【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-7-1 定积分在几何中的应用双基限时训练 新人教版选修2-2
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解 方法一 如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析 解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练1(含解析)北师大版必修4
双基限时练(一) 周期现象一、选择题1．下列变化中不是周期现象的是( )A．春去春又回B．太阳东升西落C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天放学回到家的时间解析某同学每天放学回到家的时间受各种因素的影响，一般会有少许差别，故不是周期现象．答案 D2．观察“ABCDABCDAB…”，寻找规律，则第20个字母是( )A．A B．BC．C D．D解析周期是4,20＝5×4，所以第20个字母是D.答案 D3．如下图，一个质点在平衡位置O点附近摆动，如果不计阻力，可将此摆动看作周期运动，若质点从O点开始向左摆动时开始计时，且周期为1 s，则质点第5次经过O点所需要的时间为( )A．1.5 s B．2 sC．2.5 s D．3 s解析若质点从O点开始向左摆动，则在1个周期内2次经过O点，所以5次经过O 点需要2.5个周期，又因为周期为1 s，所以需要2.5 s.答案 C4．假定现在时间是12点整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则t＝( )A.1211B.1312C.2524D.2724解析 时针1小时转过30°，t 小时转过30t °；分针每分钟转过6°，t 小时转过(60t ×6)°，所以30t ＝60t ×6－360，解得t ＝1211.答案 A5．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2014盆花的颜色是( )A ．红B ．黄C ．紫D ．白解析 因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，所以以4为一个周期，而2014÷4＝503……2，为503个周期余2盆，所以第2014盆花为黄花．答案 B6．下图是汽油机的汽缸结构示意图，活塞在燃料的推动下往复运动的过程中，通过连杆带动曲轴做圆周运动．如果活塞每分钟往复运动2400次，则曲轴的运动周期是( )A ．1分钟B ．40秒C ．0.05秒D ．0.025秒解析 活塞往复一次，曲轴转动一圈，则曲轴的运动周期为60秒/2 400＝0.025秒． 答案 D7．2011年是兔年，那么1949年是( ) A ．牛年B ．虎年C．兔年D．龙年解析∵1949＋60＋2＝2011，∴1949年为牛年．答案 A二、填空题8．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，24节气________周期现象(填“是”或“不是”)．答案是9．下列函数图像中具有周期性的序号是________．解析抓住周期现象的特点：重复性．对于(3)，图像不重复出现，故不合题意．答案(1)(2)(4)10．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水________升．解析水车盛水是一个周期现象，由题意知，周期为5分钟，每一周期最多盛水10升×16＝160升，1小时内有12个周期，因此在1小时内有12个周期，因此在1小时内最多盛水160升×12＝1920升．答案1920三、解答题11．自行车的前轮胎上有一个标记P，则在自行车前进过程中，P点着地是否具有周期性？解当自行车匀速行驶时，就有周期性；若不是匀速行驶，就没有周期性．12．我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增加或减少．下表是某人在1分钟内血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.点图；(2)血压的变化是周期性的吗？解(1)作出血压P(mmHg)与时间t(s)的散点图．如下图：(2)由散点图可以看出，每经过15 s，血压就重复出现相同的数值，因此血压是周期性变化的．13．古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯有一次处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标有A，B，C，…，G)，一直到指出第1999个数的柱子的标号是哪一个才能停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？A B C D E F G1 2 3 4 5 6 713 12 11 10 9 814 15 16 17 18 1925 24 23 22 21 20… … … … … …… … … … … …解“2,3,4…1997,1998,1999”按“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”12个数字循环出现，周期是12.解法一：先去掉第一行的7个数字，由(1999－7)÷12＝166知：刚好是166个周期，所以数到1999的那根柱子的标号是G.解法二：先把1去掉，(1999－1)÷12＝166……6，第1999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，是G.。
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练20
双基限时练(二十)1．若函数f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析 ∵f (x )＝x 3为奇函数． ∴y ＝f (－x )＝－f (x )＝－x 3.∴y ＝f (－x )在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B. 答案 B2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 仅有α＝－1时，f (x )＝x －1满足题意，因此选A. 答案 A3．已知幂函数y ＝x m 在第一象限内的图象，如图所示．已知m 取2，－2，12，－12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的m 依次是( )A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析 由图象知，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的幂依次从大到小排列，∴选B.答案 B4．函数y ＝x 53的图象大致是( )解析 由于53>1，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当a >1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．答案 B5．函数y ＝log a (2x －3)＋22的图象恒过定点P ，P 在幂函数f (x )的图象上，则f (9)＝( )A.13B. 3 C ．3D ．9解析 由log a 1＝0，对任意a >0且a ≠1都成立知，函数y ＝log a (2x－3)＋22的图象恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，设f (x )＝x α，则22＝2α，故α＝－12，所以f (x )＝x －12，所以f (9)＝9－12＝3－1＝13.答案 A6．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1534，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析 构造幂函数y ＝x 34(x ∈R )，则该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a >b .答案 D7．函数y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析 由y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．答案 ②8．给出以下列结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝a α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．答案 ④9．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝________.解析 ∵－12<－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1，或n ＝2. 答案 －1或2已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x ) (1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数． 解 (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25. (4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.11．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．12．已知幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p 2的实数a 的取值范围．解 ∵幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，∴函数y ＝x 3－p是偶函数．又y ＝x 3－p 在(0，＋∞)上为增函数， ∴3－p 是偶数且3－p >0， ∵p ∈N *，∴p ＝1，∴不等式(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p2化为：(a ＋1) 12<(3－2a ) 12.∵函数y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<3－2a ，a ＋1≥0，3－2a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <23，a ≥－1，a ≤32⇒－1≤a <23，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 常用逻辑用语双基限时练3(含解析)新人教A版选修1-1
