专题训练二二次函数图象与abcbac等符问题
二次函数图像与abc符号关系课件
目 录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像分析 • 二次函数的abc符号变化对图像的影响 • 实际应用举例 • 总结与思考
01
二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。
于负半轴。
对二次函数图像与abc符号关系的深入思考
a符号与开口大小的关系
虽然a决定了开口方向，但a的绝对值大小也会影响开口的大小。当|a|越大，开口越宽； 当|a|越小，开口越窄。
b符号与对称性的关系
b的符号和大小决定了抛物线的对称性。当b=0时，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛物 线关于x=−b/2a对称。
详细描述
在二次函数的一般形式$f(x) = ax^2 + bx + c$中，$a, b, c$分别被称为二次项系数、一次项系数和常数项。它 们的符号决定了函数的开口方向、顶点位置等性质。例如，当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$时，函 数图像开口向下。
二次函数的开口方向与abc符号的关系
04
实际应用举例
利用二次函数解决实际问题
总结词
通过理解二次函数的图像和abc符 号关系，可以解决一些实际问题 。
详细描述
二次函数图像的开口方向、顶点 位置和对称轴等特性，可以帮助 我们解决一些实际问题，例如最 值问题、面积问题等。
二次函数在数学建模中的应用
总结词
二次函数是数学建模中常用的函数之 一，可以用来描述一些实际问题中的 数量关系。
05
总结与思考
二次函数专题训练1——图像特征与a、b、c、△符号的关系
二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系11、已知二次函数2y ax bx c =++，如下图，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ）y y y yx x x x A B C D2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下图，则点(,)ac bc 在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、已知二次函数2y ax bxc 的图象如下， 则以下结论准确的是 （ ）A 0abB 0bcC 0a b cD 0a b c4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如下图，则以下结论： ①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中准确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，ca ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、二次函数2y ax bx c =++的图象如下图，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，240b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，240b ac ->y x7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )8、已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图，则以下结论 准确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜09、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图， 则以下说法不准确的是（ ）A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a -<10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则以下各式中成立的个数是（ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜－2b．A ．1B 2C .3 D. 4 11、已知二次函数的图象如下图，有以下5 个结论：① ；②；③；④；⑤，（的实数）其中准确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一局部，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中准确结论是（ ）．A ②④B ①④C ②③D ①③13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如下图，以下结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中准确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个14、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 215、已知：二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为以下图像之一，则a 的值为（ ）A .－1B ． 1C . －3D . －4 16、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图,则以下结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中准确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个17、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如下图，有以下结论： ①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，准确结论的个数是（ ）A . 1B . 2C . 3D . 418、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如下图，以下结论：①a+b+c>0；②a-b+c>0；③abc<0；④2a-b=0，其中准确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 419、已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如下图，•则以下结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2y– 1 3 3 O xP1yxO 1x =1-2-时，x 的值只能取0.其中准确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20、已知：二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为以下图像之一，则a 的值为（ ）A .－1B ． 1C . －3D . －421、已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）22、函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )23、函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 的图象如下图, 则以下选项中 准确的是( )A. ab>0,c>0B. ab<0,c>0C. ab>0,c<0D. ab<0,c<024、已知反比例函数xky =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）yOxyOx yOxyO xyOxA ．