有限元数值求解微分方程原理及其约束条件的处理方法xx
有限元计算原理与方法
1.有限元计算原理与方法有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体,这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上,计算在外荷载作用下各节点的位移,进而计算各单元的应力和应变。
用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。
1.1. 有限元分析的基本理论有限元单元法的基本过程如下：1.1.1.连续体的离散化首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体.单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面体单元、五西体单元和六面体单元等。
在Plaxis 3D Foundation程序中，土体和桩体主要采用包含6个高斯点的15节点二次楔形体单元，该单元由水平面为6节点的三角形单元和竖直面为四边形8节点组成的，其局部坐标下的节点和应力点分布见图3。
1，图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的8个成对节点四边形单元。
在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方,应适当将单元划分得密集些；若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束,则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。
最后,还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。
由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。
因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高.与位移不同，应力和应变是在Gauss 积分点（或应力点）而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。
1.1.2. 单元位移插值函数的选取在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移作为未知量，即{}[u ,v ,w ,...]e T i i i δ=，单元体内任一点的位移为{}[,,]Tf u v w =。
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
有限元求解方法
有限元求解方法有限元求解方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程、科学和数学领域的求解问题。
本文将介绍有限元求解方法的基本原理、步骤和应用范围。
有限元求解方法是一种数值计算方法，通过将一个连续的问题离散化成有限个子问题，然后对这些子问题进行求解，最终得到整个问题的近似解。
在有限元求解方法中，将要求解的问题分割成许多小的单元，每个单元都有一个简单的数学模型。
通过对每个单元的求解，再通过组合这些单元的解，就可以得到整个问题的解。
有限元求解方法的步骤大致可以分为以下几个部分：建立数学模型、离散化、确定边界条件、求解、后处理。
首先，需要根据实际问题建立一个数学模型，这个模型可以是一个方程、一个微分方程或者一个变分问题。
然后，将问题离散化，将连续的问题分割成有限个单元，并在每个单元上建立一个简单的数学模型。
接下来，确定边界条件，即在模型的边界上给定一些已知条件。
然后，通过求解每个单元的数学模型，得到每个单元的解。
最后，将每个单元的解组合起来，得到整个问题的解。
在得到解之后，可以进行后处理，对解进行分析和验证。
有限元求解方法广泛应用于各个领域的问题求解中。
在工程领域，有限元方法可以用于结构力学、热传导、流体力学等问题的求解。
例如，在结构力学中，可以通过有限元求解方法来计算结构的应力和位移分布，进而评估结构的强度和稳定性。
在科学领域，有限元方法可以用于物理、化学、生物等问题的求解。
例如，在地震学中，可以通过有限元求解方法来模拟地震波的传播和地壳变形。
在数学领域，有限元方法可以用于偏微分方程的数值求解。
例如，在偏微分方程的数值解法中，有限元方法是一种常用的求解方法。
有限元求解方法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地调整离散化的精度。
同时，有限元求解方法还具有较高的计算效率和数值稳定性。
然而，有限元求解方法也存在一些限制和局限性。
首先，有限元方法的求解精度受到离散化的影响，离散化越精细，求解结果越接近真实解。
第二章有限元方程的求解方法
第二章有限元方程的求解方法有限元方法是一种用于求解微分方程的数值近似方法，它将求解域（问题的区域）分割成许多小的子域，通过在每个子域上建立适当的数学模型，将微分方程转化为代数问题进行求解。
