运筹学作业汇总
运筹学作业题
（5）、增加一个约束条件③： 2 x1 3x2 5 x3 50 ； （6）、将原约束条件②改变为： 10 x1 5 x2 10 x3 100 。 十二、灵敏度分析 某工厂生产 A、B、C 三种产品，设 x、y、z 分别为三种产品的产量，为制定 最优生产计划建立如下模型。
x1 2 x2 2 x3 1 2
其最优解是否变化？如变化，试求出最优解。 十、灵敏度分析
Max z x1 2x2 2 x1 x2 2 给出线性规划问题： x1 2 x2 7 的最优单纯形表： s.t. 3 x1 x1 , x2 0
的最优解及其最优目标值。 十一、灵敏度分析 有线性规划问题：
Max z 5 x1 5 x2 13 x3 x1 x2 3 x3 20 s.t. 12 x1 4 x2 10 x3 90 x , x , x 0 1 2 3
请进行如下条件的灵敏度分析： （1）、约束条件①的右端常数由 20 变为 30； （2）、约束条件②的右端常数由 90 变为 70； （3）、目标函数中 x3 的系数由 13 变为 8；
四、分别用图解法和单纯形表法求解线性规划问题，并指出每一个单纯形表所 对应的可行域的顶点
Max z 100x1 200x2 x1 x2 500 x 200 1 s.t. x1 3 x2 600 x1 , x2 0
五、用大 M 法求解线性规划问题，并对照图解法演示大 M 法过程
Max z 4x1 6x2 +2x3 5 4 x1 4 x2 x 6 x 5 （3）、 1 2 s.t. x1 x2 x3 5 x1 , x2 , x3 0, 且x3为整数
运筹学作业题目
运筹学作业题目1. 题目描述某物流公司需要将货物从A地运送到B地，货物数量为N件。
已知A地和B 地之间有M个中转站，每个中转站都有一定的处理能力和储存能力。
现在需要你运用运筹学的方法，给出一个最优的货物运输方案。
2. 问题分析首先，我们需要确定以下几个问题：•货物从A地到B地的最短路径是什么？•每个中转站的处理能力和储存能力分别是多少？•每个中转站的位置以及与其他中转站的距离是多少？3. 数据收集为了解决这个问题，我们需要收集以下数据：•A地和B地之间的距离•每个中转站的处理能力和储存能力•每个中转站的位置以及与其他中转站的距离4. 模型建立我们可以将这个问题建模为一个网络图问题，其中A地和B地为源点和汇点，中转站为中间节点。
我们需要找到从源点到汇点的最短路径，并且满足各个中转站的处理能力和储存能力的限制。
我们可以使用最短路径算法（如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法）找到从源点到汇点的最短路径，并计算出该路径上各个中转站的处理能力和储存能力。
5. 求解与优化在求解过程中，我们需要考虑以下几个方面：•最短路径的选择：我们可以根据距离、处理能力和储存能力三个因素进行综合考虑，选择最优的路径。
•货物分配策略：根据中转站的处理能力和储存能力，我们需要制定合理的货物分配策略，使得所有中转站的资源利用率最大化。
•容量约束的处理：如果某个中转站的处理能力或储存能力不足，我们需要考虑如何调整货物的分配，以避免资源浪费或堆积。
6. 结果分析根据我们的模型和求解过程，我们可以得到一个最优的货物运输方案，并且可以得到以下几个结果：•最短路径：确定了从A地到B地的最短路径，方便后续货物的运输安排。
•中转站资源利用率：根据我们的货物分配策略，可以评估每个中转站资源的利用率，进一步优化中转站的运营效果。
•资源调配建议：如果存在处理能力或储存能力不足的中转站，我们可以提供资源调配建议，帮助公司优化资源分配。
运筹学习题集(第一章)
判断题判断正误，如果错误请更正第1章线性规划1.任何线形规划一定有最优解。
2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。
3.线形规划可行域无界，则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为0。
5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
6.minZ=6X1+4X2｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型X1+X2=100X1>=0,X2>=07.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解.8.任何线形规划都可以化为下列标准型Min Z=∑C j X j∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，mX j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m9.基本解对应的基是可行基.10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解.11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。