B ．C ．D ．xOy二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系21、)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2的图象大致为 （ ）y y y yO x O O x O xA B C D2、已知函数y=ax 2+ax 与函数，则它们在同一坐标系中的大致图象是( )3、在同一坐标系中，函数)0(2>++=+=b c bx ax y c ax y 和的图象大致是（ ）4、函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）5、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）OxyDA Ox yOx yOxyx yO Ａ． xy O Ｂ．xyO Ｃ．xyOＤ．6、次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图，反比例函数y＝ax与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．7、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）8、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：(1)b_______0(填“>、”、“<”、“=”)；(2)当x满足______________时，ax2+bx+c>0：(3)当x满足______________时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．9、如图为二次函数y=ax2＋b x＋c的图象，在以下说法中：①ac＜0；②方程ax2＋b x＋c=0的根是x1=－1, x2= 3③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。
二次函数系数a、b、c与图像的关系填空题专题练习(含答案).doc
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系填空题专题练习1、二次函数y=-x2+bx+c 的图象如图所示，试确定b 、c 的符号；b ____________ 0, c ________ 0.(填不等号)5、已知函数y 二ax"+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中:®abc>0；②b 二2。
；③a+b+c<0；④a-b+c>0.正 确的是 _________ •0； (4) b 2-4ac_ 0.如图，已知抛物线y 二ax'+bx+c(aH0)经过原点和点(-2, 0),则2a -3b0.(填 >、V 或二) 象限.0； (3)c则直线y=abx+c 不过第6、已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（—1, 0）和点B,化简：如夕★如护的结杲为：①c;②b;③b—a;④a —b + 2c.其中正确的有________________ .7、二次函数y=-x2+bx + c的图象如图，则一次函数y=bx+c的图象不经过第_______________ 象限.8、若二次函数x2+bx+c的图象如图，则ac 0 （“V” “>”或“二”）9、已知二次函数y二ax'+bx+c（aH0）的图象如图所示，则在下列代数式：①ac；②a+b+c；③4a-2b+c；④2a+b；⑤圧-4ac中，值大于0的序号为__________________10、如图是二次函数y=ax2 + bx + c（a^0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b + c二0；②b>2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为一3 和1:④a—2b+c>0.其中正确的命题是 ______________ ・（只要求填写正确命题的序号）有以下结论：①abc>0；②a - b+c<0；③2d二b；④4a+2b+c>0；⑤若点（・2, y（）和（・3, y2）在该图象上，则yi>y2.其中正确的结论是 ______________ （填入正确结论的序号）.12、如图是二次函数ypx'+bx+c 的部分图像,在下列四个结论中正确的是 _________________① 不等式 ax 2+bx+c>0 的解集是-l<x<5；②a-b+c>0；③b 2-4ac>0；④4a+b<0.下列结论：①4a+b 二0；②9a+c>3b ；③8a+7b+2c>0；④当x>・1时，y 的值随x 值的增大而增大.其中正确的结论有 ______________________ （填序号）14>二次函数y=ax^+bx+c （aHO ）的图象如图所示，下列结论：①2a+b 二0；②a+c>b ；③抛物线与 x 轴的另一个交点为（3, 0）；④abc>0.其中正确的结论是 _____________________ （填写序号）.15、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图彖的一部分，图彖过点A （ - 3, 0）,对称轴为直线X 二・1,给 出四个结论:①b 2>4ac ；②2a+b 二0；③a+b+c>0；④若点B （ - 2. 5, yj , C （ - 0. 5, y 2）为函数图象上的两 点，则yi<y2.其中正确结论是 __________________ ・图象过点（-1, 0）,对称轴为直线x=2,16、如图，是二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象的一部分，给出下列命题：①abc<0；②b>2a；③a+b+c二0④ax'+bx+c二0的两根分别为・3和1；⑤8a+c>0. 其中正确的命题是____________________________ ・17>二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，下列结论:①2a+b>0；②abc<0；③b2 - 4ac>0；④a+b+c<0；⑤la・2b+c<0,其中正确的个数是______________________ .y八18、如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-l.且过点(0.5, 0),有下列结论：①abc>0；②a-2b+4c=0；③25a・ 10b+4c=0；④3b+2c>0；⑤a - b^m (am - b)；其中所有正确的结论是___________________ .(填写正确结论的序号)19、己知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，纟合出以下结论: ®b2>4ac；②abc>0③2a-b=0；④8a+c<0；⑤9a+3b+c<0.其中结论正确的是___________ .(填正确结论的序号)x=l20、在二次函数y=ax2+bx+c的图彖如图所示，下列说法中：①b‘・4ac<0；②2占>0；③abc>0；®a-b-c>0,说法正确的是(填序号).21>已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，有下列5个结论：①c二0；②该抛物线的对称轴是直线x二・1；③当x=l时，y=2a；④am2+bm+a>0 (mH - 1)；⑤设A (100, yi) , B (・100, y2)在该抛物线上，则yi>y2.