《运筹学》课堂作业及答案

第一部分绪论第二部分线性规划与单纯形法1 判断下列说法是否正确：(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；(b)线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；(c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；(d)如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点；(e)对取值无约束的变量x i，通常令其中，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现(f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换入变量；(g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；(h)单纯形法计算中，选取最大正检验数δk对应的变量x k作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；(i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果；(j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；(k)若x1，x2分别是某一线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中λ1，λ2可以为任意正的实数；(1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为X ai为人工变量)，但也可写为，只要所有k i均为大于零的常数；(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为个；(n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行解；(o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解；(p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；(q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优；(r)将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“＝”号，将使问题的最优目标函数值得到改善；(s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值；(t)一个企业利用3种资源生产4种产品，建立线性规划模型求解得到的最优解中，最多只含有3种产品的组合；(u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解；(v)一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。

【答案】1.1(a)(b)(f)(g)(i)(J)(1)(q)(t)正确，(c)(d)(e）(h)(k)(m)(n)(o)(p) （r)(s)(U)(v)不正确。

2用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。

【答案】(a)唯一最优解，z*=3，x1=1／2，x2=0；(b)无可行解；(c)有可行解，但max z无界；(d)无穷多最优解，z*=66。

表1.6【答案】1.25(a)d≥0，C 1<0，C 2<0；(b)d≥0，c 1≤0，C 2≤o，但c 1，C 2中至少一个为零；(c)d=0，或d>0，而c 1>0且d ／4—3／a 2；(d)C 1>0，3／a 2<d ／4； (e)C 2>0，a 1≤0；(f)x 5为人工变量，且c 1≤0，C 2≤o。

3 某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。

已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。

为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000 1、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。

飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2 km ，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3 km 。

又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗(空载时每升汽油可飞行4 km)外，起飞和降落每次各消耗100 1。

有关数据如表1—17所示。

表1—17为了使摧毁敌方军事门标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。

要求建立这个问题的线性规划模型。

【答案】用i=1，2分别代表重型和轻型炸弹，j=1，2，3，4分别代表四个要害部位， x ij 为投到第J 部位的i 种型号炸弹的数量，则问题的数学模型为式中目标函数非线性，但rain z 等价于max 1g(1／z)，因此目标函数可改写为4用单纯形法求解下列线性规划(1)123 123123max342312230,1,2,3jZ x x xx x xx x xx j=++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩(2)1234 123412341234max23553730 310 264200,1,,4jZ x x x x x x x xx x x xx x x xx j=+-+++-≤⎧⎪-++≤⎪⎨--+≤⎪⎪≥=⎩【解】单纯形表：因为λ7＝3>0并且a i7<0(i=1,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。

线性规划的对偶理论与灵敏度分析2.1写出下列线性规划问题的对偶问题：【答案】2.2已知线性规划问题：用单纯形法求解得最终单纯形表如表2～2所示。

(a) 求和b l ，b 2；(b)求表2—2【答案】【解析】（1）由题意可设初始单纯形表的增广矩阵为最终单纯形表的增广矩阵为对矩阵22()A B 作初等行变换，使其第4，5列组成单位矩阵由单纯形运算法则可知，1133()()A B A B =所以，111213212223129/2,1,4,5/2,1,2,8,5a a a a a a b b ======== （2）由检验数的计算式可知()()()1323232/230/200/224c c c c c c c -+=-⎧⎪--=⎨⎪--+=-⎩ 求解上述方程组得：1237,4,8c c c ===2.3已知线性规划问题：用单纯形法求得最终表如表28所示。

表2-3试用灵敏度分析的方法分别判断：(a)目标函数系数C1或c2分别在什么范围内变动，上述最优解不变；(b)当约束条件右端项b1，b2中一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变；(c)问题的目标函数变为时上述最优解的变化；(d)约束条件右端项由变为【答案】2.4 已知表2—4为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x4，x5为松弛变量问题的约束为≤形式。

