正弦函数的对称性判断C ；求出方程()0f x =在[]0,2π上的根，判断D.【详解】函数()()πlg sin cos 4f x x x x =-=-，定义域为π5π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，对于A ，()π2π2π()4f x x f x +=+-=，故()f x 是周期函数，A 正确；对于B ，当π4x =时，sin cos x x =，则sin cos 0x x -=，此时()()lg sin cos f x x x =-无意义，故B 错误；对于C ，当π4x =-π4x -=，即π4y x =-的图象关于π4x =-对称，由于()f x 的定义域为π5π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭也关于π4x =-对称，故()y f x =的图象关于π4x =-对称，C 正确；对于D ，令()π)04f x x =-=，即πsin()42x -=，则ππ2π,Z 44x k k -=+∈，或π3π2π,Z 44x k k -=+∈，即π2π,Z 2x k k =+∈，或π2π,Z x k k =+∈，则当0k =时，[]π,π0,2π2x =∈，即方程()0f x =在[]0,2π有2个相异实根，D 正确，故选：B7.已知()0.20.21.2ln 1.2e ,e ,ea b c ===，则有（）A.a b c <<B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<【答案】C 【解析】【分析】构造()()e ln 11,1xf x x x =-+->，根据导函数得出函数()f x 在()0,∞+上单调递增，即可得出(0.2)0f >，所以c a <；构造()()e 1,0x g x x x =-+>，根据导函数得出函数()g x 在()0,∞+上单调递增，可判断1c <，再根据对数函数的运算性质得到c a <.【详解】令()()e ln 11,0xf x x x =-+->，则()1e 1xf x x ='-+.当0x >时，有1e 1,11xx ><+，所以111x <+，所以，()0f x '>在()0,∞+上恒成立，所以，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以，()(0)110f x f >=-=，所以，(0.2)0f >，即0.2e ln1.210-->，所以a b<.令()()e 1,0xg x x x =-+>，则()e 1xg x '=-在0x >时恒大于零，故()g x 为增函数，所以11,0ex x x +<>，而()ln 1.2e 1ln1.21a ==+>，所以c a <，所以c<a<b ，故选：C8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=，当()0,2x ∈时，()ln f x x =，则()f x 在[]10,10-上的零点个数为（）A.10B.15C.20D.21【答案】D【解析】【分析】根据条件()()220f x f x ++-=，得到函数()f x 的周期为4T =，再根据条件得出()2,0x ∈-时，()ln()f x x =--，从而得出(1)(0)(1)(2)0f f f f -====，再利用周期性及图像即可求出结果.【详解】因为()()220f x f x ++-=，令2t x =-，得到(4)()0f t f t -+=，所以(4)()f t f t -=-，从而有(4)()f t f t +=--，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(4)()f t f t +=，即(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4T =，令()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，又当()0,2x ∈时，()ln f x x =，所以()ln()f x x -=-，得到()ln()f x x =--，故()ln ,(0,2)0,0ln(),(2,0)x x f x x x x ∈⎧⎪==⎨⎪--∈-⎩，又4T =，所以()f x 在[10,10]x ∈-上的图像如图，又当()0,2x ∈时，由()0f x =，得到1x =，当()2,0x ∈-，由()0f x =，得到=1x -，即(1)0,(1)0f f =-=，又4T =，所以(8)(4)(0)(4)(8)0f f f f f -=-====，(9)(5)(1)(3)(7)0f f f f f -=-=-===，(7)(3)(1)(5)(9)0f f f f f -=-====，又由()()220f x f x ++-=，得到()()220f f +=，即()20f =，所以()(10)(6)(2)2(6)(10)0f f f f f f -=-=-====，再结合图像知，()f x 在[]10,10-上的零点个数为21个，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a b >，下列结论正确的是（）A.对任意实数22,c ac bc >B.若11a b>，则0ab <C.若0b >，则112ab a b++-的最小值是D.若22a b >，则0ab >【答案】BC【解析】【分析】举出反例即可判断AD ；作差即可判断B ；根据()1111222a a b b b a b a b b ++=-+++--结合基本不等式即可判断C.【详解】对于A ，当0c =时，220ac bc ==，故A 错误；对于B ，因为a b >，11a b>，所以110b a a b ab --=>，所以0ab <，故B 正确；对于C ，因为0a b >>，所以0a b ->，则()1111222a a b b b a b a b b ++=-+++≥=--，当且仅当()12a b a b -=-且12b b =，即22a b ==时取等号，所以112a b a b++-的最小值是，故C 正确；对于D ，当2,1a b ==-时，a b >，22a b >，0ab <，故D 错误.故选：BC.10.已知函数()32391f x x x x =--+，则下列结论正确的是（）A.()f x 在[]2,1-上的最小值为10-B.()y f x =的图象与x 轴有3个公共点C.()y f x =的图象关于点()0,1对称D.()y f x =的图象过点()2,0-的切线有3条【答案】ABD【解析】【分析】将原函数()32391f x x x x =--+的导函数求出，即为：()2369f x x x '=--，由导函数的正负判断原函数的单调性，然后即可判断出函数在[]2,1-上的最值，将原函数的极大值与极小值求出，即可画出函数图象，判断出函数与x 轴的交点个数，对于C 选项，只需判断出()()2f x f x -+=即能说明()y f x =的图象关于点()0,1对称，D 选项需求过点()2,0-的切线方程，注意区分过某点的切线方程和在某点的切线方程.【详解】因为()32391f x x x x =--+，所以()()()2369313f x x x x x '=--=+-，所以当13x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x <-或3x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，A 选项中，当[]2,1x ∈-时，()f x 在()2,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减，所以()()()()3222329211f -=--´--´-+=-，()32113191110f =-´-´+=-，所以()f x 在[]2,1-上的最小值为10-，A 正确；因为()f x 在(),1-∞-，()3,+∞上单调递增，在()1,3-上单调递减，()()()()()32=11319116f x f -=--´--´-+=极大值，()()32333393126f x f ==-´-´+=-极小值，且当x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，如图所示：所以()y f x =的图象与x 轴有3个公共点，B 正确；若()y f x =的图象关于()0,1对称，则有()()2f x f x -+=，因为()()()()()32322391391=62x x x x f x f x x x x --++-----++-=-+，所以C 错误；因为()2369f x x x '=--，设()y f x =的切点为()320000,391x x x x --+，所以()2000369f x x x ¢=--，所以在切点()320000,391x x x x --+处的切线方程为：()()322000000391369y x x x x x x x -++-=---，当切线过()2,0-时，即：()()3220000003913692x x x x x x -++-=----，整理得：320002312190x x x +--=，设()32=231219m x x x x +--，则()()()()22=661262612m x x x x x x x ¢+-=+-=-+所以()0m x '=时，1x =或2x =-，当()0m x '<时，2<<1x -，()m x 单调递减，当()0m x '>时，<2x -或1x >，()m x 单调递增，所以()()()()()32=22232122191m x m -=´-+´--´--=极大值，()()32=121311211926m x m =´+´-´-=-极小值所以()m x 的图象如图所示：所以由图象知()m x 有三个零点，所以322312190x x x +--=有三个根，所以()y f x =的图象过点()2,0-的切线有3条，D 正确.