2022届广东省深圳市高三下学期一模数学试题解析

2022届广东省深圳市高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =>-，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,1,2-答案：C直接根据交集的定义计算可得； 解：因为{|1}A x x =>-，{1,0,1,2}B =- 所以{}0,1,2A B = 故选：C2．已知复数z 满足()1i 1i z +=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．0 B ．1-C ．1D ．i -答案：B根据题意，化简复数i z =-，结合复数的概念，即可求解. 解：由题意，复数z 满足()1i 1i z +=-，可得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z ---===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：B.3．以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） A ．8π B ．4πC ．8D ．4答案：A根据题意求出圆柱的底面半径和高，直接求侧面积即可.解：以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径r =2，高h =2，故其侧面积为=22228S r h πππ⨯=⨯⨯=. 故选：A4．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s （cm ）和时间t （s ）的函数关系式为()2sin s t ωϕ=+，其中0>ω，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为()0022s s -<<的时间分别为1t ，2t ，3t ，且312t t -=，则ω=（ ） A ．2π B ．π C ．32π D ．2π答案：B利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为0s 的时间1t ，2t ，3t ，即可得31T t t =-，可求参数ω.解：由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以312T t t =-=，则22πω=，可得ωπ=.故选：B5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，圆M ：2220x y bx ay +--=，若圆M 的圆心在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B 3C ．123D 2答案：D首先求出圆心M 的坐标，代入椭圆方程，令22b t a =，则114t t +=，求出t ，再根据221c be a a==-算可得；解：解：因为圆M ：2220x y bx ay +--=，即圆M ：()2222124a x b y a b ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，圆心1,2M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为圆心1,2M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2222121a b a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即222214b a a b +=，令22b t a =，则114t t +=，即24410t t -+=，解得12t =，即2212b a =，所以离心率2222212112c a b b e a a a -===--= 故选：D6．已知sin 1cos θθ=-tan θ=（ ）AB ．CD ．答案：C由sin 1cos θθ=-cos 1θ≠，sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭θ，即可得出答案.解：解：因为sin 1cos θθ-所以1cos 0θ-≠，即cos 1θ≠，所以sin θθ=，即sin 2sin 3πθθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以233k ππθπ+=+或223k ππ+， 所以2k θπ=或23k ππ+，Z k ∈，当2k θπ=时，cos 1θ=，不合题意，舍去， 当23k πθπ=+时，1cos 2θ=，所以tan θ=故选：C.7．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（ ）A ．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件B ．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件C ．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为18D ．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为47答案：D根据互斥事件和对立事件的概念判断A 、B ；利用列举法求出只有一个男孩的概率，即可判断C ；利用条件概率的求法计算，即可判断D.解：A ：假设事件A ：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能， 事件B ：该家庭3个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能， 所以A B ⋂≠∅，故A 错误；B ：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生， 是互斥但不对立事件，故B 错误；C ：3个小孩可能发生的事件如下：男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种， 其中只有一个男孩的概率为：38P =，故C 错误；D ：设M ={至少一个有男孩}，N ={至少有2个男孩}，由选项C 可知， ()4()7n MN n M ==，，所以()4()()7n MN P M N n M ==，故D 正确. 故选：D8．已知函数()()11e e 112x x f x a x x --+-++-=，其中R a ∈，则（ ） A ．()f x 在()2,+∞上单调递增 B ．