其中正确的结论有・(写出所有正确结论的序号)22、已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c<0；②a - b+c<0；③b+2a<0；④abc>0,其屮正确的是_________________ (填编号)23、如图是二次函数y=ax2+bx+c (aHO)图彖的一部分，现有下列结论：①abc<0；②b?・4ac+5> 0；③2a+b<0；④a-b+c<0；⑤抛物线y=ax2+bx+c (a^O)与x轴的另一个点坐标为(・1, 0), 其屮正确的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)y八24、己知实数m, n满足m - n2=l,则代数式n/+2n2+4ni - 1的最小值等于_____________ •25、如图所示，己知二次函数y二ax'+bx+c的图象经过（-1, 0）和（0, -1）两点，则化简代数式_ 乎 + 4 + + 乎 _ 4 二 _______________ .\26如图，抛物线y二ax'+bx+c与x轴交于点A （・1, 0）,顶点坐标为（1, n）,与y轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点），则下列结论：①当x>3时，y<0；②3a+b>0；③_2④3WnW4中，正确的是_______________27、已知二次函数y二ax'+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+cVO；②a - b+c> 1；③abc>0；④4a - 2b+c<0；其中正确的结论是 ______________28、已知二次函数ypx'+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1, 0） , （3, 0）.对于下列命题：①b-2a=0；②abc<0；③a-2b+4c<0；④8a+c>0.其中正确的有___________________________ .29、已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，下列结论:①bV0；②4a+2b+c<0； (3)a・b+c>0；④(a+c) 2<b2.其中正确的是___________________ (把所有正确结论的序号都填在横线上).30^己知二次函数y二ax'+bx + c的图象如图所示，则下列结论：①c二2；②b2—4ac<0；③当x=l时，y的最小值为a+b+c中，正确的有___________________31、已知二次函数y=ax'+bx+c(a^O)的图像如图所示，(1)给出三个结论：①『-4眈>0；②c>0；③b>0,其中正确结论的序号是： ___________ ・(2)给出三个结论：①9a+3b+c〈0：②2c>3b；③8a+c>0，其中正确结论的序号是：________________32、已知抛物线y=ax2+bx+c(a^0)经过点(一1, 0),且顶点在第一象限.有下•列三个结论：①a<0；②a+b+c>0；③一2a >0.其中止确的结论有______________ .丄33>如图，抛物线yi=a (x+2) 2 - 3与2 (x・3) ?+1交于点A(l, 3),过点A作x轴的平行线, 分别交两条抛物线于点B, C.则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②沪1；③当x=0 时，y2 - yi=4④2AB=3AC.34、如图，抛物线"曲"窈-3与卩飞“耳+1交于点八（］,3）,过点A作x轴的平行_2线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x収何值，乃的值总是正数；②■亍；③当x二0时，y2-yi二6；④AB+AC二10；⑤刃时乃°,其中正确结论的个数是： ________________ .35>函数y二x'+bx+c与y二x的图象如图所示，有以下结论：①b'-4c>0；②3b+c+6=0；③当lVx< 3时，x2+ （b - 1） x+c<0；④JQ+C? = 3迥.其屮正确的有 _______________ .36、如图抛物线y=ax2+bx+c与只轴的一个交点A在点（-2, 0）和（-1, 0）之间（包括这两个点）, 定点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，贝9：（1）_____________ abc 0（填或“〉”；（2）___________________________ 8的取值范围是.1、答案为：V >;2、答案为：(1)> (2)< (3)> (4)>；3、答案为：>；4、答案为：四;5、答案为：①③④.6、答案为：①③④;7、答案为：四；8、答案为：<；9、答案为:10、答案为11、答案为12、答案为13、答案为14、答案为15、答案为16、答案为17、答案为18、答案为19、答案为20、答案为21、答案为22、答案为23、答案为24、答案为25、答案为26、答案为27、答案为28、答案为29、答案为30、答案为31、答案为32、答案为33、答案为34、答案为35、答案为①②⑤；①③；②④.①③；①③；①④.①④.①③④⑤.3.①③⑤.①②⑤；②③④.①②④⑤.②③.②、④.2a；①③.①③.©:①③④.①③；①；①③①②③；①④.①②④⑤,②③④；参考答案36、答案为：<。
二次函数专题-abc的符号问题
练习
6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a<0, b>0, c<0, o x △<0.
小结：
b2-4ac的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
二次函数 y=ax²+bx+c 的图像 ---a,b,c符号问题
知识回顾
对于二次函数y=ax² +bx+c （ a≠0 ）的 图象及图象的形状、开口方向、顶点、对称轴及图 象性质？
b 4ac-b （ 2a ， 4a ）
2
b 直线 x 2a
( x1 ,0), ( x2 ,0).
2
x1 , x2是方程ax bx c 0的两个根。
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
由x=1时抛物线上的点的位置确定 （5）a+b+c的符号： （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定 （7）2a±b的符号：
无论m为何值时， 0. 抛物线与x轴只有一个交点 . (2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限
抛物线与x轴总有交点，且当 ＝0时，即m＝3时，
小结 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 由抛物线与y轴的交点位置确定 （2）C的符号： （3）b的符号： 由对称轴的位置确定
二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题