故选：ABD11.如图，长方形ABCD 中，1,2,AB BC E ==为BC 的中点，现将BAE 沿AE 向上翻折到PAE △的位置，连接,PC PD ，在翻折的过程中，以下结论正确的是（）A.存在点P ，使得PA ED⊥B.四棱锥P AECD -体积的最大值为24C.PD 的中点F 的轨迹长度为34πD.,EP CD 与平面PAD 所成的角相等【答案】ABD【解析】【分析】根据面面垂直性质，锥体体积、动点轨迹、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，当平面APE ⊥平面AECD 时有PA ED ⊥，下面证明：在底面AECD 中，2,2AE DE AD ===，所以AE DE ⊥，当平面APE ⊥平面AECD 时，平面APE ⋂平面AECD AE =，DE ⊂平面AECD ，所以DE ⊥平面APE ，又PA ⊂平面APE ，所以PA ED ⊥，故A 正确.对于B ，梯形AECD 的面积为123122+⨯=，AE =APE V 斜边AE 上的高为22．当平面APE ⊥平面AECD 时，四棱锥P AECD -的体积取得最大值13223224⨯⨯=，B 正确．对于C ，取PA 的中点G ，连接,,GF GE FC ，则,GF EC 平行且相等，四边形ECFG 是平行四边形，所以点F 的轨迹与点G 的轨迹形状完全相同．过G 作AE 的垂线，垂足为H ，G 的轨迹是以H 为圆心，4HG =为半径的半圆弧，从而PD 的中点F 的轨迹长度为2π4，C 错误.对于D ，由四边形ECFG 是平行四边形，知EC FG ∥，又EC ⊄平面PAD ，FG ⊂平面PAD ，则//EC 平面PAD ，则,E C 到平面PAD 的距离相等，故,PE CD 与平面PAD 所成角的正弦值之比为:1:1CD PE =，D 正确．故选：ABD【点睛】关键点点睛：求F 的轨迹关键是证得点F 与点G 的轨迹相同，转化为G 的轨迹解决.,EP CD 与平面PAD 所成的角相等的证明关键要先证得E 与C 到平面PAD 的距离相等.12.设12,,,n P P P ⋯为平面α内的n 个点，平面α内到点12,,,n P P P ⋯的距离之和最小的点，称为点12,,,n P P P ⋯的“优点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的优点.则有下列命题为真命题的有：（）A.若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的优点B.若四个点,,,A B C D 共线，则它们的优点存在且唯一C.若四个点,,,A B C D 能构成四边形，则它们的优点存在且唯一D.直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点【答案】AC【解析】【分析】根据优点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可.【详解】对于A ，若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，根据两点之间线段最短，则C 是,,A B C 的优点，故A 正确；对于B ，若四个点,,,A B C D 共线，则它们的优点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的优点存在但不唯一，如B ，C 三等分AD ，设1AB BC CD ＝＝＝，则4BA BC BD CA CB CD ＋＋＝＝＋＋，故B 错误；对于C ，如图，设在梯形ABCD 中，对角线的交点O ，M 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得MA MB MC MD AC BD OA OB OC OD +++>+=+++，∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一优点．故C 正确．对于D ，举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形ABC ，点P 是斜边AB 的中点，此直角三角形的斜边的中点P 到三个顶点的距离之和为5 2.57.5+=，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的优点；故D 错误；故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是______.【答案】840【解析】【分析】根据题意将问题转化为等差数列问题，应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，基本量运算即可求解.【详解】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{}n a ，其前n 项和为n S ．根据题意，数列{}n a 是一个公差为2d =的等差数列，且1041a =，故1109411823a a d =-=-=．由()201202012028402S a ⨯-=+⨯=，因此，则该报告厅总座位数为840个座位．故答案为：84014.已知π3ππsin ,4322αα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=______.【答案】223【解析】【分析】由题设可得ππ(0,44α+∈，进而求得π6cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再应用二倍角余弦公式及诱导公式求目标函数值.【详解】由题设ππ3π(,)444α+∈-，又π32sin (0,)432α⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则ππ(0,44α+∈，所以π6cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πππcos2sin(2)2sin cos 244αααα⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：22315.已知圆锥的母线长为l （定值），当圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角大小为______.【答案】26π3##3【解析】【分析】表达出圆锥的体积，通过求导得出其单调性，即可求出当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数．【详解】由题意，圆锥的母线长为l ，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则222r h l +=，∴222r l h =-，体积：22223111()()π3ππ33V r h l h h l h h ==-=-，∴()22π33l h V -'=，∴当303h ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，0V '>，V 单调递增；当3,3h l ⎛∈⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '<，V 单调递减，∴当33h =时，V 取得最大值，此时63r =，侧面展开图的圆心角2ππ3r l α==．故答案为：π3．16.已知ABC 内角分别为,,A B C ，且满足cos2sin 022B A C -+=，则59sin sin A C +的最小值为______.【答案】16【解析】【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得3sincos cos sin 2222A C A C =，进而有3tan tan 022A C =>，结合22tan2sin 1tan 2A A A =+，22tan 2sin 1tan 2C C C =+将目标式化为416tan 2tan 2A A +，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由题设πcos()2sin sin 2sin 022222A C A C A C A C +-+--+=+=，所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )022222222A C A C A C A C ++-=，所以3sin cos cos 2222A C A C =，π,(0,222A C ∈即3tan tan 022A C =>，又22tan2sin 1tan 2A A A =+，22tan 2sin 1tan 2C C C =+，则2225(1tan )9(1tan )416tan 59422216tan sin sin 22tan 2tan tan tan 2222A C A A A C A A A C++++=+==+16≥=，当且仅当4116tantan 222tan 2A A A=⇒=时取等号，所以59sin sin A C +的最小值为16.