在有限元方法中，关键的一步是建立数学模型，即选择合适的试验函数空间和相应的权函数。
常用的有限元方法有有限元法和有限差分法，这两种方法都是在数学模型的基础上进行离散化处理，然后用有限元方程求解方法求解代数问题。
有限元法是一种建立在小区域上近似表示的方法，它将整个求解域分割成许多小的子域，每个子域内选取适当的试验函数来近似表示原问题的解。
这样，原问题就可以表示为求解子域上的代数问题。
有限元法的关键是选择适当的试验函数和权函数。
试验函数是用来近似表示原问题的解，而权函数则是用来衡量试验函数与原问题解之间的误差。
通常，试验函数和权函数都是在每个子域上选取的多项式函数。
有限差分法是一种将原问题的微分方程转化为代数方程的方法。
在有限差分法中，求解域被分割成格点，并在这些格点上定义函数的值。
通过使用各个格点上的函数值及其邻域的函数值，可以近似表示微分方程中的导数项。
然后，将微分方程转化为代数方程进行求解。
有限差分法的关键是选择合适的差分格式，这决定了在每个格点上求解代数方程时所使用的邻域函数值。
无论是有限元法还是有限差分法，最后都需要用数值算法求解得到的代数方程。
常用的数值算法有直接法和迭代法。
直接法是一种直接求解代数方程的方法，例如高斯消元法和LU分解法等。
迭代法是一种通过迭代求解逼近原问题解的方法，常用的迭代法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等。
在使用有限元方法求解微分方程时，步骤通常包括：建立数学模型，选择合适的试验函数和权函数；将微分方程离散化处理，得到代数方程；选择适当的数值算法求解代数方程；对得到的数值解进行后处理，例如计算导数或积分等。
在实际应用中，有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域的求解。
有限元法
于是有
u ui 1 , ui B u ,
i T i
从而（1.17）右端第一个和式为
1 n i u 2 i 1
一、有限元方法解题分析 为了说明应用有限元方法的解题步 骤，以及每一步骤中的要点，下面我们
以两点边值问题为例进行具体分析。
考虑两点边值问题
d du Lu p qu f , a x b dx dx u a 0, u ' b 0
V 从以上可以看出， h 是满足下列条件的所有 函数 uh 的集合：
(1)、uh在 a, b 上连续，且uh，uh L2 a, b ; (3)、uh a 0. (2)、uh在ei 上是次数不超过1的多项式;
1 Vh 是 H E 的一个n维子空间，称为试探函数空间 故 uh Vh 称为试探函数。
T
K u
i i
1 n T i i i u [( B )T K B ]u 2 i 1 1 u T Ku 2
其中，
K (B ) K B
i
T i 1 n
i i
K
i i 1
n
i n ai1,i 1 i i 1 ai,i1
4、有限元方程的形成
1 Vh 代替 H E ，在 Vh 上解泛函数 与Ritz法一样，以
（1.3）的极小问题。 将（1.5）代入（1.3），得
1 J uh a uh , uh f , uh 2 n 1 n = a i , j ui u j u j f , j . 2 i, j j 1
有限元法与偏微分方程的数值解法
有限元法与偏微分方程的数值解法在现代科学技术中，物理和工程问题通常涉及到方程的解析解。
然而，有很多复杂的问题，没有精确的解析解。
在这些情况下，我们可以使用数值方法来解决问题。
其中，有限元法（Finite Element Method，FEM）被广泛应用于求解偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）的数值解法。
有限元法是一种数值解法，用于解决连续介质（如固体、液体和气体）的差分方程。
它通常涉及将整个计算域分成许多小区域，称为有限元。
这些有限元被视为形状简单的几何单元（如三角形、四边形、六边形等），并且为每个元素分配了未知值。
在有限元方法中，偏微分方程被转换为一个离散方程，其中未知数在局部有限元中定义。
该方法通常涉及将初始有限元网格粗略地分配到整个计算区域，以构建数值解的近似值。
我们可以使用数学方法，如高斯消元法或迭代方法，来求解这个离散的线性系统。
有限元方法在许多领域中发挥着重要作用，包括结构力学、流体力学、电磁学、信息学和生物工程等。
它可以用于求解几乎所有类型的PDE，例如：椭圆、双曲和抛物型等。
在有限元方法中，解取决于网格的精度。
对于较小的网格，精度较高，但计算时间较长；反之亦然。
因此，在选择网格时需要进行权衡。
此外，一个好的网格应该是稳定的，能够保证数值解的收敛性和精度。
一些常见的有限元方法包括：显式和隐式欧拉方法、二阶Runge-Kutta 方法和高阶方法等。
这些方法主要涉及将初始条件和边界条件应用到整个计算区域。
作为一种广泛使用的数值解法，有限元法已经成为许多计算机辅助工程计算软件的主要工具，例如有限元分析软件 ANSYS 等。