13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本可行解是最优解的充要条件为λ》=0。
19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。
20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第1章线性规划1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。
2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中存在非基变量的检验数为0 C可行解集合无界D存在基变量等于03.使函数Z=-X1+X2-4X3增加的最快的方向是：A （-1，1，-4）B（-1，-1，-4）C（1，1，4）D（1，-1，-4-）4.当线形规划的可行解集合非空时一定A包含原点X=（0，0，0……）B有界C 无界D 是凸集5.线形规划的退化基本可行解是指A基本可行解中存在为0的基变量B非基变量为C非基变量的检验数为0 D最小比值为06.线形规划无可行解是指A进基列系数非正B有两个相同的最小比值C第一阶段目标函数值大于0 D用大M法求解时最优解中含有非0的人工变量E可行域无界7.若线性规划存在可行基，则A一定有最优解B一定有可行解C可能无可行解D可能具有无界解E全部约束是〈=的形式8.线性规划可行域的顶点是A可行解B非基本解C基本可行解D最优解E基本解9.minZ=X1-2X2，-X1+2X2〈=5，2X1+X2〈=8，X1，X2〉=0，则A有惟一最优解B有多重最优解C有无界解D无可行解E存在最优解10.线性规划的约束条件为X1+X2+X3=32X1+2X2+X4=4X1，X2，X3，X4〉=0 则基本可行解是A（0，0，4，3）B（0，0，3，4）C（3，4，0，0）D（3，0，0，-2）计算题1.1 对于如下的线性规划问题MinZ= X1+2X2s.t. X1+ X2≤4-X1+ X2≥1X2≤3X1, X2≥0的图解如图所示。
运筹学作业(一)
《运筹学》作业（一）题1．某货轮分前、中、后三个舱位，结构参数见表1。
拟装运三种货物，性能参数见表2。
为了航运安全，要求舱位之间载重比例的偏差不超过10%，以保持船体的平衡。
问应如何制订货物的装运方案可使此运输的收益达到最大？建立该问题的LP 模型。
提示：用x ij 表示装运在第i 个舱位中的第j 种货物的重量，其中：i = 前, 中, 后； j = A, B, C ；故一共有9个变量。
目标是使总运费达到最大。
约束条件分为四组：每个舱位中货物的体积限制，重量限制，每种货物的数量限制，和舱位之间载重比例的偏差限制，故一共有12个约束条件。
题2．确定下列约束条件构成的可行域(1) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+无约束 2121042x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥-无约束无约束 21210x x x x (3) ⎪⎩⎪⎨⎧≥=≤+-05222121 x x x x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+21422121 x x x x 题3．已知LP 问题： 0,,,844344243214213214321≥=++=++-++=x x x x x x x x x x x x x x Z s.t.max试确定⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-4/114/10,),(132B x x x B T 是否为最优解。
如果是，给出最优目标值；否则，确定新一轮的进、出变量。
提示 检验数 j j B j c p B c -=-1λ，j = 1, 4。
如果检验数的值大于或等于零，则为最优解；否则，令绝对值最大的负检验数对应的非基本变量进入，而令最小正比值对应的基本变量退出。
题4．给定LP 问题： 0,,42044602343025233212131321321≥≤+≤+≤++++=x x x x x x x x x x x x x Z s.t .m a x已知其最优解为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--===-11202/1004/12/1,)20,230,100(),,(1632B x x x x T B T。
运筹学20道习题