故答案为：16【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为3tantan 022A C =>，再应用万能公式用正切表示正弦为关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2224cos b c a A+-=.（1）求bc ：（2）若cos cos 1cos cos a B b A b a B b A c-=++，求ABC 面积.【答案】（1）2（2）32【解析】【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，可求bc ；（2）由正弦定理和两角和的正弦公式化简等式，求出角A ，面积公式求ABC 面积.【小问1详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2222cos 24cos cos b c a bc A bc A A +-===，所以2bc =.【小问2详解】若cos cos 1cos cos a B b A b a B b A c-=++，由正弦定理，cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B b A A B B A a B b A A B B A--=++()sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin A B B A A B B A A B C --==+，()sin sin sin sin 1sin sin B A B b b c B C c c C C+++++===sin sin cos sin cos sin B A B B A C ++=，所以2cos sin sin A B B -=，因为()0,πB ∈，故0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以3sin 2A =，故ABC 的面积为11sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= .18.已知函数()()22ln m f x x m x x =-+-.（1）若()f x 在()()1,1f 处的切线l 垂直于直线210x y -+=，求l 的方程；（2）讨论()f x 的单调性.【答案】（1）250x y +-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得参数m 的值，即可求得答案；（2）求出函数导数，分类讨论m 的取值，结合解不等式，求得导数大于0和小于0时的解，即可求得答案.【小问1详解】由题意得()()22222221x m x m m m f x x x x -+++=-+='；因为()f x 在1x =处的切线l 垂直于直线210x y -+=，所以()12f '=-，即()1222m m -++=-，解之得1m =-；又()13f =，所以l 的方程为()321y x -=--，即250x y +-=.【小问2详解】()f x 的定义域为()0,∞+，由（1）得()()()()222222x m x m x x m f x x x-++--='=；所以当0m ≤时，令()0f x ¢>得2x >，令()0f x '<得02x <<，所以()f x 在()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减；当02m <<时，令()0f x ¢>得0x m <<或2x >，令()0f x '<得2m x <<，所以()f x 在()0,m 和()2,+∞上单调递增，在()m,2上单调递减；当2m =时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当2m >时，令()0f x ¢>得02x <<或x >m ，令()0f x '<得2x m <<，所以()f x 在()0,2和(),m +∞上单调递增，在()2,m 上单调递减.综上，当0m ≤时，()f x 在()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减；当02m <<时，()f x 在()0,m 和()2,+∞上单调递增，在()m,2上单调递减；当2m =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当2m >时，()f x 在()0,2和(),m +∞上单调递增，在()2,m 上单调递减.19.已知数列{}{},n n a b 是公比不相等的两个等比数列，令n n n c a b =+.（1）证明：数列{}n c 不是等比数列；（2）若2,3n nn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc ++为等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，2k =-或3k =-【解析】【分析】（1）要证明证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠即可，由此计算2213c c c -即可证明结论；（2）假设存在常数k ，使得数列{}1n n c kc ++为等比数列，则利用等比中项性质，列式化简求解，可求得k 的值，验证即得结论.【小问1详解】设{}{},n n a b 的公比分别为(),p q p q ≠，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠.而()()()2222221311111111()c c c a p b q a b a p b q a b p q -=+-++=--，由于p q ≠，且11,a b 不为零，因此2213c c c ≠，故{}n c 不是等比数列.【小问2详解】假设存在常数k ，使得数列{}1n n c kc ++为等比数列，则有()()()21211,2n n n n n n c kc c kc c kc n +++-+=++≥，将23n n n c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=+++⋅+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()()()()21111223322332233n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=+++⋅+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得()()()()12231323k k k k ++=++，解得2k =-或3k =-.经检验，当2k =-时，111(2232)3)(3n n n n n n n c kc +++=++-+⋅+=，此时数列{}1n n c kc ++为等比数列；当3k =-时，111(3232)3)(2n n n n n n n c kc +++++=+-⋅+=-，数列{}1n n c kc ++为等比数列，所以，存在常数2k =-或3k =-，使得数列{}1n n c kc ++为等比数列.20.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，120BAD ∠=︒，侧棱1AA ⊥底面,ABCD M 为棱CD 上的点.1112,1AD A A A B DM ====.（1）求证：1AM A B ⊥；（2）若M 为CD 的中点，N 为棱1DD 上的点，且52DN =，求平面1A MN 与平面1A BD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）11525【解析】【分析】（1）先证明AM CD ⊥，则可得AM AB ⊥，继而推出1AM AA ⊥，即可证明AM ⊥平面11AA B B ，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面1A MN 与平面1A BD 的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】证明：在平行四边形ABCD 中，120,60BAD ADM ∠=︒∴∠=︒，在ADM △中，2,1AD DM ==，所以222212cos 2122132AM AD DM AD DM ADM =+-⋅⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅=，可得222AD AM DM =+，所以AM CD ⊥.