()f x 在()2,+∞上单调递减 C ．曲线()y f x =是轴对称图形 D ．曲线()y f x =是中心对称图形答案：C由解析式易得(2)()f x f x -=且定义域为{|0x x ≠且2}x ≠即可判断C ；对()f x 求导，并讨论0a <、0a >研究()'f x 在()2,+∞上的符号判断A 、B ；根据()()f m x f m x -++是否为定值判断D.解：由题设，()1111()2(2)e e x x f x a f x x x--++=--=+，定义域为{|0x x ≠且2}x ≠， 所以()f x 关于1x =对称，C 正确；又()222222111(e )e e 114(1)1()(2)(2)e x x x x x a f x x x x a x ---+---+=+-'+--=-，当0a <时，不妨假设1a =-，则221224(1)()(12e e )x x x x f x x ---+--'=，显然424221e 8e 99e 0e 8(3)99e f --'==+<+，此时()f x 在()2,+∞上有递减区间，A 错误；当0a >时，在()2,+∞上()0f x '>，即()f x 在()2,+∞上递增，B 错误； 由()()f m x f m x -++=()1111e 122e 1m x x m m x m x m a m x x ---+++-+----++-()11e e m x x m a +---++，不可能为定值，故D 错误. 故选：C【点睛】关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据()()f m x f x -=、()()f m x f m x n -++=是否成立判断对称性(,m n 为常数).二、多选题9．四边形ABCD 为边长为1的正方形，M 为边CD 的中点，则（ ） A ．2AB MD = B ．DM CB AM -=C ．AD MC MA +=D ．1AM BC ⋅=答案：BD如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可. 解：如图，A ：22AB DM MD ==-，故A 错误；B ：AM AD DM BC DM DM CB =+=+=-，故B 正确； C ：MA MD DA DM AD CM AD =+=--=-，故C 错误； D ：()AM BC AD DM BC AD BC DM BC ⋅=+⋅=⋅+⋅， 由BC DM ⊥，得DM BC ⋅0=，所以201AM BC AD BC BC ⋅=⋅+==，故D 正确. 故选：BD10．某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第x 年 1 2 3 4 5 利润y /亿元23457已知变量y 与x 之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为 1.2y x a =+，则下列说法正确的是（ ）A ．ˆ0.6a= B ．变量y 与x 之间的线性相关系数0r <C ．预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D ．该人工智能公司这5年的利润的方差小于2 答案：AC首先求出x 、y ，根据回归直线方程必过(),x y ，即可求出a ，从而得到回归直线方程，根据x 与y 成正相关，即可得到相关系数0r >，再令6x =求出y ，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D ； 解：解：依题意()11234535x =++++=，()1212345755y =++++=， 因为回归直线方程为 1.2y x a =+必过样本中心点(),x y ，即211.235a =⨯+，解得0.6a =， 故A 正确；则回归直线方程为 1.20.6y x =+，则x 与y 成正相关，即相关系数0r >，故B 错误， 当6x =时 1.260.67.8y =⨯+=，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C 正确， 该人工智能公司这5年的利润的方差为22222121212121217423457255555525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 错误； 故选：AC11．已知定圆A 的半径为1，圆心A 到定直线l 的距离为d ，动圆C 与圆A 和直线l 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为1p ，2p ，则（ ）A ．1d >B ．12p p d +=C ．212p p d =D ．12112p p d+> 答案：ABD根据动圆C 与圆A 和直线l 都相切，分圆C 与圆A 相外切和圆C 与圆A 相内切，分别取到A 的距离为d +1，d -1，且平行于l 的直线1l ，2l ，利用抛物线的定义求解. 解：解：动圆C 与圆A 和直线l 都相切，当圆C 与圆A 相外切时，取到A 的距离为d +1，且平行于l 的直线1l ， 则圆心C 到A 的距离等于圆心C 到1l 的距离，由抛物线的定义得：圆心C 的轨迹是以A 为焦点，以1l 为准线的抛物线； 当圆C 与圆A 相内切时，取到A 的距离为d -1，且平行于l 的直线2l ， 则圆心C 到A 的距离等于圆心C 到2l 的距离，由抛物线的定义得：圆心C 的轨迹是以A 为焦点，以2l 为准线的抛物线； 所以121,1p d p d =+=-，当1d <时，抛物线不完整，所以1d >，122p p d +=，211p p d =-，22121111222111d d p p d d d d d+=+=>=+--， 故选：ABD12．如图，已知直四棱柱ABCD -EFGH 的底面是边长为4的正方形，CG m =，点M 为CG 的中点，点P 为底面EFGH 上的动点，则（ ）A ．当4m =时，存在点P 满足8PA PM +=B ．当4m =时，存在唯一的点P 满足2APM π∠=C ．当4m =时，满足BP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为22D ．当433m =时，满足2APM π∠=的点P 轨迹长度为839π 答案：BCD建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称点可以判断A ，利用垂直求出P 可以判断B ，求出点P 轨迹长度可判定C,D.解：以D 为原点，,,DA DC DH 所在直线分别为,,x y z 轴，建系如图，对于选项A ，当4m =时，()0,4,2M ，()4,0,0A ，设点A 关于平面EFGH 的对称点为A '，则()4,0,8A '，161636688A M '++=>. 