第六讲微分中值定理及导数的应用

第六讲微分中值定理及导数的应用 6 . 1 微分中值定理及导数应用的基本概念 一、微分中值定理 1 ．罗尔定理

( l ）罗尔定理：函数 f满足： ① 在],[ba上连续； ② 在),(ba上可导； ③ )()(bfaf，

则ba, ，使得0'f

注： ① 定理的条件是充分而非必要的． ② 几何意义：在定理的条件下，在曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于x轴．

例 6 . 1 设函数f具有 n 阶导数，若0xf有 n + 1 个相异的实根，则方程0xfn

至少有一个实根． 证明：不妨设 0xf的 n 十 l 个相异的实根为：....121nxxx．在每一个区间1,iixx 上，f满足罗尔定理条件，11,iiixx，使得nifi,...,2,101'，即

0'xf至少有 n 个不同的实根11211...n．在每个区间111,ii上，xf'满足

罗尔定理条件，1112,iii，使得1,...,2,102''nifi，即0''xf至少有两个不同的实根：212221...n．类推下去，01xfn至少有两个不同的实根： 1211nn．在区间1211,nn上，xfn1满足罗尔定理，1211,nn

使得

0nf，即方程0xfn至少有一个实根．

( 2 ）罗尔定理的推广：若xf在有限开区间ba,内可导，且0,0bfaf存在且相等，则ba, ，使0'f。

证明：记 Abfaf00，令baxAbaxxfxF,,,,，则F在ba,上满足罗尔定理条件，ba,，使得 0''fF。 2 ．拉格朗日中值定理 函数 f满足： ( 1 ）在ba,上连续； ( 2 ）在ba,上可导，则ba,，使得abafbff

'

注： ① 定理的条件是充分而非必要的． ② 几何意义：在定理的条件下，在曲线上必存在一点，使过该点的切线平行于连接afa,, bfb,两点的弦．

③ 它是罗尔定理的推广，当 bfaf时，即为罗尔定理． ④ 其他表达形式： 10''ababafafbf

abfafbf

例 6 . 2 证明：若0x，则 ( 1 ）



214

1,21

1xxxxx



( 2 ）21lim,4

1

lim0xx

xx

证明：令0xxxf，在区间1,xx上，由拉格朗日中值定理，有 xfxfxf'1

显然是x的函数，记为 x，且10x，即

xxxx2

11

解出2141xxxx 而2121xxxx故2141x，于是有 412141

limlim00xxxx

xx

212141

limlimxxxx

xx

3 ．柯西中值定理 函数gf,满足： ( l ）在ba,上连续； ( 2 ）在ba,上可导； ( 3 ) baxxg,,0'，

则ba,使得

''

gfagbgafbf

注： ① 定理的条件是充分而非必要的． ② 几何意义：在定理的条件下，用参数方程xfvxgu，bax,表示的曲线上必存在一 点，使过该点的切线平行于连接（ g ( a ) , f ( a ) ) , ( g ( b ) , f ( b ) ）的弦． ③ 它是拉格朗日定理的推广，当xxg时，就是拉格朗日定理．

④ 若条件 ③ 改为0'xf，则只需将结论分子、分母互调即可． 例 6 . 3 设函数 f 在ba,上连续，在ba,内可导， a · b > 0 ．证明ba, ，使

得 

'

1

ffbfbafaba



分析：要证结论右边是函数xxf的导数的分子，左边是aafbbf的基本形式，要消除多余的部分，只需令xxg1即可，注意到0ba，即原点不在区间ba,内．可用柯西中值定理。 证明：令：xxgxxfxF1, ，则因0ba，即原点不在区间ba,内，故 F , g 在ba,上连续，在ba,内可导，且baxxxg,,012'，所以满足柯西中值定理条

件，于是ba,，使得 ''gFagbgaFbF代入整理即得要证的结论。 4 ．泰勒中值定理 若xf在ba,上存在 n 阶连续导数，在ba,内 n + 1 阶导数存在，则对任意的x， bax,0，存在ba,，使得

1010000'0!1!...nnn

n

xxnfxxnxfxxxfxfxf

其中：介于x与0x之间． 注：当0n时，即为拉格朗日中值定理，所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理在高阶导数时的推广．这个公式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式．

例 6 . 4 设 0h，函数在邻域 ha;内具有 n + 2 阶连续导数，且02afn， f 在 ha;内的泰勒公式为

10,!1!...11'nnnnhnhafhnafhafafhaf

证明：21lim0nh



分析： ① 由于中值haaha, ，所以的取值与 h 有关，即 h. ② 要证明结论，需写出h的表达式． 证明：由已知 10,!1!...11'nnnnhnhafhnafhafafhaf

因为 f 在 a 点带皮亚诺型余项的泰勒公式为

22211'!2!1!...nnnnnn

n

hohnafhnhafhnafhafafhaf

将上两式相减并化简得 hohnafafhafnnn

22

11

（ * ）

运用拉格朗日中值定理，有10,211hhafafhafnnn．代人（ * ）并同时消去 h 得 1222onafhafnn





（ ** ）

由已知xfn2在a点连续，afhafnnh220lim，注意到02afn，对式（ ** ）关令0h取极限得 21lim0nh



二、导数的应用 1 ．利用导数判定函数的单调性及证明不等式

定理：若函数 f 在区间 I 上可导，则 f 在 I 单调增（减）00'xf.

例 6 . 5 试比较 e与e的大小． 证明：令2'ln1,0ln1xxxfxxxxf 则 ( l ）当ex0时，0'xf , f 在e,0上严格增； ( 2 ）当ex时，0'xf , f 在,e上严格减 所以 f 在ex取极大值，也是最大值：eef1

2 ．利用一阶导数求极值 ( 1 ）极值的必要条件（费马定理）：若函数 f 在0x点可导，且在0x点取得极值，则00'xf注： ① 称使00'xf的点为函数 f 的稳定点（也叫驻点） . ② 驻点与极值点的关系： a ．互不蕴含：例如 0,xxxf点是极小值点，但不是驻点；而 0,3xxxf点是驻点而非极值点． b ．有关系：可导的极值点必是驻点（费马定理）；凸（凹）函数的驻点必是极值点． ( 2 ）极值的充分条件

极值的第一充分条件：若 f 在点0x连续，当00,xxx时，00'xf，当00,xxx时，00'xf，则 f 在0x

取极小（大）值．

极值的第二充分条件：若 f 在0x点二阶可导，0,00''0'xfxf，则0x必为极值点． 00''xf时，为极小值点；00''xf时，为极大值点．

极值的第三充分条件：若 f 在点0x有直到 n 阶导数，且 f0,1,...,2,1000xfnkxfnk

则 ① 当 n 为偶数时，0x必为极值点，00xfn时，为极小值点；00xfn时，为极大值占 ② 当 n 为奇数时，0x必不是极值点． 下面仅证明第三充分条件． 证明：将 f 在0x点展成带皮亚诺余项的泰勒公式，即

nnnnnxxoxxnxfxxnxfxxxfxfxf000100100'0!!1...

由已知，1,...,2,100nkxfk，所以有 nn

n

xxoxxnxfxfxf0000!

因为等式右边第二项为高阶无穷小量，符号由第一项而定，所以当 n 为偶数时，

00,0!xx

n

xxn。从而，当00xfn时，00xfxf，0xx．即

0xf为极小值；当 00xfn时，00xfxf，0xx，即0xf为极大值．当

n 为奇数时，nxx0（0xx）符号不定，因而0xfxf，0xx的符号不