又CD AB ∥，所以AM AB ⊥.又侧棱1AA ⊥底面,ABCD AM ⊂平面ABCD ，所以1AM AA ⊥.又11,,AB AA A AB AA =⊂ 平面11AA B B ，所以AM ⊥平面11AA B B ，又1A B ⊂平面11AA B B ，所以1AM A B ⊥.【小问2详解】因为M 为CD 的中点，1,2DM CD =∴=，所以平行四边形ABCD 为菱形，则四边形1111D C B A 也为菱形，则四边形11A ADD为直角梯形，则1DD ==，由（1）知：1,,AB AM AA 两两垂直，分别以1,,AB AM AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则点()()()()11130,0,2,2,0,0,,,,2,22A B D D M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.()()()1,2,0,2,1,0,0BD A B MD =-=-=- ..设平面1A BD 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则有11100n BD n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以111130220x x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令11x =，得()1n = .因为12DD DN ==，所以1113,,1244DN DD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则()133,,1,244MN MD DN A M ⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，则有22100n MN n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222223304420x y z z ⎧--+=⎪-=，令22x =，得()22,n = ，所以121212cos<,25n n n n n n ⋅>=== ，由原图可知平面1A MN 与平面1A BD 所成角为锐角，所以平面1A MN 与平面1A BD所成角的余弦值为25.21.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且对任意的正整数,n n 与n S 的等差中项为n a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：()*122311232n n n a a a n n a a a +-<++⋯+<∈N .【答案】（1）()*21n n a n =-∈N（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据n a 与n S 之间的关系，利用构造法结合等比数列分析求解；（2）根据题意分析可得112+<k k a a ，1111232+≥-⨯k k k a a ，进而求和分析证明.【小问1详解】由题意可得：()*2n n a n S n =+∈N ，1n =时，111211S a a =+=+，可得11a =；2n ≥时，2n n a n S =+，1121n n a n S --=-+，两式相减得：()12212n n n a a a n --=+≥，即()1212n n a a n -=+≥.可得()()11212n n a a n -+=+≥，且1120a +=≠，可知{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.所以12n n a +=，即()*21n n a n =-∈N .【小问2详解】因为1112212112,1,2,,11212222222k k k k k k k k a k n a ++---==<==⋯-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以122312n n a a a n a a a +++⋯+<；又因为()1112111212221k k k k k a a +++-==---11111,1,2,,23222232k k kk n =-≥-⨯=⋯⨯+-，所以122231111111112322223223n n n n a a a n n n a a a +⎛⎫⎛⎫++⋯+≥-++⋯+=-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述：()*122311232n n a a a n n n a a a +-<++⋯+<∈N .22.已知函数()()e 1ln x f x a x x x=--+，其导函数为()f x '.（1）若()f x 在()1,+∞不是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若()0f x ≥在()1,+∞恒成立，求实数a 的最小整数值.()2e 7.39≈【答案】（1）(),e -∞-（2）7-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可知()f x '在()1,∞+有变号零点，由此结合函数的单调性，解不等式即可求得答案；（2）法一：采用分离参数法，将原不等式变为即为2e ln xa x x x x≥-+在()1,∞+恒成立，构造函数()2e ln xm x x x x x=-+，求函数的导数，利用导数求其最小值，即可求得答案；法二：求函数()()e 1ln xf x a x x x=--+的导数，利用导数判断其单调性，求得函数最小值，结合解不等式即可求得答案.【小问1详解】()()()()()22e 11e 1e 111x x x x a x x ax x x f x a x x x x ⎛⎫-+ ⎪--+-⎛⎫⎝⎭=--+== ⎪⎝⎭'；因为()f x 在()1,∞+不是单调函数，所以()f x '在()1,∞+有变号零点；因为10x x ->恒成立，令()e x g x a x=+，则()g x 在()1,∞+有变号零点；因为()()21e 0x x g x x -'=>，所以()g x 在()1,∞+单调递增，因为()1e g a =+，当x 的值趋近正无限大时，e x x趋近于正无限大，a 为待定的参数，故()g x 趋近于正无限大，故只需e 0a +<，即e a <-，所以实数a 的取值范围是(),e ∞--.【小问2详解】（法一）令()1ln (1)x x x x ϕ=-+>，因为()110x xϕ'=-<在()1,∞+恒成立，所以()x ϕ在()1,∞+单调递减，所以()()10x ϕϕ<=，所以()0f x ≥在()1,∞+恒成立，即为2e ln xa x x x x≥-+在()1,∞+恒成立，令()2e ln xm x x x x x=-+，则()()()222e ln 12ln 1ln xm x x x x x x x x xx x =-+-+--'-+()()()22e 1ln 2ln xx x x x x x x =⋅--+-+，令()ln 2h x x x =-+，则()110h x x -'=<在()1,∞+恒成立，所以()h x 在()1,∞+单调递减；因为()()110,4ln420h h =>=-<；所以()h x 有唯一零点0x ，且()0200001,4,ln 2,e e x x x x x ∈=-∴=当()01,x x ∈时，()0h x >，即()0m x '>，所以()m x 在()01,x 单调递增；当()0,x x ∞∈+时，()0h x <，即()0m x '<，所以()m x 在()0,x ∞+单调递减；所以()()0220max 022********e e ()e 7.39ln 2x x m x m x x x x x x x x x ====-≈--+-+-；所以实数a 的最小整数值为7-.（法二）()()e 1x x a x f x x⎛⎫-+ ⎝'⎪⎭=由（1）得，当e a -≥时，()f x 在()1,∞+上单调递增，所以()()1e 0f x f >=>成立.当e a <-时，存在()01,x ∞∈+，使得()00e 0,x f x a x ==-'当()01,x x ∈时，()0f x '<，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增；所以()()()000min 0000e ()1ln 1ln 2ln e x x x f x f x a x x a a a a x ⎛⎫⎡⎤==--+=--+=--- ⎪⎣⎦⎝⎭，令()2ln 0a a ⎡⎤---≥⎣⎦得()ln 2a -≤；解之得2e e a -≤<-.综上，2e 7.39a ≥-≈-，所以实数a 的最小整数值为7-.【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，常用方法有：（1）将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；（2）直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.。