所以8PA PM PA PM A M ''+=+≥>.故A 不正确.对于选项B ，设(),,4P x y ，则()()4,,4,,4,2AP x y MP x y =-=-，由0AP MP ⋅=得224480x x y y -+-+=，即()()22220x y -+-=，解得2x y ==， 所以存在唯一的点P 满足2APM π∠=，故B 正确.对于选项C ，()4,4,0B ，设(),,4P x y ，则()()4,4,2,4,4,4AM BP x y =-=--，由0AM BP ⋅=得20x y --=.在平面EFGH 中，建立平面直角坐标系，如图，则P 的轨迹方程20x y --=表示的轨迹就是线段NQ ，而22NQ =，故C 正确.对于选项D ，当433m =时，230,4,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设43,,3P x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则43234,,,,4,33AP x y MP x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由0AP MP ⋅=得2284403x x y y -+-+=，即()()2216223x y -+-=，在平面EFGH 中，建立平面直角坐标系，如图，记()()2216223x y -+-=的圆心为O ，与GF 交于,S T ； 令4y =，可得12232322x x ==1243x x -=，所以3SOT π∠=，其对应的圆弧长度为43π； 根据对称性可知点P 轨迹长度为43438324ππ=；故D 正确. 故选：BCD.【点睛】立体几何中的动点问题，常常采用坐标法，把立体几何问题转化为平面问题，结合解析几何的相关知识进行求解. 三、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，525S =，则数列{}n a 的公差d =_________．答案：2根据题意可得13a d =-，直接利用等差数列前n 项和公式计算即可. 解：由题意知，123a a d d =-=-， 515455(3)10252S a d d d ⨯=+=-+=， 解得2d =. 故答案为：214．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()e xf x =，则1ln 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________．答案：2-利用奇函数可得1(ln )(ln 2)2f f =-，结合ln 20>及已知解析式即可求值.解：由题设，1(ln )(ln 2)(ln 2)2f f f =-=-，又ln 20>，所以ln 21(ln )e 22f =-=-.故答案为：2-.15．在平面直角坐标系中，已知直线240x y +-=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，若点()cos ,sin P θθ，则PA PB +的最大值为_________．答案：2根据题意求出点A 、B 的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出PA PB +的表达式，利用三角函数的值域即可求出PA PB +的最大值. 解：由题意知，直线240x y +-=分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ， 则(4,0)(0,2)A B ，，又(cos ,sin )P θθ，所以(4cos ,sin )(cos ,2sin )PA PB θθθθ=--=--，， 有(42cos ,22sin )PA PB θθ+=--，则(4PA PB +==tan 2ϕ=， 当sin()1θϕ+=-时，PA PB +取得最大值，且最大值为2248526252(51)252+=+=+=+. 故答案为：252+16．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，且sin :sin :sin 2:3:4ABD ADB BCD ∠∠∠=，若2·AC BC CD λ=，则实数λ的最小值为_________． 答案：321.5由圆内接四边形性质结合正弦定理可得到||:||:||2:3:4AD AB BD =，再利用托勒密定理得||||||||||||AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，结合2·AC BC CD λ=整理得24|16?|||CD B BC D C C λ≥⋅，求得答案.解：根据圆内接四边形的性质可知;,sin sin BAD BCD BAD BCD π∠+∠=∠=∠ ,所以sin :sin :sin 2:3:4ABD ADB BCD ∠∠∠=， 即sin :sin :sin 2:3:4ABD ADB BAD ∠∠∠=， 在BAD 中，||||||AD AB BD ABD ADB BAD==∠∠∠,故||:||:||2:3:4AD AB BD =，由题意可知：||||||||||||AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅ ,则4||3||2||AC CD BC =+，所以22216||9||4||12||||AC CD BC CD BC =++⋅， 故22216||9||4||12||||24||||AC CD BC CD BC CD BC =++⋅≥⋅， 当且仅当||||CD BC =时等号取得，又2·AC BC CD λ=，所以24|16?|||CD B BC D C C λ≥⋅， 则243162λ≥= ，则实数λ的最小值为32， 故答案为：32四、解答题17．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足143nn n a a ++=⨯．(1)证明：{}3nn a -是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ． 答案：(1)证明见解析 (2)113(1)22n n n S ++-=--（1）将已知条件转化为11313n n nn a a ++-=--，由此证得数列{}3n n a -是等比数列. （2）利用分组求和法求得n S . (1)由143nn n a a ++=⨯，得()1133n n n n a a ++-=--，又12a =，故131a -=-， 故()11330n n n n a a ++-=--≠，所以11313n n nn a a ++-=--， 所以数列{}3nn a -是以1-为首项，1-为公比的等比数列．