二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题一选择题1.如图所示，抛物线的图象则下列结论正确的是（）A a<0，b<0，c＞0，b2＜4acB a<0，b>0，c<0，b2＜4acC a<0，b>0，c＞0，b2>4acD a>0，b<0，c＞0，b2>4ac2.如图a＜0，c＞0那么y＝ax2＋bx＋c的图象是（）3.已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（）A l个 B 2个 C 3个 D 4个4.二次函数y=mx2+2mx-（3-m）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A m＜3B m＞3C m＞0D 0＜m＜35.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如右图所示，若y<0，则x的取值范围是（）A −1<x<4B -1<x<3C x<-1或x>4D x<-1或x>37.在某次投篮中，球的运动路线是y=-0.2x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离为( )A 3.5mB 4mC 4.5mD 4.6m8.若抛物线y=x2+8x+h2的顶点在x轴上，则（）A h=0 B h=±16 C h=±4 D h=49.如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0，那么必有（）A a＞0，m取任意实数B a＞0，m＞0C a＜0，m＞0D a，m均可取任意实数10.已知a-b+c=0，9a+3b+c=0，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点可能在( )A 第一或二象限B 第三或四象限C 第一或四象限D 第二或四象限11.抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c ＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12.物线y=ax2+bx+c(a≠0)全部图象都在x轴下方，则( )A a>0，b2-4ac≥0B a>0，b2-4ac<0C a>0，b2-4ac≥0D a<0，b2-4ac<0二填空题13.若二次函数y=(a-1)x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a=________14.不论x取什么实数，y=2x2-6x+m的图象都在x轴的上方，那么m的取值范围是________；y=mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝15.二次函数y＝x2-(m-4)x+9的图象的顶点在y轴上，则m＝16.二次函数y＝x2＋2kx＋8的顶点在x轴上，则k＝17.已知抛物线y＝x2－2（k+1）x＋16的顶点在x轴上，则k的值为______18.抛物线y＝x2－(m－4)x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，其顶点坐标为______19.已知抛物线y＝x2+2（m－3）x＋1的顶点在x轴上，则m＝______顶点坐标是_________20.平移抛物线y = x2+2x-8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式21.如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________22.把抛物线y=2(x+1)2向下平移______单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为523.抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____________,若将它旋转180后得新的抛物线,其解析式为____________________24.把y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有b=_____，c=_____三解答题25.如图，抛物线y＝ax2+bx＋c确定a，b，c，b2-4ac，a+b+c，a-b+c的符号26.抛物线y＝ax2+bx＋c的图像如图，对称轴是直线x＝－1确定a,b,c，Δ及a－b＋c 的符号27.已知抛物线y＝ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．28.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大.正确的说法有_____________29.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图所示）．（1）请你直接写出O、A、M三点的坐标；（2）一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面在同一平面）？30.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.（1）求二次函数的关系式；（2）把Rt△ABC 放在坐标系内，其中∠CAB=900，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题答案1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.B8.C9.B 10.C 11.D 12.D11.分析（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；（3）画草图可知c＞0，结合a﹣b+c ＝0，可整理得﹣a+b+c＝2c＞0，从而求得﹣a+b+c＞0；（4）把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c﹣2a＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c＝0 ①，又因为4a+2b+c＞0 ②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y＝ax2+bx+c（a＜0）当x＝2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c＝0，∴﹣a+b﹣c＝0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c＝2c，整理得﹣a+b+c＝2c＞0，即﹣a+b+c＞0；（4）∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0∴b2﹣2ac﹣5a2＝（a+c）2﹣2ac﹣5a2＝c2﹣4a2＝（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞04a+2（a+c）+c＞0，即2a+c＞0①，∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②，由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2,综上可知正确的个数有4个．故选：D．13.2 14.m＞9／2，2 15.4 16.±22 17.3或-5 18.（0，-4） 19.4或2，（1,0）或（-1,0） 20.y=x2+2x 21.k＜-9／8 22. 25／2 23.（-2,0），y=3（x+2）2 24.3，725. a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0，a+b+c＞0，a-b+c＜026.a＜0，b＜0，c＞0，△＞0，a-b+c＞027.解：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，∵对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，∴b＜0，又与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，故a＞0，b＜0，c＜0；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），∴a﹣b+c＝0，c＝﹣1，即a﹣b＝1，a＝b+1，∴a+b+c＝b+1+b﹣1＝2b，∵b＜0，∴2b＜0，∵a＞0，∴b+1＞0，∴b＞﹣1，2b＞﹣2，故，﹣2＜a+b+c＜0．