此外，计算机的性能提高了许多，使得我们能够处理更多的网格和更大的计算域。
结论有限元法是一种强大的数值解法，可用于求解广泛的物理和工程问题。
然而，对于不同的应用，有不同的适用条件和精度要求。
因此，在设计计算方案之前，需要进行仔细的分析和权衡，以确保最终的数值解具有良好的收敛性和精度。
有限元方法 求解微分方程
有限元方法求解微分方程有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解微分方程。
在本文中，我们将介绍有限元方法的基本原理和求解微分方程的步骤。
有限元方法是一种将连续问题离散化的数值方法，它将连续的物理域划分为许多小的子域，称为有限元。
这些有限元可以是简单的几何形状，如线段、三角形或四边形。
通过在这些有限元上建立适当的数学模型，我们可以得到一个离散化的方程系统。
要求解微分方程，首先需要将微分方程转化为一个变分问题。
变分问题是通过将微分方程左右两边乘以一个测试函数，然后对整个方程进行积分得到的。
通过这样的转化，我们可以将微分方程问题转化为一个变分问题，这样就可以应用有限元方法进行求解。
在有限元方法中，我们选取一个适当的有限元空间，并在每个有限元上构建一个适当的试验函数空间。
试验函数空间是由一组基函数生成的，这些基函数是在每个有限元上定义的。
通过将基函数与试验函数空间上的权函数相乘，并在整个物理域上进行积分，我们可以得到一个离散化的方程系统。
接下来，我们需要对离散化的方程系统进行求解。
通常，我们使用线性代数方法，如高斯消元法或迭代法，来解决这个离散化的方程系统。
通过求解这个方程系统，我们可以得到有限元问题的近似解。
我们需要对有限元解进行后处理。
这包括计算物理量的值和误差的估计。
通过计算物理量的值，我们可以得到微分方程问题的数值解。
通过计算误差的估计，我们可以评估数值解的精度。
有限元方法是一种常用的求解微分方程的数值方法。
通过将微分方程转化为一个变分问题，然后应用有限元方法进行离散化和求解，我们可以得到微分方程的数值解。
通过对数值解进行后处理，我们可以评估数值解的精度。
有限元方法在工程和科学计算中有广泛的应用，可以解决各种不同类型的微分方程问题。
有限元计算原理与方法
有限元计算原理与方法有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种通过将复杂的物理系统离散成有限的简单子域，并在每个子域上建立适当的解析函数，最终通过数值解法计算系统性质的方法。
它是目前工程界最常用的一种数值分析方法，适用于各种不同领域的问题求解。
有限元法的核心思想是将连续问题转化为离散问题，将复杂的物理系统划分成有限数量的简单几何单元，称为有限元。
每个有限元内只需要考虑有限自由度的变量，然后通过建立方程组，求解出系统的响应。
有限元法的优点是适用于各种复杂的几何形状和边界条件，并且可以处理非线性、动力学和多物理场等问题。
有限元法的基本步骤包括以下几个方面：1.几何建模：根据实际问题，将物体的几何形状抽象为有限的简单几何单元，如线段、三角形、四边形单元等。
2.离散化：将物体划分成有限元，并建立有限元网格。
有限元网格的划分应该足够细致，以保证对模型进行准确的描述。
3.单元及节点自由度的确定：确定每个有限元的节点，以及每个节点对应的自由度，自由度包括位移、应力、温度等。
4.建立元素刚度矩阵和载荷向量：根据单元的几何关系和物理性质，建立单元刚度矩阵和载荷向量。
单元刚度矩阵描述了单元内各个节点之间的相互作用关系，载荷向量描述了单元受到的外部力和边界条件。
5.组装：将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量。
6.施加边界条件：根据实际问题，将边界条件施加到系统方程中，通常为位移或载荷。
7.解方程：根据边界条件和施加的载荷，求解系统方程，得到节点的位移和应力等解。
8.后处理：根据求解的结果，计算出物体的各种性质，并对结果进行分析和可视化显示。
有限元法具有广泛的应用，例如结构力学、流体力学、电磁场等领域。
它的研究包括有限元离散化方法、有限元解法和计算误差分析等。
随着计算机技术的发展和计算能力的提高，有限元法在科学研究和工程实践中的应用将会更加广泛和深入。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课程： 计算机在材料 科学中的应用
单位：湖北工业大学 2013年2月
微课内容摘要
在讲述有限元数值求解微分方程过程原理 基础上，针对各种初值与边界约束条件，重点 提出了一种可行的处理方法。该方法简洁清晰， 易学易用，对学习理解有限元法具有启发性。 同时，这种方法具有可靠的依据，加以引申可 拓展有限元对约束条件的适定范围，其理论推 导值得深思。
方 法
b
a
p(x)
dy dx
dv dx
)
q(x)
yv
dx
a
y(a)
b
y(b)
b
a v f (x)dx ga gb ,
y,v S连续的函数空间
2、泛函方程近似求解
2.1 近似求解思想
• 近似解思路：就是将无限维函数解空间降维处理。
•
具体说，就是构造有限N维函数空间，在每一
维函数坐标确定一个基函数i (x)，同时每个基函