(2)由（1）可知3(1)n n n a -=-，所以3(1)n nn a =+-，所以()11313(1)1(1)3(1)2131(1)2n nn n n S ++⎡⎤--⋅----⎣⎦=+=----．18．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X ，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n 轮游戏，且其前n 轮的累计得分恰好为2n 时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏． (1)求随机变量X 的分布列及数学期望；(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．答案：(1)分布列见解析，数学期望为1.8 (2)0.696（1）先得出随机变量X 可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率． (1)由题意得，随机变量X 可取的值为1，2，3，易知()10.3P X ==，()20.6P X ==，所以()30.1P X ==， 则随机变量X 的分布列如下： X 1 2 3 P0.30.60.1所以()10.320.630.1 1.8E X =⨯+⨯+⨯= (2)由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1， 记参与者第i 轮的得分为i X ，则其前n 轮的累计得分为12n Y X X X =+++，若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则()20.6P Y ==；若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“13+”、“31+”的情形， 则()420.30.10.06P Y ==⨯⨯=；若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分， 有“123++”、“321++”的情形，则()620.30.10.60.036P Y ==⨯⨯⨯=； 记“参与者能够领取纪念品”为事件A ，则()()()()2460.60.060.0360.696P A P Y P Y P Y ==+=+==++=．19．如图，在△ABC 中，已知2AB =，62AC =，45BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ．(1)求BAM ∠的正弦值； (2)求MPN ∠的余弦值．答案：(1)35（1）解法1、由余弦定理求得BC =得到12BM CM BC ===分别在ABM 和ACM △，求得cos BMA ∠和cos CMA ∠，结合BMA ∠和CMA ∠互补，求得5AM =，再在ABM 中，求得cos BAM ∠，即可求解；解法2、由题意，求得12AB AC ⋅=，根据()12AM AB AC =+，结合ABM 的面积为ABC 面积的12，列出方程，即可求解；（2）解法1、由余弦定理求得BN =，得到BP =103AP =，在ABP △中，由余弦定理求得cos APB ∠=，即可求解；又由MPN APB ∠=∠，所以cos cos MPN APB ∠=∠= 解法2、由12BN AB AC =-+，求得10BN =. (1)解：解法1、由余弦定理得222cos AC AB AC C B BA BC A +-⋅⋅∠=，即(22222252BC =+-⨯⨯=，所以BC =，所以12BM CM BC === 在ABM 中，由余弦定理，得2222cos2BM AM AB BMA BM AM +-∠==⋅在ACM △中，由余弦定理，得2222cos2CM AM AC CMA CM AM +-∠==⋅BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =，在ABM 中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为0,2BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5BAM ∠=．解法2、由题意可得，cos 4512AB AC AB AC ⋅=⨯⨯︒=， 由AM 为边BC 上的中线，则()12AM AB AC =+， 两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =，因为M 为BC 边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的12， 所以111sin sin 222AB AM BAM AB AC BAC ⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠， 即11125sin 262sin 45222BAM ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯⨯︒， 化简得，3sin 5BAM ∠=． (2)解：方法1、在ABN 中，由余弦定理，得22222cos 45BN AB AN AB AN =+-⋅⋅︒， 所以10BN=，由AM ，BN 分别为边BC ，AC 上的中线可知P 为ABC 重心， 可得221033BP BN ==，21033AP AM ==， 在ABP △中，由余弦定理，得2221310cos 250PA PB AB APB PA PB +-∠==⋅， 又由MPN APB ∠=∠，所以1310cos cos 50MPN APB ∠=∠=． 解法2：因为BN 为边AC 上的中线，所以12BN AN A BA B AC =+=-+， ()22111111322244AM BN AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+= ⎪⎝⎭，2222111024BN AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-+=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即10BN =．所以131310cos 50510AM BN MPN AM BN⋅∠===⨯．20．如图，在四棱锥E -ABCD 中，//AB CD ，12AD CD BC AB ===，E 在以AB 为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为DE ，BC 的中点．