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 常用逻辑用语双基限时练3（含解析）新人教A 版选修1-11．“α＝π6”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 α＝π6，cos2α＝cos π3＝12.但co s2α＝12，得2α＝2k π±π3，k ∈Z ，则α可以不等于π6，则“α＝π6”是“cos2α＝12”的充分而不必要条件．答案 A2．设m ，n 是整数，则“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A3．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a －c >b －d ，c >d ，⇒a >b ；而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ，，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要而不充分条件，选B.答案 B4．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 B5．有下述说法：①a >b >0是a 2>b 2的充要条件；②a >b >0是1a <1b的充要条件；③a >b >0是a 3＋b 3>0的充要条件．其中正确的说法有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A6．已知P ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，Q ＝{x |y ＝x ＋1＋3－x }，则“x ∈P ”是“x ∈Q ”的________条件．解析 P ＝[1,3]，Q ＝[－1,3]，∴P ⊆Q . 则x ∈P ⇒x ∈Q ，但x ∈QD ⇒/x ∈P ， 故x ∈P 是x ∈Q 的充分不必要条件． 答案 充分不必要7．若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________．解析 |x －m |<1，即m －1<x <m ＋1， 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12，即－12≤m ≤43，故实数m 的取值范围是[－12，43]．答案 [－12，43]8．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 解析 当圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点时，有|2|k 2＋1>1，即k 2＋1<2， ∴k 2<3，∴－3<k < 3. 答案 －3<k < 3 9．已知p ：－2≤1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 方法1：由x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m ，或x <1－m ，m >0}． 由－2≤1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p ：B ＝{x |x >10，或x <－2}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，结合数轴∴A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.解得m ≥9.方法2：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴綈q ⇒綈p ，且綈pD ⇒/綈q .∴p ⇒q ，且qD ⇒/p ，即p 是q 的充分不必要条件． 结合数轴∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，∴C D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，∴m ≥9.所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．10．证明：“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时，直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1，所以a＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．。
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练6
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练6双基限时练(六)1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析 A 中一个x 对应的y 值不唯一．答案 A2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1与g (x )＝(x ＋1)(x －1) B ．f (x )＝(2x －5)2与g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝(x )4x 与g (t )＝?t t 2 解析 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同，不是相等函数；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为?x |x ≥52，g (x )＝2x－5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－xx 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1的对应关系不同，不是相函数等．D 中，f (x )＝(x )4x ＝x (x >0)与g (x )＝? ??t t 2＝t (t >0)的定义域与对应关系都相同，它们是相等函数．答案 D3．下列函数中，定义域不是R 的是( ) A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝kx ＋2(k 为常数)C ．y ＝x 2＋x －1 D ．y ＝1x 2＋x ＋1答案 B4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析 y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．答案 B5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或a ＝3B ．a ＝－1C ．a ＝3D ．a 不存在解析因为函数f (x )的定义域和值域都为R ，所以函数f (x )是一次函数，所以?a 2－2a －3＝0，a －3≠0，所以a ＝－1.答案 B6．周长为定值a 的矩形，它的面积S 是这个矩形的一边长x 的函数，则这个函数的定义域是( )A ．(a ，＋∞)B ．(a2，＋∞) C ．(a2，a )D.?0，a 2解析根据题意知，矩形的另一边长为a －2x 2＝a2－x ，由x >0，a2－x >0，得0<a<="" p="">2，故这个函数的定义域为?0，a 2.答案 D7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析由题意3a －1>a ，则a >12.答案 ? ??12，＋∞8．若f (x )＝x 2＋x 的定义域为{－1,0,1}，则函数的值域为________．解析f (－1)＝(－1)2－1＝0，f (0)＝02＋0＝0，f (1)＝12＋1＝2，∴函数的值域为{0,2}．答案 {0,2}9．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________.解析由f (a )＝5aa 2＋1＝2，得2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝12，或a ＝2. 答案 12或210．若f (x )＝ax 2－2，且f (f (2))＝－2，求a . 解因为f (2)＝a (2)2－2＝2a －2，所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－2，于是a (2a －2)2＝0,2a －2＝0或a ＝0，所以a ＝22或a ＝0.11．