1．已知线性规划（15分）123123123max 3452102351,2,3jZ x x x x x x x x x x j =++⎧+-≤⎪-+≤⎨⎪≥=⎩0，（1）求原问题和对偶问题的最优解；（2）求最优解不变时c j 的变化范围36.解：（1）化标准型 2分 （2）单纯形法 5分（3）最优解X=(0，7，4)；Z ＝48 （2分） （4）对偶问题的最优解Y ＝（3.4，2.8） (2分)（5）Δc 1≤6，Δc 2≥-17/2，Δc 3≥-6，则 1235(,9),,13c c c ∈-∞≥-≥-(4分)2．某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足：（1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
3、请用表上作业法解下题，得到最优解,并计算此时总运费：现在有运价表如下:产地销地B1B2B3产量A1 5 1 6 12A2 2 4 0 14A3 3 6 7 4销量9 10 11 30 答案：根据上面运价表以及销量和产量的要求，使用表上作业法：5 1 62 4 03 6 79 10 11得到下面运输方案：检验空格：空格A检验：6 –(0+3) = 3 > 0空格B检验：7 – (3-2) = 6 > 0空格C检验：6 - (1-2) = 7 > 0空格D检验：4 – (1-3)= 6 > 0 故全部符合要求。
总运输费用：2×5 + 3× 2 + 4 × 3 + 10 × 1 + 11 × 0 = 38 答：上面的运输方案为最佳方案，总运费为38。
(完整word版)运筹学与最优化方法习题集(word文档良心出品)
一. 单纯性法1•用单纯形法求解下列线性规划问题（共15分） max z =+ x 25X 2 <156x. + 2 凡 < 24 sJ.l ・x 1 + < 5 x^x 2 >02. 用单纯形法求解下列线性规划问题（共15分） max z = 2Xj + 3兀£ _ 2X 2 > -2sJ.< 2x t + 2X 2 <10x P x : >03. 用单纯形法求解下列线性规划问题（共15分） max z = 2%j - 4x 2 + 5x 3 - 6x 4%! + 4.v,-2X 3 + 8X 4 <2-x 1 + 2X 2 + 3X 3 + 4X 4 < 1x p x 2,x 3,x 4 >4•用单纯形法求解下列线性规划问题（共15分） max z = 2兀-x : + 屯3兀 + x 2 + x 3 < 60 -x. + 2X 3 <10 sJ.i ・x l ^x 2-x i <20 x r x 2,x z >05.用单纯形法求解下列线性规划问题（共15分） max z =+ 2X 2 + x 312x l + x 2 + x 3 < 4 Xj + 2X 2 < 6 x p x 2,x 3 >0max z = 10X] + 5兀 ‘3兀+ 4心<9 5J. < 5兀 + 2X 2 < 8u >0{6•用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15分）7•用单纯形法求解下列线性规划问题（共16分）max z = + 5x2Xj <4 2x. <12sJ.< "3Xj + 2X2 <18 J2 >0二. 对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共15分）max z =+ 6X 2f x L + x 2 > 2 sJ. < + 3.V 2 < 3[兀,兀>02. 灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共15分） max z = X] + 3x ：5q + 10.q <50 X + > 1 x 2 <4 x^x 2 >03. 用对偶单纯形法求解卜列线性规划问题（共15分） min Z = 2X A + 3X 22兀 + 3X 2 < 30+ 2X 2 > 10sJ.< - x : > 04•灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共15分） nun z = x 1 + 2X 2 - x 4x 1 + x 2 + x 3 + x 4 < 6 2旺-x 2+ 3屯-3x 4 > 5 x 1,x 2,x J ,x 4 >05.运用对偶单纯形法解下列问题（共16分） max z =+ x 2f 2x t + x 2 > 4 sJ. < X] 4- 7x : > 7X^x 2 >0 6•灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共15分） max z = x l + 6X 2x t + x 2> 2 X] + 3X 2 < 3 x iy x 2 >01max z = 3xj + 2x2— 5x3— 2x4 + 3x5 召 + 亠 + X3 + 2X4 + x5 <4 7x x + 3X3—A X A+3X5 < 8 sJ.1 lx, —6X2+3X4—3x s > 3x l,x2,x3,x4.x5 =0或1x l + 2x2-x i W2兀 + 4X2 + x3 < 4 S.t.