28.①②④29.解：（1）解：如图，O（0，0）．∵OA为6米，∴A（6，0），又∵BM的对称轴，BM为3米，∴M（3，3）．综上所述，O（0，0），A（6，0），M（3，3）．（2）设抛物线的关系式为y＝a（x﹣3）2+3，因为抛物线过点（0，0），所以0＝a（0﹣3）2+3，解得a＝﹣，所以y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x，要使木板堆放最高，依据题意，得B点应是木板宽CD的中点，把x＝2代入y＝﹣x2+2x，得y＝，所以这些木板最高可堆放米．30.解：（1）∵M（1，﹣2），N（﹣1，6）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，∴，解得二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+1．（2）Rt△ABC中，AB＝3，BC，＝5，∴AC＝4，4＝x2﹣4x+1，x2﹣4x﹣3＝0，解得（负值不合题意舍去），∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移（1+）个单位．。
专题训练二二次函数图象与abcbac等符问题
专题训练二二次函数图象与a;b;c;b2－4ac等符号问题二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象特征与a;b;c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1a是常数;a≠0;下列结论正确的是A．当a＝1时;函数图象过点－1;1B．当a＝－2时;函数图象与x轴没有交点C．若a＞0;则当x≥1时;y随x的增大而减小D．若a＜0;则当x≤1时;y随x的增大而增大2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示;则下列关系式错误的是图2－ZT－1A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜03．以x为自变量的二次函数y＝x2－2b－2x＋b2－1的图象不经过第三象限;则实数b的取值范围是A．b≥错误!B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤24．2017·威海已知二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象如图2－ZT－2所示;则正比例函数y＝b＋cx与反比例函数y＝错误!在同一坐标系中的大致图象是图2－ZT－2图2－ZT－35．2017·安徽已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝错误!的图象在第一象限有一个公共点;其横坐标为1;则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是图2－ZT－46．2017·烟台二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象如图2－ZT－5所示;对称轴是直线x ＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是图2－ZT－5A．①④B．②④C．①②③D．①②③④7．2017·鄂州如图2－ZT－6;抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A－2;0和点B;交y轴负半轴于点C;且OB＝OC.下列结论：①2b－c＝2；②a＝错误!；③ac＝b－1；④错误!＞0;其中正确的结论有图2－ZT－6A．1个B．2个C．3个D．4个8．2017·齐齐哈尔抛物线y＝ax2＋bx＋ca≠0的对称轴为直线x＝－2;与x轴的一个交点在－3;0和－4;0之间;其部分图象如图2－ZT－7所示;则下列结论：①4a－b＝0；②c＜0；③－3a＋c＞0；④4a－2b＞at2＋btt为实数；⑤点错误!;错误!;错误!是该抛物线上的点;则y1＜y2＜y3.正确的结论有图2－ZT－7A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分如图2－ZT－8所示;则a的取值范围是________．图2－ZT－810．2017·天水如图2－ZT－9是抛物线y1＝ax2＋bx＋ca≠0的图象的一部分;抛物线的顶点坐标是A1;3;与x轴的一个交点是B4;0;直线y2＝mx＋nm≠0与抛物线交于A;B两点;下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是－1;0；④当1＜x＜4时;有y2＞y1；⑤xax＋b≤a＋b.其中正确的结论是________．只填写序号图2－ZT－911．2017·株洲如图2－ZT－10;二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧;其图象与x轴交于点A－1;0;Cx2;0;且与y轴交于点B0;－2;小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时;x2＞错误!－1.以上结论中;正确的结论序号是________．图2－ZT－1012．如图2－ZT－11;二次函数y＝ax2＋bx＋ca>0的图象的顶点为D;其图象与x轴的交点A;B的横坐标分别为－1;3;与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a ＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝错误!时;△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________只填序号．图2－ZT－11三、解答题13．如图2－ZT－12;二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B;C两点;交y轴于点A.1根据图象确定a;b;c的符号；2如果OC＝OA＝错误!OB;BC＝4;求这个二次函数的表达式．图2－ZT－1214．已知函数y＝ax2＋bx＋c;若a＞0;b＜0;c＜0;则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的若无交点;请说明理由；若有交点;请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．详解详析专题训练二二次函数图象与a;b;c;b2－4ac等符号问题1．答案D2．解析D抛物线开口向下;则a＜0;所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧;a;b异号;则b＞0;所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点;则b2－4ac＞0;所以C选项的关系式正确；当x＝1时;y＞0;即a＋b＋c＞0;所以D选项的关系式错误．3．答案A4．答案C5．解析B由公共点的横坐标为1;且在反比例函数y＝错误!的图象上;当x＝1时;y＝b;即公共点的坐标为1;b．又点1;b在抛物线上;得a＋b＋c＝b;即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0;一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上;而反比例函数y＝错误!的图象的一支在第一象限;故b＞0;一次函数的图象满足y随x的增大而增大;选项B符合条件．故选B.6．解析C①抛物线的开口向上;所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－错误!