若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．解由函数f (x )的定义域为－2≤x ≤1知，f (－x )的定义域为－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤2.由?－2≤x ≤1，－1≤x ≤2，得－1≤x ≤1. 故g (x )的定义域是[－1,1]． 12．已知函数f (x )＝x 2x 2＋1.(1)求f (2)与f ? ??12，f (3)与f ? ??13；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ? ??1x 有什么关系？并证明你的发现．(3)求值：f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f ? ??12＋f ? ??13＋…＋f ?12014.解(1)∵f (x )＝x 2x 2＋1，∴f (2)＝2222＋1＝45；f ? ????12＝? ??122? ????122＋1＝15. f (3)＝323＋1＝910；f ? ????13＝? ???132? ????132＋1＝110. (2)由(1)可发现f (x )＋f ? ?? 1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ? ????1x ＝x 2x 2＋1＋? ??1x 2? ????1x 2＋1＝x 2x 2＋1＋1x 2＋1＝1.(3)由(2)知，f (2)＋f ? ????12＝1，f (3)＋f ? ????13＝1，…， f (2014)＋f ? ??12014＝1，∴原式＝＝2013.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练11(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(十一)1．把函数f (x )的图象向右平移π12个单位后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则f (x )为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34π C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －512π 解析 用x －π12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的就是f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)解析 当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π2＝π. 答案 D3．要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位解析 把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π8个单位即得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象．因为y ＝cos2x 为偶函数，所以符合题意．答案 C4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是( )A ．－x ＋π6，π6B ．x －π6，－π6C ．x ＋5π6，5π6D ．x ＋5π6，π6解析 因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以相位和初相分别是x ＋5π6，5π6.答案 C5．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 C ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1 D ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 解析 由图象知A ＝2－－2＝3，b ＝－1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π. ∴ω＝2πT＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－4，得－4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π2(k ∈Z )．令k ＝1，解得φ＝π3，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1.答案 C6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析 由题意可得，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2ω，则π2ω＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝4k ，k ∈Z ，因为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.答案 B7．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________． 解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)，∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )． 答案k π5＋π10，k ∈Z 8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________， φ＝________.解析 由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案 2π39．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．解析 令－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3＝0.则4x ＋2π3＝k π，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z .故取k ＝1时，x ＝π12.∴离原点最近的一点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π12，010．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 解析 把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0. ∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω>0，∴ω的最小值为2. 答案 211．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，且以π2为最小正周期． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求f (x )的最值．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，得4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝－12，即x ＝－π12时，f (x )有最小值－32，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝1，即x ＝π12时，f (x )有最大值3.12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)∵x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π4＋φ＝±1. ∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<φ<π2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知φ＝3π8，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π8.由题意得2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即4k π－74π≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图象的所有交点的坐标．解 由图象得A ＝2，T ＝72π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π.则ω＝2πT ＝12，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ. 又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝0，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.由条件知3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，得12x ＋π4＝2k π＋π3(k ∈Z )， 或12x ＋π4＝2k π＋23π(k ∈Z )． ∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z )，或x ＝4k π＋56π(k ∈Z )．