< Aj + x2 <3三.0-1幣数规划1•用隐枚举法解下列0・1型整数规划问题（共10分）max 2 = 5齐 + 6・丫2 + 7“ + 8兀 + 9耳3兀-x2 + %, + x4-2X5 > 2x + 3俎一x.一2x. + 2x. > 0sJ.\ 1-35-x2 + 3x5+ X4+X5>2x l,x2.x i.x i.x4,x5 = Oorl2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共10分）nun z = 4召 + 3x: + 2x32齐一5X2+3X5 <44兀 + 上+ 3“ 2 3sJ.<+ x3 > 1x p x2,Xj = Oorl3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共10分）max z = 20.x; + 40x2 + 20x3 +15.v4 + 30x55兀 + 4X2+3X5+7X4+Sx5 < 25兀 + 7X2+9X3+4X4+6X5 < 258壬 + 10x2 + 2x3+ x4 + 10x5 < 25 x p x2,x J5x4,x5 = 0 或14.用隐枚举法解下列0・1型整数规划问题（共10分）max z = 2兀-x y + 5® - 3x4 + 4x53召一2x y + 7X3-5X4+4,V5 < 6sJ.i x A-x2 + 2X3-4X4+2X5< 0 x p x：,x r x4,x5 =0或15.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共10分）min z = 2X] + 5x：+3“3+ 4兀♦-4兀 + x2 + x3 + x4 > 0一2召 + 4r + 2X3+4X4 > 4 sJ.\ ・X, + x2 - .v3 + x4 1“宀舟“ =0或16.7•用隐枚举法解下列0・1型整数规划问题（共10分）max z = 3Xj - 2x2 + 5x3四・K ・T 条件1. 利用库恩■塔克(K-T)条件求解以下问题(共15分) max f(X ) = 10x 1 + 4x : - xf + 4x t x 2 - 4x^+ x 2 < 65./.<4X 1 + X 2 <18兀宀no2. 利用库恩■塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
运筹各次作业汇总
习题11. 应用动态规划方法求解下列问题⎩⎨⎧≥≤++-+=0x ,x ,x 103x 4x 2x 2x 9x 4x z max 32132123212. 举例说明动态规划的应用，并给出动态规划解决实际问题的基本思路和方法。
3给出线性规划的一个应用，并给出问题的分析过程，构建问题的模型，并给出问题的最优解（应用软件求解）。
习题2 1.应用一阶条件推导一般横截条件（见ppt ）2．求下列泛函的极值曲线3.证明如果(g ())t t t m t 是凹函数，则(){(z ,)z (g ()),[,]}t t t t t t t t t t x x t m t t t t W =+澄是凸集习题31.试求解下面的问题：22121112221212min ()+-4+4g ()+20()+-10,0f X x x x X x xg X x x x x =⎧=-≥⎪⎪=-≥⎨⎪≥⎪⎩ 2. 应用K-T 条件求解下面的问题()[,(),()]..(0)()()(,)TT T V y F t y t y t dt s t y A A y T y T y ¢===ò给定自由dty y t y V T)()(20'+'=⎰是自由的并且T y y T ,10,1)0(==212311232212312max ()3-3+x g ()+x 0()+2+x 0,0f X x x X x xg X x x x x =⎧=+≤⎪⎪=-≥⎨⎪≥⎪⎩ 3. 假设g(x)是一个凸函数，分析符合函数F(g(x))为凸函数的条件。
4. 如果(g ())t t μτ是凹函数，则{}t ()(,)(g ()),[,]t t t t t t t t x z z x τμττττΩ=+≥∈是一个凸集。
习题四课本7.3 ；7.17；7.18。
运筹学作业(5)
运筹学作业（5）
习题1、清华大学运筹学（第三版）P112 4.2（2）
用图解法找出以下目标规划问题的满意解。
习题2、清华大学运筹学（第三版）P282 10.4（a）
用破圈法和避圈法求图中的最小树。
习题3、清华大学运筹学（第三版）P283 10.7图10-40
用课上介绍的逆推方法，求v1到v11的最短路径，标明路径，求出路长。
习题4：已知条件如表所示
p1：每周总利润不得低于10000元；
p2：因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至少生产15台；