广东省深圳市2024届高三下学期二模试题语文含答案

试卷类型：A2024年深圳市高三年级第二次调研考试语文（答案在最后）2024.4试卷共10页，卷面满分150分，考试用时150分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5 小题，18分）“重建附近”：年轻人如何从现实中获得力量？——人类学家项飙访谈（节录）康岚：您最早在什么时候提出“附近”这个概念？为什么想到提出这个概念？项飙：我第一次提“附近”应该是在2019年夏天，我跟许知远在“十三邀”节目上的对话。

当时好像是在谈现代人的时空观念，为什么现在人们对快递小哥迟到两分钟会非常不耐烦？我们说到现代生活完全是被时间逻辑统治了，空间逻辑消失了。

原来我们对时间的理解是通过人的行动，比方说我和你的距离是一袋烟的工夫，或者说这个距离是从你家走到荷塘边上的那个工夫，其实时间很大程度上是通过空间来衡量的。

但在工业化之后，抽象时间也就是钟表时间变得非常重要。

当这种抽象时间统治了我们的生活，空间就完全变成了附属性的东西。

对快递小哥迟到两分钟会非常不满，是因为你根本不考虑他是从空间中哪个点到餐馆拿了东西，以及路上的交通是怎样的、进你家小区的门时他要跟保安怎样交涉，这些经历性、空间性的东西，你是不管的，你要的就是那个东西要在你规定的时间内送到你的手里。

这种心态是“时间的暴政”造成的。

在这样的场景下，我提到“附近的消失”。

“附近”这个空间的消失，一方面是因为“时间的暴政”，另一方面是因为我们在日常生活里面建立自己对世界的感知越来越通过一些抽象的概念和原则，而不是通过对自己周边的感知来理解。

比如，你的邻居是干什么的，楼下打扫卫生、门口卖水果的人是从哪里来的，他们家在哪里，如果家不在这里，一年回几次家，他们的焦虑和梦想是什么。

高三第一次模拟考试总结反思(大全16篇)

高三第一次模拟考试总结反思(大全16篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2023届山东省济南市三模(新高考针对性训练)语文试题

2023届山东省济南市三模（新高考针对性训练）语文试题一、非连续性文本阅读阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：当前，公众对文化的需求已经从“缺不缺、够不够”升级为“好不好、精不精”。