则所有交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π6，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋5π6，3(k ∈Z )．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练6(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(六)1．cos300°＝( ) A ．－32B ．－12C.12D.32答案 C2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－12. 答案 A3．sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2化简的结果是( ) A ．0 B ．－1 C ．2sin2D ．－2sin2解析 sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝sin2－sin2＝0. 答案 A4．若tan(7π＋α)＝a ，则α－3π＋π－α－α－π＋α的值为( )A.a －1a ＋1 B.a ＋1a －1C ．－1D ．1解析 由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ， ∴α－3π＋π－α－α－π＋α＝－π－α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1.答案 B5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A.223B ．－223C.13D ．－13解析 ∵π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选D.答案 D6．A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( ) ①cos(A ＋B )＝cos C ②cosB ＋C2＝sin A2③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin A A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③解析 因为cos(A ＋B )＝－cos C ，所以①错；cosB ＋C2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝sin A 2，所以②正确；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，故③正确；sin(2A ＋B ＋C )＝sin(π＋A )＝－sin A ，故④错．所以选C.答案 C7．若θ∈(0，π)，cos(π＋θ)＝35，则sin θ＝__________.解析 ∵cos(π＋θ)＝35，∴cos θ＝－35，故θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin θ＝45.答案 458．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.解析 原式＝sin(90°－α)－sin α＋cos(90°－α)－cos α ＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0. 答案 09．化简：sin(－236π)＋cos 13π7·tan4π－cos 133π＝________.解析 原式＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7·0－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π6＋0－cos π3＝12－12＝0.答案 010．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则π－α＋π＋α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝________.解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴sin α＝2cos α.原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17.答案 1711．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值． 解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14. 12．在△ABC 中，sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2B 2＝sin π－2C 2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C . ∴cos B ＝cos C . ∴B ＝C .∴△ABC 为等腰三角形．13．已知α是第三象限的角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－α－π(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－cos α·sin α－tan α－tan α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15.又α是第三象限的角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265.∴f (α)＝265.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练14(含解析)新人教A版选修2-1
双基限时练(十四)1．到定点(3,5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．线段D ．直线解析 因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线． 答案 D2．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝－4 C ．y ＝－2D ．y ＝－4解析 ∵y 2＝8x ＝2·4x ，∴p ＝4，准线方程为x ＝－p2＝－2.答案 A3．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．8 B ．－8 C.18D ．－18解析 ∵x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a4＝2，∴a ＝－8.答案 B4．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由y ＝2x 2得，x 2＝12y .∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 答案 C5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( ) A ．x 2＝－92y ，或y 2＝43xB ．y 2＝－92x ，或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x解析 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，或y 2＝－2p 1x (p 1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p ·3，或9＝－2p 1(－2)，∴2p ＝43，或－2p ＝－92，故所求的抛物线方程为x 2＝43y ，或y 2＝－92x .答案 B6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程为__________．解析 设抛物线方程为y 2＝ax ，又抛物线过点P (2,4)，则16＝2a ，∴a ＝8， ∴y 2＝8x . 答案 y 2＝8x7．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝__________. 解析 由y 2＝4x 得焦点F (1,0)，代入直线方程得a ＋1＝0.∴a ＝－1. 答案 －18．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝ax ，得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)为AB 的中点，从而a ＝4. 故所求抛物线方程为y 2＝4x . 答案 y 2＝4x9．已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值，抛物线标准方程和准线方程．解 设所求的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F (0，－p2)．∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴m ＝±26，抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．解 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线方程为y 2＝±8x .11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm ，灯深为40 cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．