p3：希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。
试建立这个问题的目标规划模型并求解（可利用EXCEL求）。
思考题：在上题中，如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A型机减
少利润10元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型并求解。
（此题下周四前会给出参考答案）。
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作业一：（1） Minf(X)=x 12+x 22+8x 12-x 2≤0 -x 1- x 22+2=0 x 1, x 2≥0解：该非线性规划转化为标准型为：Minf(X)=x 12+x 22+8 g 1(X)= x 2- x 12≥0 g 2(X)= -x 1- x 22+2≥0 g 3(X)= x 1+x 22-2≥0 g 4(X)= x 1≥0 g 5(X)= x 2≥0f(X)， g 12 0 ∣H ∣= = =4>00 2 -2 0∣g 1∣= = =0≥00 00 0 ∣g 2∣= = =0x 22x 1x 2 x 1x 2x 12 2f(X) 2f(X) 2f(X) 2f(X)x 22x 1x 2x 1x 2 x 122g 1(X) 2g 1(X)2g 1(X)2g 1(X) x 22x 1x 2 x 1x 2x 12 2g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X)0-2设数（0<<1），令C(x)=x2，指定任意两点a和b，则C(a+(1-)b)= 2a2+(1-)2b2+2(1-)ab (1)C(a)+(1-)C(b)= a2+(1-)b2 (2)于是C(a+(1-)b)- (C(a)+(1-)C(b))=a2(2-)-b2(1-)+2(1-)ab=(2-)(a-b)2≤0所以C(a+(1-)b)≤C(a)+(1-)C(b)故C(x)=x2为凸函数，从而g3(X)=x1+x22-2为凸函数。
从而可知f(X)为严格凸函数，约束条件g3(X)为凸函数，所以该非线性规划不是凸规划。
（2）Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2x12+x22≤45 x1+ x3=10x1, x2, x3≥0解：该非线性规划转化为标准型为：Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2g1(X)=4- x12-x22≥0g2(X)= 5 x1+ x3-10=0g3(X)= x1≥0g4(X)=X2≥0g 5(X)=X 3≥0f(X)， g 1(X)，g 2(X)，g 3(X)，g 4(X)，g 5(X)的海赛矩阵的行列式分别为：从而可知f(X)为严格凸函数，g 1(X)为严格凹函数，又g 2(X)为线性函数，所以该非线性规划是凸规划。
作业二：分别用分数法和0.618法求函数 f(t)=t 2-6t+2在区间[0,10]上的极小点，要求缩小后的区间长度不大于原区间长度的3%。
解：（1）分数法∣H ∣=由于f’’(t)=2>0，故f(t)是严格凸函数，由f’(t)=2t-6=0解得t*=3是极小点，f(t*)=-7。
由1/F n≤0.03知，F n≥33.3，查表得n=8。
取a0=0，b0=10t1= b0+F7/ F8（a0- b0）=3.824，t1’= a0+F7/ F8（b0- a0）=6.176f(t1)=-6.321，f(t1’)=3.078，f(t1)< f(t1’)所以a1=a0=0，b1= t1’=6.176，t2’= t1=3.824t2= b1+ F6/ F7（a1- b1）=2.353，f(t2)=-6.581，f(t2) <f(t2’)所以a2=a1=0，b2= t2’=3.824，t3’= t2=2.353t3= b2+ F5/ F6（a2- b2）=1.471，f(t3)=-4.662，f(t3) >f(t3’)所以a3= t3=1.471，b3= b2=3.824，t4=t3’= 2.353t4’= a3+ F4/ F5（b3- a3）=2.942，f(t4’)=-6.997，f(t4) >f(t4’)所以a4= t4= 2.353，b4= b3=3.824，t5=t4’=2.942t5’= a4+ F3/ F4（b4- a4）=3.236，f(t5’)=-6.944，f(t5) <f(t5’)所以a5= a4= 2.353，b5= t5’=3.236，t6’= t5=2.942t6= b5+ F2/ F3（a5- b5）=2.647，f(t6)=-6.875，f(t6) >f(t6’)所以a6= t6=2.647，b6= b5=3.236，t7=t6’=2.942t7’= a6+ F1/ F2（b6- a6）=2.942，f(t7) =f(t7’)t7=1/2（a6+ b6）=2.942令t7’= a6+（1/2+ε）（b6- a6）=2.942+0.589ε因为ε可以是任意小数，取ε=0.001，则t7’=2.943f(t7) >f(t7’)故t7’=2.943为函数的近似极小点，近似极小值为-6.997，缩短后的区间为[2.942，3.236]，区间长度为0.294，符合要求。