目前，我们的现代公共文化服务供给与这些新需求之间还存在一定距离。

比如，受经济社会发展水平制约，城乡之间、区域之间的公共文化服务发展水平还存在较大差距；公共文化产品和服务品质还有待提升；改革创新力度有待加强；社会力量的作用尚未充分发挥；数字化、网络化、智能化建设与其他领域相比仍显滞后等。

推进现代公共文化服务高质量发展，必须要应变局、育先机、开断局。

坚持正确导向，是现代公共文化服务高质量发展的根本保障。

高质量发展现代公共文化服务，要坚持党对公共文化工作的领导，牢牢把握社会主义先进文化前进方向，以社会主义核心价值观为引领，从而实现满足人民文化需求和增强人民精神力量相统一，让人民享有更加充实、更为丰富、更高质量的精神文化生活。

高质量发展现代公共文化服务，还要坚持唯美唯善的审美导向。

优质、完善、富有个性和审美的公共文化服务体系，能够吸引广大人民群众参与其中，沉浸式感受文化的力量，全方位提升人民生活品质。

要全力打造新型公共文化空间场景，注重以“人”为中心的参与和体验感，提升公共文化空间品质，涵养人民群众的人文情怀，增强公共文化服务效能。

坚持以人民为中心，提高公共文化服务覆盖面和实效性。

加快推进城乡公共文化服务体系一体建设，推动公共文化数字化建设，创新实施文化惠民工程，提升基本公共文化服务标准化均等化水平，更好保障人民基本文化权益。

日前印发的《“十四五”文化发展规划》明确提出，注重完善公共文化设施网络、提升公共文化数字化水平、补齐公共文化服务短板、广泛开展群众文化活动等。

要特别注重各级各类公共文化设施建设，打造新型城乡公共文化空间；打通各层级公共文化数字平台，打造公共文化数字资源库群，建设国家文化大数据体系。

（王蔚《推进公共文化高质量发展》）材料二：所谓文化公平，是指人民群众平等地享有文化资源、文化建设、文化成果的机会和权利，从而能够实现满足多层次、多方面、多样性的精神文化需求。

山东省济南市2020届高三针对性训练（三模）英语试题及参考答案

⼭东省济南市2020届⾼三针对性训练（三模）英语试题及参考答案绝密★启⽤并使⽤完毕前2020年6⽉⾼三针对性训练英语试题注意事项:1.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、座号、考号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。

如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。

回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上⽆效。

3.考试结束后，将本试卷和客题卡⼀并交回。

第⼀部分阅读(共两节,满分50分)第⼀节(共15⼩题;每⼩题2.5分,满分37.5分)阅读下列短⽂，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