解 如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是y 2＝2px (p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40,30)，代入方程，得302＝2p ×40，即p ＝454，所求的抛物线标准方程为y 2＝452x ，焦点(458，0)．12．若抛物线通过直线y ＝12x 与圆x 2＋y 2＋6x ＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 2＋y 2＋6x ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－245，y ＝－125.根据题意可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)或y 2＝－2mx (m >0)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－245，－125在抛物线上，∴p ＝245，m ＝35.∴所求抛物线方程为x 2＝－485y 或y 2＝－65x .。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量双基限时练20(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(二十)1．已知|a |＝6，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ²b 等于( ) A ．6＋ 3 B ．6－ 3 C ．6D ．7解析 a ²b ＝|a ||b |cos60°＝6³2³cos60°＝6. 答案 C2．已知|a |＝2，|b |＝4，a ²b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 cos θ＝a ²b |a ||b |＝－42³4＝－12，∵θ∈[0°，180°]， ∴θ＝120°，故选D. 答案 D3．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a ²b ＝( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析 由题意，得|a |cos 〈a ，b 〉＝32，∴a ²b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3³32＝92.答案 B4．已知向量a ，b 满足a²b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4D ．8解析 |2a －b |2＝4a 2－4a ²b ＋b 2＝8， ∴|2a －b |＝2 2. 答案 B5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )²(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析 (a ＋2b )²(a －b )＝a 2＋2a ²b －a ²b －2b 2＝a 2＋a ²b －2b 2＝－32，又a ²b ＝|a ||b |cos 2π3＝|a |³4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2|a |， ∴|a |2－2|a |－2³42＝－32. ∴|a |＝2，或|a |＝0(舍去)． 答案 A6．在△ABC 中，若AB →2＝AB →²AC →＋BA →²BC →＋CA →²CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形解析 因为AB →2＝AB →²AC →＋BA →²BC →＋CA →²CB →＝AB →²(AC →－BC →)＋CA →²CB →＝AB →²AB →＋CA →²CB →，所以CA →²CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D.答案 D7．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________.解析 设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x 2＋y 2＝45.∴x 2＝9.∴x ＝±3，又a ＝(－1,2)与b 方向相反． ∴b ＝(3，－6)． 答案 (3，－6)8．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b|(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________.解析 由|k a ＋b |＝3|a －k b|，得k 2a 2＋2k a ²b ＋b 2＝3a 2－6k a ²b ＋3k 2b 2， 即(k 2－3)a 2＋8k a ²b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝1，|b |＝1，a ²b ＝1³1cos60°＝12，∴k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案 19．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ²(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为________．解析 ∵|a |＝2，a ²(a ＋b )＝1， ∴a 2＋a ²b ＝2＋a ²b ＝1.∴a ²b ＝－1.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a ||b |＝－12³1＝－22， 又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案3π410．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →²BE →＝1，则AB 的长为________．解析 因为BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝AD →－12AB →，所以AC →²BE →＝(AB →＋AD →)²⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AD →²AB →－12AB →2＝1＋12³1³|AB →|cos60°－12|AB →|2＝1，所以14|AB →|－12|AB →|2＝0，解得|AB →|＝12.答案 1211．在△ABC 中，|BC →|＝4，|CA →|＝9，∠ACB ＝30°，求BC →²CA →. 解 如图所示，BC →与CA →所成的角为∠ACB 的补角即150°，又因为|BC →|＝4，|CA →|＝9，所以BC →²CA →＝|BC →|²|CA →|cos150°＝4³9³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－18 3. 12．已知|a |＝1，a ²b ＝12，(a －b )²(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵(a －b )²(a ＋b )＝12，∴|a |2－|b |2＝12.∵|a |＝1，∴|b |＝|a |2－12＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a ||b |＝121²22＝22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝12，∴|a －b |＝22. ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝52，∴|a ＋b |＝102. 设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a －b a ＋b|a －b ||a ＋b |＝1222³102＝55. 13．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时． (1)求t 的值(用a ，b 表示)； (2)求证：b 与a ＋t b 垂直．(1)解 |a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ²b ＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋a ²b b 22＋a 2－a ²b 2b 2.当t ＝－a ²bb 2时，|a ＋t b |取最小值．(2)证明 (a ＋t b )²b ＝a ²b ＋t b 2＝a ²b －a ²b b 2³b 2＝0，所以a ＋t b 与b 垂直．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-7-1 定积分在几何中的应
用双基限时训练 新人教版选修2-2
1．由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b和x轴围成的曲边梯形的面积
S
等于( )
A.abf(x)dx， B．－abf(x)dx
C.ab[f(x)－a]dx D.ab[f(x)－b]d
x
答案 B
2．如图，阴影部分的面积为( )
A.abf(x)dx
B.abg(x)dx
C.ab[f(x)－g(x)]dx
D.ab[f(x)＋g(x)]dx
解析 阴影部分的面积
S＝abf(x)dx＋|abg(x)dx|
＝abf(x)dx－abg(x)dx
＝ab[f(x)－g(x)]dx.