＝1;所以b<0;所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点;所以b2－4ac>0;所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知;当x＝1时;y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴;所以c<0;所以a＋b＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x＝3时;y＝9a＋3b＋c>0.又－错误!＝1;所以b＝－2a;所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知;正确的是①②③.故选C.7．解析C在y＝ax2＋bx＋c中;当x＝0时y＝c;∴C0;c;∴OC＝－c.∵OB＝OC;∴B－c;0．∵A－2;0;∴－c;－2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根;∴－c·－2＝错误!.∵c≠0;∴a＝错误!;②正确；∵－c;－2是一元二次方程错误!x2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根;∴－c＋－2＝－错误!;即2b－c＝2;①正确；把B－c;0代入y＝ax2＋bx＋c;得0＝a－c2＋b·－c＋c;即ac2－bc＋c＝0.∵c≠0;∴ac－b＋1＝0;∴ac＝b－1;③正确；∵抛物线开口向上;∴a＞0.∵抛物线的对称轴在x轴左侧;∴－错误!＜0;∴b＞0;∴a＋b＞0.∵抛物线与y轴负半轴交于点C;∴c＜0.∴错误!＜0;④错误．8．解析B∵抛物线y＝ax2＋bx＋ca≠0的对称轴为直线x＝－2;∴－错误!＝－2;∴4a－b＝0;故①正确；∵抛物线y＝ax2＋bx＋ca≠0的对称轴为直线x＝－2;与x轴的一个交点在－3;0和－4;0之间;∴另一个交点位于－1;0和0;0之间;∴抛物线与y轴的交点在原点的下方;∴c＜0.故②正确；∵4a－b＝0;∴b＝4a.∵当x＝－3时;y＝9a－3b＋c＝9a－12a＋c＝－3a＋c>0;故③正确；∵4a－b＝0;∴b＝4a;∴at2＋bt－4a－2b＝at2＋4at－4a－2×4a＝at2＋4at＋4a＝at2＋4t＋4＝at＋22.∵t为实数;a＜0;∴at＋22≤0;∴at2＋bt－4a－2b≤0;∴at2＋bt≤4a－2b;即4a－2b≥at2＋bt;∴④错误；∵点错误!;错误!;错误!是该抛物线上的点;∴将它们描在图象上可得由图象可知：y1<y3<y2;故⑤错误．综上所述;正确的有3个．故选B.9．答案－1＜a＜0解析∵抛物线开口向下;∴a＜0.∵函数图象过点0;1;∴c＝1.∵函数图象过点1;0;∴a＋b＋c＝0;∴b＝－a＋c＝－a＋1．由题意知;当x＝－1时;应有y＞0;∴a－b＋c＞0;∴a＋a＋1＋1＞0;∴a＞－1;∴a的取值范围是－1＜a＜0.10．答案②⑤解析①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知;a＜0;b＞0;c＞0;故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知;方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根;即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知;抛物线与x轴的另一个交点是－2;0；④根据函数图象;当1＜x＜4时;有y2＜y1；⑤当x＝1时;y＝a＋b＋c＝3≥xax＋b＋c;∴xax＋b≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．答案①④解析由抛物线的开口向上可知;a＞0;且抛物线经过点A－1;0;B0;－2;对称轴在y轴的右侧可得错误!即a－b＝2;b＜0;故a＝2＋b＜2.综合可知0＜a＜2；由a－b＝2可得a＝b＋2;将其代入0＜a＜2中;得0＜b＋2＜2;即－2＜b＜0；当|a|＝|b|时;因为a＞0;b＜0;故有a＝－b.又a－b＝2;可得a＝1;b＝－1.故原函数为y＝x2－x－2;当y＝0时;即有x2－x－2＝0;解得x1＝－1;x2＝2;此时x2＝2＞错误!－1.故答案为：①④.12．答案③④解析∵抛物线与x轴的交点A;B的横坐标分别为－1;3;∴AB＝4;对称轴为直线x＝－错误!＝1;∴b＝－2a;即2a＋b＝0.故①错误；根据图象知;当x＝1时;y＜0;即a＋b＋c＜0.故②错误；∵点A的坐标为－1;0;∴a－b＋c＝0;而b＝－2a;∴a＋2a＋c＝0;即c＝－3a.故③正确；当a＝错误!时;b＝－1;c＝－错误!;抛物线的函数表达式为y＝错误!x2－x－错误!.设对称轴直线x＝1与x轴的交点为E;∴把x＝1代入y＝错误!x2－x－错误!;得y＝错误!－1－错误!＝－2;∴点D的坐标为1;－2;∴AE＝2;BE＝2;DE＝2;∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形;∴△ABD为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB为等腰三角形;则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC;当AB＝BC＝4时;∵BO＝3;△BOC为直角三角形;OC的长为|c|;∴c2＝16－9＝7.∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上;∴c＝－错误!;与2a＋b＝0;a－b＋c＝0联立组成方程组;解得a＝错误!；当AB＝AC＝4时;∵AO＝1;△AOC为直角三角形;OC的长为|c|;∴c2＝16－1＝15.∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上;∴c＝－错误!;与2a＋b＝0;a－b＋c＝0联立组成方程组;解得a＝错误!；当AC＝BC时;在△AOC中;AC2＝1＋c2;在△BOC中;BC2＝c2＋9.∵AC＝BC;∴1＋c2＝c2＋9;此方程无解．∴只有两个a值满足条件．故⑤错误．综上所述;正确的结论是③④.13．解：1∵抛物线开口向上;∴a>0.又∵对称轴x＝－错误!<0;∴a;b同号;即b>0.∵抛物线与y轴交于负半轴;∴c<0.综上所述;a>0;b>0;c<0.2∵OC＝OA＝错误!OB;BC＝4;∴点A的坐标为0;－1;点B的坐标为－3;0;点C的坐标为1;0．把A;B;C三点的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c中;可得错误!解得错误!∴该二次函数的表达式是y＝错误!x2＋错误!x－1.14．解：∵a＞0;b＜0;c＜0;∴b2－4ac＞0;∴这个函数图象与x轴有两个交点．设这个函数图象与x轴的交点坐标为x1;0;x2;0．∵x1·x2＝错误!;a＞0;c＜0;∴x1·x2＜0;∴这个函数图象与x轴有两个交点;一个交点在x轴的正半轴上;另一个交点在x轴的负半轴上．。
二次函数符号问题
o
x
△>0.
8
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b>0, c=0,
o
x
△>0.
9
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b<0, c>0,
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
①a____0 ＜ ， ②b_____0, ＜ ③c_ ＞ __0， ＞ ， ④b2-4ac_____0 -2 -1 0 1
⑤a+b+c_____0, ＜
⑥2a+b_ ＜__0.
2.已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象右图，5
①3a-b = ② ＞
0, 0.