One of the best ways to pay for college is to find work that helps foot part of the school fee. Here are 4 types of part-time jobs that provide students with extra income.Jobs with employer scholarshipsSome companies offer help paying for college through scholarship programs. Taco Bell, for instance, offers its part- time employees the chance to win up to a $ 25 ,000 award through its Live Mas Scholarship. The award can be used toward vocational schools or a two-or four-year college. Employees must have worked for the company at least three continuous months.Work-studyFor years the work study program has allowed students to earn money through part-time work. Students aged between 16 and 24 who file Free Application for Student Aid maybe qualified for the program.While these jobs aren't always on campus, students in work study earn at least $7.25 per hour⼀the state minimum wage.Paid internshipsA paid internship (实习) can not only help students pay for college bur can also open doors for-full time work after graduation .According to a 2019 survey by the National Association of Colleges and Employers, nearly two-thirds of paid interns received a job offer，while just about 44% of unpaid interns were offered a job.On-demand economy jobsKnown for its flexibility， the jobs can help students earn cash between classes.These on-demand jobs include completing small jobs，makingdeliveries or even driving for ride-booking services， Students can typically earn more through on-demand work，ranging from $10 to $20 an hour.1.What are the applicants for the work-study program required to do?A. Submit an application form.B. Work part time for years.C. Accept the minimum wage.D. Live and work one campus.2.What is the advantage of On-demand economy jobs?A. Providing scholarships.B.Having fixed workplace.C.Including an extra award.D.Offering more job options.3. Which program is of great help for students to find a full-time job?A. Jobs with employer scholarships.B. On- demand economy jobs.C. Paid internships.D. Work- study.BChristine Reynolds worked at thepublic library in Yosemite NationalPark.When the government issued shutdownorders to slow the spread of thecoronavirus(冠状病毒) ， she loaded theback of her car with donated books andbegan her own mobile library.“I know thismay not be conventional， and yet it has worked and I feel of use,”she said.Across the United States，volunteers are reporting a jump in little free libraries as readers look to pass the time.Made of wood or brick，and placed in front of parks or in the trunk of a car， the libraries have seen their small spaces filled with books.Around 1,000 people live in the Yosemite Valley， where entertainment options are limited and some residents say Christine Reynolds' mobile library and her friendly chats offer a needed break.“I live in a rural area， so the Internet is not a guarantee.The time that some people might fill with online services is not an option for me.I turn to books to fill that gap.” said Connor Timpone, who lives east of Yosemite Valley. “Books have been a bright spot for me.”“The spaces also have transformed into a new purpose. Readers are leaving can goods and other needed items to assists fellow neighbors. The libraries allow neighbors to help one another without getting physically close,”said Greig Metzge5, director of the nonprofit Little Free Library.Since 2009，tens of thousands of little free libraries have sprung up in the United States and more than 100 countries. The Shall spaces operate by donation and through volunteers. Volunteers check the free libraries weekly, and the Selection is always different from the week before Though the work Lakes much effort and time, it is rewarding.4.What do we know about Christine's library?A. It follows the traditional practice.B. It is placed in the back of her car.C. It mostly consists of her own books.D. It is sponsored by the National Park.5. Why is the number of little free libraries rising rapidly?A. They meet people 's needs on special occasions.B. They've received a great many donated books.C. They can be easily constructed in many ways.D. They can provide access to online services.6. What is the new function of the little free libraries?A. Supplying varieties of books.B. Guaranteeing a needed break.C. Creating a bond among neighbors.D. Getting neighbors physically close.7. How do the libraries operate on a daily basis?A. With the support of the local government.B. Through donations and voluntary services.C. By means of the Participation of local residents.D. Under the guidance of non-profit organizations.CWe're so attached to plastic, but we're careless consumers. Waste plastic is entering our ecosystems and food chains with untold consequences. Cleaning up our polluted world of plastic may seem a noble, but thankless task. However, some people are seeing economic opportunity in the mission.Plastic Bank, a social enterprise from Canada, is monetizing plastic recycling while empowering those most affected by the waste. It works to prevent waste plastic from entering oceans by encouraging people in developing countries to collect plastic from their communities in exchange for cash, food, clean water or school tuition for their children. After collection, plastic is weighed, sorted, chipped, melted into balls and sold on as“raw material”to be made into everything from bottles for cleaning products to clothing.“I saw in large quantities; I saw an opportunity,”CEO David Katz told the audience at the Sustainable Brands Oceans conference in Porto, Portugal on November 14.“We reveal the value in this material,”he added.Plastic Bank was founded in 2013 and launched on the ground operations in 2014 in Haiti, the poorest country in the Western, Hemisphere, where close to 60% of the population live under the poverty line. As result of poor waste disposal and recycling infrastructure (基础设施)，plastic waste enters rivers or is burned and poses the health threats to the local residents.The company says i has over 2,000 collectors working in the country, with its full- time collectors on average 63% above the poverty line thanks to the income they make from the project. Through its app based payment system, many collectors now have bank accounts for the first time, and are able to ultimately escape ultra poverty.“Nothing we're doing is against the laws of physics,”said Katz. “All the technology exists for us to solve and save the world. It's only creative thought.”8. What is Plastic Bank aimed to do?A. Test out creative ideas.B. Discover new material.C. Promote plastic recycling.D. Stop people using plastic.9. Which of the following shows the process of monetizing in Paragraph 2?A. Purchasing- collecting—recycling.B. Exchanging collecting—purchasing.C. Collecting- exchanging—reproducing.D. Persuading consuming—reproducing.10. What do the numbers in Paragraph 5 indicate?A. Haiti attaches great importance to recycling.B. Many locals benefit greatly from the project.C. Collecting is an efficient way to recycle waste.D. The project has solved unemployment in Haiti:11. What maybe the best title for the text?A. Companies stand to ban plastic consumptionB. Technology finds its way to kick off povertyC. David Katz speaks at the conference in PortoD. Plastic Bank is fighting against plastic wasteDThey're life jacket orange, they re robots and they're capable of sailing the high seas without human intervention.On Tuesday the National Oceanic andAtmospheric Administration (NOAA)launched a pair of Saildrones(海洋⽆⼈机) in Pacific Northwest waters for thefirst time. Their summer long sailingjourney will stretch from VancouverIsland to California. The Saildroneoperators will collect data to help setfuture fishing seasons. The government wants tor see whether seagoing. robots can extend fishery surveys now performed by expensive manned ships.Nora Cohen from NOAA said,“The 23 foot tong seagoing robots can follow a remotely programmed course for up to a year at a time. And they don't require any fuel. We use wind and solar power to drive the sensors.”He added,“It means that we're able to go to places where we don't really want to send people, and go into weather that we really don't want anyone ever to be in, and be able to send back measurements.”The primary mission is to investigate the species and number of fish in existence and the places where they are. Larry Hufnagle, scientist of NOAA Fisheries in Seattle, said a traditional big NOAA research ship-based survey costs around $25，000 per day. By comparison, one Saildrone runs $2,500 per day.“It could be a significant saving,”Hufnagle said. “But like anything else, there is a tradeoff in what you get and what you don't get. On the manned ship, we have limited time. It takes a lot of people. We spend a fair amount of money. But there is one thing the Saildrone can't do that humans can: cast a net to catch and positively identify the fish detected below. The Saildrones are going to give us additional data, not replacement data.”Nora Cohen said Sail Drone, a venture capital-backed company based in Alameda, California, expects to launch a total of 11 of its seagoing robots to survey different water bodies for NOAA this year. The Bering and Arctic seas, coastal California and Gulf of Mexico will be the locations of additional missions.12. What is the purpose of collecting fish data?A. To explore the ocean.B. To assist fishing industry.C. To learn the habits of fish,D. To improve fishing skills13. What is mainly discussed about the Saildrone in Paragraph 3?A. Its advantages.B. Its appearance.C. Its power systems.D. Its primary mission.14.What does the underlined word “tradeoff”in Paragraph 5 probably mean?A. Debate.B. Reason.C. Reality.D. Balance.15. What can be inferred from the text?A. The Saildrone has a promising future.B. Hufnagle thinks little of the Saildrone.C. Manned ships will be completely replaced.D. Production of seagoing robots is restricted.第⼆节(共5⼩题;每⼩题2.5分，满分12.5分)阅读下⾯短⽂，从短⽂后的选项中选出可以填⼊空⽩处的最佳选项。