答案 C
3．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于( )
A.1－1(x－x3)dx B.1－1(x3－x)d
x
C．201(x－x3)dx D．20－1(x－x3)d
x
解析 由 y＝x3，y＝x，得交点A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，如下图所示．
∴阴影部分的面积为S＝201(x－x3)dx.
答案 C
4．曲线y＝cosx(0≤x≤32π)与坐标轴所围成的面积为( )
A．2 B
．3
C.52 D
．4
解析 利用函数y＝cosx在0≤x≤3π2的图知，所求面积为S＝3∫π20cosxdx＝
3(sinx) π20＝3.
答案 B
5．如图阴影部分面积为( )
A. 23 B
. 9－23
C.323 D
.353
解析 S＝1－3(3－x2－2x)dx
＝(3x－13x3－x2) 1－3
＝53＋9＝323.
答案 C
6．f(x)＝ x＋1 －1≤x<0，cosx 0≤x≤π2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为
( )
A.32 B
. 1
C. 2 D
.12
解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为
S＝12×1×1＋∫π20cosxdx
＝12＋sinx π20＝32.
答案 A
7．曲线y＝1x与直线y＝x，x＝2所围成图形的面积为________．
解析 示意图如图所示，
所求面积为S＝12(x－1x)dx＝(12x2－lnx) 21＝32－ln2.
答案 32－ln2
8．设函数f(x)＝3x2＋c，若01f(x)dx＝5，则实数c的值为________．
解析 ∵01f(x)dx＝01(3x2＋c)dx
＝(x3＋cx) 10＝1＋c＝5，
∴c＝4.
答案 4
9．设a>0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析 依题意得，由y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积S＝0axdx＝23x
3
2
|
a0＝23a32＝a2
，∴a＝49.
答案 49
10．求正弦曲线y＝ sinx，x∈[0，3π2]和直线x＝3π2及x轴所围成的平面图形的面积．
解 如图，当x∈[0，π]时，曲线
y＝ sinx位于x轴上方，而当x∈[π，3π2]时，曲线位于x轴下方，因此所求面积应
为两部分面积之和．
∴S＝0π sinxdx＋|∫3π2π sinxdx|
＝0π sinxdx－∫3π2π sinxdx
＝－cosx π0＋cosx 32ππ
＝2＋1＝3.
11．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k
的值．
解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，抛物线与x轴所围成的面
积S＝01(x－x2)dx＝x22－x33 10＝16.
抛物线y＝x－x2与直线y＝kx两交点的横坐标为0和1－k，
∴12S＝∫1－k0(x－x2－kx)dx＝x22－x33－k2x2 1－k0＝16(1－k)3＝112.
∴(1－k)3＝12，k＝1－312＝1－342.
12．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成图形(如图阴影部分)的
面积的最小值．
解 由定积分与微积分基本定理得S＝S1＋S2＝0t(t2－x2)dx＋t1(x2－t2)dx＝(t2x－
1
3
x3) t0＋13x3－t2x 1t＝t3－13t3＋13－t2－13t3＋t3＝43t3－t2＋13，t∈(0,1)．
S′＝4t2－2t＝2t(2t－1)．
当0
∴当t＝12时，S有最小值Smin＝14.