(1)求证：//MN 平面ABE ；(2)当四棱锥E -ABCD 体积最大时，求二面角N -AE -B 的余弦值． 答案：(1)证明见解析 (2)75555（1）取EC 的中点的F ，连接MF ，NF ，证得//MF DC ，得到//MF AB ，利用线面平行的判定定理得到MF ∥平面ABE ，同理得到//NF 平面ABE ，证得平面//MNF 平面ABE ，进而得到//MN 平面ABE .（2）过E 作EO AB ⊥交AB 于O ，证得EO ⊥平面ABCD ，取CD 的中点G ，连接OG ，以O 为原点，分别以AB 为x 轴，以OE 为y 轴，以OG 为z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面AEN 和平面ABE 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. (1)证明：如图所示，取EC 的中点的F ，连接MF ，NF ， 因为M ，F 分别为ED 和EC 的中点，所以//MF DC ， 因为//AB DC ，所以//MF AB ， 因为AB平面ABE ，MF ⊄平面ABE ，所以MF ∥平面ABE ，同理可得//NF 平面ABE ， 因为MFNF F =，MF ⊂平面MNF ，NF ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面ABE ，因为MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面ABE .(2)解：如图所示，过E 作EO AB ⊥交AB 于O ，因为平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ⋂平面ABCD AB =，EO ⊂平面ABE ， 所以EO ⊥平面ABCD ，故EO 为四棱锥E -ABCD 的高，要使四棱锥E -ABCD 体积最大，则E 为弧AEB 的中点，所以O 与AB 的中点， 取CD 的中点G ，连接OG ，因为//AB CD ，12AD DC CD AB ===，所以OG AB ⊥，因为EO ⊥平面ABCD ，所以EO AB ⊥，EO OG ⊥，所以EO ，AB ，OG 两两垂直， 以O 为原点，分别以AB 为x 轴，以OE 为y 轴，以OG 为z 轴建立空间直角坐标系， 设12AD DC CD AB a ====，所以2AE EB a ==， 可得()0,,0A a -，(),0,0E a ，330,,44N a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则(),,0AE a a =，730,,44AN a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面AEN 的一个法向量(),,n x y z =，则00AE n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得073044ax ay ay az +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则平面AEN 的一个法向量为731,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面ABE 的一个法向量为()0,0,1m =，则737553cos ,55553m n m n m n⋅<>===，由图可知二面角N AE B --的平面角为锐角， 所以二成角N AE B --的余弦值为75555．21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点A ()2,0，且点A 到C 的渐近线的距离为217．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()4,0作斜率不为0的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，直线4x =分别交直线AM ，AN 于点E ，F ．试判断以EF 为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由． 答案：(1)22143x y -= (2)以EF 为直径的圆经过定点，定点坐标为()1,0和()7,0（1）根据点在双曲线上和点到直线的距离分别建立方程，然后解出方程即可；（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，并表示出以EF 为直径的圆的方程，结合对称性即可求得定点坐标 (1)由题意得：2a =因为双曲线C 的渐近线方程为2b y x =±解得：b =因此，双曲线C 的方程为：22143x y -=(2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()4y k x =-由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩可得：()2222343264120,0k x k x k k -+--=≠∆>设()11,M x y 、()22,N x y ，则由：21223234k x x k-+=-，2122641234k x x k --=- 由直线AM 方程()1122y y x x =--，令4x =，得点1124,2y E x ⎛⎫⎪-⎝⎭由直线AN 方程()2222y y x x =--，令4x =，得点2224,2y F x ⎛⎫⎪-⎝⎭则以EF 为直径的圆的方程为：()()12122244022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令0y =，有：()()()212124224y y x x x =----将()114y k x =-，()224y k x =-代入上式，得()()()22121212124416424k x x x x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦-=--++可得：()22222222226412324416343449641232243434k k k k k x k kk k ⎡⎤----⋅+⎢⎥--⎣⎦-=-=----⋅+-- 解得：1x =，或7x =即以EF 为直径的圆经过点()1,0和()7,0；②当直线l 的斜率不存在时，点E 、F 的坐标分别为()4,3、()4,3-，以EF 为直径的圆方程为()()()()44330x x y y --+-+=，该圆经过点()7,0和()1,0综合可得，以EF 为直径的圆经过定点()1,0和()7,022．