----达标 5 ~ 10 ----优秀 13 ----NO.1
小 结 一
a的符号： 由抛物线的 开口方向确定 b的符号： 由抛物线的对称轴的位置 确定
C的符号： 由抛物线与
y 轴的 交点位置 确定:
7
由抛物线与 x 轴交点 个数 决定 的符号：
火眼金睛
二次函数复习系列二、利用二次函数的图像和性质确定a、b、c及相关代数式的符号
二次函数的图像和性质确定a 、b 、c 及相关代数式的符号符号的确定1、确定a 、b 、c 的符号(1)二次函数：c bx ax y ++=2，a 的符号由________决定； (2) 2-b a 的符号由________决定，结合a 的符号，可确定______的符号； (3)c 的符号由_____决定，当抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴时，c _____，当抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴时，c ______。
(4)确定了a 、b 、c 的符号，易确定abc 的符号。
2、确定类似代数式a +b +c 的符号当x =1时， y =a +b +c 。
因此代数式a +b +c 的符号______决定；与之类似的还经常出现判断a －b +c 、4a ±2b +c 、9a ±3b +c 等等的符号。
3、由对称轴x =2b a-的确定值判断a 与b 的关系 涉及到2a 和b 的代数式时常考虑对称轴a b x 2-=的位置情况。
如：12=-a b 能得到出：b a 21-=， 即21+=a b 。
4、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号根据抛物线的对称性可知：取到对称轴距离相等的两个不同的x 值时，y 值相等，即当m ab x +-=2或m a b x --=2时，y 值相等。
5、24-b ac 的符号：24-b ac 的符号由抛物线与x 轴交点个数决定。
6、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误。
如：在同一种坐标系中正确画出一次函数y ax b =+和二次函数c bx ax y ++=2，关键是两个式子中的a 、b 值应相同。
例题教学例1、如图，给出八个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0； ④a +b +c =0；⑤abc ＜0；⑥2a +b ＞0；⒄a +c =1；④a ＞1．其中正确的结论的序号是 ____________ 。
例2、一足球队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线c bx ax y ++=2如图，则下列结论：④601-<a ，④0601<<-a ，④a －b +c >0，④a <b <－12a 正确的结论是（ ） A ．④④ B ． ④④ C ． ④④ D ． ④④例3、已知抛物线c bx ax y ++=2 (a <0)经过点(－1，0)且满足4a +2b +c >0以下结论：④a +b >0，④a +c >0，④－a +b +c >0，④b 2－2ac >5a 2其中正确的个数有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个课堂反馈1、已知二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴交于(－2，0)(x ，0)且1<x 1<2，与y 轴正半轴交点在(0，2)下方，下列结论，④a <b <0，④2a +c >0，④4a +c <0，④2a －b +1>0其中正确个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知a <－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a +1，y 2）都在函数y =x 2的图象上，则（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 33、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，有下列5个结论：④ 0>abc ；④ c a b +<；④ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有 个。
二次函数：根据图像判断a、b、c符号及值的专题
第５题 二次函数：根据图像判断a 、b 、c 符号及值的专题1、如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴．(以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第(2)问计分)第(1)问：给出四个结论：① 0a >；② 0b >；③ 0c >；④ 0a b c ++=．其中正确结论的序号是 （答对得3分，少选、错选均不得分）．第(2)问：给出四个结论：① 0abc <；② 20a b +>；③ 1a c +=；④1a >．其中正确结论的序号是 （答对得5分，少选、错选均不得分）．（浙江省2006）2、二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中①a ＜0 b ＞0 c ＞0； ②4a+2b+c=3； ③ ； ④b2-4ac ＞0；⑤当x ＜2时，y 随x 的增大而增大．正确的个数是 个3、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是 。
①abc>0，②a+b+c=2，③a>21，④b<1４、（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4５、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（ ）．A 、13-B 、12- C 、－1 D 、－2 (第1题) 第（４）题二次函数：根据图像判断a、b、c符号参考答案：1、第(1)问答对得3分，少选、错选均不得分，答案是：①，④；第(2)问答对得5分，少选、错选均不得分，答案是：②，③，④2、解：①根据二次函数开口向下，∴a＜0，对称轴为- ＞0，∴b＞0，二次函数交于y轴正半轴，∴c＞0，故正确；②令x=2，由图象知：y=4a+2b+c=3，故正确；③对称轴为- ，由图象知：- ＜2，故错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即可得△＞0，∴b2-4ac＞0，故正确；⑤由图象可知当x＜2时，y随x的增大先增大后减小，故错误；故正确的个数为：3个，3、①abc>0不正确，图像开口朝上则a>0,对称轴x=-b/2a在y轴左侧，则-b/2a<0，则b>0，图像与y轴交点为负，则c<0,那么abc<0。
完整word版,九年级数学下--二次函数a、b、c及组合的符号判断专项练习
九年级数学下--二次函数a、b、c及组合的符号判断专项练习1.如下图1，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且图象经过点（3，0），则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.2.已知二次函数的图象如上图2所示，下列结论：①；②；③；④b+2a=0；⑤．其中正确的有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3.已知二次函数的图象如上图3所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是( )A. ②③B. ③④C. ②④D. ①④4.如下图1所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条结论：①；②；③；④．其中错误的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数的图象如上图2所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是( ) A. B. a+b=0 C. D.6.如上图3，二次函数图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的有( ) A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个7.已知二次函数的图象如下图1所示，下列结论：①；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④；⑤．其中正确的是( )A. ②③⑤B. ①②③⑤C. ①②④⑤D. ①③④⑤8、二次函数图象的一部分如上图2所示，其对称轴为直线x=-1，且过点（-3，0）．9、下列说法：①；②2a-b=0；③；④若，是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④10、二次函数的图象如上图3所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④11、如下图1所示，二次函数的图象中，小轩同学观察得出了如下四条结论：①；②；③；④．其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②③④12、已知二次函数的图象如上图2所示，有下列结论：①；②2a+b=0；③；④．其中正确的有( )个．A. 1 B. 2 C. 3 D. 413、已知二次函数的图象如下图1所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．下列结论：①；②b-2a=0；③；④．