b
a vN f (x)dx
, yN ,vN N维离散函数空间
b
a
p(x) dyN dx
dvN dx
) q(x) yNvN
dx
b
a vN f (x)dx
, yN ,vN N维离散函数空间
N 1
y yN 2 cii (x) i0
b a
p(x)
d0 dx
d0 dx
q(x)00
dx
将0 (x)
x3 3
, 1 ( x)
x5 5
4 3
x3
4x, 代入
2 x2 1
d0
dx
d0
dx
x00
dx
2 x2 1
d1
dx
d0
dx
x1
0
dx
2 x2
1
d0
dx
d1
dx
x01 dx
c0
2 1
x0
dx
2 x2
1
d1
dx
d1
dx
x11
dx
c1
2
1 x1dx
计算得：
微 分 方 程 有 限 元 法 数 值 求 解 过 程 原 理
3 有限元法求解微分方程及约束条件处理
3.1 限元法思想 将解空间的区间分段，解函数在每段上用拉格
朗格插值基函数进行拟合，最后进行约束处理。
Y
· y(1.75)
·y(2)
x
1.0 1.25
1、预备知识
1.1 一般二阶线性微分方程形式
d p(x) dy q(x) y f (x) x (a,b) dx dx
p(a) p(b)
y'(a) y' (b)
a b
y(a) y件
p(x) C1[a,b],q(x), f (x) C[a,b]
例1: 具体的二阶线性微分方程及约束条件改写
d (x2 dy ) xy x dx dx
y'(1) 1, y'(2) 4
• 暂不必考虑边界两点约束条件，上述定解问 题对应的等价泛函形式：
2 1
x2 yv xyv
2
dx 1 v xdx
取N
2, S2
span0 (x)
x3 3
, 1 ( x)
x5 5
4 3
x3
4x
近似解y2 (x) c00 (x) c11(x)
b a
p(x) d1 dx
d0 dx
q(
x)10
dx
b p(x) d0
a
dx
d1 dx
q(x)01 dx
c0
b
a 0
f
( x)dx
b p(x) d1
a dx
d1 dx
q(
x)11
dx
c1
b
a 1 f (x)dx
2.2泛函方程近似求解实例
• 例4：两点边值问题：
1、预备知识
1.2 最简积分型泛函
x1
J[ y(x)] F(x, y, y')dx x0
例2：S[ y(x)] x1 y(x)dx x0 约束条件：L x1 1 y(x)dx C（常数） x0 边界条件：y(x0 ) 0, y(x1) 0
1、预备知识
1.2 最简积分型泛函
例3： S[y(x)] 2π y x1 1 y2(x)dx x0
回顾： d (x2 dy ) xy x, y'(1) 1,y'( 2 ) 4 dx dx
上式约束条件改写后的形式为（其中p(x) x2 )
y'(1) 1
y'( 2 ) 4
p(1)y'(1) α1y(1) g1 11 α1 y(1) g1
p(2 )y'( 2 ) α2 y( 2 ) g2 4 4 α2 y( 2 ) g2
数满足初始或边界条件。N个基函数要求线性无关，
由这N个基函数进行唯一的线性结合，作为连续泛
函方程的近似解。
•
随着N维数增加，解的子空间扩大，近似解的
精度提高。
• 如左图所示，用 4维函数空间的4个 基函数的线性组合 去近似更高维（或 无限维）的函数
N 1
y yN 4 cii (x) i0
图1 4维函数空间选取的4 个基函数
有 限 元 法 数 值 求 解 微 分 方 程 过 程 原 理
d p(x) dy q(x) y f (x) x (a,b) dx dx
p(a) p(b)
y'(a) y' (b)
a b
y(a) y(b)
ga gb
第三类约束条件
伽 辽 金 变 分
p(x) C1[a,b],q(x), f (x) C[a,b]
b
a
p(x)
dy dx
dv dx
)
q(x)
yv
dx
a
y(a)
b
y(b)
b
a v f (x)dx ga gb ,
y,v S连续的函数空间
因为每个基函数满足约束条 件，所以连续的Galerkin变分形 式可不必考虑约束条件。
b p(x) dyN
a dx
dvN dx
)
q(
x)
y
N
vN
dx
c1
-
2. 4.
60965627解得：cc10
0.1437 - 0.3309
y2 c00 (x) c11(x) 0.0662x5 0.4891x3 1.3237x
x 1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000
y2 -0.9007 - 0.9013 - 0.8373 - 0.7814 - 0.8523 y 7.6515 8.0707 8.7289 9.5469 10.4904(理论值）
2 x2 1
d0
dx
d0
dx
x00
dx
2 x2 1
d1
dx
d0
dx
x10
dx
计算得：
2 x2
1
d0
dx
d1
dx
x01
dx
c0
2 1
x0
dx
2 x2
1
d1
dx
d1
dx
x11
dx
c1
2
1 x1dx
21.6845 15.6597
15.6597c0
20.9873