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高三针对性训练
文科数学
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科
类写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使
用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
参考公式：
锥体的体积公式：V=
1
3
Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

第I卷(共50分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
(1)已知全集
012345024134=UUABCAB，，，，，，集合，，，，，，则

(A)4(B) 13，(C) 1345，，，(D)
01234，，，，
(2)已知i为虚数单位，复数z满足
132ziiz，则
(A) 1522i(B)
1522i

(3)设变量,xy满足约束条件
20,220,320,xy
xyzxy
xy
则

的最大值为
(A) 2(B) 103(C)6 (D)14
(4)已知直线12:10,:3210lmxylmxy，则“1m”是“12ll”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(5)若直线0xym被圆2215xy截得的弦长为23m，则的值为
(A) 1(B) 3(C) 13或(D)2
(6)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

(A) 49334(B)
4273
34

(7)已知函数=3sincos,3fxxxxyfx为的对称轴，且fx在区间

,
33
单调，则

(A)－4 (B)－1
(C)2 (D)5
(8)2016年济南地铁正式开工建设，地铁时代的到来能否缓解济南的交通拥堵状况呢?某社团
进行社会调查，得到的数据如下表：

则下列结论正确的是
附：
2
112212212

12+1+2

nnnnn

x
nnnn
(A)有95％的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”
(B)有95％的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”
(C)有99％的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”
(D)有99％的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”

(9)已知定义在R上的函数fx的周期为4，当2,0x时，3fxx，且函数
2yfx的图象关于y轴对称，则2017f
(A)20173(B)8 (C)1 (D)－1
(10)在△ABC中，
2,2,135ACABBAC
，D是BC的中点，M是AD上一点，

且
2AMADMBMC
，则

的值是

(A) 229(B) 29(C) 73(D)
5
3

第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5个小题。每小题5分。共25分．
(11)如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为_______．
(12)已知2220,0,2log2logxyxyxy，则的最大值为
_________．

(13)设点O，P，Q是双曲线2222:10,0xyCabab的渐近线与抛物
线
2
4yx
的交点，O为坐标原点，若OPQ的面积为2，则双曲线的离

心率为__________．
(14)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，,，9填入方格内，使三行、
三列、两条对角线的三个数之和
都等于15．如图所示．
一般地，将连续的正整数1，2，,，
2
n
填入nn个方格中，使得每行、每列、每条对角线

上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的对角线上数的和为
n
N

，例如

34515,34,65=n
NNNN那么
__________．

(15)已知函数
2

2,,021,0,xx
fx
xaxx
若函数2gxfxxa有三个不同

的零点，则实数a的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共6小题。共75分．
(16)(本小题满分12分)
《朗读者》栏目在央视一经推出就受到广大观众的喜爱，恰逢4月23日是“世界读书日”，
某中学开展了诵读比赛，经过初选有7名同学进行比赛，其中4名女生
1234
,,,AAAA

和3

名男生
123
,,BBB

．若从7名同学中随机选取2名同学进行一对一比赛．

(I)求男生1B被选中的概率；
(Ⅱ)求这2名同学恰为一男一女的概率．

(17)(本小题满分12分)
在ABC中，角A，B，C的对边分别为,,abc，已知2cos2,6,4cBbaba．
(I)求角C的大小；
(Ⅱ)若点D在AB边上，AD=CD，求CD的长．

(18)(本小题满分12分)
如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，
1
,//,,2ABADCDABCDCPCDMPD为
的中点．
(I)求证：AM//平面PBC；
(1I)求证：平面BDP⊥平面PBC．

(19)(本小题满分12分)
设公差不为零的等差数列
na的前n项和为2n，已知42124
21,,,aaSSS且

成等比数列．

(I)求数列na的通项公式；

(Ⅱ)设21nnnncSS，求数列nc的前n项和nT．
(20)(本小题满分13分)
已知椭圆
22
22
:10xyCab
ab
的左、右焦点分别为12,,0,1FFN为椭圆的一个顶

点，且右焦点
2
F到双曲线222xy渐近线的距离为2

(I)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设直线:0lykxmk与椭圆C交于A，B两点．
(i)若NA，NB为邻边的平行四边形为菱形，求m的取值范围；

(ii)若直线l过定点P(1，1)，且线段AB上存在点T，满足APPBATTB，证明：点T在定直
线上．

(21)(本小题满分14分)
设函数
2
lnfxaxbx
，其中实数,ab为常数．

(I)已知曲线1yfxx在处取得极值
1
2
．

(i)求a，b的值，
(ii)证明：xxfxe；
(II)当12b时，若方程1fxax恰有两个不同的解，求实数a的取值范围．