其中正确的是( ) A. ③ B. ②③ C. ③④ D. ①②14、已知二次函数的图象经过，（2，0）两点，且，图象与y 轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④15、已知二次函数2y ax bx c=++(0a≠)的图象如上图2所示，有下列结论：①240b ac->；②0abc>；③80a c+>；④930a b c++<．其中，正确结论的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）416、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图1所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2；其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．417、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如上图2，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m =0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．318、已知二次函数cbxaxy++=2的图象如上图3所示，下列结论：①0>abc；②cab+<；③024>++cba；④bc32<；⑤)(bammba+>+，（1≠m的实数）其中正确的结论有（）。
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专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4a c等符号问题二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：
一、选择题
1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()
A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)
B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，则下列关系式错误的是()
图2－ZT－1
A．a＜0
B．b＞0
C．b2－4ac＞0
D．a＋b＋c＜0
()
(b＋c)x
为1
①ab
A．①④B．②④
C．①②③D．①②③④
7．2017·鄂州如图2－ZT－6，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－2，0)和点B，交y轴负半轴
于点C，且OB＝OC.下列结论：①2b－c＝2；②a＝1
2；③ac＝b－1；④
a＋b
c＞0，其中正确的结论有()
图2－ZT－6 A．1个B．2个C．3个D．4个
8．2017·齐齐哈尔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，其部分图象如图2－ZT －7所示，则下列结论：①4a －b ＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝⎛⎭⎫－92，y 1，⎝⎛⎭⎫－52，y 2，⎝⎛⎭
⎫－12，y 3是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( ) 图2－ZT －7
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 二、填空题
9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示，则a 的取值范围是________．
A (1，3)，0)；④当1＜x x 轴．
，B 的横3a ；④当a 图2－ZT －11
三、解答题
13．如图2－ZT －12，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于B ，C 两点，交y 轴于点A . (1)根据图象确定a ，b ，c 的符号；
(2)如果OC ＝OA ＝1
3
OB ，BC ＝4，求这个二次函数的表达式．
图2－ZT －12
14．已知函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的若无交点，请说明理由；若有交点，请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．
详解详析
专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，
b2－4ac等符号问题
1．[答案] D
2．[解析] D抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；
bx＋ac的y随
所以ab＜0.
＜0.所以
④由抛物线的对称性知当x＝3时，y＝9a＋3b＋c>0.又－b
2a＝1，所以b＝－2a，所以3a＋c>0.所以④错
误．
综上可知，正确的是①②③.故选C.
7．[解析] C在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时y＝c，∴C(0，c)，∴OC＝－c.∵OB＝OC，∴B(－c，0)．∵A(－
2，0)，∴－c，－2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根，∴－c·(－2)＝c
a.∵c≠0，∴a＝
1
2，
②正确；∵－c，－2是一元二次方程1
2x
2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根，∴－c＋(－2)＝－
b
1
2
，即2b－c
＝2，①正确；把B(－c，0)代入y＝ax2＋bx＋c，得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c，即ac2－bc＋c＝0.∵c≠0，∴ac
－b＋1＝0，∴ac＝b－1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴在x轴左侧，∴－b
2a＜0，
∴b＞0，∴a＋b＞0.∵抛物线与y轴负半轴交于点C，∴c＜0.∴a＋b
c＜0，④错误．
8．[解析] B∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，∴－b
2a＝－2，∴4a－b＝0，故①
正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，∴另一个交点位于(－1，0)和(0，0)之间，∴抛物线与y轴的交点在原点的下方，∴c＜0.故②正确；
∵4a－b＝0，∴b＝4a.∵当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＝9a－12a＋c＝－3a＋c>0，故③正确；
＝a(t＋2)2.bt，∴
∴a＞－1，
∴a的取值范围是－1＜a＜0.
10．[答案] ②⑤
[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知，a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知，方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)；④根据函数图象，当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤当x＝1时，y＝a＋b＋c＝3≥x(ax＋b)＋c，∴x(ax＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.
11．[答案] ①④
[解析] 由抛物线的开口向上可知，a ＞0，且抛物线经过点A(－1，0)，B(0，－2)，对称轴在y 轴的右侧
可得⎩⎪⎨
⎪⎧a －b ＋c ＝0，
c ＝－2，－b 2a >0，
即a －b ＝2，b ＜0，故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2，将其代
入0＜a ＜2中，得0＜b ＋2＜2，即－2＜b ＜0；
当|a|＝|b|时，因为a ＞0，b ＜0，故有a ＝－b.又a －b ＝2，可得a ＝1，b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2，当y ＝0时，即有x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，
1，∴b
＝－(－1＝－3
2
，
－x －3
2
，
得y BC ＝4或c 2＝16－9，解得，解得a ＋9，此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④.
13．解：(1)∵抛物线开口向上，∴a>0. 又∵对称轴x ＝－b
2a <0，
∴a ，b 同号，即b>0.
∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c<0. 综上所述，a>0，b>0，c<0.
(2)∵OC ＝OA ＝1
3
OB ，BC ＝4，
∴点A 的坐标为(0，－1)，点B 的坐标为(－3，0)，点C 的坐标为(1，0)．
把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，可得⎩⎪⎨⎪
⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪
⎨⎪⎧a ＝13
，b ＝23，
c ＝－1，
∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋2
3x －1.。