已知函数()()22ln 121f x x a x ax =-+-+（a R ∈）．(1)求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 有两个零点1x ，2x ． （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：12x x +> 答案：(1)当1a ≤-时，函数()f x 的单调增区间为()0,∞+；当1a >-时，函数()f x 的单调增区间10,1a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，单调减区间是1,1a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭(2)（i ）()1,0-（ii ）证明见解析（1）先求定义域，求导，对a 进行分类讨论，求对应的单调区间；（2）（i ）结合第一问中函数的单调性及极值，最值，找到不等式，解不等式，求出实数a 的取值范围；（ii ）构造差函数，证明极值点偏移问题. (1)()f x 定义域为()0,∞+，()()()()21112212x a x f x a x a x x++-⎡⎤⎣⎦'=-+-=-， ①当1a ≤-时，有()0f x '>恒成立，()0,∞+是函数()f x 的单调增区间，无递减区间；②当1a >-时，由()0f x '>，解得10,1x a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，由()0f x '<，解得1,1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭，故函数()f x 的增区间10,1a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，减区间是1,1a ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭． 综上：当1a ≤-时，函数()f x 的单调增区间为()0,∞+；当1a >-时，函数()f x 的单调增区间10,1a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，单调减区间是1,1a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭(2)（i ）由（1）知：当1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增， 函数()f x 不可能有两个零点；当1a >-时，因为()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上递增，在1,1a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭上递减，因为()()22ln 1212ln 21f x x a x ax x ax =-+-+<-+，故()222222e 2ln e 130e ea a f --=-+=--<， 设()ln 1h x x x =-+，0x >，则()111xh x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<，故()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值，()()max 10h x h ==，所以ln 1≤-x x ， 故1ln 2x x <-，即()()()()()2212ln 12121212112f x x a x ax x a x ax x a a x ⎛⎫=-+-+<--+-+=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭取()021111a x a a ->>++， 则()()()0002110f x x a a x <--+<⎡⎤⎣⎦因此，要使函数()f x 且两个零点，只需101f a ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即()21112ln 1210111a a a a a ⎛⎫-+⋅-⋅+> ⎪+++⎝⎭，化简，得()2ln 101a a a ++<+， 令()()()2ln 111x g x x x x =++>-+，因为()()221011g x x x '=+>++， 所以函数()g x 在()1,-+∞上是单调递增函数， 又()00g =，故不等式()2ln 101aa a ++<+的解为()1,0a ∈-， 因此，使求实数a 的取值范围是：()1,0a ∈-.（ii ）因为10a -<<，所以111a >+，21a >+ 下面先证明1221x x a +>+， 根据（1）的结果，不妨设12101x x a <<<+，则只需证明1221x x a >-+， 因为()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭时单调递增，且110,1x a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，2210,11x a a ⎛⎫-∈ ⎪++⎝⎭，于是只需证明()1221f x f x a ⎛⎫>-⎪+⎝⎭， 因为()()12f x f x =，所以即证()22201f x f x a ⎛⎫-->⎪+⎝⎭， 记()()21F x f x f x a ⎛⎫=--⎪+⎝⎭，1,1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭，()()()222'41211F x f x f x a a x xa ⎛⎫=+-=+-+ ⎪+'-+'⎝⎭ ()()()()24441410211111a a a x x a a a =-+>-+=⎛⎫⎛⎫+⋅⋅-+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭， 所以()F x 在1,1a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递增，则()101F x F a ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，即证得1221x x a +>>+，原命题得证. 【点睛】极值点偏移问题，可以通过构造差函数进行解决，也可以变多元为多元求解，利用对数平均不等式也能解决，选择哪种方案，需要结合函数特点进行选择.。