（2）0.618法由于f’’(t)=2>0，故f(t)是严格凸函数，由f’(t)=2t-6=0解得t*=3是极小点，f(t*)=-7。
取a0=0，b0=10t1= a0+0.382（b0- a0）=3.82，t1’= b0-0.382（b0- a0）=6.18f(t1)=-6.328，f(t1’)=3.112，f(t1)< f(t1’)所以a1=a0=0，b1= t1’=6.18，t2’= t1=3.82t2= a1+0.382（b1- a1）=2.361，f(t2)=-6.592，f(t2)< f(t2’)所以a2=a1=0，b2= t2’=3.82，t3’= t2=2.361t3= a2+0.382（b2- a2）=1.459，f(t3)=-4.625，f(t3)>f(t3’)所以a3= t3=1.459，b3= b2=3.82，t4= t3’=2.361t4’= b3-0.382（b3- a3）=2.918，f(t4’)=-6.993，f(t4)>f(t4’)所以a4= t4=2.361，b4= b3=3.82，t5= t4’=2.918t5’= b4-0.382（b4- a4）=3.263，f(t5’)=-6.931，f(t5)< f(t5’)所以a5=a4=2.361，b5= t5’=3.263，t6’= t5=2.918t6= a5+0.382（b5- a5）=2.706，f(t6)=-6.914，f(t6)>f(t6’)所以a6= t6=2.706，b6= b5=3.263，t7= t6’=2.918t7’= b6-0.382（b6- a6）=3.050，f(t7’)=-6.998，f(t7)>f(t7’)所以a7= t7=2.918，b7= b6=3.263，t8= t7’=3.050t8’= a7+0.382（b7- a7）=3.050，f(t8)=f(t8’)令t8’= a7+（0.382+ε）（b7- a7）=3.050+0.345ε，ε为任意小数，则f(t8)< f(t8’)，取ε=0.01，t8’=3.053故该函数的近似极小点为t8= 3.050，近似极小值为-6.998，缩短后的区间为[a7，t8’]=[2.918，3.053]，区间长度为0.135，符合要求。
作业三：（一）《管理科学基础》习题3.3分别用梯度法（迭代三次即可）和共轭梯度法求解下面的无约束极值问题min解：（1）梯度法取初始点，，，，，，，，故该函数的近似极小点为，近似极小值为-1.22（2）共轭梯度法将f(X)化成标准形式为：故取初始点，，，故为该函数的极小点，极小值为-1.25（二）《运筹学》习题7.11令为一组A共轭向量（假定为列向量），A为对称正定阵，试证证明：由于与A共轭，所以它们线性独立，设Y为E n中的任一向量，则存在，使············································①①式左乘得：从而令·······································②②式右乘AY得：故BA=E(E为单位矩阵)从而证毕作业四：（一）《运筹学》习题7.15分析非线性规划在以下各点的可行下降方向（使用式（7-6）和式（7-7））：；（2）；（3）。
并绘图表示各点可行下降方向的范围。
解：该非线性规划问题化为标准型为：，，，设可行下降方向为D=(a,b)T（1）当时，为有效约束，为无效约束，由得：，于是所以可行下降方向为D=(a,b)T，其中b<0，2a+3b>0.D的范围如下图红色区域所示：（2）当时，均为有效约束，故该不等式组无解所以该非线性规划在点处无可行下降方向。
（3）当时，为无效约束，为有效约束，由得：，于是所以可行下降方向为D=(a,b)T，其中b<0，a<b.D的范围如下图红色区域所示：（二）《运筹学》习题7.18试找出非线性规划问题的极大点，然后写出其Kukn-Tucker条件，这个极大点满足Kukn-Tucker 条件吗？试加以说明。
解：由得，············○1由得，············○2○1+○2得：，于是maxx1=1，此时又，所以该非线性规划的极大点为X*=(1,2)T该非线性规划问题化为标准型为：其目标函数和约束函数的梯度为：对四个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子，则该非线性规划问题的K-T条件为：将找出的极大点X*=(1,2)T代入K-T条件得：该方程组无解，故极大点X*=(1,2)T不满足K-T条件，因而不是正则点。