表2-4(a)写出原线性规划问题；(b)写出原问题的对偶问题；(c)直接由表2—4写出对偶问题的最优解。

【答案】(a)原线性规划问题如下：(a)原线性规划问题如下：(b)略；(c)对偶问题最优解为Y*=(4，2)。

2.5已知线性规划问题：用单纯形法求解时，其最优解见表2—7。

表2-5要求：(a)直接写出上述问题的对偶问题及其最优解。

(b)若问题中x2列的系数变为(3，2，3)T，试问表2～7中的解是否仍为最优解?(C)若增加一个新的变量x4，其相应系数为(2，3，2)T。

试问增加新变量后表2—7中的最优解是否发生变化?【答案】(a)其对偶问题为其最优解为(b)zz系数变化后，对偶问题第(2)个约束将相应变为2y1+3y2≥3，将y1*，一￥2*代入不满足，故原问题最优解将发生变化；(C)相应于新变量x4，因有，故原问题最优解将发生变化。

2.6已知线性规划问题：要求：(a)写出它的对偶问题；(b)应用对偶理论证明原问题和对偶问题都存在最优解。

【答案】(a)略；(b)容易看出原1"3题和其对偶问题均存在可行解，据对偶理论，两者均存在最优解。

第三部分运输问题3.6某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为l 000件、2000件和2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。

已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的赢利额不同(见表3—6)。

又知丙百货商店要求至少供应C玩具l 000件，而拒绝进A种玩具。

求满足上述条件下使总赢利额为最大的供销分配方案。

表3-6解：用16减去利润表上的数字，使之变成一个运输问题。

由于表3-6中产大于销，因此需要增添一个假想的销地“丁”，其运价为0，其销售量为500，由于C玩具至少要供给丙百货商店1000件，故将C玩具拆成两个玩具，如表3-6(1)所示。

表3-6(1)利用位势法求出表3-6(2)中各空格的检验数，如表3-6(3)。

问题的最优调运方案，表中将A调拨给丁500件，表明玩具A有500件销不出去。

(a)求最优调拨方案；(b)如产地Ⅲ的产量变为130，又B 地区需要的115单位必须满足，试重新确定最优 调拨方案。

解：第一步：用伏格尔法求初始可行解，求得的初始解，如表3A-3所示。

第二步：用位势法进行最优解的判断。

在对应于表3A-3的数字格处填入单位运价，并增加一行一列，在行中填入j v ，在列中填入i u 。

令10u =，按照i j ij u v c +=(,i j B ∈)求出所有的i u 和j v ，并依据()ij ij i j c u v σ=-+(,i j N ∈)计算所有空格处的检验数，计算结果如表3A-3(1)所示。

表3A-3(1)由表3A-3(1)可知，所有空格处的检验数均为非负。

所以，表3A-3(1)中的运输方案即为此问题的最优调运方案，最小运价为7225。

(b)根据题设条件重新列出这个问题的产销平衡表与单位运价表见表3A 一4。

重新求出最优调拨方案见表3A一5。

第四部分目标规划给定目标规划问题：(a)求该目标规划问题的满意解；(b)若约束右端项增加，问满意解如何变化?(c)若目标函数变为则满意解如何改变?(d)若第二个约束右端项改为45，则满意解如何变化?【答案】(a) 用单纯形法解上面的标准形式。

解题过程的单纯形表见表4A-4(1)满意解为最终单纯形表如表4A 一3所示。

(b)51151616'-13205112016160-1==000=00-5b B b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∆∆∙ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭满意解为(C)将+2d 的新系数反映到最终单纯形表中，所有变量的检验说都不小于0 ，故上述变化不影响最优解。

满意解为(d)满意解为其余第五部分 整数规划将下述非线性整数规划问题改写成线性0—1整数规划问题：【答案】，则问题可改写为【解析】参见胡运权《运筹学教程》中的第四节 0-1型整数规划 P 135-142某钻井队要从以下l0个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。

若l0个井位的代号为s 1，S 2，…，s 10,相应的钻探费用为C 1，C 2，…，C 10，并且井位选择方面要满足下列限制条件：①或选择S 1和S 7，或选择钻探S 8；②选择了S 3或s 4就不能选S 5，或反过来也一样；③在最多只能选两个；是建立这个问题的整数规划模型。

解：设10110118357845567811,2,8051+1..1+121,0,j j jj j j j j j x j j z c x x x x x x s t x x x x x x x x s x ==⎧==⎨⎩=⎧⎪=⎪⎪+=⎪⎪≤⎪+=⎨⎪≤⎪⎪+++≤⎪⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎩∑∑ 若生产第种产品（）若不生产第种产品min 选择钻探第井位否则第六部分 非线性规划6.7已知要求： (a)计算的值；(b)利用f(x)的导数及(a)的结果求f(x)在x=7的值。